Андриевская Н.В. Лекции по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.

Если подобных областей разбиения не оказывается, то система считается

структурно неустойчивой и вывести ее установившееся состояние возможно, только

лишь изменив структуру.

Вывод: теория устойчивости решает следующие вопросы:

1. Определение устойчивости системы (с помощью критериев устойчивости)

2. Влияние отдельных параметров системы на устойчивость системы в целом

(метод D-разбиения).

3. Определение структуры неустойчивых систем (можно решить с помощью D-

разбиения или алгебраических критериев).

4. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА САУ.

4.1. Основные показатели качества САУ

Качество САУ определяется следующими показателями:

1. Время достижения установившегося

режима – такое время, по истечение

которого для управляемой величины

выполняется условие:

руст





где у – управляемая величина;



– некоторая

величина (для САУ 5% от установившегося

режима).

Время переходного процесса –

отрицательное время, при котором

переходный процесс по выходной

координате достигает 5%-ной зоны от устойчивого значения.

2. Перерегулирование - это процентное соотношение разницы максимального

перерегулирования и установившегося значения:

%100%

max







уст

2. а) Время максимального перерегулирования (t

перерег

), такое время, при котором

выходная величина достигает своего максимального по модулю значения:

 

max

yty

перерег



2. б) Число перерегулирований – это количество раз, когда управляемая величина

превышает по модулю значение:

pустустуст

yyy



 -yили005,0

3. Колебательность (



) - кол-во колебаний, приходящихся на отрезок времени

переходного процесса.

4. Ошибка в установившемся режиме (точность САУ)

уст

yye 

Для статических систем ошибку можно графически продемонстрировать как:

Для астатических систем:

Первые два показателя – это показатели качества переходного процесса, а

четвертый – показатель качества в установившемся режиме. Вместе они образуют

группу показателей качества САУ.

Для анализа показаний качества управления могут быть использованы прямые

и косвенные методы оценки. Прямые методы определения качества базируются на

исследовании переходного процесса, дают наиболее достоверную информацию с

последующим определением показаний качества. Но они являются самыми

трудоемкими. Косвенные методы определения качества позволяют по косвенным

признакам, не решая ни дифференциальных, ни характеристических уравнений,

получить приближенный переходный процесс с приближенными показателями

качества.

4.2. Прямые методы оценки качества

 Классический метод;

 операторный метод;

 частотный метод;

 моделирование на ЭВМ.

4.2.1. Классический метод определения показателей качества

Основывается на решении дифференциального уравнения, описывающего

динамику процессов в САУ:

 

)()()()(

...

)(

101

tyd

bxa

txd

bpbpbpb

apapapa











Уравнение (2) сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка и

разрешается одним из известных методов. Решение уравнения y(t)=f(t), что и

представляет собой переходный процесс.

4.2.2. Операторный метод

К исходному дифференциальному уравнению (2) применяется преобразование

Лапласа с учетом начальных условий.

       

           

0000

pKpypDpKpxpM

ypbypbypbypbypbypb

xpaxpaxpaxpaxpaxpa

nnnnnn

mmmmmm



























где K

– это начальное условие по переменной х, K

– начальное условие по

переменной у (а также их производных).

 

       

 

     

 

pKpMpx

pKpKpMpx









где K(p)=K

(p)-K

(p).

1. Применяем прямое преобразование Лапласа к входной величине x(t) (дает

х(р)).

2. Получаем в операторном виде переходный процесс по уравнению (3).

3. Используя таблицы Лапласа, осуществляем обратное преобразование

Лапласа переменной у(р).

4.2.3. Частотный метод

Основан на преобразованиях Фурье. Если f(t) – периодическая функция, то к

ней можно применить преобразование:

   













Ktj

dtetftjF

eKjF



Если f(t) непериодическая функция, то ее тоже можно представить с помощью

интеграла Фурье:











Тогда f(t) может быть представлена:

   















dejFtf

- прямое преобразование Фурье;

   











etfjF



- обратное преобразование.

4.2.3.1. Понятие обобщенной частотной передаточной функции

Обобщенная частотная передаточная функция представляет собой следующее

выражение:

       

pWpxpWpy



Обобщенная частотная передаточная функция содержит в себе как частотные

характеристики объекта (



(р)), так и характеристики входного воздействия в

операторном виде (х(р)).

Если р придать чисто мнимое значение j



, то обобщенное число

     



000

jJRjW 

Определение переходного процесса через вещественную характеристику обобщенной

частотной передаточной функции.

         

       





























































































dtRtJdtJtR

dtjtjJRd

ejWty

sin

cos

sin

cos

sincos

Здесь действительная часть является функцией четной, а мнимая – нечетной.

Поэтому, если интеграл



















, то для действительной части

    







sincos2





dtJtR

Мнимая часть будет равна нулю, т.о.

  

.sincos





dtJtR







Все процессы при отрицательном времени равны нулю:

    







.0sincos





dtJtRty

Тогда

   

.sin

cos















tdJtdR

С учетом этого у(t) будет иметь вид:

   







.cos





tdPty

4.2.3.2. Определение показателей качества по типовым характеристикам

 

1tx

- частный случай, когда входным сигналом является ступенька. Тогда

       

ttWthty 1

, или в операторной форме

   

pWpH



, тогда

   

 



















00 00

sin

Re2

cosRe















dttdWth

где Re(W) – действительная часть передаточной функции.

Любую переходную характеристику можно разбить на трапеции. Исходя из

этого, Солодовников и Воронов предложили следующий способ: рассмотреть

единичную трапецию и на ее основе описать переходные процессы.

Единичная трапеция:

Здесь



- частота равномерного пропускания;



частота пропускания.

