Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание
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171
c
c
1
sin;
t
iUet
L
-a
=-w
w
(6.55)
( )
0
c
c
sin.
t
L
uUe
t
-a
w
=
w-q
w
(6.56)
Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå èìååò
ìåñòî êîëåáàòåëüíûé ðàçðÿä åìêîñòè ñ ÷àñòîòîé w
ñ
, çàâèñÿùåé
òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ R, L, Ñ öåïè. Èíòåðâàë âðåìåíè Ò
c
= 2p/w
ñ
íîñèò íàçâàíèå êâàçèïåðèîäà. Íà ðèñ. 6.13 èçîáðàæåíû ãðàôèêè
çàâèñèìîñòåé u
C
(t) è i(t) îïðåäåëÿåìûõ óðàâíåíèÿìè (6.54) è
(6.55). Ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîöåññà ïðèíÿòî õà-
ðàêòåðèçîâàòü äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ, êîòîðûé îïðåäåëÿþò êàê
îòíîøåíèå äâóõ ñîñåäíèõ àìïëèòóä òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ îäíîãî
çíàêà (ñì. ðèñ. 6.13):
(
)
( )
c
c
.
C
T
C
u
t
e
u
tT
-a
D==
+
(6.57)
Íà ïðàêòèêå ÷àùå èñïîëüçóåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çà-
òóõàíèÿ
c
22
ln.
4
R
T
R
a
p
d=D=a=
r-
(6.58)
Èç óðàâíåíèé (6.57) è (6.58) ñëåäóåò, ÷òî çàòóõàíèå òåì áîëü-
øå, ÷åì áîëüøå R. Ïðè R = 2r êîëåáàíèÿ ïðåêðàùàþòñÿ è ïåðå-
õîäíîé ïðîöåññ ñòàíîâèòñÿ àïåðèîäè÷åñêèì. Ïðè R = 0 îêàçûâà-
þòñÿ íåçàòóõàþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé w
ñ
= w
0
=
= 1
LC
. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò ÷èñòî òåîðåòè-
÷åñêèé èíòåðåñ, òàê êàê â ëþáîì ðåàëüíîì êîíòóðå èìåþòñÿ ïî-
òåðè. Â ïðîöåññå êîëåáàòåëüíîãî ðàçðÿäà åìêîñòè (ñâîáîäíûõ êî-
ëåáàíèé â RLC-êîíòóðå) èìååò ìåñòî ïîïåðåìåííîå çàïàñàíèå ýíåð-
ãèè W
C
â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå åìêîñòè è ìàãíèòíîì ïîëå èí-
äóêòèâíîñòè W
L
: â íà÷àëå ýíåðãèÿ W
C
ðàñõîäóåòñÿ íà ñîçäàíèå
ìàãíèòíîãî ïîëÿ W
L
èíäóêòèâíîñòè è ïîêðûòèå òåïëîâûõ ïîòåðü
ñîïðîòèâëåíèÿ R, çàòåì çàïàñåííàÿ ýíåðãèÿ W
L
, ðàñõîäóåòñÿ íà
ïåðåçàðÿä åìêîñòè è ïîêðûòèå ïîòåðü â R è ò. ä. äî ïîëíîãî ïå-
ðåõîäà ïåðâîíà÷àëüíîé ýíåðãèè W
c
(0) â òåïëîâûå ïîòåðè â ðå-
çèñòîðå R.
Òðåòèé ñëó÷àé R = 2r ÿâëÿåòñÿ ïîãðàíè÷íûì ìåæäó êîëåáà-
òåëüíûì è àïåðèîäè÷åñêèì è ñîîòâåòñòâóåò êðèòè÷åñêîìó ðàçðÿäó
åìêîñòè. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.39) ïðè ýòîì èìååò âèä (6.8)
ñâ 12
.
ptpt
CC
uuAeAte
==+
(6.59)
Òîê îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
( )
122
,
C
pt
du
iCCe
ApAApt
dt
==
++
(6.60)
172
ãäå p
1
= p
2
= p = %a % êîðíè õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (6.40); À
1
, À
2
%
ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿå-
ìûå èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ u
C
è i è
çàêîíîâ êîììóòàöèè (6.1), (6.2):
1
112
,
0.
