Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

151

Êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà k-é ãàðìîíèêè ðàâíà ñîãëàñíî (5.8) ïîñëå

âîçâðàùåíèÿ ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé t.

()

( )

1è

sin

jktjkt

AfedtAedt

qkt

-ww

===

òò

(5.27)

Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå A

â óðàâíåíèå (5.6), ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå â

ðÿä Ôóðüå:

()

(

)

1 è

sin

jktjkt

fAee

qkt

¥¥

=-¥=-¥

åå

(5.28)

Íà ðèñ. 5.4 èçîáðàæåí ñïåêòð êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä äëÿ q = 2

è q = 4. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, ñïåêòð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìî-

óãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñêðåòíûé ñïåêòð ñ îãè-

áàþùåé (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ íà ðèñ. 5.4), êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ

ôóíêöèåé

(

)

(

)

sin,

ãäå ,

fxxxxkq

==p

(5.29)

íîñÿùåé íàçâàíèå ôóíêöèè îòñ÷åòîâ (ñì. ãë. 19). ×èñëî ñïåêòðàëü-

íûõ ëèíèé ìåæäó íà÷àëîì îòñ÷åòà ïî îñè ÷àñòîò è ïåðâûì íóëåì

îãèáàþùåé ðàâíî q%1. Ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà (ñðåä-

íåå çíà÷åíèå)

0 è

aAq

, à äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå A =

ò. å. ÷åì áîëüøå ñêâàæíîñòü, òåì ìåíüøå óðîâåíü ïîñòîÿííîé ñî-

ñòàâëÿþùåé è äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ñèãíàëà. Ñ óâåëè÷åíèåì

ñêâàæíîñòè q ÷èñëî äèñêðåòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ óâåëè÷èâàåòñÿ %

ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ ãóùå (ñì. ðèñ. 5.4, á), è àìïëèòóäà ãàðìîíèê

óáûâàåò ìåäëåííåå. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ

(5.27) ñïåêòð ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ

èìïóëüñîâ âåùåñòâåííûé.

Èç ñïåêòðà êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä (5.27) ìîæíî âûäåëèòü àì-

ïëèòóäíûé A

= |A

| è ôàçîâûé ñïåêòð j

= argA

, èçîáðàæåííûé

íà ðèñ. 5.5 äëÿ ñëó÷àÿ q = 4. Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî àìïëèòóäíûé

ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, à ôàçîâûé % íå÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû.

Ïðè÷åì, ôàçû îòäåëüíûõ ãàðìîíèê ïðèíèìàþò ëèáî íóëåâîå çíà-

1-1-2-4-5-6 2 45 6

3-3

-4-8

-12

4 8 12

)

= 2

= 4

Ðèñ. 5.4

152

÷åíèå ìåæäó óçëàìè, ãäå ñèíóñ ïîëîæèòåëüíûé, ëèáî ±p, ãäå ñèíóñ

îòðèöàòåëüíûé (ðèñ. 5.5, á)

Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (5.28) ïîëó÷èì òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ

ôîðìó ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ïî ÷åòíûì ãàðìîíèêàì (ñðàâíè ñ

(5.15)):

()

èè111

4coscos3cos5

135

AAttt

www

æö

-+-

ç÷

èø

(5.30)

Ïðè ñäâèãå èìïóëüñíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî îñè âðåìåíè

(ðèñ. 5.2, á) â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.13) åå àìïëèòóäíûé ñïåêòð îñòà-

íåòñÿ ïðåæíèì, à ôàçîâûé ñïåêòð èçìåíèòñÿ:

( )

èè111

4sinsin3sin5

135

AAttt

www

æö

+++

ç÷

èø

(5.31)

Â ñëó÷àå, êîãäà ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ðàçíî-

ïîëÿðíóþ ôîðìó (ñì. ðèñ. 5.1), â ñïåêòðå áóäåò îòñóòñòâîâàòü ïî-

ñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ (ñðàâíèòå (5.30) è (5.31) ñ (5.14) è (5.15)).

