Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем

Подождите немного. Документ загружается.

использования. Поэтому при моделировании сложных (человеко-машинных,

организационных) систем точность и практический смысл несовместимы и

исключают друг друга (принцип Л.А. Заде). Причина противоречивости и

несовместимости требований точности и практичности модели кроется в

неопределенности и нечеткости знаний о самом оригинале: его поведении,

его свойствах и характеристиках, о поведении окружающей среды, о

механизмах формирования цели, путей и средствах ее достижения и т.д.

Истинность моделей. В каждой модели есть доля истины, т.е. любая

модель в чем-то правильно отражает оригинал. Степень истинности модели

выявляется только при практическом сравнении её с оригиналом, ибо только

практика является критерием истинности.

С одной стороны, в любой модели содержится безусловно истинное, т.е.

определенно известное и правильное. С другой стороны, в модели

содержится и условно истинное, т.е. верное лишь при определенных

условиях. Типовая ошибка при моделировании заключается в том, что

исследователи применяют те или иные модели без проверки условий их

истинности, границ их применимости. Такой подход приводит заведомо к

получению неверных результатов.

Отметим, что в любой модели также содержится предположительно-

истинное (правдоподобное), т.е. нечто, могущее быть в условиях

неопределенности либо верным, либо ложным. Только на практике

устанавливается фактическое соотношение между истинным и ложным в

конкретных условиях. Например, в гипотезах как абстрактных

познавательных моделях трудно выявить соотношение между истинным и

ложным. Только практическая проверка гипотез позволяет выявить это

соотношение.

При анализе уровня истинности модели необходимо выяснить знания

[1], содержащиеся в них: 1) точные, достоверные знания; 2) знания,

достоверные при определенных условиях; 3) знания, оцениваемые с

некоторой степенью неопределенности (с известной вероятностью для

стохастических моделей или с известной функцией принадлежности для

нечетких моделей); 4) знания, не поддающиеся оценке даже с некоторой

степенью неопределенности; 5) незнания, т.е. то, что неизвестно.

Таким образом, оценка истинности модели как формы знаний сводится к

выявлению содержания в нем как объективных достоверных знаний,

правильно отображающих оригинал, так и знаний, приближенно

оценивающих оригинал, а также то, что составляет незнание.

Контроль моделей. При построении математических моделей объектов

систем, процессов целесообразно придерживаться следующих рекомендаций:

1. Моделирование надо начинать с построения самых грубых моделей на

основе выделения самых существенных факторов. При этом необходимо

четко представлять как цель моделирования, так и цель познания с помощью

данных моделей.

2. Желательно не привлекать к работе искусственные и трудно

проверяемые гипотезы.

3. Необходимо контролировать размерность переменных, придерживаясь

правила: складываться и приравниваться могут только величины одинаковой

размерности. Этим правилом необходимо пользоваться на всех этапах вывода

тех или иных соотношений.

4. Необходимо контролировать порядок складываемых друг с другом

величин с тем, чтобы выделить основные слагаемые (переменные, факторы)

и отбросить малозначительные. При этом должно сохраняться свойство

«грубости» модели: отбрасывание малых величин приводит к малому

изменению количественных выводов и к сохранению качественных.

5. Необходимо контролировать характер функциональных зависимостей:

проверять сохранность зависимости изменения направления и скорости

одних переменных от изменения других. Это правило позволяет глубже

понять физический смысл и правильность выведенных соотношений.

6. Необходимо контролировать поведение переменных или некоторых

соотношений при приближении параметров модели или их комбинаций к

особым точкам. Обычно в экстремальной точке модель упрощается или

вырождается, а соотношения приобретают более наглядный смысл и могут

быть проще проверены, а окончательные выводы могут быть продубли

рованы каким-либо другим методом.

7. Необходимо контролировать поведение модели в известных условиях:

удовлетворение функции как модели поставленным граничным условиям;

поведение системы как модели ири действии на нее типовых сигналов.

8. Необходимо контролировать получение побочных эффектов и

результатов, анализ которых может дать новые направления в исследованиях

или потребовать перестройки самой модели.

Постоянный контроль за правильностью функционирования моделей в

процессе исследования позволяет избежать грубых ошибок в конечном

результате. При этом выявленные недостатки модели исправляются в ходе

моделирования, а не вычисляются заранее.

2. Динамические системы и их моделирование

2.1. Динамические системы

Понятие динамической системы не нуждается, пожалуй, в особом

пояснении или определении. Изначально к динамическим относили такие

объекты, которые описывались дифференциальными уравнениями,

аналогичными уравнениям динамики (т. е. движения в пространстве под

действием сил) в теоретической механике, откуда и был заимствован термин.