UA
ApA
=
=+
Îòñþäà À
2
= aU. Îêîí÷àòåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèÿ è
òîêà ïðèíèìàþò âèä
(
)
;
1
t
C
uUe
t
-a
=
a+
(6.61)
;
t
U
ite
L
-a
=- (6.62)
(
)
.
1
t
L
uUe
t
-a
=
a-
(6.63)
Ïî ñâîåé ôîðìå ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé (6.61)%(6.63) àíàëîãè÷-
íû êðèâûì, èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 6.12 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî
èõ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ áîëüøå, ÷åì ïðè R > 2r. Çíà÷åíèå R = 2r
íîñèò íàçâàíèå êðèòè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðà.
6.5. Âêëþ÷åíèå RLC-êîíòóðà íà ïîñòîÿííîå è
ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå
Âêëþ÷åíèå RLC-êîíòóðà íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå. Ðàññìîò-
ðèì ñëó÷àé íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé u
C
(0
$
) = 0, i(0
$
) = 0, êîã-
äà RLC-êîíòóð âêëþ÷àåòñÿ íà ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 6.14).
Îòëè÷èå äàííîãî ñëó÷àÿ îò ðàññìîòðåííîãî âûøå çàêëþ÷àåòñÿ â
íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è íàëè÷èè ïðèíóæäåííîé ñîñòàâëÿþ
ùåé u
Cïð
= U. Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ u
Cñâ
îïðåäåëÿåòñÿ, êàê è
ðàíåå, óðàâíåíèÿìè (6.43), (6.51) èëè (6.59) â çàâèñèìîñòè îò âèäà
êîðíåé ð
1
è ð
2
. Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ À
1
è À
2
íàõîäÿòñÿ ïðè
ýòîì èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé i(0
$
) = 0, u
C
(0
$
) = 0 è çàêîíîâ êîììó-
òàöèè äëÿ i è u
C
. Îïðåäåëèì, íàïðèìåð, çàêîí èçìåíåíèÿ u
C
, i è
u
L
â ñëó÷àå, êîãäà êîðíè ð
1
è ð
2
% âåùåñòâåííûå è ðàçëè÷íûå.
Ïðè ýòîì u
Cñâ
îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì (6.43), à íàïðÿæåíèå u
C
è òîê i èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
12
12
ñâïð12
1122
,
.
ptpt
CCC
C
ptpt
uuuAeAeU
du
iCApeApe
dt
=+=++
ü
ï
ý
==+
ï
þ
(6.64)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ À
1
è À
2
èñïîëüçóåì íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ u
C
(0
$
) = 0 è i(0
$
) = 0, à òàêæå çàêîíû êîììóòàöèè, îïðå-
äåëÿåìûå âûðàæåíèÿìè (6.1),(6.2):
u
L
C
R
i
U
+
u
C
L
K
u
R
Ðèñ. 6.14
173
}
12
1122
0,
0.
AAU
ApAp
=++
=+
(6.65)
Òîãäà
(
)
(
)
1221
1212
;.
AUpAUp
pppp
==-
--
(6.66)
Îêîí÷àòåëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ è
Ñ
, i, è
L
èìåþò âèä
( )
21
12
12
;
ptpt
C
U
uU
pepe
pp
=-
-
-
(6.67)
( )
( )
21
12
;
ptpt
U
i
ee
L
pp
=-
-
-
(6.68)
( )
12
12
12
.
ptpt
L
U
u
pepe
pp
=
-
-
(6.69)
Íà ðèñ. 6.15 èçîáðàæåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé (6.67)%(6.69),
ãäå ìîìåíòû âðåìåíè t
1
è t
2
îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè (6.49).
Ñðàâíåíèå ôîðìóë (6.67)%(6.69) ñ (6.46)%(6.48) ïîêàçûâàåò, ÷òî
òîê i è íàïðÿæåíèå è
L
îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì, à íàïðÿæåíèå
è
Ñ
% íàëè÷èåì ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé U.