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî èññëåäîâàòü ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ

ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ äðóãîé ôîðìû. Â

òàáë. 5.1 ïðèâåäåíî ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå íåêîòîðûõ íàèáîëåå

ðàñïðîñòðàíåííûõ ñèãíàëîâ.

5.4. Ðàñ÷åò öåïåé ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ

âîçäåéñòâèÿõ

Â îñíîâå ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, íàõîäÿùèõñÿ

ïîä âîçäåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ, ëåæèò

ïðèíöèï íàëîæåíèÿ (ñì. § 1.6). Åãî ñóòü ïðèìåíèòåëüíî ê íåãàð-

ìîíè÷åñêèì âîçäåéñòâèÿì çàêëþ÷àåòñÿ â ðàçëîæåíèè íåãàð-

ìîíè÷åñêîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà â îäíó èç ôîðì ðÿäà Ôóðüå

(ñì. § 5.1) è îïðåäåëåíèè ðåàêöèè öåïè îò êàæäîé ãàðìîíèêè â îò-

äåëüíîñòè. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ðåàêöèÿ íàõîäèòñÿ ïóòåì ñóïåðïî-

çèöèè (íàëîæåíèÿ) ïîëó÷åííûõ ÷àñòè÷íûõ ðåàêöèé. Òàêèì îáðà-

çîì, ðàñ÷åò öåïåé ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñò-

âèÿõ âêëþ÷àåò â ñåáÿ çàäà÷ó àíàëèçà ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ñèã-

íàëà (ðàçëîæåíèå åãî â ðÿä Ôóðüå), ðàñ÷åò öåïè îò êàæäîé ãàð-

1-1-2-4-8 2 456

)

378-3

-1-2-4-8 2 43 8-3

Ðèñ. 5.5

153

ìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé è çàäà÷ó ñèíòåçà, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî

îïðåäåëÿåòñÿ ðåçóëüòèðóþùèé âûõîäíîé ñèãíàë êàê ôóíêöèÿ âðå-

ìåíè (÷àñòîòû) èëè åãî äåéñòâóþùåå (àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå).

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è àíàëèçà îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ òðèãîíîìåò-

ðè÷åñêîé (5.3) èëè êîìïëåêñíîé (5.6) ôîðìîé ðÿäà Ôóðüå ñ îãðà-

íè÷åííûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê íåêîòîðîé

ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè èñòèííîãî ñèãíàëà. Êîýôôèöèåíòû

ðàçëîæåíèÿ a

è b

â (5.3) èëè A

è j

â (5.6) îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïî-

Òàáëèöà 5.1

Òèïû ñèãíàëà Ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå

(

)

( )

sincos

fkt

( )

111

sin

éù

-w

êú

ëû

(

)

( )

(

)

( )

( ) ( )

1221

sinsincos

tttt

kkkt

+´

´w

(

)

-A

3/4

( )

sin

cos

fkt

(

)

T/2

-T/2-T

( )

(

)

cos

w+p

éù

êú

ëû

(

)

-t

( )

sin

cos

+´

´w

154

ìîùüþ óðàâíåíèé (5.4), (5.7) è (5.8). Ïðè ýòîì âõîäíîé ñèãíàë

f(a) äîëæåí áûòü çàäàí àíàëèòè÷åñêè. Â ñëó÷àå, åñëè ñèãíàë çàäà-

åòñÿ ãðàôè÷åñêè, íàïðèìåð â âèäå îñöèëëîãðàììû, òî äëÿ íàõîæ-

äåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ a

è b

ìîæíî èñïîëüçîâàòü

ãðàôîàíàëèòè÷åñêèé ìåòîä (ñì. (5.16)).

