Андриевская Н.В. Лекции по ТАУ
Подождите немного. Документ загружается.
Придадим
значение j
(
=j
). Считаем движение
против часовой стрелки положительным, тогда для корней,
находящихся в левой части комплексной плоскости при
изменении частоты
;
, вектор (
-
i
) описывает угол
+
.
Для корней, находящихся в правой полуплоскости,
вектор (
-
i
) при изменении частоты
;
опишет
угол -
.
Считаем, что порядок системы п-ый , и m корней
положительно, значит отрицательные – п-т. Тогда суммарный угол поворота всех
векторов составит следующее выражение:
mnmmn 2
.
3.3.2. Критерий Михайлова
Рассмотрим характеристическое уравнение системы
,0
;0...
1210
1
1
10
nn
nn
nn
ppppppppb
bpbpbpb
p=j
- придаем чисто мнимое значение.
Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы суммарный угол
поворота векторов р-р
i
составлял угол
п
.
Алгоритм применения критерия Михайлова.
1. Получаем передаточную функцию системы.
2. Составляем характеристическое уравнение системы (это знаменатель
передаточной функции).
0...
1
1
10
nn
nn
bpbpbpb
3. В характеристическом уравнении заменяем р на j
.
0...
1
1
10
nn
nn
bjbjbjb
4. Выделяем действительную и мнимую часть.
]0;()Im()Im(
);0[)Re()Re(
)Im(
...)Re(
)Im()Re()(
5
5
3
31
4
4
2
2
nnn
nnn
bbb
bbb
jjDjp
Действительная часть характеристического уравнения является функцией
четной, а мнимая часть – нечетной. Поэтому достаточно ограничиться построением
кривой, соответствующей характеристическому полиному для положительных
частот. Тогда кривая, соответствующая отрицательным частотам является
зеркальным отражением кривой для положительных частот относительно оси
абсцисс.
5. Изменяем частоту
;0
и для каждой частоты строим точку на
комплексной плоскости, и соответствующий годограф характеристического
уравнения.
51
6. Судим об устойчивости системы по критерию Михайлова.
Если годограф начинается и заканчивается на действительной оси, то система
будет устойчивой, в противном случае – наоборот.
Формулировка критерия Михайлова.
Автоматическая система управления, описываемая уравнениями п-го порядка
будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до характеристический вектор
системы (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол
2
n
, не
обращаясь при этом в нуль.
Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при
изменении
от 0 до пройти последовательно через п квадрантов.
На рисунке а) изображен вектор D(j
), называемый характеристической
кривой или годографом Михайлова. Характеристические кривые, соответствующие
устойчивым системам (рисунок б)), имеют плавную спиралеобразную форму и
уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения.
Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или
проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рисунок в)).
В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова:
Система устойчива, если действительная и мнимая части
характеристической функции D(j
) обращаются в нуль поочередно (см. рисунок г)),
т.е. если корни уравнений Re(
)=0 и Im(
)=0 перемежаются.
52
Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем
высокого порядка (n>5).
3.3.3 Критерий Найквиста
В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на
анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет
судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике
разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество
критерия, т.к. построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных
систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно
упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых
звеньев.
Имеется САУ:
;
;
1
;
jMjDjD
jMjD
jM
jW
jW
jW
jD
jM
jW
pp
pp
p
зс
p
p
здесь D
p
(j
) – частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы.
Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию,
определяемую по формуле
jD
jD
jD
jMjD
jD
jM
jWj
pp
pp
p
p
11
Примечание: Возьмем абстрактное комплексное число
jAjAjAjA
n
21
.
Модуль этого числа будет равен произведению модулей каждого из
множителей, а аргумент этого числа – сумме каждого из слагаемых.
jAjAjAjA
jAjAjAjAjA
n
n
argargargarg
mod
21
21
Причем
jDjDj
p
0
00
argargarg
.
Рассмотрим три случая.
1. Система в разомкнутом состоянии устойчива, это значит по Михайлову:
2
arg
njD
p
,
где п – порядок разомкнутой системы.
Частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы также имеет
порядок п, т.к. порядок числителя разомкнутой системы всегда меньше или равен
порядку знаменателя разомкнутой системы (
jDjM
pp
).
Если система в замкнутом состоянии тоже устойчива, то угол одинаковый
2
arg
0
njD
.
Рассмотрим изменения аргумента
при изменении частоты от 0 до :
53
0
22
arg
0
nnj
Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента
функции
(j
) при изменении частоты от 0 до составит ноль. Это возможно только
в том случае, когда годограф не охватывает точку начала координат.