Àíàëîãè÷íûì ìîæíî íàéòè óðàâíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêà äëÿ
ñëó÷àÿ R < 2r:
( )
0
c
c
;
1sin
t
C
uU
e
t
-a
w
éù
=
-
w+q
êú
w
ëû
(6.70)
c
c
sin;
t
U
iet
L
-a
=w
w
(6.71)
( )
0
c
c
sin.
t
L
uUe
t
-a
w
=-
w-q
w
(6.72)
Íà ðèñ. 6.15 øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü (6.70),
êîòîðàÿ ñâèäåòåëüñòâóåò î êîëåáàòåëüíîì õàðàêòåðå çàðÿäà åì-
êîñòè. Òàêèì æå îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿ u
C
, i è
u
L
äëÿ ñëó÷àÿ êðèòè÷åñêîãî çàðÿäà åìêîñòè Ñ ïðè R = 2r.
Âêëþ÷åíèå RLC-êîíòóðà íà ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå. Ïðè
âêëþ÷åíèè RLC-êîíòóðà íà ãàðìîíè-
÷åñêîå íàïðÿæåíèå u = U
m
sin(wt +
+ j
u
) ïðèíóæäåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè
(
)
ïð
sin,
CmC
C
uU
t
=
w+j
(6.73)
ãäå j
C
= j
u
+ j % p/2. Çäåñü ôàçî-
âûé ñäâèã ìåæäó òîêîì â êîíòóðå è
ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì
(
)
arctg,
1
R
LC
j=
w-w
(6.74)
t
u
C
()
t
i
()
t
0
U
i
m
u
L
()
t
ui
,
t
1
t
2
u
C
ïð
Ðèñ. 6.15
174
à àìïëèòóäà ïðèíóæäåííîãî íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè
( )
2
2
11
.
1
m
mCmC
U
UI
CC
R
LC
=×=×
ww
+
w-w
(6.75)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîëåáàòåëüíûé êîíòóð â ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñò-
ðîéñòâàõ, êàê ïðàâèëî èìååò âûñîêóþ äîáðîòíîñòü, ò. å. âûïîë-
íÿåòñÿ óñëîâèå R
=
2r, òî ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ u
Cñâ
îïðåäåëÿ-
åòñÿ óðàâíåíèåì (6.51), è çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè
áóäåò èìåòü âèä
(
)
(
)
c
sinsin.
t
CmC
C
uUAe
t
t
-a
=+
w+j
w+q
(6.76)
Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ îò âûðàæåíèÿ (6.76), è ó÷òÿ, ÷òî äëÿ çàäàí-
íîãî êîíòóðà
0
C
aw»w
=
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå òîêà
( )
( )
0
0
coscos.
C
t
mC
C
du
t
iCICAe
t
dt
-a
w+q
=»+w
w+j
(6.77)
Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ A è q íàõîäèì èç íà÷àëüíûõ óñ-
ëîâèé è çàêîíîâ êîììóòàöèè:
(
)
(
)
( ) ( )
0
0sinsin,
00
0coscos.
00
CCmCC
mCC
uuUA
iiICA
-+
-+
===j+q
ü
ý
===j+wq
þ
(6.78)
Îòêóäà
2
22
0
sincos;
mC
ÑÑ
AU
w
æö
=j+j
ç÷
w
èø
(6.79)
{
}
0
tg
arctg.
wjw
q= (6.80)
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ À è q èç óðàâíåíèé (6.79), (6.80) â (6.76) è
(6.77), ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíûé çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà
åìêîñòè è òîêà â RLC-êîíòóðå:
( )
( )
( )
2
22
0
0
sinsincos
sin;
CmCmCCC
C
t
uUU
t
t
e
-a
ww
=+j+j×
w+j
w+q
×
(6.81)
( )
( )
( )
2
22
0
0
cossincos
cos.
mCmCCC
C
t
iII
t
t
e
-a
ww
=+j+j×
w+j
w+q
×
(6.82)
Àíàëèç óðàâíåíèé (6.81), (6.82) ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà
÷àñòîòà ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ w ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò ðåçî-
íàíñíóþ ÷àñòîòó êîíòóðà w
0
ïðè j
C
» 0 â öåïè ìîãóò âîçíèêíóòü
ñâåðõíàïðÿæåíèÿ, à â ñëó÷àå
0
ww
=
è j
C
» p/2 % ñâåðõòîêè.