Ðàñ÷åò öåïè îò îòäåëüíûõ ãàðìîíèê âåäåòñÿ îáû÷íî ñèìâîëè-

÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. ãë. 3). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó,

÷òî íà k-é ãàðìîíèêå èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå X

(k) = kwL, à

åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå X

(k) = 1/(kwÑ), ò. å. íà k-é ãàðìîíèêå

èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå â k ðàç áîëüøå, à åìêîñòíîå â k ðàç

ìåíüøå, ÷åì íà ïåðâîé ãàðìîíèêå. Ýòèì â ÷àñòíîñòè îáúÿñíÿåòñÿ

òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âûñîêèå ãàðìîíèêè â åìêîñòè âûðàæåíû

ñèëüíåå, à â èíäóêòèâíîñòè ñëàáåå, ÷åì â ïðèëîæåííîì ê íèì íà-

ïðÿæåíèè. Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå R íà íèçêèõ è ñðåäíèõ ÷àñòî-

òàõ ìîæíî ñ÷èòàòü íå çàâèñÿùèì îò ÷àñòîòû.

Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé îò îòäåëüíûõ

ãàðìîíèê ìåòîäîì íàëîæåíèÿ íàõîäÿò ðåçóëüòèðóþùóþ ðåàêöèþ

öåïè íà íåãàðìîíè÷åñêîå ïåðèîäè÷åñêîå âîçäåéñòâèå. Ïðè ýòîì ëè-

áî îïðåäåëÿþò ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ðåçóëüòèðóþùåãî ñèãíàëà íà îñ-

íîâàíèè ðàñ÷åòà àìïëèòóä è ôàç îòäåëüíûõ ãàðìîíèê, ëèáî åãî àì-

ïëèòóäíûå èëè äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì (5.18),

(5.19). Ïðè îïðåäåëåíèè ðåçóëüòèðóþùåé ðåàêöèè íåîáõîäèìî ïîì-

íèòü, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìî-

íè÷åñêèõ êîëåáàíèé íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (ñì. § 3.2) âåêòîðû

ðàçëè÷íûõ ãàðìîíèê âðàùàþòñÿ ñ ðàçëè÷íîé óãëîâîé ÷àñòîòîé.

Ïðèìåð. Ê öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.6, ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå u(t) â

ôîðìå ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ñ ïåðèîäîì ïîâòîðåíèÿ T = 2t

è àìïëèòó-

äîé A

= 1Â (ñì. ðèñ. 5.3, á). Îïðåäåëèòü ìãíîâåííîå è äåéñòâóþùåå çíà÷å-

íèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè.

Ðàçëîæåíèå äàííîãî íàïðÿæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

(5.31). Îãðàíè÷èìñÿ ïåðâûìè òðåìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ (5.31):

( )

4sin4sin3

=++

Òàêèì îáðàçîì, ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå ñîäåðæèò ïîñòîÿííóþ ñîñòàâëÿþ-

ùóþ U

= 1/2, ïåðâóþ U

= 4/p è òðåòüþ U

= 4/(3p) ãàðìîíèêè ñ íóëåâû-

ìè íà÷àëüíûìè ôàçàìè. Íàéäåì íàïðÿæåíèå íà åìêîñòè îò ïîñòîÿííîé ñî-

ñòàâëÿþùåé ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ U

( ) ( )

222

UIRR

Êîìïëåêñíîå äåéñòâóþùåå íàïðÿæåíèå îò ïåðâîé ãàðìîíèêè

()

() ()

( )

3121

UII

RjL

Òîêè I

2(1)

èëè I

3(1)

ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå ðàçáðîñà (ñì.§ 2.2). Íàïðèìåð,

äëÿ I

3(1)

èìååì:

155

() ()

( )

3111

RjL

w-w

ãäå

()

( )( )

( )

211

RjLjC

+ww

w-w

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèòñÿ íàïðÿæåíèå íà åìêîñòè îò 3-é ãàðìîíèêè;

( )

(

)

ãäå

( ) ( )

( )

3313

;

313

RjL

w-w

()

( )( )

( )

