Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

211

Ìîäóëü

( )

( ) ( )

FAB

=w+w

(9.11)

îïðåäåëÿåò àìïëèòóäíûé, à àðãóìåíò

(

)

(

)

(

)

arctg BAjw=

éù

ëû

(9.12)

% ôàçîâûé ñïåêòð ñèãíàëà. Ïðè÷åì, êàê è äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî

ñèãíàëà, àìïëèòóäíûé ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, à ôàçîâûé % íå÷åò-

íîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

ëó÷øå âñåãî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ïðåäñòàâëåíèè îáðàòíîãî ïðåîá-

ðàçîâàíèÿ (9.7) â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Åñëè ïîäñòàâèòü

âìåñòî F(jw) â (9.7) åãî çíà÷åíèå èç (9.9), òî ïîëó÷èì

()

( )

cossin.

fFed

FdjFd

w-j

-¥

¥¥

-¥-¥

=w=

=w+w

w-jw-j

òò

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |F(jw)| % ÷åòíàÿ, à ñèíóñ % íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ

÷àñòîòû èíòåãðàë îò âòîðîãî ñëàãàåìîãî ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâà-

òåëüíî, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ÷åòíîñòü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæå-

íèÿ â ïåðâîì ñëàãàåìîì, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èìååò âèä

()

( )

cos.

fFd

w-j

(9.13)

Èç (9.13) ñëåäóåò âàæíåéøèé âûâîä î òîì, ÷òî íåïåðèîäè÷å-

ñêèé ñèãíàë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ïðåäåëîì ñóììû (èíòå-

ãðàë) áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íî ìàëûõ ãàðìîíè÷å-

ñêèõ êîëåáàíèé ñ àìïëèòóäàìè (1/p)| F(jw)| è íà÷àëüíûìè ôàçà-

ìè j = j(w), ïðè÷åì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàçíîñòü ÷àñòîò ñîñåäíèõ ãàð-

ìîíèê áåñêîíå÷íî ìàëà Dw = dw, òî F(jw) â óðàâíåíèè (9.13) ïðåä-

ñòàâëÿåò íåïðåðûâíûé ñïëîøíîé ñïåêòð â îòëè÷èè îò ñïåêòðà ïå-

ðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì (ëèíåé÷àòûì)

(ñì, ãë. 5). Ïîýòîìó F(jw) íàçûâàþò êîìïëåêñíîé ñïåêòðàëüíîé

ïëîòíîñòüþ, a |F(jw)| % ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ àìïëèòóä

íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà.

Ñìûñë êîìïëåêñíîãî ñïåêòðà F(jw) ñëåäóåò èç ñâÿçè ìåæäó

ñïåêòðàìè ïåðèîäè÷åñêèõ è íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Ñðàâíåíèå

óðàâíåíèé (9.3) ñ (9.6) ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ýòó ñâÿçü ìåæäó ñïåê-

òðàìè: ïðè Ò ® ¥; w

= kw

® w

( )

(9.14)

è ñïåêòð êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä A

îáðàùàåòñÿ â êîìïëåêñíóþ ñ-

ïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü F(jw).

212

1,0

()

1 t

()

Ðèñ. 9.2 Ðèñ. 9.3

Èç (9.14) ñëåäóåò è äðóãîé âàæíûé âûâîä: ìîäóëü ñïåêòðàëüíîé

ïëîòíîñòè íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà è îãèáàþùàÿ ëèíåé÷àòîãî

ñïåêòðà ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, ïîëó÷åííîãî ïîâòîðåíèåì ñ ïå-

ðèîäîì Ò íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, ñîâïàäàþò ïî ôîðìå è îòëè-

÷àþòñÿ òîëüêî ìàñøòàáîì. Ýòî íàãëÿäíî ìîæíî ïðîèëëþñòðèðî-

âàòü íà ïðèìåðå ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ

èìïóëüñîâ (ñì. ðèñ. 5.3, à): ñ óâåëè÷åíèåì ïåðèîäà (ñêâàæíîñòè q)

ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ ãóùå (ñì. ðèñ. 5.4, á) è â ïðåäåëå ïðè T = ¥ ïå-

ðèîäè÷åñêèé ñèãíàë ïðåâðàùàåòñÿ â íåïåðèîäè÷åñêèé (ðèñ. 9.2), à

äèñêðåòíûé ñïåêòð îáðàùàåòñÿ â ñïëîøíîé (ðèñ. 9.3). Ïðè ýòîì

îãèáàþùàÿ êàê ëèíåé÷àòîãî, òàê è ñïëîøíîãî ñïåêòðà îïèñûâàåòñÿ

ôóíêöèåé îòñ÷åòîâ (5.29): sinx/x.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôó-

ðüå. Åñëè ñèãíàë f (t) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé âðåìåíè, òî, åãî

ñïåêòð F(jw) % âåùåñòâåííûé. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (9.6) äëÿ

F(jw) ìîæíî çàïèñàòü:

( )

() () ()

cossin.

Ffedtftdtjftdt

ttt

¥¥¥

-w

-¥-¥-¥

==w-w

òòò

Âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ â ñèëó íå÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëü-

íîé ôóíêöèè, ñëåäîâàòåëüíî,

( )

()

cos.

Fftdt

-¥

(9.15)

Àíàëîãè÷íî ïðè íå÷åòíîñòè ñèãíàëà f (t) ñïåêòð F(jw) ÿâëÿåòñÿ

÷èñòî ìíèìûì.

Âàæíûì ñâîéñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ÿâëÿåòñÿ âçàèìîçà-

ìåíÿåìîñòü ïåðåìåííûõ t è w. Äëÿ ÷åòíîãî ñèãíàëà f(t) è âåùå-

ñòâåííîãî ñïåêòðà F(jw) ìîæåì çàìåíèòü â ïðåîáðàçîâàíèè (9.6)

çíàêè ïåðåä jwt:

( )

()

Ffedt

-¥

(9.16)

Òîãäà ñðàâíèâàÿ (9.16) è (9.7) âèäèì èõ ïîäîáèå. Âçàèìîçàìå-

íÿåìîñòü ïåðåìåííûõ â ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå ïîçâîëÿåò óñòàíî-

âèòü ñâÿçü ìåæäó ÷àñòîòíûìè è âðåìåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè

ñèãíàëà (ñì. § 9.5).

213

Â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.8) è (9.9) ñèãíàë ìîæåò áûòü çàäàí ëèáî ñ

ïîìîùüþ ñâîåãî àìïëèòóäíîãî |F(jw)| è ôàçîâîãî ñïåêòðà j(w),

ëèáî ñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííîé A(w) è ìíèìîé ÷àñòåé B(w) ñïåêòðà

ñèãíàëà. Ïðè÷åì, âñå îíè âçàèìîñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîãëàñíî

(9.11)%(9.12), ò. å. íåëüçÿ çàäàâàòü íåçàâèñèìî àìïëèòóäíûé

|F(jw)| è ôàçîâûé ñïåêòð j(w), èëè âåùåñòâåííóþ A(w) è ìíèìóþ

÷àñòü ñïåêòðà B(w).

Íàèáîëåå ÿñíî ýòà ñâÿçü ïðîÿâëÿåòñÿ äëÿ ñèãíàëà, çàäàííîãî íà

ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè âðåìåíè t:

()

{

ïðè 0,

ïðè 0.



(9.17)

Ïåðåïèøåì (9.13) â ôîðìå

()

( ) ( )

coscossinsin

FtdFtd

¥¥

éù

jww+jww

êú

ëû

òò

Èëè ó÷èòûâàÿ, ÷òî

(

)

(

)

( )

cos,

sin,

w=j

(9.18)

ïðè t



0 ïîëó÷èì:

()

( ) ( )

cossin

AtdBtd

¥¥

éù

www+www

êú

ëû

òò

(9.19)

è ïðè t < 0 ñ ó÷åòîì (9.17)

( ) ( )

cossinAtdBtd

¥¥

éù

www-www

êú

ëû

òò

(9.20)

