Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

201

Ðèñ. 8.1

ò. å. åäèíè÷íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ ðàâ-

íà ïðîèçâîäíîé åäèíè÷íîé ôóíêöèè. Òàê

êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ öåïü ïðåäïîëàãàåòñÿ

ëèíåéíîé, òî ñîîòíîøåíèå (8.1) ñîõðàíÿ-

åòñÿ è äëÿ èìïóëüñíûõ è ïåðåõîäíûõ

ðåàêöèé öåïè

()

(

)

()

g (8.2)

ò. å. èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò ïåðåõîä-

íîé õàðàêòåðèñòèêè öåïè.

Óðàâíåíèå (8.2) ñïðàâåäëèâî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà g(0) = 0 (íóëå-

âûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ öåïè). Åñëè æå g(0) ¹ 0, òî ïðåäñòàâèâ

g(t) â âèäå g(t) =

(

)

(

)

(

)

, ãäå

(

)

= 0, ïîëó÷èì óðàâ-

íåíèå ñâÿçè äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

tttt

¢¢

==+d

ggg (8.3)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðåõîäíûõ è èìïóëüñíûõ õàðàêòåðèñòèê öåïè

ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê êëàññè÷åñêèé, òàê è îïåðàòîðíûé ìåòîäû.

Ñóùíîñòü êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè âðåìåííîé

ðåàêöèè öåïè (â ôîðìå íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà â îòäåëüíûõ âåòâÿõ

öåïè) íà âîçäåéñòâèå åäèíè÷íîé 1(t) èëè èìïóëüñíîé d(t) ôóíê-

öèè. Îáû÷íî êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì óäîáíî îïðåäåëÿòü ïåðåõîäíóþ

õàðàêòåðèñòèêó g(t), à èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó h(t) íàõîäèòü

ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ñâÿçè (8.2), (8.3) èëè îïåðàòîðíûì ìåòîäîì.

Ïðèìåð. Íàéäåì êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì ïåðåõîäíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïî

íàïðÿæåíèþ äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 8.1. ×èñëåííî g

(t) äëÿ äàííîé

öåïè ñîâïàäàåò ñ íàïðÿæåíèåì íà åìêîñòè ïðè ïîäêëþ÷åíèè åå â ìîìåíò t = 0

ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿ U

= l Â:

(

)

( )

()

Çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ u

(t) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (6.27), ãäå

íåîáõîäèìî ïîëîæèòü U = l Â:

( )

-t

Ïðè íàõîæäåíèè õàðàêòåðèñòèê g(t) è h(t) îïåðàòîðíûì ìåòî-

äîì ïîëüçóþòñÿ èçîáðàæåíèÿìè ôóíêöèé 1(t), d(t) è ìåòîäèêîé

ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, èçëîæåííûõ â ãë. 7.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèì îïåðàòîðíûì ìåòîäîì ïåðåõîäíóþ õàðàêòåðèñòèêó

(t) RÑ-öåïè (ñì. ðèñ. 8.1). Äëÿ äàííîé öåïè â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Îìà

â îïåðàòîðíîé ôîðìå (7.35) ìîæåì çàïèñàòü:

( )

g 

202

ãäå

( )

(

)

( ) ( )

ZpRCp

pRpC

===

(8.4)

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

( )

RCp

Îòñþäà ïî òåîðåìå ðàçëîæåíèÿ (7.31) íàõîäèì

( )

-t

=-g

ò. å. òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è ïîëó÷åííîå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà I(ð) â óðàâíåíèè (8.4) ÷èñëåííî

ðàâíà èçîáðàæåíèþ ïåðåõîäíîé ïðîâîäèìîñòè. Àíàëîãè÷íîå èçî-

áðàæåíèå èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ÷èñëåííî ðàâíî îïåðàòîðíîé

ïðîâîäèìîñòè öåïè

()

( )

()

( )

hIY

==

Íàïðèìåð, äëÿ RÑ-öåïè (ñì. ðèñ. 8.1) èìååì:

()

( )

ZRpCRCp

===



Ïðèìåíèâ ê Y(p) òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ (7.30), ïîëó÷èì:

()

-t

=- (8.5)

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ôîðìóëà (8.5) îïðåäåëÿåò ñâîáîäíóþ ñî-

ñòàâëÿþùóþ ðåàêöèè öåïè ïðè åäèíè÷íîì èìïóëüñíîì âîçäåé-

ñòâèè. Â îáùåì ñëó÷àå â ðåàêöèè öåïè, êðîìå ýêñïîíåíöèàëüíûõ

ñîñòàâëÿþùèõ ñâîáîäíîãî ðåæèìà ïðè t > 0 ïðèñóòñòâóåò èìïóëüñ-

íîå ñëàãàåìîå, îòîáðàæàþùåå âîçäåéñòâèå ïðè t = 0 åäèíè÷íîãî

èìïóëüñà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî äëÿ RÑ-êîíòóðà (ñì.

