Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем
Подождите немного. Документ загружается.
Метод исследования систем заменой нелинейного дифференциального
уравнения линейным путем разложения в окрестности рабочих точек
нелинейной аналитической функции в степенной ряд Тейлора по степеням
малых отклонений аргумента (переменной) и отбрасывания нелинейных
членов этого разложения и составляет первый метод А.М. Ляпунова.
Сам метод линеаризации называется методом малых отклонений. Для
исследования систем данным методом необходимо выбрать нуль и
направление отсчета для координат (переменных). За нуль отсчета (нулевое
состояние системы) выбираются значения координат, которые они имеют на
некотором установившемся режиме, например, в точке линеаризации или в
точке, соответствующей начальному (конечному) равновесному состоянию.
За положительное направление отсчета координат выбирается, например,
направление, соответствующее увеличению регулируемой координаты
объекта или определенному изменению положения регулирующего органа.
Изменение координат остальных элементов считается положительным, если
они вызывают положительные изменения регулируемой координаты.
В большинстве случаев уравнения элементов динамических систем
оказываются нелинейными. Однако в одних случаях нелинейности являются
несущественными, не вносящими ничего качественно нового в процесс
функционирования, в других они носят определяющий характер, и
пренебрежение ими в корне меняет картину процесса функционирования.
При составлении дифференциальных уравнений необходимо
проанализировать возможность и допустимость их упрощения и, в частности,
линеаризации.
Алгоритм составления уравнений динамики следующий:
• формулируется задача, для решения которой создается математическая
модель системы, определяются входные, выходные и прочие переменные
величины, условия, ограничения и т.д.;
• динамическая система разбивается на элементы (звенья), (как правило,
элементы должны быть физически однородны);
• для каждого элемента (звена) составляется соответствующее уравнение на
основании того физического закона, который определяет процесс,
протекающий в данном элементе;
при необходимости, осуществляется линеаризация полученных
соотношений;
• с помощью уравнений (как правило, алгебраических) описываются связи
31
элементов (звеньев) динамической системы друг с другом;
при необходимости, выполняются преобразования для изменения
количественных мер отсчета и изменения размерности;
совокупность уравнений динамики всех звеньев и уравнений связи
образуют математическую модель динамической системы.
Такой способ описания принято называть поэлементным описанием. Для
такого описания динамической системы характерно большое количество
дифференциальных и алгебраических уравнений различного порядка с
большим количеством промежуточных переменных. С такой совокупностью
уравнений трудно работать. Поэтому, как правило, осуществляют переход к
другим формам математического описания динамической системы: ко вход-
выходному дифференциальному уравнению, передаточным функциям и пр., о
которых речь пойдет в следующих разделах.
2.4.1. Линеаризация уравнений математической модели
Часто с целью упрощения исследования динамической системы
выполняется линеаризация полученных уравнений, если это, конечно,
допустимо. Отсутствие разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся
характеристик и справедливость уравнения в течение всего исследуемого
интервала времени обычно являются достаточными признаками возможности
проводить линеаризацию.
Линеаризацию уравнений производят при помощи формулы Тейлора,
которая позволяет разложить нелинейную функцию нескольких переменных
по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их
значений, соответствующих установившемуся режиму. Формула содержит
остаточный член, исследование которого позволяет оценить величину
ошибки, получающейся в том случае, когда ограничиваются первыми
членами разложения. Формула Тейлора, например, для трех переменных
и имеет вид
остаточный член.
Показатели степени, в которую возводятся выражения, стоящие в
где
32
(2.4.1)
скобках, имеют символический смысл. Они указывают на необходимость
выполнения при раскрытии скобок операций, которые можно пояснить на
следующем примере для второй степени:
Частные производные вычисляются в точке с координатами и
поэтому являются постоянными.
При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются лишь
членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом, т. е.
полагают, что
В последнем выражении - частные производные,
вычисленные в точке с координатами ,
Найдем выражение приращения функции , которое
определим как разность между текущим значением этой функции и
ее значением в некоторой фиксированной точке, заданной
координатами . Учитывая выражение (2.4.1) с точностью до ,
можно записать
33
Для решения многих задач, например, для исследования устойчивости
системы, такое приближение в большинстве случаев вполне достаточно.
