Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
заданной уравнениями
Решение. Нетрудно установить визуально по графу
системы, что такая динамическая система управляема, но
ненаблюдаема.
Аналитическиекритерии дают следующие результаты.
Порядок системы
Матрица наблюдаемости
, т.е. система ненаблюдаема. Из графа системы на рис. 6.5.2 видно,
что координата не соединена с выходом системы
Попутно определим и управляемость этой системы. Матрица управляемости
, т.е. система полностью управляема.
Пример 6.5.4. Известна математическая модель динамической системы
(рис.6.5.3):
Установить управляемость и наблюдаемость исследуемой
системы.
Порядок системы
, т.е. система полностью
управляема.
, система полностью наблюдаема.
Другой алгебраический критерий наблюдаемости определяется
следующей теоремой
Теорема. Система (6.1.1) постоянными параметрами является
полностью наблюдаемой по состоянию тогда и только
тогда, когда
при любых комплексных .
Наблюдаемость, управляемость и инвариантность [19]. Условия
инвариантности вектора выходных координат многосвязной системы
управления (либо многосвязного объекта) по отношению к управляющим
воздействиям можно записать в виде (полагаем )
Рис. 6.5.2. Граф системы
Рис.6.5.3.Граф системы
Продифференцировав данное выражение раз по , учитывая при этом
вид дифференциального уравнения, которому удовлетворяет
фундаментальная матрица , можно получить . Наконец,
полагая в последнем выражении и учитывая, что , можно
записать необходимые условия инвариантности в следующем виде
(6.5.1)
Если сравнить полученный результат с матрицей управляемости , то
из (6.5.1) следует, что -мерные столбы матрицы ортогональны вектор-
строкам матрицы Это означает, что матрица имеет не более
независимых столбцов, т.е. инвариантная система является неуправляемой.
Соотношение (6.5.1), используя законы матричной алгебры, можно
переписать в эквивалентной форме
(6.5.2)
Тогда, сравнивая последнее полученное соотношение с матрицей
наблюдаемости , аналогично вышерассмотренному можно показать, что
инвариантная система является ненаблюдаемой.
По теореме о канонической декомпозиции
Р. Калмана для линейных динамических систем
любую систему можно рассматривать, как
прямую сумму следующих четырех подсистем:
полностью управляемую и наблюдаемую
подсистему ; полностью управляемую, но
ненаблюдаемую подсистему ; полностью
неуправляемую, но наблюдаемую подсистему
; полностью неуправляемую и
ненаблюдаемую подсистему . Указанная
декомпозиция системы на подсистемы показана на рис. 6.5.4.
Тогда, обобщая полученные результаты, можно сформулировать
следующую теорему [19]:
Теорема. Для инвариантности линейной стационарной динамической
системы необходимо и достаточно, чтобы система была не полностью
управляемой и наблюдаемой и чтобы в ней отсутствовала управляемая и
наблюдаемая часть.
Другая формулировка теоремы: система инвариантна тогда и только
тогда, когда ее управляемая часть ненаблюдаема, а наблюдаемая часть
неуправляема.
Рис. 6.5.4.
142
6.6. Формализация оценки качества линейных
динамических систем
Качество функционирования динамических систем, прежде всего систем
автоматического управления (САУ), проявляется в тех переходных
процессах, которые развиваются в системе при определенных внешних и
внутренних условиях функционирования - как вследствие реакции системы
на возмущающие воздействия или отработки системой задающих воздей
ствий или вследствие отклонения системы от равновесного состояния, т.е.
при эволюции из возмущенного начального состояния.
Одноканальные системы управления
в наиболее общем виде могут быть
представлены укрупненной блок-схемой,
изображенной на рис. 6.6.1.
Здесь - скалярные
переменные, имеющие смысл входного сигнала объекта, выходного сигнала
(реакции) объекта, внешнего задающего воздействия, сигнала
рассогласования и сигнала возмущения соответственно.
В линейных стационарных динамических системах переходная функция
представляет собой реакцию системы на внешнее воздействие в виде
единичной ступенчатой функции Она является важнейшей
характеристикой качества переходных процессов в системе. При этом для
следящих систем качество системы отражается переходной функцией по
отношению к задающему воздействию, а для систем стабилизации - по
отношению к возмущению.
