Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
Если система конечномерна и физически реализуема, то скалярные
передаточные функции являются правильными рациональными
дробями, причем для физически реализуемых систем порядок полинома
числителя меньше порядка полинома знаменателя.
Когда система линейна и стационарна, то связь между изображениями
входных и выходных сигналов при нулевых начальных условиях может быть
описана в операторной форме с помощью МПФ следующим образом:
(5.8.7)
Описание связей между входными и выходными сигналами во
временной области может быть получено применением обратного
преобразования Лапласа к обеим частям соотношения (5.8.7) и выражаются
эти связи векторным интегралом свертки
(5.8.8)
В этой формуле матрица является оригиналом матрицы и
называется матричной весовой функцией (МВФ). Матричная весовая
функция, также как и МПФ, полностью описывает многомерную
стационарную систему. Элементами этой матрицы являются скалярные
функции , каждая из которых представляет собой сигнал на -ом
выходе системы при подаче на его -й вход импульсного воздействия
Если система устойчива и физически реализуема, то с течением
времени все компоненты экспоненциально стремятся к нулю.
Пример. Многомерная динамическая система с тремя входами и двумя выходами
имеет структуру, представленную на рис. 5.8.1.
Матричная передаточная функция данной системы имеет вид
101
Рис. 5.8.1. Структурная схема многомерной системы
Применяя обратное преобразование Лапласа, можно получить матричную весовую
функцию
В частном случае, когда система имеет один вход и один выход,
матричная передаточная функция вырождается в обычную скалярную
передаточную функцию. Приведенные выше формулы и соотношения
сохраняют свою корректность и в этом случае.
5.9. Канонические формы уравнений состояний
Перед исследованием системы ее описание обычно преобразуют -
приводят к форме, в том или ином отношении соответствующей целям и
методу решения задачи и позволяющей по возможности упростить про
цедуры исследования. Используются как преобразования формы описания,
не изменяющие его вида, так и переходы от одного вида описания к другому.
В преобразованиях первого типа часто описание приводится к некоторой
канонической - стандартной форме,
При преобразованиях важно сохранить неискаженной всю информацию
о свойствах системы и о динамических процессах в ней, содержащуюся в
исходном описании. Удовлетворяющие этим условиям описания и свя
зывающие их преобразования называются эквивалентными.
Два описания эквивалентны, если [17]
соответствующие им характеристические уравнения, а, следовательно, и
их корни, совпадают; при преобразованиях не происходит ни утраты
принадлежащих системе корней, ни приобретения посторонних;
между процессами в системе, вычисленными при использовании старого
и нового описаний, соблюдается взаимно однозначное соответствие.
На практике часто применяют и преобразования, не являюшиесЯ
эквивалентными. Это допустимо, если в новом описании удерживаются
существенные для исследования свойства системы и процессов в ней и не
102
Другая, отличная от структуры на рис. 5.9.1, реализация системы (5.9.1)
по известной передаточной функции может быть получена с помощью
Методики, изложенной в разделе 5.5. Так, для рассматриваемой системы
103
приобретаются "посторонние" свойства. При такого рода преобразованиях,
чаше всего речь идет об упрощении модели. При использовании таких
преобразований нужно ясно представлять условия их допустимости и
соотносить их с целями исследования, условиями задачи и методами ее
решения во избежание тяжелых ошибок.
Из результатов предыдущих разделов можно сделать вывод, что одной
и той же динамической системе с передаточной функцией
(5.9.1)
может соответствовать множество эквивалентных реализаций в
пространстве состояний и, следовательно, множество схем моделирования.
Что это именно так, можно достаточно легко доказать аналитически [6].
Здесь мы это посмотрим на примере.
Пусть динамическая система задана уравнениями:
(5.9.2)
Соответствующие структурная схема и граф системы представлены на
рис 5.9.1.
По структурной схеме и по графу системы нетрудно установить, что
этот вариант реализации динамической системы (5.9.2) отличается большим
количеством связей и сложностью.
Передаточная функция, соответствующая системе (5.9.1), при
имеет вид
Рис. Ь.У.1. Структурная схема и граф системы
Рис. 5.9.3. Структурная схема и граф системы (5.9.3)
Рассмотренный пример отчетливо демонстрирует наличие множества
структур моделей, соответствующих одной и той же динамической системе,
одной и той же передаточной функции. Отсюда вытекает необходимость
Для передаточной функции могут быть получены и другие
реализации. Так, эти реализации передаточной функции можно представить
как параллельное (рис.5.9.2) и последовательное (рис.5.9.3) соединение
двух апериодических звеньев, что соответствуют представлению
передаточной функции динамической системы в виде суммы и произведения
простейших дробей.