Однако когда линеаризованные уравнения используются для исследования
качества функционирования системы, приращения переменных могут быть
не всегда малыми. Тогда для строгой оценки допускаемой погрешности
проводится анализ остаточного члена, который удобнее всего брать в форме
Лагранжа:
Полученным выражением удобнее всего пользоваться при линеаризации
нелинейных дифференциальных уравнений.
Для того чтобы непосредственно применить найденное из формулы
Тейлора выражение для приращения нелинейной функции к линеаризации
дифференциального уравнения, необходимо несколько преобразовать
последнее.
Составим уравнение установившегося режима для данного элемента
(системы) и вычтем его из уравнения динамики элемента. Тогда в правой
части уравнения будут только приращения нелинейных функций
относительно их значений в установившемся режиме, для определения
которых мы получили выражение из формулы Тейлора.
В качестве установившегося режима может выбираться либо режим,
существовавший до действия возмущения и начала переходного процесса,
либо режим, который установится после затухания переходного процесса.
При установившемся режиме до начала переходного процесса или после его
окончания приращения переменных должны соответственно отсчитываться
от их постоянных значений. Заметим, что если отсчет приращений
переменных (обобщенных координат) производить от их значений при новом
установившемся режиме, наступающем после окончания переходного
процесса, то с течением времени приращения всех переменных стремятся к
нулю (для устойчивых систем).
2.4.2. Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа
В ряде случаев задачу составления дифференциальных уравнений
динамического процесса регулирования облегчает применение уравнений
Лагранжа второго рода, составленных для обобщенных координат системы.
Этот метод целесообразно использовать тогда, когда составление выражений
кинетической и потенциальной энергии системы и диссипативной функции
не представляет затруднений.
Согласно вариационному принципу Гамильтона, всякая динамическая
система, находящаяся под влиянием консервативных сил, движется таким
образом, чтобы минимизировать среднее значение по времени разности
между кинетической и потенциальной энергиями, т. е.
где - кинетическая энергия, - потенциальная энергия,
обобщенные координаты динамической системы с к степенями свободы,
скорости изменения обобщенных координат системы.
(2.4.2)
34
Если динамическая система обладает запасом кинетической энергии ,
то ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений
Лагранжа, которые могут быть получены из вариационного принципа
Гамильтона.
Введем в рассмотрение функцию Лагранжа
(2.4.3)
Тогда принцип Гамильтона (2.4.2) можно представить в виде
(2.4.4)
Учитывая выражение (2.4.3), запишем
(2.4.5)
Подставляя выражение (2.4.5) в формулу (2.4.4) и полагая при и
найдем
(2.4.6)
Так как число обобщенных координат , равно числу степеней свободы и так
как не зависят от времени, то уравнения (2.4.6) справедливы лишь в том
случае, если выражения в скобках равны нулю, т. е.
(2.4.7)
Уравнения вида (2.4.7) называются уравнениями Лагранжа.
Очень важно то, что уравнения Лагранжа не зависят от выбора
координат. Эти уравнения сохраняют свой вид, т.е. остаются инвариантными
при переходе от одной системы координат к другой.
Учитывая выражение (2.4.3), уравнения (2.4.7) можно переписать в
следующем виде:
(2.4.8)
Уравнение (2.4.8) можно рассматривать как частный случай уравнений
Лагранжа второго рода:
(2.4.9)
где -обобщенные силы. В случае использования уравнения(2.4.8)
Обобщенные силы, определяемые последним равенством и зависящие
35
только от обобщенных координат называются силами, имеющими
потенциал.
Однако, практически во всех динамических системах действуют силы
трения и имеет место рассеяние энергии. Диссипативные силы или силу
вязкого трения 0„, пропорциональные скорости, могут быть определены
через функцию рассеяния энергии R
В общем случае, когда в системе действуют обобщенные силы QVi
имеющие потенциал V, обобщенные диссипативные силы QR и внешние силы
f(t) , уравнения движения принимают вид
Кинетическая энергия Т представляет однородную квадратичную
положительно определенную форму от обобщенных скоростей, в которой
коэффициенты в общем случае являются функциями координат. Таким
образом, можно записать выражение кинетической энергии в следующем
виде
Коэффициенты тц носят название коэффициентов инерции.