Оценивать качество систем и сравнивать их между собой по текущим
ошибкам и переходным функциям неудобно. Поэтому для оценки качества
систем используют показатели качества, которые характеризуют переходные
функции [15]. Так, в инженерной практике часто оценивают качество
переходных процессов в САУ по виду и параметрам переходной
характеристики. Эти показатели и принимаются за меру качества регулиро
вания. Они носят название прямых показателей качества, т.к. определяются
непосредственно из кривой переходного процесса. При этом переходная
характеристика системы может строиться как для регулируемой переменной
, так и для рассогласования. На рис. 6.6.2 приведены графики
переходных характеристик астатических САУ применительно к задачам
слежения и стабилизации
143
Регулятор
0 6*ект
упражнения
Рис.6.6.1.
Основными прямыми показателями качества САР являются (рис.6.6.2):
1) Установившееся значение (статическое отклонение) регулируемой
переменной в переходном процессе:
определяющее статическую точность - установившееся рассогласо
вание - системы:
Очевидно, что для астатических систем
2) Время регулирования или время переходного процесса ,
характеризующее быстродействие системы и определяемое из условия
окончания (затухания) реального переходного процесса по ре
гулируемой переменной:
где - малая постоянная величина, определяющая вилку не
чувствительности САУ (обычно принимают
Следует заметить, что в идеальной линейной системе переходный про
цесс бесконечен, поэтому временем регулирования принято считать
промежуток времени, в течение которого сигнал рассогласования снижается
до такой величины, на которую система уже не реагирует из-за ограниченной
чувствительности ее элементов.
3) Положительное перерегулирование , характеризующее склонность
системы к колебаниям и определяемое по наибольшему положительному
отклонению (максимальному выбросу) регулируемой переменной
относительно ее установившегося значения :
при
Рис. 6.6.2
144
при
Следовательно, для систем стабилизации вместо перерегулирования
рассматривается сама величина наибольшего положительного отклонения
регулируемой переменной в переходном процессе.
В дополнение к основным перечисленным прямым показателям качества
САР в инженерной практике используются также и такие прямые показатели
переходного процесса, как время нарастания переходной характеристики, т.е.
время достижения характеристикой 50-60% от установившегося значения,
время достижения максимума переходной характеристики, число колебаний
(число максимумов) переходной характеристики за время регулирования и
др.
Наряду с прямыми показателями существуют и используются в
инженерной практике также и косвенные показатели качества САР. Это, как
правило, числовые показатели, которые определяются не прямо по кривой
переходного процесса и потому могут служить лишь приближенными
оценками качества системы. Они характеризуют лишь отдельные стороны ее
переходного процесса.
Различают три основных вида косвенных показателей качества:
корневые, частотные и интегральные.
К корневым показателям качества САУ относятся степень устойчивости
и колебательность.
Степенью устойчивости называется расстояние от мнимой оси до
ближайшего корня на плоскости корней характеристического уравнения
устойчивой системы:
где - -й корень характеристического уравнения.
Колебательность устойчивой САУ определяет минимальный сектор
с вершиной в начале координат комплексной плоскости, содержащий все
корни характеристического уравнения:
Степень устойчивости и колебательность косвенно характеризуют
быстродействие системы и склонность ее к колебаниям.
Приближенно качество переходных процессов в системе можно оце
нивать практически по любым ее частотным характеристикам - веще
145
ственной, амплитудной, амплитудно-фазовой (АФЧХ) и логарифмической
(JIA4X) частотным характеристикам.
Наибольшее распространение среди частотных показателей качества
САУ получили: показатель колебательности, а также запасы устойчивости
по амплитуде и по фазе.
Интегральные показатели качества САУ представляют собою попытку
одним функционалом оценивать весь ход протекания переходных процессов
в системе. Наиболее употребительны такие интегральные показатели
качества, как линейная и квадратичная интегральные оценки качества
переходной характеристики вида
где
Несмотря на видимое удобство интегральных показателей качества
системы, самый существенный недостаток связан с тем, что одному и тому
же значению интегрального показателя отвечают переходные процессы,
сильно отличающиеся своими локальными свойствами (апериодичность,
монотонность, колебательность и т.д.).
