Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
Граф строчной наблюдаемой КФ приведены на рис. 2.25
Переход от произвольной переда
точной функции (2.67) к строчной наблю
даемой КФ заключается в совершенно три
виальном определении элементов матриц
и и в вычислении элементов матрицы
с помощью следующего соотношения1,
(5.9.13)
Характерной особенностью этой КФ является то, что так называемая
матрица наблюдаемости системы в этом случае имеет вид:
т.е. является единичной и ее ранг всегда равен Отсюда делаем вывод о
том, что такая КФ всегда наблюдаема (управляемость не гарантируется).
Учитывая это, а также вид матрицы , данная КФ называется строчной
наблюдаемой КФ. Необходимым и достаточным условием существования
перехода от произвольного описания в пространстве состояний к строчной
наблюдаемой КФ (2.70) является наблюдаемость пары , где
матрицы в исходном описании.
Переход к строчной наблюдаемой КФ от произвольной наблюдаемой
(5.9.12)
111
Рис. 5.9.7.Граф строчной наблюдаемой КФ
системы может быть осуществлен с помощью преобразующей матрицы
по формулам:
(5.9.14)
Проиллюстрируем приведенные методы получения строчной
наблюдаемой КФ на примерах.
П ример 1. Исходная система описывается передаточной функцией
В этом случае матрицы и определяются легко
Для определения матрицы воспользуемся соотношением (5.9.13 )
откуда т.е.
П ример 2. Исходная система описывается в пространстве состояний уравнениями,
содержащими следующие матрицы
Описание этой же системы в строчной наблюдаемой канонической форме возможно,
т.к. матрица наблюдаемости имеет ранг равный 2, т.е. система
наблюдаема.
Преобразующая матрица а
Тогда по формулам (5.9.14)
Для проверки определим матрицу наблюдаемости полученной канонической формы
система наблюдаема.
В заключении отметим, что существуют и другие фробениусовы
канонические формы (столбцовая управляемая КФ, столбцовая наблюдаемая
КФ и др.). Общей чертой рассмотренных и нерассмотренных здесь
канонических форм является фробениусова (сопровождающая) структура
матрицы А, в которой все варьируемые элементы матрицы расположены в
последней строке или последнем столбце. Значения этих элементов во всех
случаях совпадают с точностью до знака с к оэф ф и ц и ен там и
112
характеристического полинома системы.
Кроме этого, в каждой КФ одна из матриц или имеет максимально
простой вид (один элемент единичный, остальные - нулевые); элементы
другой матрицы могут принимать различные значения.
Управляемые КФ допускают очевидное обобщение на системы с одним
входом и произвольным числом выходов (рис. 5.9.8), а наблюдаемые КФ
обобщаются на системы с произвольным числом входов и одним выходом
(рис. 5.9.9).
Рис. 5.9.8. Граф управляемой КФ Рис. 5.9.9. Граф наблюдаемой КФ
системы с одним входом и т выходами системы с т входами и одним выходом
S.9.2. Ж орданова (параллельная) каноническая форма
Суть параллельной КФ состоит в разложении исходной системы на
независимые параллельные подсистемы (см. примеры раздела ...). При этом
сумма порядков подсистем равняется общему порядку системы, а такое
представление в целом удобно для анализа динамики системы и
исследования ее свойств.
Для получения параллельной КФ передаточную функцию системы
представляют в виде суммы простейших дробей, каждую из которых
реализуют с помощью отдельной схемы. Если корни знаменателя
передаточной функции вещественны и различны, то возможно разложение
вида:
(5.9.15)
гДе - постоянные коэффициенты, которые можно найти, приведя
правую часть равенства к общему множителю и приравнивая коэффициенты
числителей при соответствующих степенях переменной в левой и правой
частях равенства. Легко увидеть, что реализации передаточной функции
соответствует параллельная структура, изображенная на рис. 5.9.10.
Отметим, что существование и единственность параллельной КФ
113
определяется единственностью представления любой дробно-рациональной
передаточной функции в виде суммы простейших дробей.
Описание параллельной КФ в пространстве состояний может быть
легко получено из графа
системы на рис. 5.9.10.
(5.9.16)
где - корни характеристического уравнения динамической системы,
- постоянные коэффициенты.
В матричной записи это описание имеет вид:
(5.9.17) где
Отсюда видно, что характерным признаком описания параллельной КФ
в пространстве состояния является диагональность матрицы : по главной
диагонали матрицы располагаются собственные числа матрицы (или по
другому, корни характеристического полинома системы).
Уже отмечалось нами, что для приведения матрицы к диагональному
виду необходимо в качестве координатных осей в пространстве состояний
использовать базис, состоящий из собственных векторов этой матрицы. По
этой причине параллельную КФ называют также жордановой КФ·
Следовательно, для перехода от произвольного описания системы в
пространстве состояний к параллельной КФ необходимо отыскание
собственных векторов исходной матрицы и вы пол нен ие
преобразования подобия по формулам
(5.9.18) где
Здесь особо отметим то обстоятельство, что процедура перехода к
параллельной КФ не обусловлена никакими условиями управляемости или
114
Рис. 5.9. !0. Граф параллельной КФ системы (5.9.16)
Рис. 5.9.11. а) Г раф исходной системы; б) Граф параллельной КФ
115
наблюдаемости исходной системы, как это было ранее при переходе к
фробениусовым КФ.