ðèñ. 8.1) ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïî òîêó ïðè U = 1(t) ñîãëàñ-

íî (6.28) áóäåò

() ()

-t

=×

g (8.6)

òî ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (8.6) ñîãëàñíî (8.2) ïîëó÷àåì èì-

ïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó RÑ-öåïè h

(t) â âèäå

( ) ( ) ( )

1111

hee

ttt

RCRC

-t-t

=-=d-

(8.7)

ò. å. ðåàêöèÿ h

(t) ñîäåðæèò äâà ñëàãàåìûõ % èìïóëüñíîå è ýêñïî-

íåíöèàëüíîå.

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â (8.7) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè

t = 0 â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ íà öåïü èìïóëüñíîãî íàïðÿæåíèÿ

203

Òàáëèöà 8.1

Ñõåìà

Ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

(t)

Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

(t)

()

( )

ptpt

pepe

( )

pepe

( )

ptpt

( )

pepe

()

( )

212

pepe

d(t) çàðÿäíûé òîê ìãíîâåííî äîñòèãàåò áåñêîíå÷íî áîëüøîãî çíà-

÷åíèÿ, ïðè ýòîì çà âðåìÿ îò 0

äî 0

ýëåìåíòó åìêîñòè ïåðåäàåòñÿ

êîíå÷íûé çàðÿä è îíà ñêà÷êîì çàðÿæàåòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ I/RC.

Âòîðîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò ñâîáîäíûé ïðîöåññ â öåïè ïðè t > 0 è

îáóñëîâëåíî ðàçðÿäîì êîíäåíñàòîðà ÷åðåç êîðîòêîçàìêíóòûé âõîä

204

()

(0)

()

(0)=

()=

120

Ðèñ. 8.2

Ðèñ. 8.3

(òàê êàê ïðè t > 0 d(t) = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíî ÊÇ âõîäà) ñ ïîñòîÿí-

íîé âðåìåíè t = RC. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðè d(t)-èìïóëüñíîì

âîçäåéñòâèè íà RÑ-öåïü íàðóøàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü çàðÿäà íà åì-

êîñòè (âòîðîé çàêîí êîììóòàöèè). Àíàëîãè÷íî íàðóøàåòñÿ è óñëî-

âèå íåïðåðûâíîñòè òîêà â èíäóêòèâíîñòè (ïåðâûé çàêîí êîììóòà-

öèè), åñëè ê öåïè, ñîäåðæàùåé ýëåìåíò èíäóêòèâíîñòè âîçäåéñòâî-

âàòü íàïðÿæåíèåì â âèäå d(t).

Â òàáë. 8.1 ñâåäåíû çíà÷åíèÿ ïåðåõîäíîé è èìïóëüñíûõ õàðàê-

òåðèñòèê ïî òîêó è íàïðÿæåíèþ äëÿ íåêîòîðûõ öåïåé ïåðâîãî è

âòîðîãî ïîðÿäêà.

8.2. Èíòåãðàë Äþàìåëÿ

Èíòåãðàë Äþàìåëÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí, åñëè àïïðîêñèìèðîâàòü

ïðèëîæåííîå âîçäåéñòâèå f

(t) ñ ïîìîùüþ åäèíè÷íûõ ôóíêöèé,

ñäâèíóòûõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà íà âðåìÿ Dt (ðèñ. 8.2).