Потенциальная энергия V в первом приближении представляет
положительно определенную квадратичную форму относительно
обобщенных координат:
В данном случае все производные вычисляются в положении равновесия
при х, = Xj =0 и, таким образом, являются постоянными.
Функция рассеяния, или диссипативная функция R, является
положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей
системы и имеет вид
При Sy = sjt производные функции рассеяния по скорости, взятые с
обратным знаком, равны обобщенным диссипативным силам.
Функция рассеяния R характеризует собой скорость рассеяния энергии в
системе. Работа сил сопротивления, пропорциональных скорости, в единицу
времени численно равна функции рассеяния R, взятой с обратным знаком.
(2.4.10)
Уравнения Лагранжа (2.4.10) в общем случае приводят к системе
нелинейных уравнений второго порядка вида
2.4.3. Примеры формирования моделей динамических систем
Пример формирования модели для механической системы
В качестве примера, поясняющего применение уравнений Лагранжа, рассмотрим,
пренебрегая силой трения, элементарную механическую систему,состоящую из груза с
массой , подвешенного на пружинке с коэффициентом упругости (рис.2.4.1.).
Кинетическая энергия движущейся массы:
Потенциальная энергия пружины:
Подставляя найденные выражения для и в уравнение (1.7),
найдем следующее дифференциальное уравнение рассматриваемой
системы
Система уравнений описывает поведение консервативной
динамической системы, в которой рассеяние энергии отсутствует.
При наличии демпфирующего устройства (рис.2.4.2) необходимо
учитывать рассеивание энергии. Функция рассеяния, или
диссипативная функция является квадратичной формой от
обобщённых скоростей системы, в данном случае:
< Тогда диссипативная сила через эту функцию определяется как:
. Тогда соотношение (2.4.10) для рассматриваемого
примера дает уравнение:
Это и есть математическое описание рассматриваемой
механической системы.
Пример формирования модели для электрической системы
Пусть дана линейная стационарная цепь 1-го порядка с одним входом и двумя
выходами (рис. 2.4.3). Состояние рассматриваемой цепи зависит от входного сигнала и
от энергии, запасенной в конденсаторе.
Энергия, запасенная в конденсаторе , определяется напряжением на
конденсаторе и величиной емкости конденсатора
Поэтому в качестве базовой переменной можно выбрать
напряжение Необходимости вводить другие
переменные для описания данной цепи нет, т.к. эта цепь
(система) первого порядка.
По второму закону Кирхгофа
Рис. 2.4.1
Рис.2.4.2
37
Рис. 2.4.3
вид
Полученное уравнение является уравнением состояния цепи, изображенной на рис. 2.4,
Уравнение для выходных сигналов и можно получить, учитывая, что
и . Таким образом, в данном примере для системы 1
порядка состояние системы и выходные сигналы описываются системой уравнений
Пример формирования модели для электромеханической системы
Действуя согласно алгоритму формирования модели динамической системы на
первом этапе поставим задачу составления математической модели электродвигателя
постоянного тока с независимым возбуждением (рис.2.4.4)
Требуется найти математические зависимости выходной величины -угловой
скорости вращения вала электродвигателя от управления - входного напряжения
С учетом последнее уравнение примет
Рис.2.4.4
Допущения:
■ сопротивление и индуктивность якоря - постоянны;
реакция якоря скомпенсирована;
поток рассеяния неизменен;
момент инерции, приведенный к валу, связанных с валом подвижных частей -
постоянен;
напряжение источника возбуждения постоянно;
управление электродвигателем осуществляется с помощью напряжения питания:
Второй этап алгоритма в данном случае не требуется, т.к. нет необходимости
разбивать рассматриваемую систему на простейшие элементы и звенья.
На третьем этапе алгоритма - составлении уравнения динамики вы делен ного
элемента системы, основным является выявление физического закона, определяющего его
поведение. Обычно таким законом является закон сохранения вещества, закон сохран ени я
энергии, второй закон Ньютона или какой-либо из других фундаментальных законов
физики. Математическое выражение соответствующего физического закона, который
определяет процесс, протекающий в данном элементе системы регулирования, и является
исходным дифференциальным уравнением этого элемента.