Приведенное понятие о прямых и косвенных показателях качества САУ
связано с оценкой качества ее переходной характеристики относительно
задающего воздействия Следует подчеркнуть, что чем более
качественней переходная характеристика системы, тем более
качественно САУ отрабатывает произвольное задающее воздействие .
6.7. Сравнение форм математических моделей
динамических систем
Для описания матричных (многосвязных, многомерных, MIMO-систем)
динамических систем могут использоваться различные формы и
конструкции. Но они неравноценны с точки зрения представления свойств
этих систем.
Так, может использоваться алгебраический подход, когда
математическая модель системы в пространстве состояний представляется в
форме дифференциального и алгебраического уравнений
(6.7.1)
где - вектор состояния, - вектор управления, - выходной вектор,
начальный момент времени, - начальное значение вектора состояния.
146
Эта же модель в пространстве состояний в операторной форме имеет вид:
(6.7.2)
где - вещественные матрицы коэффициентов соответствующего
размера, - оператор дифференцирования по времени.
Подход на основе матричной передаточной функции опирается на
представление системы в виде матричной конструкции
(6.7.:,)
где обозначает матричную передаточную функцию от входа к
выходу и начальные условия по определению считаются нулевыми. При
необходимости учесть начальные условия можно перейти к матричному
представлению
(6.7.: j
Подход к описанию систем и решению различных задач управления,
названный вложением систем, предполагает представление этой же системы
в блочно-матричном виде
(6.7.5)
полученном на основе модели (6.7.2) и регуляризирующего пополнения этой
модели тождеством . - проблемная матрица (проматрица) системы
(6.7.2). Представление (6.7.5) также допускает рассмотрение начальных
условий.
Со структурной точки зрения описание системы в форме (6.7.1) или
(6.7.2), с одной стороны, и в форме (6.7.3), с другой стороны, эквивалентны
тогда и только тогда, когда пара управляема, а пара наблюдаема
[15].
Как уже отмечалось выше, по теореме о канонической декомпозиции .
Калмана для линейных динамических систем любую систему можно
рассматривать как прямую сумму следующих четырех подсистем: полностью
управляемую и наблюдаемую подсистему ; полностью управляемую, но
ненаблюдаемую подсистему ; полностью неуправляемую, но
наблюдаемую подсистему ; полностью неуправляемую и ненаблюдаемую
подсистему . Указанная декомпозиция системы на подсистемы показана
на рис. 6.5.4, где видно, что все причинные связи между входом и выходом
147
обязательно проходят через подсистему и только через нее.
Требование управляемости и наблюдаемости всей системы состоит в
отсутствии в ее канонической структуре остальных подсистем
Поэтому представление в форме матричной передаточной функции вида
(6.7.3) принято называть минимальной реализацией системы.
Математические модели в пространстве состояния вида (6.7.1) и (6.7.2)
принято называть неминимальной реализацией системы, которая отображает
тонкую структуру системы. Тогда, структура системы, получаемая из
является частью тонкой структуры, которая может быть получена из
представления в пространстве состояния (6.7.1) и (6.7.2). Такое различие в
получаемых структурах связано с эффектом сокращения части полиномов
числителей и знаменателей различных элементов матрицы
(развязанные нули, ненаблюдаемые и неуправляемые моды).
Следует отметить, что неучет подсистем может привести
проектировщика системы к ошибочным выводам о ее работоспособности.
Свойства объекта и его структура в ряде случаев ограничивают возможности
управления им, а иногда делают их просто невозможными. Поэтому
первоочередными вопросами, возникающими при проектировании
регуляторов и пр., являются вопросы о «математической и технической
корректности» постановки задачи, т.е. вопрос о существовании решения
поставленной задачи управления и вопрос о возможности практической
реализации этого решения.
Другое замечание можно сделать, сопоставляя характеристическое
уравнение всего объекта и характеристическое уравнение объекта, опре
деляемое передаточной функцией, т.е. моделью типа «вход-выход». Можно
убедиться в том, что описание уравнений динамики объекта при помощи
передаточных функций не является в общем случае исчерпывающим и
характеризует лишь управляемую и наблюдаемую части объекта.
Игнорировать существование неуправляемых и ненаблюдаемых частей
объекта (если таковые имеются) недопустимо, так как в этом случае ма
тематическая модель объекта, построенная лишь согласно характеристикам
«вход-выход», приводит к ошибочным выводам (как количественным, так
зачастую и качественным) о свойствах объекта и всей системы управления в
целом.
