Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
(4.4.3)
где - вектор состояний, - вектор входных воздействий,
вектор выходных сигналов (реакций). - вещественные матрицы
соответствующих размеров.
Вектора являются функциями времени, но с целью упрощения записи
аргумент опущен. Пара - управляема, пара - наблюдаема.
Перепишем уравнения (4.4.3) в виде полиномиальных тождеств от
оператора дифференцирования :
(4.4.4)
Добавляя к ним формальное тождество , соотношения (4.4.4) можно
записать в следующей матричной форме:
где
Здесь - единичные и нулевые матрицы размеров и
соответственно.
Определение 3. Блочная матрица называется проматрицей
моделирования для объекта, заданного в пространстве состояний матрицами
Рассмотрим представление линейной системы управления в
пространстве состояний. Пусть объект управления описывается уравнениями
(4.4.5)
где - вектор состояний объекта управления, - вектор входных
воздействий объекта управления, - вектор выходных сигналов
(реакций) объекта управления, - вещественные матрицы
соответствующих размеров.
Будем полагать, что система (4.4.5) управляема и наблюдаема.
Пусть регулятор осуществляет динамическое управление с обратной
связью по выходу
(4.4.6)
гДе - вектор состояния динамического регулятора -го порядка,
вектор выхода динамического регулятора.
Замыкание системы описывается уравнением
71
Объединяя уравнения (4.4.5)-(4.4.6), перепишем их в виде операторных
полиномиальных уравнений
I
(4.4.7)
Уравнения (4.4.7), используя матричную форму, можно представить так
Определение 4. Блочная матрица вида
(4.4.8)
называется проматрицей регулирования для системы, заданной в
пространстве состояний постоянными матрицами
Отметим свойство универсальности проматрицы регулирования (4.4.8) в
смысле разнообразия форм обратной связи. Гак, если в (4.4.8) положить ,
то динамический регулятор с обратной связью но выходу сводится к
статическому регулятору с обратной связью по выходу, а проматрица (4.4.8)
уступит место промагрице
(4.4.9)
Дальнейшее упрощение происходит при использовании формы
представления разомкнутой системы в виде "вход - состояние".
Если , то определители матрицы (4.4.9) и магрицы
(4.4.10) равны.
Здесь управление сводится к статической обратной связи по состоянию.
При этом нетрудно проверить, определитель (4.4.10) в точности совпадает с
хорошо известным выражением для характеристического полинома
замкнутой системы
Соответствующие проматрицы аналогичным образом можно
сформировать и для других задач теории систем.
72
5. Модели динамических систем в пространстве
состояний
5.1. Концепция состояния динамических систем
Концепция состояния динамических систем является мощным
средством теоретического исследования процессов в динамических системах,
причем ее становление оказало поистине революционизирующее воздействие
на развитие всей теории систем и теории автоматического управления и
регулирования.
Понятие "состояние" динамической системы впервые было введено в
1936 г. А.М. Тьюрингом, как минимальная совокупность сведений о
прошлом системы, необходимая для определения поведения ее в будущем.
Развитие и особенно широкое применение этого понятия в автоматике
знаменовали собой более глубокий и всесторонний анализ процессов
функционирования автоматических систем.
Определение состояния как математической конструкции тесно связано
с формализацией описания динамики сис темы и, поэтому отражает принятый
исследователем уровень абстрагирования реальных динамических процессов.
Иначе говоря, сначала необходимо располагать динамической моделью,
адекватной рассматриваемым реальным процессам, а уже затем из
модельных переменных формировать тот набор текущих данных, который
можно аттестовать как текущее состояние системы.
Аксиоматическое требование, предъявляемое к определению состояния
объекта, как динамической системы[15]: для любого момента времени
состояние должно содержать минимум информации о предыстории
объекта , необходимой для однозначного предсказания его поведения в
будущем при условии, что в данный момент и в будущем
внешние возмущающие воздействия отсутствуют, а управляющие - известна.
Множество всевозможных состояний образуют пространство состояний
объекта. Точку также называют изображающей точкой этого
пространства.
Таким образом, движение объекта полностью представляется тра
екторией в пространстве состояний.
Конструирование динамической модели реального технического или
любого другого динамического объекта и последующая формализация задачи
Управления в терминах пространства состояний - вот тот весьма сложный
73
этап теоретической работы, который предшествует этапу анализа и синтеза
динамических систем. Наиболее просто этот этап преодолевается в том
случае, когда можно считать, что исходный материальный объект
представляет собой динамическую систему с сосредоточенными
параметрами, т.е. конечномерную динамическую систему. При этом
динамика объекта описывается обыкновенными дифференциальными
уравнениями.