Ñóììèðóÿ è âû÷èòàÿ ðàâåíñòâà (9.19) è (9.20), ïîëó÷àåì:

()

( ) ( )

cossin.

fAtdBtd

¥¥

=www=www

òò

(9.21)

Îòñþäà ñëåäóåò ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé A(w) è ìíèìîé B(w)

÷àñòÿìè ñïåêòðà ñèãíàëà:

( ) ( )

cossin,

AtdBtd

¥¥

www=www

òò

(9.22)

ò. å. â äàííîì ñëó÷àå ñèãíàë f(t) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî

âåùåñòâåííîé A(w) èëè ìíèìîé B(w) ÷àñòÿìè êîìïëåêñíîãî ñïåêò-

ðà F(jw).

Â çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïðè w = 0 ñïåêòð (9.6) ïðèíèìàåò

çíà÷åíèå

214

( ) ()

Ffdt

-¥

(9.23)

ò. å. áóäåò ðàâåí ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé ñèãíàëîì f (t). Ôîðìóëà

(9.23) ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ îöåíèòü ñïåêòð ñèãíàëà ïî âèäó

ôóíêöèè f(t).

Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âðåìåííîå è ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî äâóìÿ ôîðìàìè (ìîäåëÿìè) ïðåäñòàâëåíèÿ

ðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà, è îíè ëåæàò â îñíîâå âðåìåííûõ

è ÷àñòîòíûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Â çàêëþ÷åíèå óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó ïðåîáðàçîâàíèåì Ôó-

ðüå è ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà. Åñëè ïîëîæèòü, ÷òî f(t) óäîâ-

ëåòâîðÿåò óñëîâèþ (9.17), òî ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

ïðèíèìàåò âèä

( )

()

Ffedt

-w

(9.24)

Ñîîòíîøåíèå (9.24) íîñèò íàçâàíèå îäíîñòîðîííåãî ïðåîáðàçî-

âàíèÿ Ôóðüå, òàê êàê îíî îïðåäåëÿåòñÿ íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè

t. Åñëè ïðèíÿòü â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ â ôîðìóëå (7.1) a = 0,

òî ð = jw, è ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (7.2)

( ) ( )

()

FFfedt

-w

(9.25)

ò. å. ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ îäíîñòîðîííèì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå

(9.24).

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà

(7.4) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî dp = jdw:

()

( ) ( )

ptjt

fFedpFed

+¥

-¥-¥

==w

òò

(9.26)

÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ (9.7).

Òàêèì îáðàçîì, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé

ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïðè a = 0. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî

ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èìååò áîëåå óçêóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ,

÷åì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, òàê êàê óñëîâèå (9.1), êîòîðûì

äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ôóíêöèè, ïðåîáðàçóåìûå ïî Ôóðüå áî-

ëåå æåñòêîå, ÷åì óñëîâèå (7.3). Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, äëÿ êîòîðîé

ïðèìåíèìî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (9.6) âñåãäà ìîæåò áûòü ïðå-

îáðàçîâàíà ïî Ëàïëàñó, íî íå íàîáîðîò. Â ýòîé ñâÿçè èçîáðà-

æåíèå F(p) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñâîåãî ðîäà îáîáùåííûé

ñïåêòð ñèãíàëà f(t).

215

9.2. Îñíîâíûå òåîðåìû ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà

Êàê áûëî óñòàíîâëåíî âûøå, ìåæäó ñèãíàëîì è åãî ñïåêòðîì

ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ ñâÿçü, îïðåäåëÿåìàÿ ïðÿìûì ïðåîáðàçî-

âàíèåì Ôóðüå. Ïîñêîëüêó â ïðîöåññå ïåðåäà÷è ñèãíàëà îí ïîä-

âåðãàåòñÿ ðàçëè÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì, î÷åíü âàæíî óñòàíîâèòü

êàê ïðè ýòîì èçìåíÿåòñÿ ñïåêòð ñèãíàëà. Ýòî èìååò áîëüøîå çíà÷å-

íèå ñ òî÷êè çðåíèÿ âûáîðà îïòèìàëüíûõ ìåòîäîâ ïåðåäà÷è, ïðèå-

ìà, òðåáîâàíèé ê ïàðàìåòðàì êàíàëà ñâÿçè.