Пример. Динамическая система задана в пространстве состояния уравнениями
Матрицы данного исходного описания имеют вид:
Требуется найти параллельную КФ данной системы.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:
Корни характеристического уравнения системы или, что равнозначно, собственные
числа матрицы
Собственные векторы получаем, решая уравнения:
и выбирая три линейно-независимых решения
Тогда
Для получения параллельной КФ осуществим замену переменных Тогда по
формуле (2.74) имеем
Рис. 5.9.11 иллюстрирует структуры исходной и результирующей систем.
Уравнение состояния системы при выборе в качестве переменных
состояния выходные сигналы интеграторов, имеют вид:
(5.9.20)
Матрицы имеют вид:
(5.9.21)
Как видно, полученная матрица уже не является диагональной. Корню
кратности в ней соответствует матричная клетка ,размеров
116
В случае, если в исходной системе имеются кратные собственные числа
матрицы (или иначе говоря, кратные корни характеристического
полинома), форма записи параллельной КФ системы усложняется.
Так, пусть имеется корень кратности . Тогда разложение
передаточной функции на простейшие дроби принимает вид:
(5.9.19)
Такому разложению соответствует граф, приведенный на рис.5.9.12.
Рис. 5.9.12. Граф системы (5.9.19)
Матрицы такого вида (с единицами над главной диагональю)
называются клетками Жордана.
В случае нескольких кратных корней матрица , соответствующая
параллельной КФ, будет иметь так называемую жорданову нормальную
форму:
где - клетки Жордана.
Число клеток равно числу различных корней характеристического
уравнения системы, а размеры их определяются кратностью корней.
При наличии пары комплексных сопряженных корней
соответствующие им две простейшие дроби первого порядка в разложении
объединяются в одну дробь второго порядка с вещественными
коэффициентами.
(5.9.22)
Соответствующая (5.9.22) строчная управляемая реализация этой
дроби имеет вид, представленный на рис. 5.9.13.
Рис. 5.9.14. Граф, параллельной КФ , при наличии
двух комплексны х корней
117
Рис.5.9.13. Реализация дроби (5.9.22)
Граф параллельной КФ при наличии двух комплексных сопряженных
корня представлен на рис. 5.9.14. Нетрудно увидеть, что в матричной записи
комплексная клетка Жордана будет выражать фробениусовой формой
(5.9.23)
Таким образом, при наличии пары комплексных корней в жордановой
нормальной форме одна из клеток будет представлять собой матрицу
(5.9.23). В случае кратных комплексных корней клетки Жордана примут
еще более сложный вид.
5.9.3. Последовательная (каскадная) каноническая форма
Исходная динамическая система может быть представлена и в виде
последовательно соединенных подсистем
(5.9.24)
Такое представление называется последовательной или каскадной КФ
системы. Очевидно, что сумма порядков подсистем равна порядку исходной
системы.
Обычно, для получения каскадной КФ передаточную функцию
динамической системы представляют в виде произведения простых
дробей 1-го или 2-го порядка. Каждую из этих дробей реализуют с помощью
отдельной схемы.
Допустим, - нули, а - полюсы передаточной функции . Если
все они вещественны и различны, то возможно разложение следующим
образом:
(5.9.25)
где
Каждая из простых дробей может быть реализована структурами,
представленными на рис.5 .9 .1 5 , а реализация самой п е р е д а то ч н о й функции
Рис. 5.9.15. Реализации простых дробей I порядка .
а), б) при , в) при
118
119
Матричное описание последовательной КФ рассмотрим на реализации
двух крайних случаев: и Пусть , тогда
(5.9.26)
Реализация КФ будет представлять собой последовательное соединение
апериодических звеньев I порядка, описываемое следующей системой
уравнений
Матричная запись этой системы
характеризуется матрицами
Если , то
Уравнения в пространстве состояний в общем случае имеют вид:
(5.9.25) - на рис. 5.9.16.
Отметим тот немаловажный момент - структура последовательной КФ
не зависит от наличия кратных корней характеристического полинома.
Рис. 5.9.16. Граф последовательной КФ системы (5.9.25)
Матричная запись системы в этом случае характеризуется матрицами
Таким образом, матрица последовательной канонической формы при
имеет треугольный вид, а при - двухдиагональный. Случаи
характеризуются промежуточной структурой матриц
Наличие у передаточной функции комплексных нулей или полюсов
усложняет структуру реализации последовательной канонической формы. В
этом случае кроме блоков I порядка появляются и блоки II порядка с
передаточными функциями одного из трех типов:
120