211

313

RjLjC

+ww

w-w

Ïîñëå íàõîæäåíèÿ êîìïëåêñíûõ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé íà

åìêîñòè îòäåëüíûõ ãàðìîíèê è âûäåëåíèÿ â íèõ ìîäóëåé U

C(1)

, U

C(3)

è ôàç

= arg U

C(1)

, j

= arg U

C(3)

çàïèñûâàåò ìãíîâåííîå çíà÷åíèå íàïðÿæå-

íèÿ íà åìêîñòè â ôîðìå ñóììû (ðÿäà):

( )

()

(

)

( )

(

)

1113

sinsin

CCCC

uUUU

w+jw+j

=++ .

Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåì ñîãëàñíî (5.19)

( )

()

( )

222

CCCC

UUUU=++

Ïðè àíàëèçå ðåçîíàíñíûõ ÿâëåíèé â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðè

ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ âîçäåéñòâèÿõ ñëåäóåò èìåòü â

âèäó, ÷òî ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé è òîêîâ ìîæåò äîñòèãàòüñÿ íà ðàç-

íûõ ãàðìîíèêàõ. Ïðè ýòîì, êàê è ðàíåå, ðåçîíàíñîì íà k-é ãàð-

ìîíèêå íàçûâàåòñÿ òàêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ñîñòîÿùåé

èç ðàçíîõàðàêòåðíûõ ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, ïðè êîòîðîì ôàçîâûé

ñäâèã ìåæäó âõîäíûì òîêîì è ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì k-x

ãàðìîíèê ðàâåí íóëþ. ßâëåíèå ðåçîíàíñà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî

äëÿ âûäåëåíèÿ îòäåëüíûõ ãàðìîíèê èç ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíóñîè-

()

Ðèñ. 5.6 Ðèñ. 5.7

156

äàëüíîãî ñèãíàëà. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â öåïè ìîæåò îäíî-

âðåìåííî áûòü äîñòèãíóò ðåçîíàíñ òîêîâ íà îäíîé ÷àñòîòå è ðåçî-

íàíñ íàïðÿæåíèé íà äðóãîé.

Ïðèìåð. Äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.7, ïðè çàäàííîé w

, L

íàéòè

çíà÷åíèå C

è C

, ïðè êîòîðûõ îäíîâðåìåííî âîçíèêàåò ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé

íà 1-é è ðåçîíàíñ òîêîâ íà 5-é ãàðìîíèêå. Èç óñëîâèÿ ðåçîíàíñà íàïðÿæåíèé

íàõîäèì, ÷òî âõîäíîå ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè íà ïåðâîé ãàðìîíèêå

äîëæíî ðàâíÿòüñÿ íóëþ:

( )

(

)

( )

1111

111112

LCC

w-w

×w

w-w-w

(5.32)

à íà ïÿòîé % áåñêîíå÷íîñòè (âõîäíàÿ ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü íà ïÿòîé ãàð-

ìîíèêå äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ):

( )

(

)

( )

1111

111112

515

51515

LCC

w-w

×w

==¥

w-w-w

(5.33)

Èç óñëîâèé (5.32) è (5.33) íàõîäèì èñêîìîå çíà÷åíèå åìêîñòåé:

(

)

(

)

1111

1;1.

Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1. Êàêîâà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñïåêòðà ïåðèîäè÷åñêîãî íåñèíó-

ñîèäàëüíîãî ñèãíàëà?

2. Êàêîé âèä èìååò ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî ñèã-

íàëà?

3. Êàê èçìåíÿåòñÿ ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíà-

ëà ïðè ñäâèãå íà÷àëà îòñ÷åòà çàäàííîé ôóíêöèè?

4. Êàê îïðåäåëèòü ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè, çàäàííîé ãðà-

ôè÷åñêè?

5. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïåðèî-

äè÷åñêîãî íåãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà?

6. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ è ÷òî õàðàêòåðèçóåò ìîùíîñòü èñêàæåíèé?