Ðàññìîòðèì îñíîâíûå òåîðåìû î ñïåêòðàõ, èìåþùèõ ïðàêòè÷å-

ñêîå ïðèìåíåíèå â ýëåêòðîñâÿçè. Ó÷èòûâàÿ ñâÿçü ìåæäó ïðåîáðà-

çîâàíèåì Ôóðüå è Ëàïëàñà è èìåÿ â âèäó äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ

òåîðåì, äàííûõ â § 7.1, îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà ôèçè÷åñêîé èíòåð-

ïðåòàöèè îñíîâíûõ òåîðåì ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà.

Ñïåêòð ñóììû ñèãíàëîâ (òåîðåìà ëèíåéíîñòè) ðàâåí ñóììå

ñïåêòðîâ ýòèõ ñèãíàëîâ. Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ëèíåé-

íîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Â áîëåå îáùåì âèäå îíî ìîæåò áûòü

çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

()

( )

kkkk

afaF

åå



(9.27)

ãäå a

% êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ;



% çíàê ñîîòâåòñòâèÿ ìåæ-

äó ñèãíàëîì è åãî ñïåêòðîì, îïðåäåëÿåìîãî ïàðîé ïðåîáðàçîâàíèé

Ôóðüå.

Ñäâèã ñèãíàëà âî âðåìåíè f (t%t

) ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ

åãî ñïåêòðà íà

-w

( )

fFe

-w

 (9.28)

Èç (9.28) ñëåäóåò âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî ïðè ñäâèãå ñèãíàëà

âî âðåìåíè åãî àìïëèòóäíûé ñïåêòð íå èçìåíÿåòñÿ, à ôàçîâûé èç-

ìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî wt

. Ýòà òåîðåìà èìååò áîëüøîå çíà÷å-

íèå, òàê êàê â ïðîöåññå îáðàáîòêè ñèãíàëîâ ÷àñòî âîçíèêàåò íåîá-

õîäèìîñòü îñóùåñòâëÿòü çàäåðæêó ñèãíàëà (ñì. ãë. 18, 19).

Èçìåíåíèå ìàñøòàáà íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî (ñæàòèå ñèã-

íàëà) îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì

( )

æö

ç÷

èø

 (9.29)

Èç (9.29) ñëåäóåò, ÷òî ñæàòèå ñèãíàëà âî âðåìåíè (à > 1) ïðèâîäèò

ê ðàñøèðåíèþ ñïåêòðà ñèãíàëà è íàïðîòèâ % ðàñòÿæåíèå ñèãíàëà

(à < 1) % ê ñóæåíèþ ñïåêòðà.

Ïåðåìíîæåíèå äâóõ ñèãíàëîâ (òåîðåìà ñâåðòêè). Ñïåêòð ïðî-

èçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé f

(t) è f

(t) ñîîòâåòñòâóåò ñâåðòêå èõ

ñïåêòðîâ F

(jw) è F

(jw):

216

() ()

( ) ( )

1212

ffFFd

jjj

-¥

Ww-W

 (9.30)

Âàæíîå çíà÷åíèå èìååò îáðàòíàÿ òåîðåìà î ïðîèçâåäåíèè ñïåê-

òðîâ ñèãíàëîâ:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

121212

FFffdffd

¥¥

-¥-¥

t=t

t-t-tt

òò



(9.31)

Ñâåðòêà ôóíêöèé øèðîêî èñïîëüçîâàëàñü ðàíåå âî âðåìåííûõ

ìåòîäàõ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (ñì. ãë. 8).

Äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå ñèãíàëà. Ïðè äèôôå-

ðåíöèðîâàíèè ñèãíàëà åãî ñïåêòð óìíîæàåòñÿ íà îïåðàòîð jw:

( )

fjF

 (9.32)

à ïðè èíòåãðèðîâàíèè äåëèòñÿ íà jw:

()

( )

fdtF

-¥

 (9.33)

Äîêàçàòåëüñòâî (9.32)%(9.33) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç ïðÿìîãî

è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî

(9.33) ñïðàâåäëèâî äëÿ ñèãíàëîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ

F(0) = 0.