Функция Р(



) может быть описана

следующим образом:

 

















baP

где коэффициенты













000

Введем коэффициент

10,









, и

выразим

 

2coscos

sin





























































SiSi

tdtd

где









sin

; dx

Sit

- интегральный синус.

Солодовников создал h-таблицы (h(t)=h



(



)), в которых для каждого

конкретного



и по времени t можно получить переходный процесс,

соответствующий данной единичной трапеции. Для неединичной трапеции, когда

Р(0)



1=К, переходный процесс

   





hKth 

увеличивается в К раз.

Порядок построения переходного процесса по вещественной частотной

характеристике:

1. Получаем выражение для Р(



) (Существует два способа получения вещественной

части: первый наиболее точный, путем выражения из передаточной функции;

второй – по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы).

2. Строится график вещественной частотной характеристики.

3. Характеристика разбивается на трапеции.

4. Для каждой трапеции определяются частоты



и соответствующий им

коэффициент



5. Из таблиц h-функции для каждой трапеции определяется переходный процесс



(



6. Каждый из переходных процессов масштабируется в соотношении К=Р(0).

7. Все переходные процессы суммируются. Полученный результат – есть

переходный процесс, соответствующий данной вещественной частотной

характеристике.

8. По переходному процессу определяются основные показатели качества.

Частотные методы являются как прямыми, так и косвенными методами оценки

показателей качества. Как прямой метод, частотные методы позволяют построить

кривую переходного процесса в зависимости от Р(



) с помощью специальных

методов. Как косвенный метод, частотный метод позволяет по виду Р(



)

приближенно вычислить показатели качества.

4.2.4. Моделирование с использованием вычислительных средств

На сегодняшний день это самый широко используемый метод определения

качества переходных процессов. В основе этого метода может лежать система

дифференциальных уравнений (метод Эйлера, метод Рунге-Кутта любого порядка). В

результате решения этой системы получается таблица значений, определяющая

переходный процесс в системе. Другим способом моделирования является решение

характеристического уравнения. Полученные корни характеристического уравнения

определяют переходный процесс в операторном виде. Используя преобразования

Лапласа, получаем переходный процесс во временном пространстве.

Достаточно развитое программное обеспечение предоставляет несколько

пакетов (средств) моделирования (STRATUM; MATLAB; GPSS и др.).

СТАУ предлагает описание САУ в терминах пространства состояния.

Описанные таким образом системы, ориентированы на применение вычислительных

средств.

4.3. Косвенные методы оценки качества САУ.

4.3.1. Частотный косвенный метод оценки качества.

1. Близким по виду вещественным характеристикам Р(



) соответствуют близкие по

виду переходные характеристики h(t).

2. При косвенных оценках вещественной характеристики Р(



) ограничиваются

исследованием спектра частот



, при которых

вещественная действительная характеристика Р(



)

имеет положительное значение.

Отбрасываемая часть при частотах свыше 

влияет на

начало переходной характеристики h(t).

   





3. Если

 

















, где п – произвольное число, то

   

nthth 

. Это означает следующее: если рассмотреть две характеристики, то

вещественной частотной характеристике с захватом наибольших спектров частот

(более широкая переходная характеристика) соответствует менее длительный

переходный процесс. Чем шире Р(



), тем быстрее происходит затухание, т.е. тем

меньше время переходного процесса.

4. Установившееся значение h(



) соответствует значению вещественной частотной

характеристики при частоте



   

0Ph 

5. Если вещественная частотная характеристика Р(



) является монотонно

убывающей функцией и Р(



)=0, то переходная характеристика имеет

апериодический характер. Для апериодического процесса

 



















)(

0)(



В этом случае перерегулирование

0% 



6. Если Р(



) - является положительной невозрастающей функцией, то переходная

характеристика имеет вид затухающих колебаний:

















)(

0)(



Перерегулирование составляет

%18% 

7. Если вещественная характеристика Р(



) имеет явно выраженный max

   

max

PP 



то переходная характеристика будет иметь вид затухающих колебаний и

перерегулирование

%100

)0(

))0((18.1

max







8. Общим условием для немонотонности переходной характеристики

(колебательности) является: частотная характеристика Р(



) на каком-то этапе

должна быть меньше G(



), которая определяется как

     





























cosгде,







GGP

Здесь















- наибольшее целое число от деления.

9. Если Р(



) претерпевает разрыв, то система находится на границе устойчивости.

10. Склонность к колебаниям (h

max

) тем выше, чем больше пик P

max

11. Для монотонного (апериодического переходного процесса) время переходного

процесса составляет

ПП







12. Если Р(



) может быть аппроксимирована трапецией вида

то длительность переходного процесса определяется

неравенством:

ПП









 4

13. Если вещественную характеристику Р(



) можно разложить на ряд трапеций, то по

параметрам трапеций можно определить

перерегулирование



по ординатам этих

трапеций. Все трапеции должны быть

прямоугольные.

   

%100%

















где P

(



) - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(



- положительное

значение, P

(



) - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(



отрицательное значение.

4.3.1.1. Построение вещественной частотной характеристики с использованием

ЛАЧХ разомкнутой системы и номограммы.

Рассмотрим структурную схему:

Передаточная функция такой системы имеет вид:

 

   

 

      

                 

        

 

           

     

















2222

cos21

cos

sincoscos21

sincoscos

sincos1

sincossincos

sincos1

sincos

HHH

jHHjHH

jHeHjW































Данному уравнению на комплексной плоскости соответствуют кривые

Р(



)=const, при этом по оу откладываются 20lgH, а по ох – фаза



Данная схема называется номограммой. Индексы около каждой кривой означают

значения вещественной частотной характеристики (ВЧХ).

Алгоритм построения ВЧХ по номограмме

1. Строятся ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

2. Заполняется следующая таблица (первые три строки):



…