Следует также отметить, что представление системы с помощью
проматрицы обладает исчерпывающей полнотой. Так, в силу свой полноты
проматрица (6.7.5) обладает двухсторонней обратимостью независимо от
148
задания матриц системы:
Отсюда следует единственность обратной к (6.7.5) матрицы или
рснроматрицы . Репроматрица содержит в качестве блоков все
возможные матричные передаточные функции системы, включая (6.7.3), а
именно:
(6.7.6)
Отсюда следует, что набор передаточных функций в (6.7.6) и исходная
запись системы в форме проматрицы связаны между собой изоморфным
преобразованием. Вся информация о структуре системы, в том числе и о
тонкой структуре, как в (6.7.5), так и в (6.7.6) содержится в полном объеме.
Вместо заключения
Моделирование систем и процессов, исследование различных явлений
на моделях стало одним из основных методов изучения сложных
динамических систем. Существует всеобъемлющий аппарат современной
математики, мощные средства вычислительной техники, развитые
компьютерные технологии обработки информации, которые позволяют
успешно решать любые практические задачи, стоящие перед обществом.
Тема моделирования и разработки математических моделей процессов,
явлений, объектов, систем практически неисчерпаема. В данном учебном
пособии была предпринята попытка рассмотреть только некоторые основные
формы математических моделей и пути разработки этих моделей. И изучение
приведенных здесь материалов следует рассматривать как первые шаги в
большую, интересную и очень перспективную область современного
естествознания.
149
Литература
1. Кусимов С/Г., Ильясов Б.Г., Васильев В.И. и др. Модели систем
автоматического управления и их элементов: учебное пособие для вузов -М.:
Машиностроение, 2003. -214 с.
2. Перегудов Ф.И., Тарасенко Φ.1Ι. Введение в системный аналнз: учебное пособие
для вузов. -М.: Высшая школа, 1989. -357 с.
3. Введение в математическое моделирование: учебное пособие / под ред. П.В.
Трусова - М.: Интернет Инженерши , 2000. -336 с.
4. Андреев IO.II. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука
1984. -424 с.
5. Основы теории оптимального управления / иод ред. В.Ф. Кротова М.: Высшая
школа, 1990. -430 с.
6. Ш аталов А.С. Отображение процессов управления в пространстве состояний. - М.:
Энергоатомиздат, 1986. -256 с.
7. Робишо Л., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и их приложение к
электрическим цепям и машинам. М.: Энергия, 1964. -248 с.
8. Первозпаиский А.А. Курс теории автоматического управления. -М.: Наука, 1986
-616 с.
9. Κοριι Г., Κοριι Т. Справочник по математике для научных работником и
инженеров. - М.: Наука, 1973 -831 с.
10. Справочник по теории автоматического управления /под ред. А.А.Красовского-
М.: Наука, 1987. -712 с.
11. Мироновский Л.А. Аналоговое и гибридное моделирование. Скалярные системы.
1985. -112 с., Многомерные системы. - Л.: ЛИА11, 1986. -88 с.
12. Буков В.Н., Рябченко В.Н. Вложение систем Проматрицы // Автоматика и
телемеханика. 2000. №4. С.20-33.
13. Буков B.U., Рябченко В.Н. Вложение систем. Скалярные образы // Автоматика и
телемеханика. 2000. №5. С.3-19.
14. Буков В.Н., Рябченко В.Н. Вложение систем. Произвольные образы // Автоматика
и телемеханика. 2000. №12. С.3-14.
15. Солодовннков В.В., Филимонов Н.Б. Динамическое качество систем
автоматического регулирования. -М.: Изд-во МВТУ им. Н. Баумана, 1987. -84 с.
16. Асанов А.З. Метод пространства состояний в задачах анализа динамических
систем. -Наб. Челны, Изд-во Камск. политехи, ин-га, 1992. -82 с.
17. Соболев О.С. Методы исследования линейных многосвязных сисгем. -М.:
Энергоатомиздат, 1985.-120с
18. Деруссо II., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. -М.:
Наука, 1970. -620 с.
19. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем
управления. -М .: Наука, 1973. -464 с.
150