7. Êàê ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñïåêòð êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ïîñëåäîâà-

òåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ?

8. Êàê âëèÿåò ñêâàæíîñòü èìïóëüñîâ íà ñïåêòð ñèãíàëà?

9. Ðàññ÷èòàòü è ïîñòðîèòü ñïåêòð àìïëèòóä ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ñ ïàðàìåòðàìè: U

= 3Â, f = 0,5 êÃö

äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ (q = 2, q = 5).

Îòâåò: 1) q = 2;

= 3 Â; U

= 1,9 Â; U

= 0; U

= 0,64 Â;

= 0; U

= 0,38 Â; U

= 0.

157

2) q = 5;

= 1,2 Â; U

= 1,1 Â; U

= 0,91 Â;

= 0,6 Â; U

= 0,28 Â; U

= 0;

= 0,19 Â; U

= 0,25 Â; U

= 0,23 Â;

= 0,12 Â; U

m10

= 0.

10. Êàêîâ àëãîðèòì ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, íàõî-

äÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ ñè-

ãíàëîâ?

11. Íà âõîä öåïè, èçîáðàæåííîé íà

ðèñ. 5.8, ïîñòóïàåò ïåðèîäè÷åñêèé

íåãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë u(t) = U

+ U

sinw

t + U

sin(3w

t + j

);

= 30 Â; U

100 Â; U

40 Â;

= 20°. Ïàðàìåòðû ýëåìåíòîâ öåïè

íà îñíîâíîé ÷àñòîòå èçâåñòíû: w

L =

= 12 Îì; 1/(w

Ñ) = 30 Îì; R

= 6 Îì;

= 5 Îì; R

= 20 Îì. Ðàññ÷èòàòü:

1) òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè ñõåìû è çàïèñàòü åãî ìãíîâåí-

íîå çíà÷åíèå; 2) äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ âñåõ òîêîâ; 3) àêòèâ-

íóþ ìîùíîñòü, ïîòðåáëÿåìóþ öåïüþ.

Îòâåò: 1) i

(t) = 3 + 5,88sin(w

t $ 16°30¢) +

+ 2,6sin(3w

t + 55°), A.

2) I

= 5,45 À; I

= 4,4 À; I

= 2,64 À; I

= 2,57 À.

3) P = 415 Âò.

12. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðè íå-

ãàðìîíè÷åñêèõ ïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ.

13. Äëÿ öåïè èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 5.7, íàéòè çíà÷åíèÿ Ñ

è Ñ

ïðè êîòîðûõ îäíîâðåìåííî âîçíèêàåò ðåçîíàíñ íàïðÿæåíèé íà

1-îé ãàðìîíèêå è ðåçîíàíñ òîêîâ íà 5-îé ãàðìîíèêå, åñëè çàäàíû

= 10 ìÃí; w

= 5×10

ðàä/ñ.

Îòâåò: Ñ

= 4 ìêÔ; Ñ

= 0,167 ìêÔ.

ÃËÀÂÀ 6. ÏÅÐÅÕÎÄÍÛÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ Â ËÈÍÅÉÍÛÕ

ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏßÕ. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÉ

ÌÅÒÎÄ ÀÍÀËÈÇÀ

6.1. Ïåðåõîäíûé ðåæèì ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Çàêîíû êîììóòàöèè

Â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ðàññìàòðèâàëèñü ïðîöåññû â ýëåêòðè÷å-

ñêèõ öåïÿõ è ìåòîäû èõ ðàñ÷åòà â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå, ò. å. â

ðåæèìå, ïðè êîòîðîì íàïðÿæåíèÿ è òîêè â öåïÿõ ëèáî íå çàâèñÿò

()

Ðèñ. 5.8

158

îò âðåìåíè, ëèáî ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè â

çàâèñèìîñòè îò âèäà ïðèëîæåííîãî âîçäåéñòâèÿ. Óñòàíîâèâøèéñÿ

ðåæèì â öåïè äîñòèãàåòñÿ îáû÷íî ÷åðåç îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê

âðåìåíè ïîñëå íà÷àëà âîçäåéñòâèÿ, ïîýòîìó ðàññìîòðåííûå ðàíåå

ìåòîäû àíàëèçà íå îõâàòûâàþò òàê íàçûâàåìûé ïåðåõîäíûé ðåæèì

îò íà÷àëà âîçäåéñòâèÿ äî óñòàíîâèâøåãîñÿ ñîñòîÿíèÿ öåïè. Ïåðå-

õîäíîé ðåæèì ðàáîòû öåïè îáóñëîâëåí íàëè÷èåì â íåé ðåàêòèâíûõ

ýëåìåíòîâ (èíäóêòèâíîñòè, åìêîñòè), â êîòîðûõ íàêàïëèâàåòñÿ

ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé. Ïðè ðàçëè÷íîãî ðîäà

âîçäåéñòâèÿõ (ïîäêëþ÷åíèè ê öåïè èëè èñêëþ÷åíèè èñòî÷íèêîâ

ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ öåïè) èçìåíÿåòñÿ

ýíåðãåòè÷åñêèé ðåæèì ðàáîòû öåïè, ïðè÷åì ýòè èçìåíåíèÿ íå ìî-

ãóò îñóùåñòâëÿòüñÿ ìãíîâåííî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè èçìåíåíèÿ

ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé (ïðèíöèï íåïðåðûâíî-

ñòè), ÷òî è ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ.

Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïåðåõîäíûå ïðîöåññû âî ìíîãèõ óñòðîé-

ñòâàõ è ñèñòåìàõ ñâÿçè ÿâëÿþòñÿ ñîñòàâíîé «íîðìàëüíîé» ÷àñòüþ

ðåæèìà èõ ðàáîòû. Â òî æå âðåìÿ â ðÿäå ñëó÷àåâ ïåðåõîäíûå ïðî-

öåññû ìîãóò ïðèâîäèòü ê òàêèì íåæåëàòåëüíûì ÿâëåíèÿì, êàê âîç-

íèêíîâåíèå ñâåðõòîêîâ è ïåðåíàïðÿæåíèé. Âñå ýòî îïðåäåëÿåò

âàæíîñòü ðàññìîòðåíèÿ ìåòîäîâ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.

Â îñíîâå ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ëåæàò çàêîíû

êîììóòàöèè. Êîììóòàöèåé ïðèíÿòî íàçûâàòü ëþáîå èçìåíåíèå

ïàðàìåòðîâ öåïè, åå êîíôèãóðàöèè, ïîäêëþ÷åíèå èëè îòêëþ÷åíèå

èñòî÷íèêîâ, ïðèâîäÿùåå ê âîçíèêíîâåíèþ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ.

Êîììóòàöèþ áóäåì ñ÷èòàòü ìãíîâåííîé, îäíàêî ïåðåõîäíûé ïðî-

öåññ, êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, áóäåò ïðîòåêàòü îïðåäåëåííîå âðå-

ìÿ. Òåîðåòè÷åñêè äëÿ çàâåðøåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà òðåáóåòñÿ

áåñêîíå÷íî áîëüøîå âðåìÿ, íî íà ïðàêòèêå åãî ïðèíèìàþò êîíå÷-

íûì, çàâèñÿùèì îò ïàðàìåòðîâ öåïè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîììó-

òàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èäåàëüíîãî êëþ÷à Ê (ðèñ. 6.1),

ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî â ðàçîìêíóòîì ñîñòîÿíèè áåñêîíå÷íî âå-

ëèêî, à â çàìêíóòîì ðàâíî íóëþ. Íàïðàâëåíèå çàìûêàíèÿ èëè

ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à áóäåì ïîêàçûâàòü ñòðåëêîé. Áóäåì òàêæå ñ÷è-

òàòü, åñëè íå îãîâîðåíî èíîå, ÷òî êîììóòàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ â

ìîìåíò t = 0.