Åñëè ÷àñòîòà çàäàþùåãî íàïðÿæåíèÿ w = w
0
, òî ïðè ýòîì â
öåïè âîçíèêàþò ÿâëåíèÿ èçîõðîíèçìà, êîãäà íàïðÿæåíèå íà åì-
êîñòè è òîê â êîíòóðå ïëàâíî èçìåíÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâ-
íåíèÿìè:
175
( )
(
)
0
sin;
1
t
C
CmC
t
uU
e
-a
w+j
=
-
(6.83)
( )
(
)
0
cos.
1
t
C
mC
t
iI
e
-a
w+j
=
-
(6.84)
Ïðè ýòîì ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðîòåêàåò áåç ïåðåíàïðÿæåíèé è
ñâåðõòîêîâ (ðèñ. 6.16, à).
 ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòà çàäàííîãî íàïðÿæåíèÿ w è ðåçîíàíñíàÿ
÷àñòîòà êîíòóðà w
0
áëèçêè ìåæäó ñîáîé, òî â êîíòóðå âîçíèêàþò
ÿâëåíèÿ áèåíèé. Ïîëîæèì, ÷òî a = 0, òîãäà
(
)
(
)
()
( )
0
0
sinsin
sin,
C
CmC
C
C
mC
t
uU
t
t
U
t
w+j
==
+
éù
w+j
ëû
w+j
=
(6.85)
ãäå U
mÑ
(t) = 2U
mÑ
ñosWt % àìïëèòóäà áèåíèé ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé
W = (w % w
0
)/2. Íà ðèñ. 6.16, á, ïîêàçàí ãðàôèê èçìåíåíèÿ íàïðÿ-
æåíèé áèåíèé (6.85).
6.6. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ðàçâåòâëåííûõ öåïÿõ
Ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ðàçâåòâëåííûõ öåïÿõ
êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì ñîñòàâëÿåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ìãíî-
âåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïî ÇÒÊ è ÇÍÊ. Çàòåì ïîëó-
÷åííàÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîîò-
âåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé íåçàâèñèìîé ïå-
ðåìåííîé (è
Ñ
èëè i
L
). Ïîñëå ýòî-
ãî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ðåøà-
åòñÿ ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèÿìè,
ðàññìîòðåííûìè â § 6.2%6.5.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîò-
ðèì ðàçâåòâëåííóþ öåïü âòîðîãî
ïîðÿäêà, èçîáðàæåííóþ íà
ðèñ. 6.17. Äëÿ äàííîé öåïè èìååì
íåíóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:
à
)
t
u
C
0
-U
m
Ñ
T =
2/
pw
0
á
)
t
u
C
0
T =
2/
pw
0
U
mC
()
t
Ðèñ. 6.16
C
K
U
+
i
3
L
i
1
R
1
R
2
I II
i
2
Ðèñ. 6.17
176
u
C
(0
$
) = U; i
L
(0
$
) = 0. Ñîñòàâèì äëÿ íåå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïî
çàêîíàì Êèðõãîôà:
1232
11
222
,
,
.
C
C
C
iiiiCdudt
URiu
uRiLdidt
=+=+
ü
ï
=+
ý
ï
=+
þ
(6.86)
Âûáåðåì â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé i
2
= i
L
è, ðåøàÿ
(6.86) îòíîñèòåëüíî i
2
, ïîëó÷àåì:
2
2
22
2
2
2
11
1
1
,
LR
didiU
RC
LCi
RR
dtdtR
æöæö
++
++=
ç÷ç÷
èøèø
(6.87)
ò. å. âûðàæåíèå (6.87) åñòü íåîäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà, àíàëîãè÷íîå (6.37). Åãî ðåøåíèå, êàê
îáû÷íî, íàõîäèì â âèäå
22
ñâ 2ïð
,
iii
=+
(6.88)
ãäå i
2np
= U/(R
1
+ R
2
), à i
2ñâ
îïðåäåëèì èç ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
2
2ñâ 2ñâ
2
2
2ñâ
2
11
1
0.
didi
LR
RC
LCi
RR
dtdt
æöæö
++
++=
ç÷ç÷
èøèø
(6.89)
Ðåøåíèå ïîñëåäíåãî èìååò âèä, àíàëîãè÷íûé (6.43), (6.51) èëè
(6.59) â çàâèñèìîñòè îò âèäà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ
2
2
2
11
1
0.