(5.9.3)
(5.9.4)
возможно представление Структурная схема и
граф этой формы математической модели представлены на рис. 5.9.2.
Рис. 5.9.2. Структурная схема и граф системы
104
выбора наиболее рациональной модели (структуры) при математическом
описании динамических систем.
На практике обычно отдают предпочтение так называемым
каноническим реализациям (каноническим формам), отличающимся
простотой математического описания и регулярной структурой. Это
обеспечивается переходом от исходного описания с помощью замены
переменных к такой системе координат, что большинство элементов
матриц в новой системе координат становятся равными нулю или
единице.
Пусть известно некоторое исходное (условно -"старое") описание
динамической системы:
(5.9.5)
Положим, что старые координаты и координаты в новой системе
описания задаются соотношением , где - некоторая матрица, а
координаты в новой системе.
(5.9.6)
где - вектор переменных в новой системе координат.
Таким образом, между матрицами системы в старой и новой системах
координат существуют связи
(5.9.7)
где и и матрицы управляемости и наблюдаемости в старой и
новой системах координат, соответственно.
При этом отметим, что
В общем случае выбор преобразующей матрицы произволен. Но,
конечно, для перехода к определенным формам описания требуется и
определенная матрица Так, матрица может быть составлена из
собственных векторов матрицы т.е. векторов, которые удовлетворяют
Уравнению , где - собственные числа матрицы .
105
το
Система с матрицей примечательна тем, что по диагонали матрицы
стоят собственные числа , а структура, реализующая такую систему, имеет
простейший вид (рис.5.9.3).
Такая система, также как и уравнение (5.9.3) с матрицами
носит название канонической формы Жордана.
В общем случае, матрица преобразования может быть сформирована,
исходя из последних соотношений (5.9.7)
(5.9.8)
Таким образом, если рассматривать проблему в качественном плане, в
пространстве состояний существуют системы координат, в которых
матрицы имеют простой вид и содержат небольшое число
коэффициентов. Такие математические описания и соответствующие им
схемы моделирования называются каноническими формами.
С инженерной точки зрения канонические формы - Это модели исходной
системы, отличающиеся простой структурой и минимальным числом
варьируемых параметров. Совокупность канонических форм можно
рассматривать, как набор типовых моделей динамических систем. Знание
свойств этих моделей и их характеристик позволяет выбирать модели,
удобные для решения конкретных задач моделирования, анализа и синтеза
систем.
Существуют и строгие математические определения и формулировки
канонических форм, но здесь они не рассматриваются; при необходимости
их можно найти в соответствующей учебно-научной литературе [4, 11].
Каждую каноническую форму (КФ) можно охарактеризовать
различными способами. Но наиболее употребительными в практике
являются следующие:
. специальные способы записи передаточной функции д и н а м и ч е с к о й
системы (в виде произведения простых дробей, в виде цепной дроби и
Если
1 0 6
т.п.) с указанием правила перехода к структурной схеме;
. указание матрицы преобразования исходной системы к канонической
форме.
Например, чтобы охарактеризовать каноническую форму Жордана для
системы с различными вещественными собственными числами достаточно
указать одно из положений, что
. матрица системы в этой КФ имеет вид , а матрица
, схема моделирования представляет собой параллельное соединение
апериодических звеньев ;
. структурная схема (граф) системы строится по передаточной функции
системы, представленной в виде суммы простейших дробей
»
. переход к КФ осуществляется с помощью матрицы составленной из
собственных векторов матрицы исходной динамической системы.
В некоторых случаях возможны и другие способы описания КФ,
например, в терминах весовой или переходной функции динамической
системы. В частности, для КФ Жордана характерно раздельное
моделирование элементарных собственных движений системы, т.е.
представление весовой функции в виде суммы
Теоретически различные способы задания КФ эквивалентны, хотя и
опираются на разный математический аппарат - технику преобразования
рациональных дробей (передаточные функции) в одном случае и методы
линейной алгебры и технику матричных преобразований (описание в
пространстве состояний) в другом. Они позволяют решать одну и ту же
задачу построения КФ различными путями, приходя к одному и тому же
результату. Но еще более эффективным является объединение указанных
видов описания, когда они дополняют друг друга и позволяют осветить одни
и те же вопросы с разных сторон. Во многих случаях совместное применение
различных способов описания динамических систем позволяет найти
наиболее эффективные и рациональные пути решения поставленных задач
анализа и синтеза систем, в связи с чем представляется, что специалист в
области систем управления динамическими объектами должен свободно
владеть каждым из них.