Рассмотрим поведение электрической цепи на временном интервале
. Известно, что для нахождения выходного сигнала электрической цепи
по заданному входному сигналу необходимо знать величины токов,
протекающих через индуктивности, и напряжения на емкостях в момент вре
мени . Эти токи и напряжения образуют состояние цепи в момент .
Другим примером может служить система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Решение ее, как известно,
зависит от произвольных постоянных, определяемых из начальных условий в
момент . Эти начальные условия могут трактоваться как состояние системы
в момент .
Характеристику понятия "состояние" можно дать, исходя из той роли,
которую оно играет в определении модели объекта.
Можно поставить вопрос - требуется ли привлечение дополнительных
промежуточных параметров (помимо входных и выходных) для описания
поведения объекта? Ответ будет утвердительным. Действительно, один и тот
же входной сигнал электрической цепи обусловит различные выходные
сигналы, если не фиксировать величины токов, протекающих через
индуктивности, и напряжения на емкостях в момент . В свою очередь, при
различных начальных условиях различны и произвольные постоянные,
определяющие общее решение системы линейных дифференциальных
уравнений, т. е. различные начальные условия «порождают» различные
решения системы.
Можно устранить указанную неоднозначность между входными и
выходными параметрами объекта, именуя промежуточные параметры
состоянием объекта. Понятие состояния можно трактовать как некоторую
минимальную совокупность параметров, содержащую всю информацию о
предыстории поведения объекта, необходимую для суждения о его
поведении в будущем, т.е. для определения реакции на произвольное входное
воздействие.
Можно сформулировать следующие свойства, которыми должна
74
обладать модель объекта с введенным понятием «состояние»:
1) выходной сигнал в данный момент времени однозначно определяется
входным сигналом и состоянием в данный момент времени ;
2) состояние в последующий момент времени однозначно определяется
входным сигналом и состоянием в данный момент времени
Приведенные два условия можно записать в виде двух уравнений,
называемых уравнениями состояния:
где - являются однозначными функциями.
Приведенное выше изложение, непосредственно относящееся к
непрерывным объектам, может быть перенесено и на дискретные объекты.
5.2. Основные понятия и определения
Рассмотрим динамическую систему, имеющую т входов и к выходов.
На вход системы подается векторный входной сигнал
При этом выходной сигнал представляет собой вектор
В задачах анализа необходимо по заданному входному сигналу
и известным начальным условиям и характеристикам системы найти
выходной сигнал
Характеристики системы по форме представления могут быть
различными. Эти характеристики определяются структурой и параметрами
исследуемой системы и для одной и той же системы являются
взаимосвязанными.
В любой системе можно выделить совокупность переменных, которые
характеризуют динамическую систему. Эти переменные зависят от времени
и могут меняться при изменении внешних воздействий на систему. В
общем случае, можно выделить некоторую совокупность переменных,
которая в полной мере характеризует состояние системы в некоторый
момент времени.
Совокупность переменных, полностью характеризующих
динамическую систему, называется переменными состояния
системы.
Совокупность переменных состояния называется вектором переменных
75
состояния системы.
Указанная совокупность переменных должна быть достаточной для
описания различных состояний и режимов системы, но, в то же время, она
должна быть минимальной и не содержать избыточности.
Обозначим переменные состояния . Следовательно,
динамическая система будет характеризоваться вектором переменных
состояния
Область или пространство возможных значений
переменных состояния называется пространством
состояний динамической системы.
Здесь используется аналогия с представлением вектора в ортогональной
системе независимых переменных, где любой вектор, например, в
трехмерном пространстве, может быть охарактеризован своими проекциями
на три независимых ортогональных оси. В -мерном пространстве вектор
характеризуется проекциями на ортогональных осей ( независимых
переменных ).
Состояние динамической системы формально можно представить в
виде вектора, а переменные состояния - как проекции этого вектора на
ортогональные оси. Другими словами, каждому конкретному состоянию
динамической системы соответствует точка в η-мерном пространстве,
определяемая концом этого вектора. Координаты точки - суть
проекции вектора Таким образом, состояние системы можно
характеризовать положением вектора в пространстве состояний.
Количество независимых переменных , определяющих состояние
системы, задает размерность пространства состояний. Переменные
состояния должны быть выбраны таким образом, чтобы при заданном
начальном состоянии системы и входном сигнале (при
), можно было однозначно определить как состояние системы , так и
выходной сигнал в любой момент времени . Иначе говоря,
состояние системы в любой момент времени должно определяться
начальными условиями и входным сигналом :
(5.2.1)
а выходной сигнал - состоянием системы и входным сигналом
76
(5.2.2)
Здесь и - некоторые функции.
Уравнение (5.2.1) называется уравнением состояния системы и
описывает состояние системы в конце некоторого интервала времени.
Уравнение (5.2.2) называется выходным уравнением системы и
описывает выходной сигнал системы.