Для электродвигателя исходным уравнением будет уравнение, выражающее второй
закон Ньютона для вращательного движения
Рис.2.4.5
38
(2.4.11)
где ■ угловая скорость вала двигателя; - время; - момент инерции движущихся
частей, приведенный к валу двигателя; - вращающий момент, приложенный к валу;
- момент сопротивления на валу двигателя.
Следующим шагом должно быть определение факторов, от которых зависят
переменные, входящие в исходное уравнение, и установление выражений,
характеризующих эту зависимость. Зависимости могут быть аналитическими функциями
или заданы графически. В большинстве случаев они являются нелинейными
зависимостями. Подставив найденные выражения в исходное уравнение, получаем
нелинейное уравнение элемента (системы).
Для нашего примера необходимо установить зависимости переменных и от
других факторов и переменных. На основании теории электродвигателей можно получить
аналитические выражения функций и или представить их
в виде графиков (рис.2.4.5). Вращающий момент и момент сопротивления
являются нелинейными функциями скорости вращения вала . Поэтому математическая
модель рассматриваемой системы - уравнение (2.4 11) будет нелинейным
дифференциальным уравнением.
Для линеаризации уравнения (2.4.11) перейдем к уравнению в отклонениях от
установившегося режима. Параметры установившегося состояния находятся из графиков,
приведенных на рис. 2.4.5 если положи ть
Это и есть уравнение установившеюся режима. При этом параметры имеют
значения , . Разложим нелинейные функции = и в ряд
Тейлора в окрестности точки
где - учитывает зависимость момента сопротивления от
времени ; содержат члены порядка малости выше первого относительно
приращений и
Подставим полученные выражения в уравнение (2.4.11) и отбросим члены,
содержащие отклонения в степени выше первой:
После простейших преобразований
(2.4.12)
Таким образом, мы получили линеаризованное уравнение в отклонениях (или в
приращениях, в вариациях) от состояния равновесия, выраженное в абсолютных
единицах.
До сих пор при выводе уравнений мы имели дело с абсолютными величинами, с
именованными единицами. Размерность каждого члена уравнения - вполне определенная.
В нашем примере каждый член уравнения имеет размерность момента. Однако при
исследовании динамических систем, особенно при сравнении таких систем и их элементов
39
между собой, большие удобства представляют уравнения в относительных единицах е
безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени
в степени, равной порядку производной, при которой стоит данный коэффициент.
Для приведения дифференциального уравнения в абсолютных приращениях k
уравнению в относительных единицах с безразмерными коэффициентами произведем
следующие элементарные операции:
1. Разделим все члены уравнения на некоторую постоянную величину, имеющую
размерность членов этого уравнения (в нашем примере—размерность момента). Такой
величиной обычно выбирается номинальное значение, максимальное значение или некого-
рос начальное значение данной переменной.
В рассматриваемом примере возьмем номинальное значение момента и
разделим на него почленно уравнение (2.4.12)
В результате этого каждый член уравнения стал безразмерным.
2. Перейдем к относительным единицам.
Выберем некоторые постоянные значения для каждой координаты, для всех
переменных, входящих в полученное уравнение. Так, для угловой скорости примем ее
номинальное значение , для управляющего напряжения - его максимальное значение
. Умножим и разделим каждый член уравнения, в который входит та или иная
переменная, на соответствующую ей выбранную постоянную величину.
После этого уравнение в рассматриваемом примере будет иметь следующий вид:
3. Введем обозначения относительных единиц и коэффициентов уравнения.
Учитывая, что можно ввести обозначения
Подставляя эти обозначения в полученное уравнение, найдем
Обозначив , окончательно получим
Таким образом, все величины, входящие в уравнение, за исключением времени и
постоянной , приведены к безразмерному виду.
В последнем уравнении представляет собой выходную координату - отклонение
угловой скорости электродвигателя от номинальною значения, - управляющее
воздействие, - возмущающее воздействие, приложенное к электродвигателю.
Коэффициент имеет размерность времени (с) и называется постоянной времени
электродвигателя. Отношение характеризует зависимость между изменением
выходной координаты и управляющего воздействия в установившемся режиме и
называется коэффициентом усиления.
40