Критерий Найквиста для первого случая: замкнутая система будет устойчивой,
если годограф разомкнутой системы не пересекает отрезок (-;-1], т.е. не охватывает
критическую точку (-1;0).
На рисунке а) изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом
состоянии, а на б) – системы, находящейся на границе устойчивости.
Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий
амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз
пересечет точку [-1;0].
2. Разомкнутая система неустойчива.
Замкнутая система устойчива, это значит, что изменение аргумента
представляется формулой:
2
2arg
0
knjD
p
,
где k – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы,
находящихся в правой полуплоскости.
Изменение аргумента от 0 до :
2
arg
0
njD
p
.
Изменение частоты от 0 до составит:
kkknnj
2
2
2
2
2
arg
0
.
При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем
считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки.
Отрицательным направлением годографа – по часовой стрелке, или снизу вверх при
пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так:
если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k
положительных корней характеристического уравнения, то система в
замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность
между количеством положительных переходов и количеством
отрицательных переходов отрезка
]1;(
действительной оси будет
54
равна k/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок
]1;(
в положительном направлении в
2
k
раз.
3. Разомкнутая система устойчива, замкнутая система неустойчива.
,
22
2arg
;
2
2arg
;
2
arg
0
0
0
mnmnj
mnjD
njD
p
здесь п – количество корней замкнутой системы.
Если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии
неустойчива, то годограф пересекает отрезок
]1;(
в отрицательном направлении
в
2
m
раз.
Объединяя все три случая, можно дать следующее определение критерию
Найквиста:
Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между
числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой
системы отрезка
]1;(
действительной оси будет равна
2
m
, где т –
количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы,
находящихся в правой полуплоскости.
Примеры:
1. т=2
2
2
2
1
1
2
1
Система неустойчивая.
2 т=5
55
2
5
2
1
21111
2
1
Система устойчивая.
Алгоритм использования критерия Найквиста
1. Приводим систему к виду
2. Получаем передаточную функцию разомкнутой системы.
3. С помощью алгебраических критериев определяем количество (m) положительных
корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
4. Строим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.
5. По критерию Найквиста судим об устойчивости замкнутой системы по годографу
АФХ разомкнутой системы и количеству положительных корней.
3.3.4. Логарифмический критерий устойчивости
Логарифмический критерий устойчивости применяется при исследовании
сложных многоконтурных систем, при построении ЛАЧХ корректирующих звеньев,
выводящих исходную систему из неустойчивого состояния. Базовым для
логарифмического критерия устойчивости является критерий Найквиста.
По критерию Найквиста, базовая точка (-1;0) в комплексной плоскости.
01lg20lg20
;
1
0
;101
;0Im;1Re
2
A
arctgA
Рассмотрим АФХ разомкнутой системы в двух случаях:
1. АФХ первого рода, когда система в разомкнутом
состоянии устойчива.
Это означает, что годограф такой системы не
пересекает отрезок
]1;(
.
САУ в разомкнутом состоянии будет устойчива, если
частота среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ)
меньше частоты, при которой ФЧХ достигает значения -
, т.е. при положительных
значениях ЛАЧХ до частоты среза ФЧХ не должна достигать угла -
.
56
2. АФХ второго рода, когда разомкнутая система
неустойчивая, а замкнутая система устойчива.
Для АФХ второго рода логарифмический критерий
устойчивости заключается в следующем: при
положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза,
количество переходов прямой -
ФЧХ должно быть равно
нулю (т.е. количество положительных переходов равно количеству отрицательных
переходов).
3.4. Сравнительный анализ критериев устойчивости
1. Алгебраический критерий Гурвица целесообразно применять при порядке
системы
4
.
2. Алгебраический критерий Рауса применяется при порядке системы от 4 до 6.
3. Критерий устойчивости Михайлова применяется при исследовании сложных
многоконтурных систем, когда необходимо выяснить влияние измерения
структуры системы и средств ее стабилизации на устойчивость.
4. Критерий устойчивости Найквиста целесообразно применять тогда, когда
система имеет одноконтурный вид, и если отдельные элементы системы
заданы экспериментально.
57
5. Логарифмический критерий устойчивости применяется тогда же, когда и
критерий Найквиста, особенно при исследовании системы на большом
интервале частот.
3.5. Запас устойчивости
Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица
0
i
,
i
min
, где
- запас устойчивости.
Запасом устойчивости считается некоторая величина
, при которой самый
min определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины.
Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости
При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде
и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется наиближайшей точкой по
отношению к критической. В численном значении - это длина отрезка [0;B], где В –
точка пересечения годографа системы и отрицательной оси.