Ðåàêöèÿ öåïè íà êàæäîå ñòóïåí÷àòîå âîçäåéñòâèå îïðåäåëèòñÿ

êàê

( ) ( ) ()

( ) ( )

.............

ktk

Dt-Dt

Ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ öåïè íà ñèñòåìó ñòóïåí÷àòûõ âîçäåé-

ñòâèé íàéäåòñÿ, èñõîäÿ èç ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ:

() ()

( )

() ()

( )

2221

fffff

ktk

=+=+D

Dt-Dt

åå

ãäå ï % ÷èñëî àïïðîêñèìèðóþùèõ ó÷àñòêîâ, íà êîòîðûå ðàçáèò

èíòåðâàë 0 ... t. Äîìíîæèâ è ðàçäåëèâ âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïîä

çíàêîì ñóììû, íà Dt è ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ïðè

Dt ® 0 kDt ® t, ïîëó÷èì îäíó èç ôîðì èíòåãðàëà Äþàìåëÿ:

205

() ( ) ()

( )

() () () ( )

lim

ffd

Dt®

=+Dt=

-Dt

=+t

t-t

(8.8)

Óðàâíåíèå (8.8) îòðàæàåò ðåàêöèþ öåïè íà çàäàííîå âîçäåéñò-

âèå, ïîñêîëüêó ïðè Dt ® 0 àïïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ

ê èñõîäíîé.

Âòîðàÿ ôîðìà èíòåãðàëà Äþàìåëÿ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïî-

ìîùüþ òåîðåìû ñâåðòêè (ñì. § 7.1):

() ( ) () ( ) ()

211

fffd

ttt

=+t

-tt

gg (8.9)

Íàêîíåö, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â óðàâíå-

íèÿõ (8.8) è (8.9), ïîëó÷àåì òðåòüþ è ÷åòâåðòóþ ôîðìû èíòåãðàëà

Äþàìåëÿ:

() () () () ( )

211

;

fffd

ttt

=+t

t-t

(8.10)

() () () ( ) ()

211

fffd

ttt

=+t

-tt

gg (8.11)

Ïðèìåíåíèå òîé èëè èíîé ôîðìû èíòåãðàëà Äþàìåëÿ äèêòó-

åòñÿ óäîáñòâîì è ïðîñòîòîé âû÷èñëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíûõ âû-

ðàæåíèé.

Ïðèìåð. Çàïèøåì ðåàêöèþ öåïè (ñì. ðèñ. 8.1) íà íàïðÿæåíèå, èçîáðà-

æåííîå íà ðèñ. 8.3 ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Äþàìåëÿ (8.8). Ïåðåõîäíàÿ õàðàêòå-

ðèñòèêà äàííîé öåïè èìååò âèä

( )

tRC

g .

Ïîñëå íàõîæäåíèÿ ïåðåõîäíîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåì ÷èñëî ó÷àñòêîâ

èíòåãðèðîâàíèÿ, ãäå ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è äèôôåðåíöèðóåìà. Îïðåäå-

ëÿåì çíà÷åíèå

(

)

íà ýòèõ ó÷àñòêàõ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî âîçäåéñòâèÿ

òàêèõ ó÷àñòêîâ áóäåò òðè:

 ,

ttt

 ,

<¥

 . Íåîáõîäèìîñòü

âêëþ÷åíèÿ òðåòüåãî ó÷àñòêà îáúÿñíÿåòñÿ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî íå-

ñìîòðÿ íà ïðåêðàùåíèå âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ â ñèëó ïåðåõîäíûõ ïðîöåñ-

ñîâ (ñì. ãë. 6) â öåïè áóäåò íàáëþäàòüñÿ îñòàòî÷íàÿ ðåàêöèÿ. Äëÿ êàæäî-

ãî èç âûäåëåííûõ ó÷àñòêîâ çàïèøåì óðàâíåíèå (8.8) ñ ó÷åòîì ðåàêöèé

ïðåäûäóùèõ ó÷àñòêîâ:

íà ó÷àñòêå



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2010

2101

2010

;

tRC

uUud

URC

ttt

teRCU

éù

=+t=+

t-t

êú

ëû

éù

++ -

êú

ëû

íà ó÷àñòêå

ttt



206

()

)

()

)

()

(0)

()

Ðèñ. 8.4 Ðèñ. 8.5

( ) ( ) ( ) ( )

( )

210120

2010

;

tRC

uUudU

ttt

eRCU

=+t=+

t-t

éù

êú

ëû

íà ó÷àñòêå

<¥



( ) ( ) ( ) ( )

( )

210120

2010

2001

tRC

uUudU

ttt

eRCUeU

=+t-=

t-t

éù

=+-

êú

ëû

uuu

ggg

Â ñëó÷àå, êîãäà âîçäåéñòâèå ïðèêëàäûâàåòñÿ ê àêòèâíîé öåïè

(ðèñ. 8.4, à), ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ìîæíî âåñòè ìåòîäîì

íàëîæåíèÿ. Ïðè ýòîì âíà÷àëå ðàñ÷åò âåäåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà

Äþàìåëÿ äëÿ ïàññèâíîé öåïè (ðèñ. 8.4, á), çàòåì îïðåäåëÿåòñÿ

êëàññè÷åñêèì èëè îïåðàòîðíûì ìåòîäîì ðåàêöèÿ öåïè ïðè âêëþ÷å-

íèè ðàññìàòðèâàåìîé âåòâè ê àêòèâíîìó äâóõïîëþñíèêó

(ðèñ. 8.4, â). Ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ íàõîäèòñÿ êàê ñóììà ðåàê-

öèé:

iii

¢¢¢

8.3. Èíòåãðàë íàëîæåíèÿ

Ïðè íàõîæäåíèè ðåàêöèè öåïè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà íàëîæåíèÿ

èñïîëüçóåòñÿ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè h(t). Äëÿ ïîëó÷åíèÿ

îáùåãî âûðàæåíèÿ èíòåãðàëà íàëîæåíèÿ àïïðîêñèìèðóåì âõîäíîé

ñèãíàë f

(t) ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû åäèíè÷íûõ èìïóëüñîâ äëèòåëüíî-

207

ñòè dt, àìïëèòóäû f

(t) è ïëîùàäè f

(t)dt (ðèñ. 8.5). Âûõîäíàÿ

ðåàêöèÿ öåïè íà êàæäûé èç åäèíè÷íûõ èìïóëüñîâ

(

)

(

)

(

)

dffhd

t-t

Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï íàëîæåíèÿ, íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñóììàðíóþ

ðåàêöèþ öåïè íà ñèñòåìó åäèíè÷íûõ èìïóëüñîâ:

() () ( ) ( ) ()

211

ffhdfhd

ttt

=t=t

t-t-tt

òò

(8.12)

Èíòåãðàë (8.12) íîñèò íàçâàíèå èíòåãðàëà íàëîæåíèÿ

. Ìåæäó

èíòåãðàëàìè íàëîæåíèÿ è Äþàìåëÿ ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü, îï-

ðåäåëÿåìàÿ ñâÿçüþ (8.3) ìåæäó èìïóëüñíîé h(t) è ïåðåõîäíîé g(t)

õàðàêòåðèñòèêàìè öåïè. Ïîäñòàâèâ, íàïðèìåð, çíà÷åíèå h(t) èç

(8.3) â ôîðìóëó (8.12) ñ ó÷åòîì ôèëüòðóþùåãî ñâîéñòâà d-ôóíêöèè

(7.23), ïîëó÷èì èíòåãðàë Äþàìåëÿ â ôîðìå (8.11).

Ïðèìåð. Íà âõîä RÑ-öåïè (ñì. ðèñ. 8.1) ïîäàåòñÿ ñêà÷îê íàïðÿæåíèÿ U

Îïðåäåëèòü ðåàêöèþ öåïè íà âûõîäå ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëîâ íàëîæåíèÿ

(8.12) è Äþàìåëÿ (8.11).

Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äàííîé öåïè ðàâíà (ñì. òàáë. 8.1): h

(t) =

= (1/RC)e

. Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ h

(t $ t) = (1/RC)e

$(t

)

â ôîðìóëó

(8.12), ïîëó÷àåì:

( )

tRC

uedU

-t

=t=

Àíàëîãè÷íî ðåçóëüòàò ïîëó÷àåì ïðè èñïîëüçîâàíèè ïåðåõîäíîé ôóíêöèè

äàííîé öåïè è èíòåãðàëà Äþàìåëÿ (8.11):

(

)

(

)

(

)

211

tRC

uUU

Åñëè íà÷àëî âîçäåéñòâèÿ íå ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì îòñ÷åòà âðå-

ìåíè, òî èíòåãðàë (8.12) ïðèíèìàåò âèä

() () ( ) ( ) ()

211

ffhdfhd

ttt

-¥-¥

=t=t

t-t-tt

òò

(8.13)

Èíòåãðàëû íàëîæåíèÿ (8.12) è (8.13) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé

ñâåðòêó âõîäíîãî ñèãíàëà ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïè è

øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è òåîðèè ïåðå-

äà÷è ñèãíàëîâ. Åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âõîä

íîé ñèãíàë f

(t) êàê áû âçâåøèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè h(t%t):

÷åì ìåäëåííåå óáûâàåò ñî âðåìåíåì h(t), òåì áîëüøåå âëèÿíèå íà

âûõîäíîé ñèãíàë îêàçûâàåò áîëåå óäàëåííûå îò ìîìåíòà íàáëþ-

äåíèÿ çíà÷åíèå âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ.