Со временем круг управляемых объектов расширился и стал включать не

только процессы с механическим движением, но также электрические,

электромагнитные, тепловые, химические и т. д. Но термин сохранился,

поскольку сохранилась форма уравнений. При этом расширились понятия

сопутствующих терминов - координатами стали называть не только геометри

ческие координаты, но значения всех физических показателей состояния,

движением - не только геометрическое перемещение, но любой процесс

изменения этих показателей и т. д.

Физическим признаком систем, описываемых дифференциальными

уравнениями, было наличие замедленной реакции на внешние воздействия,

обусловленное инерционностями различной физической природы, и эта

замедленность реакции зачастую даже считалась основным, определяющим

признаком динамической системы.

В природе фактически мгновенных процессов нет, и любой статический

объект представляет собой идеализированную модель, которая получается,

как частный случай, из дифференциального уравнения при его вырождении,

когда приравниваются нулю либо коэффициенты при производных, либо

оператор дифференцирования

Сейчас в качестве основного признака считают другое свойство -

наличие в динамической системе двух видов величин, связанных

однонаправленной причинно-следственной зависимостью:

внешних входных воздействий U(t) - причин, не зависящих от выходных

переменных,

выходных переменных - следствий, зависящих от входных

воздействий

Полагают, что выходные переменные не могут возникать без своих

причин, а по времени не могут возникать ранее входных воздействий, а лишь

позже их в инерционных системах и одновременно с ними в безынерционных

системах.

Для динамических систем справедливы следующие аксиоматические

утверждения [4] качественный смысл, которых заключается в следующем:

1. Если известно начальное состояние в момент и если приложить к

динамической системе известные входные воздействия в течение

то получится выходная реакция динамической системы

определяемая единственным образом. Иначе говоря, для предсказания

выходной реакции на в случае, когда известно начальное состояние

систем при не требуется знание входного воздействия в моменты

времени, предшествующие При этом достаточно знания лишь

состояния в момент Будущие знания входных воздействий

также не влияют на г.е. система не обладает свойством

"предвидения".

2. Существует "достаточно" состояний динамической системы, и поэтому

можно выбрать для расчёта любую пару вход- выход (входное воздействие

- выходная реакция). Знания начального состояния и воздействий

достаточно не только для того, чтобы определить выходную

реакцию но и состояние динамической системы в момент

времени Это важное свойство означает, что состояние в

любой момент времени суммирует всю прошлую информацию,

требующуюся для того, чтобы предсказать будущий выходной сигнал и

будущее состояние системы.

3. Малые изменения входных воздействий или состояния динамической

системы вызывают соответствующие малые изменения выходных

реакций и движения системы.

4. Изменения состояния динамической системы должны удовлетворять

условиям:

4.1. Начальные условия должны соответствовать исходной точке

движения.

4.2. Если входное воздействие переводит систему из состояния в

вдоль некоторой траектории и - некоторое состояние на этой

траектории, то это входное воздействие должно перевести систему

из в .

4.3. Система не обладает "предвидением", т.е. будущие значения

реакции системы не влияют на текущее состояние динамической

системы.

Эти аксиоматические утверждения являются обоснованной абстракцией

свойств физических динамических систем.

Для однозначного восприятия основного понятия дадим следующее

определение:

Системой принято называть совокупность взаимосвязанных элементов,

взаимодействующих между собой и с окружающей средой по определенным

законам.

В динамических системах взаимодействие происходит во времени.

При количественном анализе динамических систем требуется выбрать

математическую модель, адекватную системе, определяющей с требуемой

точностью изменения переменных величин с течением времени. Строго

говоря, практически все динамические системы представляют собой

нелинейные системы. Точное описание таких систем представляет собой

большие трудности, но чаще всего это и не связано с практической

необходимостью. Успех анализа динамических систем в значительной мере

зависит от того, насколько правильно выбрана степень идеализации при их

математическом описании или, другими словами, при выборе их

математической модели.

2.2. Классификация динамических систем

Динамические системы, также как и другие объекты, модели и т.д.,

можно классифицировать по различным признакам. В данном случае

классификация динамических систем будет осуществляться в зависимости от

идеализации, принятой при их математическом описании. Модели

динамических систем по этому признаку подразделяются на следующие

классы.

Линейные и нелинейные системы. Предположим, что при воздействии

на вход системы каждого из сигналов отдельно, выходные

сигналы системы соответственно равны Пусть

- некоторый оператор преобразования

Определение: Л инейной системой называется система, для которой

выполняется принцип суперпозиции:

при воздействии на вход линейной системы суммы сигналов, выходной

сигнал является суммой реакций системы на каждый из входных сигналов

отдельно;

в линейной системе изменение амплитуды входного сигнала в несколько

раз приводит к такому же изменению амплитуды выходного сигнала.