Нормированная величина запаса устойчивости:
B
σ
0
1
- запас устойчивости по модулю.
Если
1σ
, то система находится на границе устойчивости;
Если
1σ
, то система устойчивая;
Если
1σ
- система неустойчива.
На практике считается допустимым запас по амплитуде в логарифмическом
масштабе -
σlg20
, что составляет
(дб)σ
доп
1510
.
Чтобы определить, обладает ли САУ заданным запасом устойчивости по
амплитуде, проводится следующие исследования:
1. Строится годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.
2. Определяется ближайшая точка пересечения данного годографа с
действительной осью по отношению к точке [-1,0].
3. Определяется запас устойчивости по формуле:
h
1
, где h – это отрезок [0;B].
4. Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает
заданному запасу устойчивости, в противном случае САУ не обладает
заданным запасом.
Запасом устойчивости по фазе называется
минимальный угол, образуемый отрицательной
действительной осью и прямой, соединяющий
начало координат и точку пересечения годографа
амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой
системы и окружности с единичным радиусом с
центром в начале координат.
На практике допустимым запасом
устойчивости считается угол:
4530
доп
γ
.
58
Если
доп
γγ
, то система не обладает запасом устойчивости;
Если
доп
γγ
, то система обладает запасом устойчивости.
3.5.1. Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания
Системы со звеньями чистого запаздывания относятся к иррациональным
системам, поэтому они не поддаются анализу алгебраическими критериями
устойчивости. Наиболее применимый метод анализа – частотный метод (метод
Найквиста).
Характеристическое уравнение такой системы:
01
1
p
eW
Предположим, что разомкнутая система –
устойчивая. Звено чистого запаздывания не вносит изменений по амплитуде, а
изменяет только фазу.
Графически это означает поворот любой
точки годографа амплитудно-фазовой
характеристики разомкнутой системы на угол
ωτ
по часовой стрелке.
Поскольку при
ω
амплитуда
достаточно мала, то годограф амплитудно-
фазовой характеристики всей системы (т.е. со
звеном чистого запаздывания) закручивается
вокруг начала координат
tωφ
11
.
Строится годограф системы со звеном
чистого запаздывания. Определяется точка
пересечения данного годографа с окружностью единичного радиуса, и
соответствующая данной точке частота. Берется запас устойчивости
и определяется
величина
.
Вывод: звено чистого запаздывания ухудшает
характеристики по отношению к устойчивости и может
возникнуть такая ситуация, что при времени чистого
запаздывания
0
годограф пересечет т.[-1,0], т.е. меняя
, мы можем выводить систему на устойчивое
состояние:
0
ττ
- система устойчивая;
0
ττ
- система на границе устойчивости;
0
ττ
- система неустойчива.
П
ω
γ
τ
0
или
П
ω
πnγ-
τ
2
0
Здесь
0
- критическое время чистого запаздывания.
Кроме того, звено чистого запаздывания уменьшает запас устойчивости
системы.
59
3.6. Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы
Структурно устойчивой системой называется система, устойчивости
которой можно добиваться, изменяя параметры звеньев, при этом тип звеньев и их
соединения остаются неизменными.
Здесь К
ОС
– коэффициент обратной связи.
OC
KKKKK
321
Устойчивость такой системы
достигается путем изменения
коэффициентов усиления.
Структурно неустойчивой системой называется система, устойчивость
которой может быть достигнута при изменении структуры (замена типов звеньев и
характеров соединений).
3.7. Влияние параметров на устойчивость системы. D-разбиение по одному
параметру
Теория устойчивости позволяет не только определить устойчивость данной
системы, но и влияние некоторых параметров системы на ее устойчивость. Данное
влияние определяется с помощью процедуры D-разбиения.
Предположим, что известно характеристическое уравнение системы:
0
1
2
2
1
10
nn
nnn
apapapapa
В системе есть некоторый параметр (коэффициент k), который можно изменять,
который входит линейно в характеристическое уравнение.
Тогда характеристическое уравнение можно разбить на 2 части:
),()(
)(
)(
;0)()(
jVUjp
pD
pM
k
pkDpM
где М(р) – члены характеристического
уравнения, не содержащие параметр k, а D(p) –
члены характеристического уравнения,
содержащие коэффициент k линейно.
На комплексной плоскости строится
кривая с
;
, при этом левая часть
штрихуется. Только замкнутая область D
определяет пределы изменения данного параметра, при которых система является
устойчивой. При изменении
bak ,
,САУ остается устойчивой.
60