Ñìåùåíèå ñïåêòðà ñèãíàëà íà ÷àñòîòó

ñîîòâåòñòâóåò óìíî-

æåíèþ ñèãíàëà íà îïåðàòîð

±W

( )

[

]

()

Fef

±W

 (9.34)

Òåîðåìà ñìåùåíèÿ (9.34) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñïåêòð ìîäóëè-

ðîâàííîãî ñèãíàëà è èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå â òåîðèè ýëåêòðè÷å-

ñêîé ñâÿçè.

9.3. Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ñïåêòðå

íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà

Îïðåäåëèì ýíåðãèþ ñèãíàëà f(t) ïî åãî ñïåêòðàëüíîé õàðàêòå-

ðèñòèêå F(jw). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f(t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàïðÿ-

æåíèå èëè òîê, ïðîòåêàþùèé â åäèíè÷íîì ñîïðîòèâëåíèè R = 1 Îì.

Òîãäà ñîãëàñíî (1.4) ýíåðãèÿ âûäåëÿåìàÿ f (t) áóäåò ðàâíà

()

Wfdt

-¥

(9.35)

Ïðåäñòàâèì ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå (9.35) â âèäå ïðîèçâå-

äåíèÿ

() () ()

fff

ttt

= è ïðèìåíèì ê f(t) îáðàòíîå ïðåîáðàçîâà-

íèå Ôóðüå (9.7):

217

() ()

( )

fdtfdtFed

¥¥¥

-¥-¥-¥

òòò

Ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ t è w, ïåðåïèøåì ïîñëåäíþþ

ôîðìóëó â âèäå

()

( )

()

fdtFdfedt

¥¥¥

-¥-¥-¥

òòò

Âíóòðåííèé èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîïðÿæåííûé ñïåêòð

F(%jw). Åñëè ó÷åñòü, ÷òî

(

)

(

)

(

)

FFF

jjj

w-ww

, òî ïîëó÷èì

ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ (òåîðåìà Ðýëåÿ):

()

( ) ( )

WfdtFdFd

¥¥¥

-¥-¥

==w=w

òòò

(9.36)

Èç óðàâíåíèÿ (9.36) ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà |F(jw)|

ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ ñèãíàëà, ïðèõîäÿùóþñÿ íà 1 ñ

òåêóùåé ÷à-

ñòîòû w, ïîýòîìó êâàäðàò ìîäóëÿ ñïåêòðà |F(jw)|

íàçûâàþò ñïåê-

òðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ñèãíàëà. Âèä ìîäóëÿ |F(jw)| ïî-

çâîëÿåò ñóäèòü î ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè â ñïåêòðå íåïåðèîäè÷å-

ñêîãî ñèãíàëà. Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè

öåïåé è ñèãíàëîâ ïðè âûáîðå ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ êàíàëà ñâÿçè,

îáåñïå÷èâàþùåé íàèëó÷øåå èñïîëüçîâàíèå ýíåðãèè ñèãíàëà.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â îòëè÷èå îò ôîðìóëû (5.23), ãäå ðàñ-

ñìàòðèâàëàñü ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä Ò ìîùíîñòü ïåðèîäè÷åñêîãî íåñè-

íóñîèäàëüíîãî ñèãíàëà, äëÿ íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà òàêîå óñðåä-

íåíèå íåâîçìîæíî (

lim0

®¥

). Îáùèì äëÿ îáåèõ ñëó÷àåâ ÿâëÿåòñÿ

òî, ÷òî ìîùíîñòü è ýíåðãèÿ ñèãíàëîâ íå çàâèñÿò îò ôàç ñïåêòðàëü-

íûõ ñîñòàâëÿþùèõ.

9.4. Ñïåêòðû òèïîâûõ ñèãíàëîâ

Îïðåäåëèì ñïåêòðû íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ òèïîâ ýëåêòðè-

÷åñêèõ ñèãíàëîâ.

Åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (7.19) (ñì. ðèñ. 7.2, à).

Ñòðîãî ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ (7.19) íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ àáñî-

ëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè (ñì. § 9.1), ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ñëå-

äóþùèì ïðèåìîì: óìíîæèì 1(t) íà «ãàñÿùèé» ìíîæèòåëü å

(ñ = const). Ïðè ýòîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå

Ôóðüå (9.6):

( )

()

( )

11.

ctjt

Feedtedt

¥¥

--w

-¥

===

òò

(9.37)

Ïðåîáðàçîâàíèå F(jw, c) íîñèò íàçâàíèå îáîáùåííîãî ïðåîáðàçî-

âàíèÿ Ôóðüå. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñïåêòðà åäèíè÷íîé ôóíêöèè ïåðåé-

äåì ê ïðåäåëó:

218

|()|

)

()

)

-p

Ðèñ. 9.4

( ) ( )

lim.

FFe

jjc

-p

===

(9.38)

Èç óðàâíåíèÿ (9.38) ïîëó÷àåì àìïëèòóäíûé |F(jw)| = 1/w

(ðèñ. 9.4, à) è ôàçîâûé ñïåêòð ôóíêöèè j(w) (ðèñ. 9.4, á): j(w) =

= %p/2, ò. å. àìïëèòóäíûé ñïåêòð ïðè w = 0 îáðàùàåòñÿ â áåñêî-

íå÷íîñòü, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè â èñõîäíîé ôóíêöèè 1(t)

ñêà÷êà ïðè t = 0 (ñì. ðèñ. 7.2, à). Äëÿ îáðàçîâàíèÿ ýòîãî ñêà÷êà â

ñîîòâåòñòâèè ñ (9.38) ïðè t = 0 îñóùåñòâëÿåòñÿ ñóììèðîâàíèå áåñ-

êîíå÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ñèíóñîèäàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ. Ñïåêòð

(9.38) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí è ñ ïîìîùüþ èçîáðàæåíèÿ åäèíè÷íîé

ôóíêöèè (7.20):

( ) ( )

Åäèíè÷íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ d(t) çàäàåòñÿ àíàëè-

òè÷åñêè óñëîâèÿìè (7.21). Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà d-ôóíêöèè

âîñïîëüçóåìñÿ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå (9.6), êîòîðîå ñ

ó÷åòîì (9.8)%(9.10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

( )

() () ()

cossin.

Fedtdtjdt

ttt

¥¥¥

-w

-¥-¥-¥

=d=dw-dw

òòò

Òàê êàê âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, à ïåðâîå % åäèíèöå âñëåä-

ñòâèå ñâîéñòâ (7.21)%(7.23), òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

( )

()

11.

Fdte

-¥

=d=×=

(9.39)

Òàêèì îáðàçîì, d-ôóíêöèÿ èìååò ðàâíîìåðíûé àìïëèòóäíûé è

íóëåâîé ôàçîâûé ñïåêòðû. Ðàâåíñòâî íóëþ íà âñåõ ÷àñòîòàõ ôàçî-

âîãî ñïåêòðà îçíà÷àåò, ÷òî âñå ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå d-

ôóíêöèè, ñóììèðóÿñü ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè ôàçàìè, îáðàçóþò

ïðè t = 0 ïèê áåñêîíå÷íî áîëüøîãî çíà÷åíèÿ.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñäâèã d-ôóíêöèè íà âðåìÿ t ïðèâîäèò ñî-

ãëàñíî ñâîéñòâàì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ñì. § 9.2) ê ñïåêòðó

( )

-wt

=×

, ò. å. àìïëèòóäíûé ñïåêòð ôóíêöèè d (t%t) îñòà-

åòñÿ ïðåæíèì, à ôàçîâûé èçìåíÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî wt.

219

Èç ðàâåíñòâà (9.39) ñîãëàñíî îáðàòíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå

(9.7) ñëåäóåò, ÷òî

()

-¥

d=w

(9.40)

Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå âçàèìîçàìåíÿåìîñòè ïàðàìåòðîâ t è w (ñì.