Число всевозможных канонических форм достигает нескольких
Десятков. Не все они имеют практическое применение. Далее, базируясь на
107
работах [4, 11], рассмотрим наиболее распространенные в практИ1(
канонические формы Фробениуса и Жордана, а также каскадных соединений
5.9.1. Фробениусовы канонические формы
Наибольший интерес представляют канонические формы, в которых
структура матриц имеет наиболее простой вид. Причем, цри
приведении уравнений к канонической форме простую структуру принимают
две матрицы из трех: и (управляемые КФ) или и (наблюдаемые Кф)
Управляемые канонические формы чаще всего используются при синтезе
регулятора, а наблюдаемые - при синтезе наблюдателей.
Основу структурной реализации этих форм составляет цепочка
последовательно включенных интеграторов, охваченных обратными
связями, причем коэффициенты обратных связей совпадают с
коэффициентами характеристического полинома (знаменателя
передаточной функции) динамической системы.
Пусть известна произвольная передаточная функция
(5.9.9)
т.е. описана динамическая система с одним входом и одним выходом.
Строчная управляемая КФ.
Структурная реализация такой КФ была достаточно подробно
рассмотрена в разделе 2.3. Здесь напомним, что она получена по методу
понижения производной (рис. 5.9.5), а все коэффициенты реализации
совпадают с коэффициентами передаточной функции (5.9.9) и не требуют
дополнительных расчетов.
108
Рис.5.9.5. Структурная схема строчно-управляемой КФ
Система дифференциальных уравнений соответствующая строчно
управляемой КФ получается, если в качестве переменных состояния
принять выходные сигналы интеграторов.
(5.9.10)
Матричная запись этих уравнений имеет вид:
(5.9.11)
где
Матрица КФ (5.9.11) имеет характерную структуру. Ее правый
верхний блок равен единичной матрице, а последняя строка образована
коэффициентами
характеристического полинома систе
мы. В линейной алгебре матрицы ти
па , а также матрицы получаемые
их транспонированием, называются
фробениусовыми (в честь немецкого
математика Г. Фробениуса). Такие
матрицы обладают рядом интерес
ных свойств [6,8]; здесь мы
упоминаем лишь одно свойство, кото
рое нам понадобится в дальнейшем -
каждая строка матричной экспо
ненты , где - матрица Фробениуса вида (5.9.11), является производной от
предыдущей строки.
Учитывая специальный вид матриц и , фробениусову КФ (5.9.11)
называют строчной управляемой КФ (другие названия: строчно-
сопровождающая КФ, КФ фазовых переменных и др.). Такое название
°бусловлено тем, что КФ (5.9.11) управляема при любых значениях
109
i
Рис.5.9.6. Граф строчно-управляемой КФ
коэффициентов передаточной функции. Наблюдаемость системы (5.9.11) не
гарантируется, она зависит от свойств пары матриц и .
Если исходная система задана произвольной тройкой матриц
то переход к канонической форме (5.9.11) возможен различными способами.
Необходимым и достаточным условием существования перехода от
произвольного описания в пространстве состояний к строчной управляемой
КФ (5.9.11) является управляемость пары , где - матрицы в
исходном описании.
Наиболее простой метод перехода к КФ (5.9.11) - метод передаточной
функции. Он основан на вычислении передаточной функции исходной
системы с последующим использованием формул (5.9.10)
и (5.9.11).
Другой метод перехода от произвольной формы описания динамической
системы в пространстве состояний к строчной управляемой фробениусовой
канонической форме основывается на использовании преобразующей
матрицы согласно формулам (5.9.7). В данном случае . Здесь
- матрица управляемости исходной ("старой") системы, а - обращенная
матрица управляемости ("новой") строчно-управляемой канонической
формы. Исходя из (5.9.11), нетрудно установить, что
Элементы - коэффициенты характеристического полинома исходной
динамической системы
Другие методы перехода не столь очевидны, требуют н ах ож д ен ия
специальных матричных форм - матриц управляемости, матриц Вандермонда
и т.д., и здесь не приводятся.
Строчная наблюдаемая КФ
Эта каноническая форма имеет в своем описании матрицы
110