Указанные два уравнения представляют собой однозначные функции и
полностью определяют динамическую систему.
Для непрерывных систем обычно удобнее представлять уравнение
состояния (5.2.1) в виде системы дифференциальных уравнений в
нормальной форме Коши. В этом случае некоторую динамическую систему
можно описать уравнениями
(5.2.3)
Уравнения (5.2.3), записанные в общем виде, справедливы для систем
линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных. Но в случае
линейности динамических систем уравнения (5.2.3) можно значительно
упростить.
Как известно, для линейных систем справедлив принцип суперпозиции.
Применительно к методу пространства состояний требования к линейным
системам можно сформулировать следующим образом: пусть начальному
состоянию и входному сигналу соответствует выходной сигнал
, а начальному состоянию и входному сигналу
соответствует выходной сигнал ; тогда для линейной системы
начальному состоянию и входному сигналу
соответствует выходной сигнал системы
, где
Это условие будет выполняться, если функции и в уравнениях
(5.2.3) будут линейными. В этом случае уравнения линейной динамической
системы можно записать следующим образом:
(5.2.4)
(5.2.5)
Матрицы коэффициентов определяются
структурой и параметрами конкретной динамической системы. Если эти
77
матрицы являются функциями времени, то уравнения (5.2.4) и (5.2.5)
описывают линейную нестационарную систему.
Если динамическая система стационарная, т.е. ее параметры не зависят
от времени, то матрицы коэффициентов - постоянные. В этом
случае уравнения линейной стационарной динамической системы можно
записать в следующем виде
(5.2.6)
(5.2.7)
В этих уравнениях матрицы коэффициентов имеют следующие
размеры:
Векторы имеют размеры:
Уравнения линейной стационарной системы (5.2.6) и (5.2.7), которые
ранее были приведены в матричной форме, можно представить в обычном
виде.
Таким образом, в пространстве состояний динамическая система
описывается системой из линейных дифференциальных уравнений
первого порядка системой из алгебраических уравнений.
78
Другая запись матричных уравнений (5.2.6) и (5.2.7) имеет вид
(5.2.8)
Здесь и далее для краткости опущены аргументы у переменных
хотя они и подразумеваются.
(5.2.9)
Уравнениям модели (5.2.6) и (5.2.7) соответствует структурная схема на
рис.5.2.1.
Постоянная квадратная
матрица , входящая в
описание системы, характе
ризует внутреннюю структу
ру системы и ее собственную
динамику (свободное движе
ние).
Постоянная матрица
входящая в данное описание системы, характеризует структуру входного
устройства системы, а постоянная матрица - структуру выходного
устройства системы.
Отметим то обстоятельство, что уравнения (5.2.6) и (5.2.7) и другие до
сих пор описывали так называемые многомерные динамические системы, где
было несколько входов (точнее входов) и несколько выходов (точнее
выходов) (рис.5.2.3). В англоязычной литературе для таких систем
используется аббревиатура MIMO (multi-input-multi-output).
79
Рис. 5.2.1. Структурная схема модели (5.2.7)-(5.2.8)
В случае, когда динамическая система имеет один вход и один выход
(английская аббревиатура S1SO (single-input-single-output)) (рис.5.2.2) такая
система называется одномерной или скалярной динамической системой.
Иначе говоря, в скалярных системах и
Рис. 5.2.2. Скалярная система Рис 5.2.3. Многомерная система
(5.2.10)У
(5.2.11)
5.3. Выбор переменных состояния
Описание динамической системы в переменных состояния в виде
уравнений типа (5.2.6)-(5.2.7) не является единственным. Для одной и той же
системы можно составить несколько систем уравнений, отличающиеся
природой переменных, выбранных в качестве переменных состояния.
Различный выбор этих переменных приводит к различным по своему
элементному составу матрицам
В технических приложениях метода пространства состояний, как
правило, решаются задачи анализа, синтеза, идентификации и оптимизации
динамических систем и, поэтому, чрезвычайно желательно, чтобы все
переменные состояния можно было непосредственно наблюдать и измерять
[16].
Правило первое. При выборе переменных состояния очень важно
выбирать в качестве переменных состояния измеряемые переменные или, по
крайней мере, чтобы большинство переменных состояния динамической
системы были измеряемыми.
Часто в качестве переменных состояния выбирают фазовые координаты
динамической системы.
Фазовые координаты динамической системы - это
переменные, соответствующие выходной координате, скорости
изменения выходной координаты, ускорению выходной
координаты и т.д.
В этом случае пространство состояний совпадает с фазовым
пространством динамической системы. Примером описания динамической
системы в фазовом пространстве могут служить уравнения (5.2.18).
Правило второе. В качестве переменных состояния ц е л е с о о б р а зн 0
В этом случае уравнения (5.2.8) и (5.2.9) примут вид:
80