Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

А.З. АСАНОВ

Моделирование и анализ

динамических систем

Учебное пособие

Набережные Челны

2004

УДК 6813.06 (076)

А90

Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем:

Учебное пособие. - Набережные Челны: Изд-во Камского

государственного политехнического института, 2004 . - 152 с.: ил.

ISBN 5-9536-0032-1

В учебном пособии даны описания основных форм

математических моделей динамических систем, используемых в

современной теории управления, даны понятия и способы выявления

фундаментальных свойств динамических систем, таких как

устойчивость, управляемость, наблюдаемость.

Пособие разработано на кафедре автоматизации и

информационных технологий КамПИ и предназначено для

теоретической и самостоятельной работы студентов специальностей

2102, 1211 при изучении моделирования систем управления, теории

автоматического управления, систем автоматизированного

проектирования систем управления, автоматизации технических

объектов и технологических процессов, при выполнении курсового и

дипломного проектирования.

Табл. 1. Ил. 55. Библиогр.19 назв.

Рецензенты:

кафедра технической кибернетики Уфимского государственного

авиационного технического университета (зав. кафедрой -

заслуженный деятель науки и техники РФ и РБ, доктор техн. наук,

проф. Б.Г. Ильясов);

доктор техн. наук, проф. Байрамов Ф.Д.;

доктор физ.-мат. наук, проф. Габбасов Н.С.

политехнический институт,

2004 год.

ISBN 5-9536-0032-1

Предисловие

В инженерной практике значительное место занимает проблема

построения модели с целью исследования и познания с ее помощью

закономерностей, присущих интересующему нас объекту, явлению или

процессу. Необходимость построения модели в инженерном деле во многом

сходна с необходимостью построения моделей в научных исследованиях с

целью познания объектов, явлений, процессов окружающего нас мира. В

общем, случае модель устанавливает качественное или количественное

взаимоотношения между различными характеристиками и связями,

присущими исследуемому объекту, явлению или процессу.

В общем случае, процесс построения модели может быть схематически

представлен следующим образом. Реально существующий объект (явление

или процесс) находится под воздействием многочисленных возмущений

(факторов), определяющих его состояние или реакцию. Объект наделен

какими-то неизвестными свойствами, для исследования которых и

производится построение модели. Исследователь наблюдает возмущения,

действующие на объект, реакцию объекта, а затем производит (строит)

модель. Модель может быть умозрительной, качественной, количественной,

представленной в виде словесного описания, схемы, чертежа, ма

тематического уравнения, макета и т. д. Естественно, считать, что

построенная модель реального объекта удовлетворительна, если значения

реакций на выходе модели и объекта близки. Таким образом, сущность

моделирования заключается в замене реальной системы (процесса, явления),

ее отдельных элементов моделью, которая находится с ней в некотором

соответствии и способна воспроизводить интересующие исследователя

свойства или характеристики реальной системы.

Процесс построения моделей и использование моделирования для

познания явлений окружающего нас мира применяется с древних времен.

При этом по мере увеличения наших знаний об отдельных явлениях

изменялись как методы построения модели, так и результаты самого моде

лирования.

Познание любой системы, явления, процесса сводится, по

существу, к созданию ее модели.

Перед изготовлением каждого устройства или сооружения

разрабатывается его модель-проект.

Любое произведение искусства является моделью, фиксирующей

действительность.

Человек, прежде чем совершить что-либо, обдумывает возможную

последовательность действий или интуитивно руководствуется

определенными установившимися апробированными моделями поведения.

Исторически сложилось так, что в каждой отрасли науки, задачи

познания мира, построения моделей развивались на базе собственных

методов и средств и для этой цели разрабатывались свои подходы и языки.

Так, если еще совсем недавно в философии, биологии, социологии, эконо

мике, литературе основным языком оставался разговорный язык, то в физике,

механике, термодинамике основным языком являлся математический, в

химии, живописи, музыке - свои собственные языки, в инженерном деле -

язык схем, чертежей и т д. В последние годы в связи с появлением

современных вычислительных средств возможности моделирования и

проникновение математических методов значительно возросли. Поэтому

моделированию как методу отображения реальной действительности или как

методу изучения объективных законов, методам построения моделей

объектов и решению ряда других общетеоретических проблем в последние

годы уделяется значительное внимание. Особенно возросла роль

моделирования в кибернетике. Это, в первую очередь, связано с ростом

сложности объекта управления, для которого решение задач управления

(выбора параметров и структуры систем управления, алгоритма и т.д.) не

может быть осуществлено без предварительного моделирования.