Аналитически эти условия можно выразить следующим образом:

где с, - произвольные константы, F - некоторый оператор преобразования.

Грубо говоря, динамическая система линейна, если линейны уравнения

системы. Более строгое утверждение заключается в следующем.

Динамическая система называется линейной динамической системой (или

просто линейной системой), если векторное дифференциальное уравнение

для состояний системы x(t) есть линейное дифференциальное уравнение и

если выходная реакция есть линейная функция о тx(t) и u(t), т.е.

где A(t), B(t), C(t), D(t) - матрицы соответствующих размерностей.

Нелинейной системой считается система, которая не подчиняется

принципу суперпозиции.

Стационарные и нестационарные системы. Стационарной системой

принято называть систему, параметры которой неизменны во времени. Для

стационарных систем характерно то, что сдвиг во времени входного сигнала

приводит к такому же сдвигу во времени выходного сигнала.

Форма выходного сигнала при этом не изменяется. Иначе говоря,

система инвариантна к сдвигу во времени входного сигнала.

При использовании определения (2.2.3) стационарность динамической

системы означает, что матрицы A,B,C,D в (2.2.2) являются постоянными

Нестационарными системами считаются системы, для которых выше

приведенные условия не выполняются. Параметры нестационарной системы

зависят от времени.

Аналоговые дискретные системы. Аналоговой (непрерывной)

системой называется система, в которой циркулируют непрерывные во

времени информационные сигналы.

В дискретных системах на некоторых участках системы используются

дискретные во времени информационные сигналы

Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени.

Цифровой сигнал может принимать лишь определенное число дискретных

(2.2.1)

(2.2.2)

(2.2.3)

значений в дискретные моменты времени.

Скалярные и векторные системы. Скалярной динамической системой

будем называть линейную стационарную модель конечномерной

динамической системы с одним входом и одним выходом (в англоязычной

научной литературе в этих случаях используется аббревиатура SISO (single

input-single-output)).

Векторной (матричной) динамической системой будем называть

систему, в которой входной и (или) выходной сигналы - векторные

величины, т.е. в векторной системе возможно несколько входов и (или)

несколько выходов. В англоязычной литературе для них используется

аббревиатура М IМО (multi-input-multi-output).

2.3. Математическая модель дипамической системы

Математическая модель представляет собой приближенное

количественное описание важных для исследования свойств реальной

системы. Модель состоит из математических объектов (чисел, переменных

величин, векторов и т.п.), отображающих показатели хода процесса и

воздействия на систему, и из отношений между математическими объектами,

описываемых при помощи математических операций, связывающих объекты

между собой [3].

Математическая модель - это совокупность математических уравнений,

формул, соотношений, описывающая процессы, происходящие в исследуемой

динамической системе.

Модель должна отражать все существенные для данного исследования

факторы и не содержать несущественных факторов, неоправданно

усложняющих исследования и слабо влияющих на конечный результат.

Один и тот же фактор может быть существенным в одной задаче и

несущественным в другой. Поэтому для одного и того же реального объекта

можно составить и использовать различные математические модели в

зависимости от цели и требований исследования.

Математическая модель объекта — это результат переложения на язык

математики объективно действующих законов материального мира в их

конкретных проявлениях, описание с использованием языка математики

изучаемых процессов, явлений.

Модель характеризуется рядом параметров. Это в первую очередь

входные переменные, иначе называемые управляющими воздействиями или

просто управлениями, и выходные переменные, или иначе выходные

координаты объекта, управляемые переменные. Зачастую ограничиваются

описанием объекта лишь относительно указанных параметров.

Нельзя не отметить, что в большинстве случаев рассмотрение какого-

либо процесса ведется не обособленно, а в непосредственной связи с иными

процессами, явлениями, и необходимо учитывать их влияние на исследуемый

процесс. Влияние внешних условий, внешней среды характеризуют так

называемыми возмущающими воздействиями, или просто возмущениями.

Одной из сложных проблем, возникающих при математическом

моделировании реальных систем или процессов, является необходимость

удовлетворить противоречивым требованиям полноты описания системы

(процесса) и простоты описания системы (процесса).

Разумная стратегия при построении математической модели сложной

системы (процесса), состоит, видимо, в том, чтобы идти путем постепенного

усложнения модели. Вначале строится наиболее простая модель, затем более

подробная, а значит и более сложная, затем еще более сложная и т.д., пока не

будет обеспечен приемлемый уровень адекватности математической модели

описываемой системе (процессу).

