Андриевская Н.В. Лекции по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.

 

     

              

           

          

 

   

 

   

      

 

   

pWpW

pWpWpx

pxpW

pWpW

pxpW

pxpWpWpWpy

pxpWpypWpWpy

pypWpxpWpepWpy

pypWpx

pxpxpe

121

211





























Структурная схема звеньев с положительной обратной связью.

 

   

pWpW

1 



С помощью этих правил удается преобразить любую исходную

алгоритмическую схему, не содержащую перекрестных связей, к одноконтурной

схеме.

Алгоритмическую схему замкнутой системы управления (и саму систему)

называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке образуется

цепь, не содержащая параллельных соединений и обратных связей. Цепь, полученная

при размыкании замкнутой системы (см. рис. а) между точками А и В, не содержит

параллельных соединений и обратных связей.

Получаемая при размыкании одноконтурной системы цепь последовательно

соединенных элементов, стоявших внутри замкнутого контура, называется

разомкнутым контуром системы (см. рис. б). В соответствии с этим определением

Передаточная функция разомкнутого контура W

р.к.

(р) одноконтурной

системы равна произведению передаточных функций всех элементов, стоящих

внутри контура системы. Передаточные функции элементов, стоящих вне

замкнутого контура, никогда не входят в произведение W

р.к.

(р).

Для нашей системы

         

pWpWpWpWpW

кр 4321..



передаточные функции W

(p) и W

(p) не входят в это произведение, т.к. эти элементы

стоят вне замкнутого контура.

2.8.1. Многоконтурные структурные схемы

При определении передаточной функции многоконтурной системы

используется принцип вложенности: определяется минимальный вложенный контур

и его передаточная функция. А далее переходят к следующему контуру, при этом

первый контур заменяется звеном с полученной передаточной функцией.

 

   

 

   

     

pWpWpW

pWpW











В итоге получим схему:

2.8.2. Правила структурных преобразований

1 Перенос сумматоров

2 Перестановка звеньев

3 Перенос узла с выхода

сумматора на вход

4 Перенос узла с входа

сумматора на выход

5 Перенос узла с выхода звена

на вход

6 Перенос узла со входа звена

на выход

7 Перенос сумматора с выхода

звена на вход

8 Перенос сумматора со входа

звена на выход

9 Замена передаточных

функций прямой и обратной

цепи

10 Приведение к единичной

обратной связи

2.8.3. Изображение структурных схем в виде графов

Информация о структуре системы и передаточных свойствах ее элементов

может быть задана не только в виде обычной алгоритмической схемы, но и в виде

сигнального графа.

Сигнальный граф системы управления представляет собой ориентированный

граф – совокупность дуг, изображающих отдельные звенья и указывающих

направление передачи сигнала, и вершин, соответствующих входным и выходным

сигналам звеньев. Отдельному звену алгоритмической схемы, изображаемому

прямоугольником, на сигнальном графе системы соответствует стрелка, соединяющая

вершины х и у (см. рис. а). Около стрелки указывается передаточная функция звена.

Соответствие между изображениями типовых соединений двух элементов на

алгоритмических схемах и сигнальных графах показано на рис. б-г. Если к вершине

подходят несколько дуг, то соответствующий ей сигнал равен сумме всех выходных

сигналов этих дуг. Если из вершины исходят несколько дуг, то входные сигналы всех

дуг одинаковы и равны сигналу данной вершины.

Граф системы управления строят по ее алгоритмической схеме, заменяя каждое

звено (прямоугольник) дугой, а каждый сумматор (кружок) – вершиной (кружком

меньшего диаметра). При этом узлы разветвления сигналов, используемые на

алгоритмических схемах, на графах оказываются совмещенными с вершинами.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ,

Устойчивость автоматической системы – это свойство системы

возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия,

выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в

исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

Здесь, в рисунке а), А

– невозмущенное состояние, А

– возмущенное

состояние; на рисунке б) изображено неустойчивое состояние системы, а на рисунке

в) – ее нейтральное состояние. По аналогии с состояниями можно ввести понятие

возмущенного и невозмущенного движения.

Пусть дана САУ, которая характеризуется переменными

nix

,1, 

. Движение

системы при заданном режиме определяется x

(t).Это движение называется

невозмущенное.

Допустим, что на систему воздействуют внешние силы, которые приводят к

отклонению движения от невозмущенного.

     

txtxtx

iii 0



где x

(t) – движение, вызванное внешними возмущениями.

Если после снятия внешнего воздействия, спустя некоторое время, система

вернется в некоторую область вокруг невозмущенного движения, то данное

невозмущенное движение называется устойчивым.

 





3.1. Понятие устойчивости по Ляпунову.

Пусть САУ описывается с помощью системы уравнений при заданных

начальных условиях:

 













xtx

txF

Решением данного уравнения является

 

iii

xxx 

как функция начальных значений

(уравнение невозмущенного движения). Здесь x

– установившееся движение.

К системе приложено внешнее воздействие, которое привело к отклонению

движения от установившегося

iii

xxx 

Для данных отклонений можно записать систему уравнений:

 

















xtx

txf

Уравнение

 

0iii

xxx 

- является уравнением возмущенного движения.

Невозмущенное движение (



) называется устойчивым по отношению к

переменным x

, если для любого положительного числа А

, как бы мало оно ни было,

найдется другое положительное число



, которое удовлетворяет условию для всех

возмущений:









а возмущенное движение удовлетворяет условию







222



где



– весовые коэффициенты.