LR
RC
LCpp
RR
æöæö
++
++=
ç÷ç÷
èøèø
(6.90)
Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëî-
âèé è çàêîíîâ êîììóòàöèè, ïðè÷åì äëÿ íàõîæäåíèÿ è
Ñ
èñïîëüçó-
åòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (6.86). Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ âåùåñòâåí-
íûõ è ðàçëè÷íûõ êîðíåé ïðè R
1
= R
2
= R ïîëó÷èì
( )
12
12
12
22ïð2ñâ 12
2
2
12
1122
;
2
2
,
ptpt
ptpt
C
ptpt
U
iiiAeAe
R
di
U
uRiLR
AeAe
dt
R
L
pAepAe
=+=++
æö
=+=+
++
ç÷
èø
+
+
ãäå A
1
è À
2
îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé è çàêîíîâ êîì-
ìóòàöèè:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2212
1122
12
0;
00
2
2,
00
CC
U
iiAA
R
uuUULR
pApA
AA
-+
-+
===++
===++
+
+
îòêóäà
177
2
1
12
1
2
12
2
;
2
2
.
2
ULpR
A
RLpp
ULpR
A
RLpp
+
=×
-
+
=-×
-
Íà ðèñ. 6.18 èçîáðàæåíû ãðàôèêè
u
C
(t) è i
2
(t).
Êàê ñëåäóåò èç âûøåóêàçàííî-
ãî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðà ïå-
ðåõîäíîãî ïðîöåññà è çàïèñè óðàâ-
íåíèÿ ñâîáîäíîé ñîñòàâëÿþùåé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé íåîáõî-
äèìî ðàñïîëàãàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì öåïè. Ýòî óðàâ-
íåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç ñîîòâåòñòâóþùåãî äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ öåïè èëè èç àíàëèçà åå îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëå-
íèÿ (ñì. § 7.3). Ïîñëåäíåå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî, åñëè â óðàâíåíèè
äëÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè Z = Z(jw) çàìåíèòü îïåðà-
òîð jw íà ð è ïðèðàâíÿòü åãî ê íóëþ:
(
)
(
)
0.
jp
ZZ
pj
w=
==
w
(6.91)
Íàïðèìåð äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.17, èìååì:
( )
(
)
2
1
2
.
1
jC
RjL
ZZR
j
RjLjC
w
+w
==+
w
+w+w
Îòñþäà
( )
(
)
2
1
2
0,
1
pC
RpL
ZR
p
RpLpC
+
=+=
++
èëè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé
2
2
2
11
1
0,
LR
RC
LCpp
RR
æöæö
++
++=
ç÷ç÷
èøèø
÷òî ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ (6.90).
Òàêèì îáðàçîì, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ïðåîáðàçîâûâàòü ñè-
ñòåìó óðàâíåíèé ê îäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ âûáðàííîé íåçàâèñèìîé
ïåðåìåííîé.
 çàêëþ÷åíèå ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðèìåíåíèå êëàññè÷åñêîãî
ìåòîäà ðàñ÷åòà ê öåïÿì áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà âñòðå÷àåò îïðå-
äåëåííûå òðóäíîñòè. Ãëàâíîå èç íèõ ðåçêî âîçðàñòàþùèé îáúåì
íåîáõîäèìûõ âû÷èñëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì çàäà÷ óðàâíåíèé
âûñîêîãî ïîðÿäêà. Â ýòîé ñâÿçè â ïîñëåäíåå âðåìÿ âñå áîëüøåå
ïðèìåíåíèå íàõîäÿò äðóãèå ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ:
ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé, îïåðàòîðíûé è ÷àñòîòíûå ìåòîäû,
êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå.
i
2
ïð
=UR
/2
t
u
C
()
t
U
0
U
/2
t
1
i
2
()
t
ui
,
Ðèñ. 6.18
178
6.7. Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öå-
ïÿõ øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàõîäèò ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ,
ïîçâîëÿþùèé ïðè ðàñ÷åòàõ ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ÝÂÌ.