Ðàçëè÷àþò ïåðâûé è âòîðîé çàêîíû êîììóòàöèè. Ïåðâûé çàêîí

êîììóòàöèè ñâÿçàí ñ íåïðåðûâíîñòüþ èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ

êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè W

= Li

/2 è ãëàñèò: â íà÷àëüíûé ìîìåíò

t = 0

íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå êîììóòàöèè òîê â èíäóêòèâíîñòè

èìååò òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è â ìîìåíò t = 0

äî êîììóòàöèè è

ñ ýòîãî ìîìåíòà ïëàâíî èçìåíÿåòñÿ

Çäåñü è äàëåå ïîä f (0

) ïîíèìàåòñÿ ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë ôóíêöèè f (t) ïðè t ® 0

à ïîä f (0

) %ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë f (t) ïðè t ® 0

159

(

)

(

)

(6.1)

Âòîðîé çàêîí êîììóòàöèè ñâÿçàí ñ íåïðåðûâíîñòüþ èçìåíå-

íèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ åìêîñòè W

= Cu

/2; â íà÷àëüíûé ìî-

ìåíò t = 0

íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå êîììóòàöèè íàïðÿæåíèå íà

åìêîñòè èìååò òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è â ìîìåíò: t = 0

äî êîì-

ìóòàöèè è ñ ýòîãî ìîìåíòà ïëàâíî èçìåíÿåòñÿ:

(

)

(

)

(6.2)

Â îòëè÷èå îò òîêà â èíäóêòèâíîñòè i

è íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè

íàïðÿæåíèå íà èíäóêòèâíîñòè u

è òîê â åìêîñòè i

ìîãóò èç-

ìåíÿòüñÿ ñêà÷êîì, òàê êàê ñîãëàñíî (1.9) è (1.12) îíè ÿâëÿþòñÿ

ïðîèçâîäíûìè îò i

è u

è ñ íèìè íåïîñðåäñòâåííî íå ñâÿçàíà

ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé. Çíà÷åíèÿ òîêîâ â èí-

äóêòèâíîñòè i

) è íàïðÿæåíèé íà åìêîñòÿõ u

) îáðàçóþò íà-

÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäà÷è. Â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîãî ýíåðãå-

òè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ öåïè ðàçëè÷àþò äâà òèïà çàäà÷ ðàñ÷åòà ïå-

ðåõîäíûõ ïðîöåññîâ: çàäà÷è ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè,

êîãäà íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå êîììóòàöèè (ïðè t = 0

) i

) = 0;

) = 0 (ò. å. W

) + W

) = 0) è çàäà÷è ñ íåíóëåâûìè

íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, êîãäà i

) ¹ 0 è (èëè) u

) ¹ 0 (ò. å.

) + W

) ¹ 0). Íóëåâûå è íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ

óñëîâèé äëÿ i

è u

íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, à íà÷àëüíûå óñ-

ëîâèÿ îñòàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé çàâèñèìûìè. Íåçàâèñèìûå

íà÷àëüíûå óñëîâèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ çàêîíîâ êîììóòàöèè

(6.1) è (6.2).

6.2. Êëàññè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

Â îñíîâå êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ëåæèò ñîñòàâëåíèå èíòåãðàëüíî-äèôôåðåí-

öèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæå-

íèé. Ýòè óðàâíåíèÿ ñîñòàâëÿþòñÿ íà îñíîâå çàêîíîâ Êèðõãîôà,

ìåòîäîâ êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è ìîãóò ñîäåðæàòü

êàê íåçàâèñèìûå, òàê è çàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Äëÿ óäîáñòâà ðå-

øåíèÿ îáû÷íî ïðèíÿòî ñîñòàâëÿòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

îòíîñèòåëüíî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, â êà÷åñòâå êîòîðîé ìîæåò

ñëóæèòü i

èëè u

. Ðåøåíèå ïîëó÷åííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ïåðåìåííîé è ñîñòàâëÿåò ñóù-

íîñòü êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ

óðàâíåíèé ïðîùå èíòåãðàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ, ïîëó÷åííóþ ñè-

ñòåìó ñâîäÿò ê îäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñò-

âóþùåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåí-

íîé i

èëè u

. Ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿ-

160

åòñÿ ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ íàêîïèòåëåé ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è

ìàãíèòíîãî ïîëåé.