Развитие и широкое распространение средств вычислительной техники

привело к значительному повышению интереса к методам математического

моделирования как в технике и науке, так и в других областях, в том числе и

общественных. С помощью моделей, реализованных на ЭВМ, можно решать

большинство задач анализа, проектирования новых сложных систем,

осуществлять выбор наилучших вариантов решений, осуществлять анализ и

прогнозирование поведения экономических систем, решать много других

задач.

1. Общие положения теории моделирования1

1.1. Моделирование как метод исследования сложных

систем

Под моделированием в широком смысле понимают не только процесс

построения, изучения и совершенствования моделей, но и использование их в

научных исследованиях, в том числе и экспериментальных, а также

применение их непосредственно в процессах планирования, управления,

прогнозирования, контроля и т.д.

Моделирование как метод исследования является мощным инст

рументом познания на протяжении всей истории развития человечества.

Одним из примеров созданной человеком системы моделей, адекватно

отражающей широкий класс явлений и процессов реального мира, являются

модели классической механики.

Моделирование как инструмент познания требует творческого подхода и

определенного искусства владения им. С другой стороны, моделирование как

наука опирается на научные знания той области, где этот инструмент

познания используется. Например, для построения математической модели

летательного аппарата (ЛА) требуются знания законов аэродинамики,

механики, движения ЛА в воздушной и безвоздушной среде. Только глубокие

профессиональные знания исследователя в сочетании с творческим подходом

к решаемой проблеме могут быть основой для успешного применения метода

моделирования. Сам процесс моделирования предполагает такой способ

изучения объекта, при котором модель, с точки зрения цели исследования,

вполне точно (адекватно) и достаточно полно замещает изучаемый объект.

Существует достаточно большое число определений понятия «модель».

Одни из них слишком абстрактны, другие - слишком конкретны. Все они

отражают ту или иную сторону этого многогранного понятия.

Модель - это вспомогательный объект (устройство, средство), который

может заменить другой объект.

Модель - это упрощенное представление другого объекта или процесса.

Модель - это форма представления и существования наших знаний.

Модель - это инструмент познания окружающего мира.

В дальнейшем будем придерживаться следующего определения понятия

модели, которое; является более узким и более конкретным [1].

1 Модели систем автоматического управления и их элементов: учебное пособие для вузов / С.Т. Кусимов,

Б.Г. Ильясов, В.И. Васильев и др. - М.: Машиностроение, 2003. -214 с.

Определение 1. Объект М является в определенных условиях моделью

системы (объекта, процесса, явления, ситуации) S относительно некоторого

множества С, его характеристик (свойств, признаков), если М строится для

имитации S по этим характеристикам.

Таким образом, модель и исходная система эквивалентны относительно

множества воспроизводимых характеристик:

При этом следует иметь в виду, что модель М по сравнению с ориги

налом S имеет существенные преимущества: наглядность, простоту,

обозримость, легкость преобразований с ней, возможность проведения

испытаний и получения с ее помощью новых знаний, информации.

Само понятие модели претерпевало так же, как и понятие системы,

определенную эволюцию. Эволюция моделей отражает эволюцию процесса

познания.

Так, на ранних этапах под моделью понимали некоторое физическое

устройство (объект), которое в определенных условиях заменяет другой

объект. Примерами таких устройств могут служить модели самолетов,

кораблей, машин, различные макеты, шаблоны, протезы и т.д.

На следующем этапе под моделью объекта понимался объект-

заменитель, который отражал лишь интересующие исследователя свойства и

характеристики объекта-оригинала. При этом модель перед объектом обладал

такими преимуществами, как наглядность, простота, обозримость,

доступность для эксперимента, возможность идентификации и т.д. Само

понятие модели уже значительно расширено и включает в себя чертежи,

таблицы, характеристики, графики, рисунки, картографические изображения,

различные формы описания устройств и т.д.

На третьем же этапе в понятие модели включают на только реальные

(физические, материальные), но и абстрактные (идеальные) построения.

Примером последних могут служить идеи, гипотезы, теории, ма

тематические, логические и имитационные модели. В форме математической

модели можно описать и типовую деятельность человека-оператора в

организационно-технических системах. Сам процесс мышления можно

трактовать как процесс последовательного перехода от одних абстрактных

моделей к другим. При этом модель выступает как форма существования и

представления знаний об исследуемом объекте, явлении, процессе, системе.