Ñóòü ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïè
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òðàåêòîðèÿ â m-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãäå
ò % ïîðÿäîê öåïè) ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé ïðè t = 0 (íà÷àëüíîå
ñîñòîÿíèå) è êîíå÷íîé ïðè t = ¥. Íàïðèìåð, ïåðåõîäíûé ïðî-
öåññ â ïîñëåäîâàòåëüíîì RLC-êîíòóðå (ñì. § 6.4, àïåðèîäè÷å-
ñêèé ðàçðÿä è ðèñ. 6.12) ìîæíî â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ïðåä-
ñòàâèòü êðèâîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.19, ãäå i
L
(0) = 0 è
u
C
(0) = U õàðàêòåðèçóþò íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå öåïè, à i
L
(t) è
u
C
(t) îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå öåïè â ëþáîé çàäàííûé ìîìåíò
âðåìåíè. Äîñòîèíñòâà ýòîãî ìåòîäà % íàãëÿäíîñòü, ïðîñòîòà,
óäîáñòâî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íà ÝÂÌ, âîçìîæíîñòü àíàëèçà êàê
ëèíåéíûõ, òàê è íåëèíåéíûõ öåïåé, à òàêæå öåïåé ñ ïåðåìåí-
íûìè ïàðàìåòðàìè.
Ïîÿñíèì ñóùíîñòü äàííîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå öåïè, íàõîäÿ-
ùåéñÿ ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ: i
L
(0) = i
0
, u
C
(0) = u
0
(ðèñ. 6.20). Äëÿ ýòîé öåïè ïðè t
…
0 ìîæíî çàïèñàòü:
;
,
L
LC
CC
CL
di
uLu
dt
duu
iCi
dtR
==
==--
èëè
1
,
11
.
L
C
C
LC
di
u
dtL
du
iu
dtCRC
ü
=
ï
ý
ï
=--
þ
(6.92)
Óðàâíåíèÿ (6.92) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ñîñòîÿíèÿ öåïè, à i
L
è
u
C
% ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ i
L
(0) = i
0
è
u
C
(0) = u
0
îïðåäåëÿþò ñ ïîìîùüþ (6.92) ñîñòîÿíèÿ öåïè â ëþáîé
ìîìåíò t
…
0. Âåëè÷èíû i
L
è u
C
ìîæíî ñ÷èòàòü êîìïîíåíòàìè âåê-
òîðà ñîñòîÿíèÿ õ:
u
C
U
0
U
1
t
1
i
L
-i
m
t=
0
t=
¥
i
L
L
R
C
i
C
i
R
Ðèñ. 6.19
Ðèñ. 6.20
179
.
L
C
i
u
=x
Òîãäà (6.92) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
() ()
;0,
d
t
tt
dt
==
x
xAx
&
…
(6.93)
ãäå
( )
0
0
01
;.
0
11
Li
CRCu
==
--
Ax
 ñëó÷àå, åñëè öåïü íàõîäèòñÿ ïîñëå êîììóòàöèè ïîä âîçäåéñò-
âèåì èñòî÷íèêîâ, óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïðèíèìàåò âèä
(
)
(
)
(
)
,
ttt
=+
xAxBw
&
(6.94)
ãäå w(t) % âåêòîð âîçäåéñòâèé èñòî÷íèêîâ;  % ìàòðèöà ïàðàìåò-
ðîâ öåïè.
Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ÷åíèÿ RLC-êîíòóðà íà ïîñòîÿííîå
íàïðÿæåíèå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä (6.94), ãäå
()
11
;;const.
100
RLLL
U
t
C
--
====ABW
Çíàÿ ñîñòîÿíèå öåïè õ(t), ðåàêöèþ öåïè y(t) (òîêè è íàïðÿæå-
íèÿ â ëþáîé âåòâè) ìîæíî íàéòè êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåê-
òîðîâ ñîñòîÿíèÿ õ(t) è âõîäíûõ âîçäåéñòâèé w(t):
(
)
(
)
(
)
,
ttt
=+
yCxDw (6.95)
ãäå ó(t) % âåêòîð èñêîìûõ ðåàêöèé öåïè; Ñ, D % ìàòðèöû, çàâè-
ñÿùèå òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ öåïè. Óðàâíåíèå (6.95) íàçûâàþò
óðàâíåíèåì ðåàêöèè öåïè.