Óðàâíåíèÿ (8.12) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è íåïîñðåäñòâåííî ïóòåì ïðèìåíåíèÿ òåîðå-

ìû ñâåðòêè (ñì. § 7.1) ê èçîáðàæåíèþ f

(t) è h(t).

208

t-t

()

(-)

)

t-t

)

(

)

(

)

-t

Ðèñ. 8.6

Íà ðèñ. 8.6, à ïîêàçàí ñèãíàë f

(t) è èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðè-

ñòèêà h(t%t), ÿâëÿþùàÿñÿ çåðêàëüíûì îòîáðàæåíèåì h(t), à íà

ðèñ. 8.6, á ïðèâåäåíà ñâåðòêà ñèãíàëà f

(t) ñ ôóíêöèåé h(t%t) (çà-

øòðèõîâàííàÿ ÷àñòü), ÷èñëåííî ðàâíàÿ ðåàêöèè öåïè â ìîìåíò t.

Èç ðèñ. 8.6 âèäíî, ÷òî îòêëèê íà âûõîäå öåïè íå ìîæåò áûòü êîðî-

÷å ñóììàðíîé äëèòåëüíîñòè ñèãíàëà t

è èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè

. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû âûõîäíîé ñèãíàë íå èñêàæàëñÿ èì-

ïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè äîëæíà ñòðåìèòüñÿ ê d-ôóíêöèè.

Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî â ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé öåïè ðåàêöèÿ íå

ìîæåò âîçíèêíóòü ðàíüøå âîçäåéñòâèÿ. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èì-

ïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé öåïè äîëæíà

óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ

(

)

ïðè 0.

(8.14)

Äëÿ ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé óñòîé÷èâîé öåïè êðîìå òîãî äîëæ-

íî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè èìïóëüñíîé

õàðàêòåðèñòèêè:

()

-¥

<¥

(8.15)

Åñëè âõîäíîå âîçäåéñòâèå èìååò ñëîæíóþ ôîðìó èëè çàäàåòñÿ

ãðàôè÷åñêè, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðåàêöèè öåïè âìåñòî èíòåãðàëà

ñâåðòêè (8.12) ïðèìåíÿþò ãðàôîàíàëèòè÷åñêèå ñïîñîáû.

Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1. Äàòü îïðåäåëåíèÿ ïåðåõîäíîé è èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèê öåïè.

2. Óêàçàòü ñâÿçü ìåæäó èìïóëüñíîé è ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêàìè.

3. Êàê îïðåäåëèòü ïåðåõîäíóþ è èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó öåïè?

4. Â ÷åì îòëè÷èå ïåðåõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê

(

)

(

)

(

)

,,,

ttt

uiz

ggg

(

)

g , îáúÿñíèòü èõ ôèçè÷åñêèé ñìûñë.

5. Êàê îïðåäåëèòü, êàêóþ èç ÷åòûðåõ ðàçíîâèäíîñòåé ïåðåõîäíûõ

èëè èìïóëüñíûõ õàðàêòåðèñòèê íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü â êàæ-

äîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïðè ðàñ÷åòå ðåàêöèè öåïè?

209

6. Â ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñóùíîñòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ñ

èñïîëüçîâàíèåì g(t) è h(t)?

7. Êàê îïðåäåëèòü ðåàêöèþ öåïè, åñëè âîçäåéñòâèå èìååò ñëîæíóþ

ôîðìó?

8. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü öåïü ïðè èñïîëüçîâàíèè

èíòåãðàëà Äþàìåëÿ?

9. Ïðèâåäèòå äðóãóþ ôîðìó èíòåãðàëà íàëîæåíèÿ, îòëè÷íóþ îò (8.12).

10. Ðàñ÷åò ðåàêöèè öåïè ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëîâ Äþàìåëÿ è

íàëîæåíèÿ ïðèâîäèò ê îäèíàêîâûì ðåçóëüòàòàì èëè ðàçíûì?

11. Îïðåäåëèòü ïåðåõîäíóþ ïðîâîäèìîñòü öåïè, îáðàçîâàííîé ñîïðî-

òèâëåíèåì è èíäóêòèâíîñòüþ, âêëþ÷åííûìè ïîñëåäîâàòåëüíî.