Таким образом, познание материального мира идет через модели, а

целенаправленная деятельность человека невозможна без моделирования.

Укажем и на другие свойства моделей. Во-первых, модель очень

информативна, а эта информация представлена в весьма сжатом виде. Во-

вторых, модель иерархична, т.е. есть модели более высокого уровня

(например, модель системы управления) и более низкого (например, модели

элементов систем управления). В-третьих, модель уточняется и

корректируется в процессе моделирования, т.е. недостатки модели нельзя

предугадать заранее. В-четвертых, модель может выступать в качестве

эталона, идеализирующего собой различные формы деятельности:

управление, планирование, принятие решений, прогнозирование, контроль и

т.д. Например, в адаптивных системах управления техническими объектами

реализуется принцип управления по эталонной модели. С этой точки зрения

цель системы управления часто выступает в качестве модели будущего

(желаемого) состояния системы. А алгоритм можно рассматривать как модель

формирования управляющих воздействий, направленных на перевод объекта

управления из одного состояния в другое. При этом модель привода

рассматривается как модель исполнения управляющих воздействий путем

перемещения органов регулирования, а модель информационных элементов

(датчиков) - как модель обработки и преобразования первичной информации.

Таким образом, исследование системы управления происходит через

построение моделей ее элементов и изучение свойств системы путем

моделирования ее поведения в различных условиях.

Необходимо помнить и о главном недостатке метода моделирования,

который заключается в том, что при моделировании можно иолучить

результаты, не имеющие отношения к исследуемым свойствам системы или

неправильно отражающие свойства реальной системы. В этом есть

объективная причина: модель не всегда точно и достаточно полно отражает

реальный объект. Но все же достоинств у метода моделирования больше, чем

недостатков.

Можно выделить следующие достоинства:

1. Модели практичны, они всегда строятся так, чтобы были проще и

удобнее для исследований, чем исходные объекты. На моделях можно ставить

такие эксперименты, проведение которых на реальных объектах либо

слишком дорого, либо опасно для персонала и окружающей среды.

Например, на моделях системы управления авиационным двигателем можно

изучать ее свойства на различных скоростях и высотах полета Л A вместо

изучения этих свойств на дорогостоящих высотных стендах.

2. Некоторые явления можно изучать только на их моделях. Например,

ядерные взрывы, электрические разряды молнии, полет JIA при развитии

критической ситуации на борту в результате отказов отдельных

функциональных подсистем, возникновения пожара и т.п.

3. Модели воспроизводят лишь основные, наиболее важные для данного

исследования свойства изучаемой системы. Это позволяет при

моделировании выявить механизм формирования данных свойств системы,

научиться прогнозировать эти свойства и целенаправленно их изменять в

желаемую сторону.

4. При моделировании систем могут возникнуть и побочные эффекты.

Например, модель может воспроизводить такие свойства системы, которые

адекватны реальным, но данная модель не была предназначена для этого.

Этот эффект следует рассматривать как исключение, а не как закономерность.

Указанные достоинства метода моделирования делают его наиболее

эффективным методом, как научных исследований, так и практической

деятельности человека.

1.2. Классификация моделей

Проблема классификации моделей, как и любых достаточно сложных

явлений, процессов, систем, сложна, многогранна и трудноразрешима.

Объективная причина состоит в том, что исследователя интересует лишь

какое-то одно свойство системы (объекта, процесса, явления), для

отображения которого и создана модель. Поэтому в основу классификации

можно положить множество различных признаков: способ описания,

функциональное назначение, степень детализации, структурные свойства,

область применения и т.д.

Рассмотрим некоторые классы моделей.

1. По назначению моделей различают:

исследовательские (познавательные, когнитивные), предназначенные для

генерации знаний путем изучения свойств объекта;

• учебные, предназначенные для передачи знаний об изучаемом объекте;

• рабочие (прагматические), предназначенные для генерации правильных

действий в процессе достижения цели.

К исследовательским моделям относятся полунатурные стенды,

физические модели, математические модели. Отметим, что исследова

тельские модели могут выступать в качестве учебных, если они пред

назначены для передачи знаний о свойствах объекта. Примерами рабочих

моделей могут служить: робот; автопилот; математическая модель объекта,

встроенная в систему управления или контроля; искусственное сердце и т.д.