Òàê, åñëè â êà÷åñòâå êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ó(t) â ïðåäûäóùåì
ïðèìåðå RLC-êîíòóðà âçÿòü u
R
è u
L
, òî èñêîìûå ðåàêöèè öåïè (u
R
è u
L
) îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñèñòåìå óðàâíåíèé:
}
00,
11,
RLC
LLC
uRiuU
uRiuU
=+×+×
=--×+×
êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå (6.95), ãäå
( )
00
;;.
11
R
L
uR
t
uR
===
--
yCD
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (6.93)%(6.95) ñïðàâåäëè-
âû äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòðèöû À,
Â, Ñ, D íå çàâèñÿò îò t). Äëÿ öåïåé ñ ïåðåìåííûìè ïàðàìåòðàìè
(ïàðàìåòðè÷åñêèå öåïè) ìàòðèöû À(t), B(t), C(t), D(t) ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèÿìè âðåìåíè.
Óðàâíåíèÿ (6.94), (6.95) % îñíîâíûå â ìåòîäå ïåðåìåííûõ ñî-
ñòîÿíèé. Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ
180
êàê àíàëèòè÷åñêèå, òàê è ÷èñëåííûå ìåòîäû. Àíàëèòè÷åñêè óðàâ-
íåíèå (6.94) ìîæåò áûòü ðåøåíî â îáëàñòè êàê äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî t, òàê è êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ð (ñì. § 7.3).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñî-
ñòîÿíèÿ.
Ìåòîä ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò. Ðåøåíèå ýòèì ìåòîäîì èùóò â
ôîðìå
() ()
( )
( )
0
,
0
t
t
t
eed
t
-t
==+tt
ò
AA
xxxBw (6.96)
ãäå å
At
% ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà (ìàòðèöà ïåðåõîäà). Èç (6.96)
ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñîäåðæèò äâà ñëàãàå-
ìûõ: ïåðâîå % ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå; âòî-
ðîå%ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ å
At
îáû÷íî èñïîëüçóþò ðàçëîæåíèå
23
23
2!3!
t
tt
et
=++++
A
IAAA
K
(6.97)
Ïðèìåð. Íàéäåì ìàòðèöó ïåðåõîäà äëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.21.
Ìàòðèöû À è Â äëÿ äàííîé ñõåìû èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
2
1
1
1
0
;.
1
11
RLL
RC
CRC
-
==
--
AB
Ïðèìåì L = 0,55 Ãí, Ñ = 0,5 Ô, R
1
= l Îì, R
2
= 3,5 Îì, å(t) = 1 Â, i
L
=
= 0, u
C
= 1 Â. Òîãäà
720
;.
222
-
==
--
AB
Ñîãëàñíî (6.97) ìàòðèöà ïåðåõîäà ïðèìåò âèä
2
2
22
22
1
107272
012222
2!
1722,5029
.
029120
t
ett
tttt
tttt
--
=+++=
----
-+-+-+
=
-+---++
A
K
KK
KK
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïåðåõîäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòíóþ ìàòðèöó
ïîðÿäêà ï ñ ýëåìåíòàìè â ôîðìå ðÿäîâ îò t. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå å
At
â óðàâíå-
íèå (6.96), ìîæíî îïðåäåëèòü ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ èñêîìîå ðåøåíèå x(t).
Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî ðÿä
(6.97) ñõîäèòñÿ ìåäëåííî è èñïîëüçîâà-
íèå óðàâíåíèÿ (6.96) òðåáóåò áîëüøîãî
îáúåìà âû÷èñëåíèé, ïîýòîìó âìåñòî
(6.96) îáû÷íî èñïîëüçóþò èòåðàöèîííóþ
ïðîöåäóðó äëÿ äèñêðåòíûõ ìîìåíòîâ
âðåìåíè t
n
= nDt = nh, ãäå h = Dt äîñòà-
òî÷íî ìàëûé øàã:
+
i
L
L
C
i
C
i
R
R
1
R
2
u
ã
Ðèñ. 6.21