Возможная последовательность типовых моделей, расположенных по

мере усложнения, может быть представлена следующим образом.

Наиболее часто исследования начинают с построения линейных

стационарных динамических моделей. Именно здесь, пожалуй, достигается

хороший компромисс между требованиями простоты и адекватности модели.

Действительно, линейные стационарные динамические модели достаточно

Графическая

логическая

модель

Статическая

аналитическая

модель

Линейная

стационарная

динамическая

модель

Линейная

нестационарная

динамическая

модель

Нелинейная

динамическая

модель

Графическая

логически

модель

С татическая

аналитическая модель

Линейная стационарная

динам ическая модель

Линейная нестационарная

динамическая модель

Нелинейная

динам ическая модель

просты - могут быть описаны обыкновенными линейными

дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, теория

которых хорошо разработана. Такие модели допускают аналитическое

исследование и сравнительно легко реализуются средствами вычислительной

математики на ЭВМ. С другой стороны, эти модели достаточно

содержательны - они отражают и статические и динамические свойства

описываемого объекта, позволяют оценить и сложные процессы в них,

например, переходные процессы.

2.4. Методика составления математических моделей

динамических систем

Математическая модель динамической системы и ее элементов

представляется в виде уравнений динамики (движения), которые

записываются в форме дифференциальных, интегральных и разностных

уравнений. Уравнения движения описывают динамику системы, переход ее

из одного равновесного (статического, установившегося) состояния в другое

под действием входных координат (переменных). Поведение системы на

равновесных режимах описывается уравнениями статики, которые

представляют собой алгебраические (линейные или нелинейные) уравнения.

К равновесным (установившимся) режимам относятся состояние покоя,

равномерные и равноускоренные движения системы.

Уравнения установившихся режимов, при которых управляющие и

возмущающие воздействия принимаются постоянными, обычно являются

алгебраическими уравнениями, чаше всего линейными. Эти уравнения

достаточно просто можно получить, если известны уравнения динамики.

Уравнения статики (алгебраические уравнения) можно получить из

дифференциального уравнения динамики при его вырождении, когда

приравниваются нулю все производные.

Основные положения методики математического моделирования таковы.

Для составления уравнений движения динамической системы ее

разбивают на множество однонаправленных элементов (звеньев), для каждого

из которых и составляют соответствующие дифференциальные уравнения на

основе того физического закона, которому подчиняется процесс,

протекающий в данном элементе. При этом входная и выходная переменные

элемента соответствуют физическим переменным предыдущего и

последующего элементов системы соответственно. В общем случае в

качестве звена системы может быть рассмотрен элемент любой физической

природы. Таким образом, уравнения движения системы в целом есть

множество уравнений движения элементов, образующих эту систему.

Одной из наиболее сложных проблем, с которыми сталкивается

исследователь, является проблема адекватности математического описания

данного физического процесса или системы. Если процесс достаточно прост,

то уравнение, описывающее процесс, получается непосредственно из

физических законов, действующих в этом процессе. В общем случае это

трудно достижимо, и хорошее математическое описание можно получить

только в результате большого количества экспериментов. Обычно

экспериментатор прикладывает входные сигналы и наблюдает получающиеся

выходные сигналы. В результате таких экспериментов и априорных

теоретических знаний получаются соотношения, связывающие доступные

для наблюдения выходные сигналы и допустимые входные сигналы системы,

Поэтому, существуют два принципиально различных подхода к построе

нию математических моделей систем и их элементов: эмпирический

(экспериментальный) и теоретический (аналитический). В первом случае не

обязательно знать физическую природу процессов в элементе. Достаточно

знать поведение элемента, т.е. реакцию его выходных переменных на

известные входные переменные. После выбора вида уравнений движения или

функциональной зависимости между этими переменными решается задача

определения параметров модели и оценки адекватности ее реальным

процессам.

Во втором случае математическая модель строится на основании

физического закона, описывающего движение элемента системы. В качестве

физического закона могут быть рассмотрены уравнения баланса энергии,

массы, расходов, потоков и количества движения. Эти уравнения движения,

как правило, являются нелинейными и связывают входные и выходные

переменные элемента. В общем виде отыскать решение нелинейного

неоднородного дифференциального уравнения не всегда удается. Однако

часто удается задачу интегрирования нелинейных уравнений свести к более

простой задаче - решению линейных дифференциальных уравнений. Эта

процедура сведения нелинейных уравнений к линейным называется

линеаризацией дифференциальных уравнений. При этом достаточным

условием линеаризации является отсутствие в нелинейной функции разрывов

первого и второго рода, наличие производных всех порядков (аналитичность

функции) и справедливость уравнения в течение всего интервала переходного

процесса.