§ 9.1), ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:

( )

edt

±w

-¥

(9.41)

Óðàâíåíèÿ (9.40) è (9.41) øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â òåîðèè ñèã-

íàëîâ è öåïåé.

Ñïåêòð ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ôóíêöèè a

/2 = 1/2 ñ ó÷å-

òîì (9.41) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì

( )

Fedt

-w

-¥

==pdw

(9.42)

Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ðàâåí íóëþ íà

âñåõ ÷àñòîòàõ, êðîìå w = 0, ãäå F(jw) îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü,

òî åñòü èìååì íà ÷àñòîòå w = 0 äèñêðåòíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ÷àñòîòû

â ôîðìå d-ôóíêöèè.

Ñïåêòð ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîäèêó

èñïîëüçîâàíèÿ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðè îïðåäåëåíèè

ñïåêòðà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ

(

)

cos.

fAt

(9.43)

Ïðåîáðàçîâàíèå (9.6) äëÿ ôóíêöèè (9.43) èìååò âèä

( )

cos.

FAetdt

-w

-¥

(9.44)

Ôîðìàëüíî ôóíêöèÿ (9.43) íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ àáñîëþò-

íîé èíòåãðèðóåìîñòè, òàê êàê èìååò ïîêàçàòåëü ðîñòà ñ = 0. Ïî

ýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (9.44) âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé

Ýéëåðà (3.18) è óðàâíåíèåì (9.41):

( )

( ) ( )

jtjt

Fedtedt

¥¥

w-ww+w

-¥-¥

=+=

d+d

w-ww+w

éù

ëû

òò

(9.45)

ò. å. ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå èìååò äèñêðåòíûé ñïåêòð, ñîñòîÿùèé

èç äâóõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé íà ÷àñòîòàõ ±w

Ñïåêòð îäèíî÷íîãî ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà (ñì. ðèñ. 9.2)

ìîæíî íàéòè êàê íåïîñðåäñòâåííî èç ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôó-

ðüå (9.6), òàê è ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè q ® ¥ (T® ¥) â

ðàçëîæåíèè (5.27). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

220

-2

()

)

Ðèñ. 9.5

()

Ðèñ. 9.6 Ðèñ. 9.7

()

Ðèñ. 9.8

( )

(

)

sin

=×

(9.46)

Íà ðèñ. 9.3 èçîáðàæåí ñïåêòð îäèíî÷íîãî èìïóëüñà. Ñðàâíåíèå

ðèñ. 9.3 è ðèñ. 5.4 ïîêàçûâàåò, ÷òî ïî ñâîåé ôîðìå ñïåêòð îäèíî÷-

íîãî èìïóëüñà ñîâïàäàåò ñ îãèáàþùåé äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïîñëå-

äîâàòåëüíîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ èìïóëüñîâ, îäíàêî ñïåêòð îäèíî÷íî-

ãî èìïóëüñà ÿâëÿåòñÿ ñïëîøíûì.

Èç óñëîâèÿ âçàèìîñâÿçè ìåæäó ÷àñòîòíûìè è âðåìåííûìè õà-

ðàêòåðèñòèêàìè ñèãíàëà ñëåäóåò, ÷òî ñèãíàë ñ îãðàíè÷åííûì ïî

÷àñòîòå ±w

ñïåêòðîì ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû (ðèñ. 9.5, à) èìååò

áåñêîíå÷íóþ ïðîòÿæåííîñòü è ôîðìó, àíàëîãè÷íóþ ñïåêòðó ïðÿìî-

óãîëüíîãî èìïóëüñà (ðèñ. 9.5, á).

Ñïåêòð ðàäèîèìïóëüñà (ðèñ. 9.6) ìîæíî íàéòè êàê ïðîèçâåäå-

íèå âèäåîèìïóëüñà ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû (ðèñ. 9.7) è ãàðìîíè÷å-

ñêîãî êîëåáàíèÿ (9.43). Òîãäà, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé ñâåðòêè

(9.30), ïîëó÷èì: