Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
преобразование Лапласа. У читывая соответствия, приведённые в таблице оригиналов них
изображений, имеем:
Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения при заданных
начальных условиях имеет вид
Пример 6.3.2. Наши решение неоднородного дифференциального уравнения:
при начальных условиях:
Пусть Применяя преобразование к исходному дифференциальному
уравнению и учитывая свойства преобразования, получим:
или
I
Для облегчения обратного преобразования, представим полученные соотношения
для в виде суммы простейших составляющих:
Значения найдём, используя метод неопределённых коэффициентов.
Отсюда и получаем
Таким образом, решением исходного дифференциального уравнения при заданных
начальных условиях является функция:
131
6.4. Анализ динамических систем на основе принципа
вложения
Рассмотрим использование математической модели в форме проматриц
для анализа управляемого динамического объекта [12].
Пусть объект управления описывается следующими уравнениями
(6.4.1)
где - вектор состояний объекта управления, - вектор входных
воздействий объекта управления, - вектор выходных сигналов (реакций)
объекта управления. Динамические свойства объекта определяются заданием
тройки матриц - матрицы соответствующих размеров.
Рассмотрим закон управления в форме дробно-рационального
представления (матричные передаточные функции) составляющих закона
управления.
(6.4.2)
где - вектор независимых программных управлений на входе системы,
- матричная передаточная функция предкомпенсатора, - матричная
передаточная функция регулятора в контуре обратной связи по состоянию.
Пусть эталонная модель поведения синтезируемой замкнутой системы
описывается в пространстве состояний уравнениями:
(6.4.3)
Структура системы управления представлена на рис.6.4.1.
В общем случае движение любой замкнутой линейной д и н ам и ч ес ко й
системы представляет собой сумму свободной и в ы н у ж д ен н о й
составляющих: свободная составляющая - реакция на начальные условия;
вынужденная составляющая - реакция на внешние воздействия.
132
Рис. 6.4.1. Обобщенная структурная схема системы управления
При известной цели управления, которая задана тройкой матриц
требуется определить сигнал рассогласования между
состояниями объекта и эталонной модели:
где - матричная передаточная функция от вектора начального
условия объекта к рассогласованию состояний объекта и модели,
матричная передаточная функция от вектора внешних управляющих
воздействий к рассогласованию состояний объекта и модели.
Поставленная задача является достаточно сложной. Решим задачу по
технологии вложения систем, использующей математические модели в
форме проматриц (разд. 4.4).
Проматрица рассматриваемой задачи имеет вид:
Матрица представляет собой смешанную конструкцию: два блочных
элемента и этой матрицы являются дробно-рациональными
полиномиальными матрицами, два блочных элемента и
полиномиальные матрицы, остальные элементы матрицы - постоянные
матрицы (единичные и нулевые) соответствующих размеров.
Реверсивная проматрица рассматриваемой задачи имеет вид:
( - матричные передаточные функции от вектора к вектору )
Выполнение процедур метода вложения систем [8-10]
(6.4.4)
приводят к следующему.
133
Матрицы вложения и , входящие в тождество вложения и
определяющие место искомых передаточных функций в реверсивной
проматрице рассматриваемой задачи имеют вид:
(6.4.5) при
(6.4.6) при
Последовательное выполнение этапов вложения систем по (6.4.4):
факторизация проматрицы, факторизация матриц вложения, решение
матричных уравнений и т.д., приводит в конечном итоге к системам
разрешающих уравнений, из которых возможно определение искомых
матричных передаточных функций.
При определении матричной передаточной функции и при
использовании матриц вложения и вида (6.4.5) применение технологии
вложения дает систему уравнений:
относительно искомой матричной передаточной функции и
некоторых вспомогательных матриц и Последняя система
матричных уравнений сводится к решению уравнения
откуда следует
При определении матричной передаточной функции и при
использовании матриц вложения и вида (6.4.6) применение технологии
вложения дает систему уравнений:
Последняя система матричных уравнений приводит к искомому решению
Таким образом, решение задачи имеет вид:
134
6.5. Фундаментальные свойства линейных динамических
систем
Описание динамических систем в пространстве состояний позволяет
исследовать важнейшие фундаментальные свойства динамических систем
как устойчивость, управляемость и наблюдаемость систем [4, 8, 11].
Как и ранее/будем рассматривать стационарные системы, Упрощенные
качественные определения этих свойств выглядят следующим образом.
Устойчивость - свойство системы возвращаться в исходное состояние
равновесия после снятия внешнего возмущения на систему.
Управляемость - принципиальная возможность изменения состояния
системы с помощью входных сигналов.
Наблюдаемость - принципиальная возможность определения
состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.
6.5.1. Устойчивость линейных динамических систем
В общем случае определение устойчивости динамической системы
представляет собой весьма непростую задачу. Теоретической основой
решения задач устойчивости являются методы, разработанные А.М.
Ляпуновым. Так, было доказано, что для устойчивости (асимптотической)
всех решений линейной динамической системы необходимо и достаточно,
чтобы было устойчиво какое-либо (например, тривиальное) решение
однородного уравнения. Это утверждение, в свою очередь, приводит к тому,
что исследование устойчивости линейной неоднородной системы сводится
к исследованию решения однородного уравнения, которое целиком
определяется переходной матрицей системы
Исследование переходной матрицы позволяет, таким образом, решить
вопрос об устойчивости системы. Однако переходную матрицу не всегда
просто получить, и чаще всего необходимо вывести суждение об
устойчивости по матрице
Для стационарных систем, когда - постоянная матрица, устойчивость
динамической системы определяется по собственным (характеристическим)
числам Я матрицы Д, которые являются решениями уравнения:
Последнее уравнение носит еще и название характеристического
Уравнения. Тогда собственные числа матрицы суть корни
характеристического уравнения. В общем случае число корней
характеристического уравнения равно порядку уравнения, т.е.
135
Линейная система устойчива по Ляпунову, если
1) все собственные (характеристические) числа матрицы имеют
отрицательные или нулевые вещественные части;
2) все собственные (характеристические) числа с нулевыми
вещественными частями (если таковые имеются) являются простыми
(не кратными) корнями.
Если не выполняется хотя бы одно из условий 1), 2), то динамическая
система неустойчива.
Если все собственные (характеристические) числа матрицы имеют
отрицательные вещественные части, то динамическая система является
асимптотически устойчивой.
Таким образом, устойчивость системы определяется свойствами только
матрицы (отрицательностью вещественных частей ее собственных чисел).
Отметим, что устойчивость системы может быть определена и с
помощью алгебраических критериев Гурвица и Гаусса. В этих случаях не
требуется нахождение собственных чисел матрицы , но необходимо
определить коэффициенты характеристического уравнения системы,
заполнить или специальную матрицу, или таблицу и произвести расчеты. В
этой части методика определения устойчивости имеет классический
характер, является единой для различных форм описания динамических
систем.
Если исследуемая система нестационарна, то определение устойчивости
системы сводится к задаче вычисления и исследования переходной матрицы
. Это уже значительно более сложная задача и здесь не
рассматривается.
Пример 6.5.1. Рассмотрим динамическую систему, представленную следующими
матрицами
Требуется определить устойчивость данной системы.
Характеристическое уравнение системы имеет вид
или
Корни характеристического уравнения:
Нетрудно установить, что данная система является неустойчивой, т.к. среди корней
характеристического уравнения есть корень с положительной вещественной частью
(положительный корень).
136
6.5.2. Управляемость динамических систем
Понятие состояния динамического объекта определялось (разд.5.1 и 5.2)
как минимальная совокупность параметров, позволяющая однозначно
находить выходные сигналы объекта по заданным входным сигналам.
Понятие управляемости динамических объектов непосредственно связано с
выявлением возможности воздействовать на состояние системы, выявлением
возможности управляющих воздействий изменять вектор состояний.
Понятие управляемости впервые введено в теорию управления
Р. Калманом и формулируется следующим образом.
Определение 1. Система (6.1.1) называется полностью управляемой по
состоянию (или просто управляемой), если и только если существует
управление , переводящее ее из любого заданного начального состояния
в любой заданный начальный момент времени к любому
заданному конечному состоянию за конечное время
В противном случае система называется не полностью управляемой или,
несмотря на терминологическую неточность, неуправляемой. В такой
системе возможно перевести лишь ряд состояний в любые конечные
состояния или можно перевести все состояния не в любые, а в определенные
области пространства состояний.
Для стационарных динамических объектов можно привести следующие
эквивалентные определения управляемости [19].
Определение 2. Линейный динамический объект управляем в том и
только в том случае, если любое состояние достижимо за конечное
время из нулевого начального состояния.
Определение 3. Линейный динамический объект управляем в том и
только в том случае, если любое состояние достижимо из любого
начального состояния
Судить о том, является ли система управляемой по виду ее уравнений
состояния в общем случае (кроме одномерной системы) сложно.
Алгебраический критерий проверки управляемости линейной
стационарной динамической системы определяется следующей теоремой,
полученной Р. Калманом:
Необходимые и достаточные условия управляемости динамической
системы заключаются в том, чтобы матрица управляемости
имела ранг равный
Таким образом, управляемость динамической системы определяется
137
Пример 6.5.2. Дано описание динамической
системы (рис. 6.4.1) в пространстве состояний
Требуется определить управляемость
системы.
Решение. В матричной форме система будет
описываться уравнениями, содержащими матрицы
Здесь порядок системы
Матрица управляемости
Отсюда делаем вывод, что система неуправляема. Этот факт нетрудно установить и
по графу системы на рис.6.5.1, где видно, что управляющее воздействие к переменной
или не подходит и нет связи с другой переменной , а, значит, управляющее
воздействие на эту координату не оказывается. Следует отметить, что оценка
управляемости по графу системы, в общем случае, возможно когда структура системы
достаточно проста и описание системы приведено к канонической форме, как это было в
данном примере.
Другой алгебраический критерий управляемости определяется
следующей теоремой
Теорема. Система (6.1.1) с постоянными параметрами является
полностью управляемой по состоянию тогда и только
тогда, когда
при любых комплексных
Управляемость и иивариантность [19]. Интересно рассмотреть
взаимосвязь понятий управляемости и инвариантности, а также сопоставить
соответствующие условия, которым должны удовлетворять линейные
управляемые и инвариантные системы.
Суть проблемы инвариантности состоит в определении условий, при
которых внешние воздействия не влияют на поведение управляемых
величин. Отметим, что инвариантность исследуется относительно
управляемых величин в то время как понятие управляемости введено
применительно к вектору состояния объекта Поэтому, сопоставляя
данные понятия, будем полагать, что вектор совпадает с вектором
т.е. координаты вектора состояния в выбранном базисе и являются
непосредственно управляемыми величинами.
свойствами матриц А и В.
138
Рис. 6.5.1. Граф системы
Если обратиться к определению управляемости объекта, то можно
увидеть, что инвариантность координат по отношению к вектору
свидетельствуег о неуправляемости объекта. В общем случае
инвариантность какой-либо из координат вектора состояния по
отношению к вектору управления является достаточным условием
неуправляемости объекта. Лишь достаточность условий объясняется тем, что
из инвариантности какой-либо координат вектора в определенном базисе
пространства состояний вовсе не следует инвариантность какой-либо из
координат вектора в другом базисе. В свою очередь управляемость
объекта свидетельствует об отсутствии инвариантных составляющих вектора
состояния по отношению к вектору управляющих воздействий.
Сопоставляя понятия управляемости и инвариантности, следует также
учесть, что термин «инвариантность», по сути, относится не к объекту или
системе в целом, а непосредственно к тем или иным управляемым
величинам. При этом указывается отдельное воздействие или вектор
воздействий, по отношению к которым рассматривается инвариантность.
При сопоставлении понятий управляемости и инвариантности речь идет об
инвариантности какой-либо из координат по отношению к вектору
управляющих воздействий так как из инвариантности одной или ряда
координат лишь от отдельных составляющих вектора совсем не следует
неуправляемость объекта. В отличие от понятия инвариантности,
управляемость является свойством не отдельных координат объекта,
системы, а объекта, системы в целом.
6.5.3. Наблюдаемость динамических систем
Понятие наблюдаемость динамических объектов и систем связано с
возможностью однозначного определения начального состояния объекта
на основе знания реакции объекта на конечном интервале времени
Нетривиальность такой задачи объясняется тем, что ранг матрицы
уравнений состояния (6.1.1) в общем случае меньше размерности векгора
состояния объекта. Это означает, что невозможно мгновенно определить
текущее состояние объекта по его выходу. Так, например, свободная
составляющая выходного сигнала, согласно (6.1.14), имеет вид
где - фундаментальная матрица системы.
139
Отсюда видно, что когда размер вектора равен , а размер вектора
состояния равен , невозможно мгновенно определить текущее
состояние объекта по его выходу.
Для этого необходимо произвести измерения соответственно в моменты
времени Тогда определяется из решения соответствующей
системы линейных алгебраических уравнений, которое, как видно из (6.1.1),
зависит от матриц объекта и Независимость какой-либо составляющей
вектора от вектора говорит о невозможности получить всю
информацию о векторе путем измерения выходного сигнала объекта.
Определение 1. Линейный динамический объект, описываемый
уравнениями (6.1.1), называется наблюдаемым в том и только и том случае,
если при любых возможных начальных состояниях и конечном времени
знания матриц и реакции при достаточно для
однозначного определения вектора
Определение 2. Система (6.1.1) называется полностью наблюдаемой
(или просто наблюдаемой), если и только если на основе знания входного
и выходного векторов на любом конечном интервале времени за
этот интервал может быть восстановлен полный вектор состояния
Для стационарных объектов эквивалентно следующее определение.
Определение 3. Линейный динамический объект, описываемый
уравнениями (6.1.1) и (6.1.2), называется наблюдаемым, если при некотором
конечном времени знания входа и соответствующего выхода
достаточно для определения
Судить о том, является ли система наблюдаемой по виду ее уравнений
состояния в общем случае (кроме одномерной системы) также сложно.
Алгебраический критерий проверки наблюдаемости стационарной
линейной динамической системы, полученный Р. Капманом, определяет
следующее:
Необходимые и достаточные условия наблюдаемости
динамической системы заключаются в том, чтобы матрица
наблюдаемости имела ранг равный
Таким образом, наблюдаемость динамической системы определяется
свойствами матриц и
Пример 6.5.3. Рассмотрим наблюдаемость динамической системы (рис.6.5.2),
140