При этом исследовательские и учебные модели должны приближаться к

реальности, а рабочие модели должны отражать эту реальность. Четкой

границы между этими моделями не существует. Так, например,

исследовательская модель, адекватно отражающая свойства объекта, может

быть использована в качестве рабочей. Исследовательские модели являются

носителями новых знаний, учебные модели соединяют старые знания с

новыми. Рабочие модели идеализируют накопленные знания в форме

идеальных действий по выполнению тех или иных функций, которые

желательно было бы осуществить.

2. По отражению режимов работы системы различают:

. статические модели, которые отражают установившиеся (равновесные)

режимы работы системы;

динамические, которые отражают неустановившиеся (неравновесные,

переходные) режимы работы системы.

Статические режимы работы элементов, объектов, систем отражены в их

статических характеристиках (линейных, нелинейных) и описываются

соответствующими алгебраическими функциональными зависимостями.

3. По способу создания (построения) моделей различают:

• абстрактные (дедуктивные, умозрительные, идеальные) модели,

пос троенные средствами мышления на базе нашего сознания;

. материальные (физические, реальные) модели, построенные средствами

материального мира для отражения его объектов, процессов и т.д.

Абстрактные модели - это идеальные конструкции в нашем сознании в

виде образов или представлений о тех или иных физических явлениях,

процессах, ситуациях, объектах, системах. Примерами абстрактных моделей

могут служить какая-либо гипотеза о свойствах материи, предположения о

поведении сложной системы в условиях неопределенности или новая теория

о строении сложных систем. На абстрактных моделях и на умозрительной

аналогии (сходстве) между моделью М и оригиналом S строится идеальное

(дедуктивное) моделирование. Различают два вида идеального

моделирования: формализованное и неформализованное (интуитивное). К

формализуемым абстрактным моделям относятся знаковые модели, в том

числе математические и языковые конструкции (языки программирования,

естественные языки) вместе с правилами их преобразования и интерпрета

ции. Примером знаковых моделей могут служить чертежи, схемы, графики,

формулы и т.д. Математическое моделирование - частный случай знакового

моделирования. Здесь преобразование формул осуществляется на основе

правил логики и математики.

Математическая модель - это объект, который имеет с прототипом

следующее однозначное соответствие: 1) структуры, т.е. состава элементов и

связей между ними; 2) уравнений, описывающих свойства этих элементов и

их связей. При этом математическую модель сложной системы можно

трактовать как множество математических моделей элементов, взаи

мосвязанных и взаимодействующих друг с другом и адекватно отражающих

синергетические свойства системы.

При образном моделировании модели строятся из каких-либо наглядных

элементов (упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел и т.д.).

Анализ образных моделей осуществляется мысленно и может быть отнесен к

формализованному моделированию в том случае, когда правила

взаимодействия образов четко формализованы. Этот вид моделирования

используется при мысленном эксперименте.

К неформализуемым абстрактным моделям относятся модели,

построенные с использованием различных форм мышления: эмоции,

интуиции, образного мышления, подсознания, эвристики как совокупности

логических приемов и правил отыскания истины. При неформализованном

моделировании модель не формулируется, а вместо нее используется

некоторое нечеткое мысленное отражение реальности, служащее основой для

рассуждения и принятия решения. Примером неопределенных (интуитивных)

представлений об объекте может служить нечеткое описание ситуации,

основанное на опыте и на интуиции. Конечно, при таком подходе принятое

решение может оказаться малоэффективным и даже ошибочным ввиду того,

что модель одной и той же ситуации понимается исследователями по-разному

и приводит не только к несовпадающим результатам, но и к совершенно

противоположным выводам. Однако применение неформализованного

моделирования при принятии решения (на основе анализа ситуации,

экспертной оценки, исходя из опыта и интуиции) привлекает своей

быстротой, дешевизной, легкостью, ясностью и порой оказывается весьма

эффективным. Для уменьшения вероятности совершения грубых ошибок при

принятии решения целесообразно сочетание математического и

неформализованного моделирования на основе человеко-машинных

моделирующих систем. Отметим, что при использовании вербальных

моделей, создаваемых средствами языка, возникает неопределенность из-за

неоднозначности, многовариантности, расплывчатости и размытости как на

уровне слов, так и на смысловом уровне. Для преодоления этой