Îáîçíà÷èì íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ (i

èëè u

) ÷åðåç x = x(t).

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå m-ão ïîðÿäêà, îïèñûâàþùåå ïå-

ðåõîäíûé ïðîöåññ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåé-

ñòâèåì èñòî÷íèêà w(t), îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì:

()

110

dxdxdx

bbbbxw

dtdtdt

++++=K (6.3)

ãäå b

, b

, ..., b

m$1

, b

% êîýôôèöèåíòû ïàðàìåòðîâ öåïè; w(t) %

ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ õàðàêòåð âîçäåéñòâèÿ íà öåïü.

Öåïü, ïàðàìåòðû êîòîðîé b

, b

, ..., b

m$1

, b

íåèçìåííû, íà-

çûâàþò öåïüþ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè. Åñëè æå êàêîé-ëèáî

èç êîýôôèöèåíòîâ b

, b

, ..., b

m$1

, b

% ïåðåìåíåí, òî öåïü íàçû-

âàþò ïàðàìåòðè÷åñêîé. Â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü öåïè ñ

ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (6.3) îòíîñèòñÿ ê ëèíåéíûì íå-

îäíîðîäíûì óðàâíåíèÿì ò-ãî ïîðÿäêà. Êàê èçâåñòíî, åãî ðåøåíèå

íàõîäèòñÿ êàê ñóììà îáùåãî ðåøåíèÿ x

ñâ

îäíîðîäíîãî äèôôåðåí-

öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ m-ãî ïîðÿäêà:

ñâ ñâ ñâ

110ñâ

dxdxdx

bbbbx

dtdtdt

++++=

K (6.4)

è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ x

ïð

óðàâíåíèÿ (6.3):

ïðñâ

xxx

, (6.5)

ãäå x

ñâ

è x

ïð

% îáùåå è ÷àñòíîå ðåøåíèÿ. Îáùåå ðåøåíèå x

ñâ

îï-

ðåäåëÿåò ñâîáîäíûå ïðîöåññû, êîòîðûå ïðîòåêàþò â öåïè áåç ó÷à-

ñòèÿ èñòî÷íèêà w(t) (îòñþäà èíäåêñ «ñâ»). ×àñòíîå ðåøåíèå x

ïð

îïðåäåëÿåò ïðèíóäèòåëüíûé ïðîöåññ (îòñþäà èíäåêñ «ïð»), êîòî-

ðûé ïðîòåêàåò â öåïè ïîä âëèÿíèåì w(t). Â òåîðèè öåïåé x

ïð

îáû÷íî íàõîäÿò îäíèì èç ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà

öåïåé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå.

Ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà x

ñâ

áóäåò çà-

âèñåòü îò õàðàêòåðà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:

110

bpbpbpb

++++=

(6.6)

Â ñëó÷àå, êîãäà êîðíè p

, p

, ..., ð

õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-

íåíèÿ (6.6) âåùåñòâåííûå è ðàçëè÷íûå, ðåøåíèå (6.4) èìååò âèä

ñâ12

ptptpt

xAeAeAe=+++

(6.7)

ãäå A

, A

, ..., A

% ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ, êîòîðûå íàõî-

äÿòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.

Â ñëó÷àå, êîãäà êîðíè óðàâíåíèÿ (6.6) âåùåñòâåííûå è ðàâíûå,

ò. å. p

= p

= ... = ð

= p, ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïðåäåëÿåòñÿ

óðàâíåíèåì