Движение будет устойчивым, если при небольших изменениях начальных

условий, вызванных внешними воздействиями, невозмущенное движение будет

отличаться от возмущенного движения мало.

Данное определение справедливо как для линейных, так и для нелинейных

систем.

Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается

однородным дифференциальным уравнением

     

   

*0...





txa

tdx

txd

где

   

txtx



- свободная составляющая выходной величины системы.

Система является устойчивой, если свободная составляющая x

(t) переходного

процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если

 

0lim 



Такая устойчивость называется асимптотической.

Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если

 





lim

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к

бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (*),

устойчива. Решение уравнения (*) равно сумме

   





eCtx

где C

– постоянные, зависящие от начальных условий; p

– корни

характеристического уравнения





nnn

apapapa 

Корни данного уравнения могут быть действительными (p



), мнимыми (p



) и

комплексными (p



± j



Переходная составляющая (**) при t стремится к нулю лишь в том случае,

если каждое слагаемое вида

0

. Характер этой функции времени зависит от

вида корня p

. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней p

на

комплексной плоскости (см. рис.) и соответствующие им функции x

(t), которые

показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).

1. Каждому действительному корню p



в решении (**) соответствует

слагаемое вида

   

***

eCtx





Если



<0 (корень р

), то функция (***) при t стремится к нулю. Если



(корень р

), то функция (***) неограниченно возрастает. Если



=0 (корень р

), то

функция (***) остается постоянной.

2. Каждой паре сопряженных комплексных корней p



± j



в решении (**)

соответствуют два слагаемых, объединенных в одно

     

****sin2

tkeCtx







Эта функция представляет собой синусоиду с частотой



и амплитудой,

изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть двух

комплексных корней



<0 (корни р

и р

), то колебательная составляющая (****)

будет затухать. Если



>0 (корни р

и р

), то амплитуда колебаний будет

неограниченно возрастать. Наконец, если



=0 (корни р

и р

), т.е. если оба

сопряженных корня – мнимые (p

=+ j



, p

k+1

=- j



), то x

(t) представляет собой

незатухающую синусоиду с частотой



Общее условие устойчивости:

Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо

и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического

уравнения системы были отрицательны.

При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных

корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет

положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического

уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость

есть внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости

(см. рис.) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего

условия устойчивости (эквивалентную основной):

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все

корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если

хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет

неустойчивой.

Мнимая ось j



является границей устойчивости в плоскости корней. Если

характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (p

=+j



, p



), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе

устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой





. В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе

устойчивости.

Точка



=0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню.

Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической

границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

3.2. Алгебраические критерии устойчивости.

3.2.1. Критерий Гурвица

Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

0...





apapapa

устойчива, если при a

>0 положительны все определители ∆

, ∆

, . . .∆

вида

aaa

,2,1,

......00

0......00

..................

00...0

00...

2242

420

531







Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица,

отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆

=0, а все

остальные определители положительны, то система находится на границе

устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая

определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить

следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

 apa

условие устойчивости: а

>0 и ∆

=а

>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и

достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше

нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

 apapa

условие устойчивости:











0или0

0,0

2122

110

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости

(положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

 apapapa

условие устойчивости:















00.0

0,0

32333021

110

aaaaaa

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все

коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение

средних коэффициентов уравнения (а

, а

) было больше произведения крайних (а

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

 apapapapa

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

303213

 aaaaaaa

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

nia

,1;0 

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и

достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель

∆

п-1

были положительными.

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица

становится громоздким и применяют критерий Рауса.

3.2.2. Критерий Рауса

САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого

столбца матрицы Рауса (включая а

и а

1,11,11,21,2

/)(





ijiijiij

rrrrr

где i – номер строки, j – номер столбца.

Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива.

При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу

правых корней характеристического уравнения.

Матрица:











knnnn

ikiii

rrrr

raaa

,13,12,11,1

321

3333231

2531

1420



Пример:

Характеристическое уравнение:

08765432)(

23456

 pppppppD

 

 

 

 

 

.8/)(

;0;5,8925,1/848,98,28/)(

;0;8/)(

;25,148,9/8,2867,01/)(

;0;0;8,2867,0/837/)(

;48,967,0/135/)(

;0;0/)(

;83/)02(8/)(

;1)3/72(6/)(

;67,03/)52(4/)(

;0;7;5;3

;8;6;4;2

6162515271

625152414261

534143313352

4142313251

44433133212342

3132212241

352125111534

2124111433

2123111332

2122111231

24523322121

614413212011

























rrrrr

rrrrrr

rrrrr

rrrrrrr

rrrrr

rrrrrr

rrrrr

rararar

arararar

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше пятого порядка

становятся трудоемкими для вычисления. Кроме того, алгебраические критерии не

отражаются наглядностью, поэтому на практике широкое распространение получили

частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова, критерий Найквиста. И тот,

и другой критерии базируются на принципе комплексного аргумента.

3.3. Частотные критерии устойчивости

3.3.1. Принцип аргумента

Рассмотрим уравнение:





bbbb





здесь



– корни данного уравнения

     

1210



 nn





Каждому корню



на комплексной плоскости

соответствует некоторая точка. Если соединить точку с нулем,

то можно говорить о векторе.

Длина вектора равна модулю комплексного числа



, а

угол, образуемый положительной действительной осью и

вектором



, есть аргумент комплексного числа