Îòâåò:

(

)

(

)

(

)

12. Îïðåäåëèòü

(

)

g öåïè, îáðàçîâàííîé ñîïðîòèâëåíèåì è åìêî-

ñòüþ, âêëþ÷åííûìè ïîñëåäîâàòåëüíî.

Îòâåò:

()

( )

13. Ïîëó÷èòü òðåòüþ ôîðìó èíòåãðàëà Äþàìåëÿ (8.10) èç óðàâíå-

íèÿ ñâåðòêè (8.10).

ÃËÀÂÀ 9. ×ÀÑÒÎÒÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÀÍÀËÈÇÀ ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÕ

ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Â ËÈÍÅÉÍÛÕ ÖÅÏßÕ

9.1. Èíòåãðàë Ôóðüå

Äëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè âîçäåéñòâèè íà öåïü

ñèãíàëîâ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû íàðÿäó ñ âðåìåííûì è îïåðàòîðíûì

ìåòîäîì øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ÷àñòîòíûé ìåòîä àíàëèçà, áàçè-

ðóþùèéñÿ íà ñïåêòðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñèãíàëà.

Äëÿ íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ èñïîëüçóþòñÿ ñïåêòðàëüíûå

ïðåäñòàâëåíèÿ, îñíîâàííûå íà ïàðå ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå. Ïðåîá-

ðàçîâàíèå Ôóðüå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì îò

ðÿäà Ôóðüå (5.6). Äëÿ ýòîãî çàäàäèì íåïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë f(t),

óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòè â áåñêî-

íå÷íûõ ïðåäåëàõ (ðèñ. 9.1):

( )

-¥

<¥

. Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè

çðåíèÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çàäàåòñÿ ðåàëèçóåìûé ñèãíàë ñ êîíå÷íîé

ýíåðãèåé; ïðè ýòîì

()

< (9.1)

ãäå Ì, ñ

% ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû.

Óñëîâèå (9.1) îçíà÷àåò, ÷òî ìîäóëü |f(t)| èìååò îãðàíè÷åííûé

ïîêàçàòåëü ðîñòà. Ïðåâðàòèì ìûñëåííî ýòîò ñèãíàë â ïåðèîäè÷å-

210

()

TTT

Ðèñ. 9.1

ñêèé ïîâòîðåíèåì åãî ÷åðåç ïåðèîä Ò

(ñì. ðèñ. 9.1). Ê ïîëó÷åííîìó òàêèì

îáðàçîì ñèãíàëó ïðèìåíèìî ðàçëî-

æåíèå (5.6), êîòîðîå ïîñëå ïåðåõîäà ê

ïåðåìåííîé t ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

()

jkt

fAe

=-¥

(9.2)

ãäå

()

;2.

jkt

AfedtT

-w

==pw

(9.3)

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè À

â óðàâíåíèå (9.2) ñ ó÷åòîì (9.3) ïîëó÷àåì

()

jkt

fedt

-w

=-¥

éù

êú

ëû

(9.4)

Ïåðåõîäÿ â óðàâíåíèè (9.4) ê ïðåäåëó ïðè T ® ¥ è ó÷èòûâàÿ,

÷òî ïðè ýòîì w

® dw è kw

® w, à ñóììà âûðîæäàåòñÿ â èíòå-

ãðàë, ïîëó÷àåì äëÿ èñõîäíîãî ñèãíàëà

() () ()

lim.

jtjt

ffedfedt

ttt

¥¥

w-w

®¥

-¥-¥

==w

òò

(9.5)

Âíóòðåííèé èíòåãðàë â óðàâíåíèè (9.5) íîñèò íàçâàíèå ñïåêòðà

ñèãíàëà F(jw):

( )

()

Ffedt

-w

-¥

(9.6)

Òîãäà ôîðìóëà (9.5) ïðèíèìàåò âèä

()

( )

fFed

-¥

(9.7)

Óðàâíåíèÿ (9.6) è (9.7) ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè â òåîðèè ñïåêò-

ðàëüíîãî àíàëèçà, ïðè÷åì (9.6) íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, à (9.7) % îá-

ðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Ïî àíàëîãèè ñ À

ñïåêòð F(jw)

ÿâëÿåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû è ìîæåò

áûòü çàïèñàí â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå

(

)

(

)

(

)

FAjB

=w-w

(9.8)

è ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå

( ) ( )

(

)

FFe

-jw

(9.9)

ãäå

( )

()

( )

()

cos;sin.

AftdtBftdt

¥¥

-¥-¥

w=ww=w

òò

(9.10)