Андриевская Н.В. Лекции по ТАУ

Подождите немного. Документ загружается.

АЧХ показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка

пропускания производится по отношению амплитуд

в установившемся

режиме. АЧХ имеет размерность, равную отношению размерности выходной

величины к размерности входной. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение

выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах в

установившемся режиме.

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну

общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(j



) представляет собой

функцию комплексного переменного j



, модуль которой равен А(



), а аргумент равен



(



). Каждому фиксированному значению частоты



соответствует комплексное

число W(j



), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором,

имеющим длину А(



) и угол поворота



(



) (см. рис.в). Отрицательные значения



(



), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято

отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(j



)

поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно увеличивается или

уменьшается длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора,

называемая годографом, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует

определенное значение частоты.

Проекции вектора W(j



) на действительную и мнимую оси называют

соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и

обозначают

       

.Im,Re



jWQjWP 

При этом, действительная частотная характеристика Р(



) – всегда четная функция

частоты, а мнимая характеристика Q(



) – всегда нечетная функция.

Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из

его передаточной функции путем подстановки р=j



   



pWjW



АФХ W(j



), как и любая комплексная величина, может быть представлена в

показательной форме

   

 





eAjW 

где А(



) – модуль АФХ, а



(



) – угол сдвига по фазе;

алгебраической

     



jQPjW 

или тригонометрической

         

.sincos



jAAjW 

Связь между различными частотными функциями следующая:

       

   

 

.arg























arctgjW

QPjWA

Физический смысл замены р=j



: на вход звена мы подаем гармоническое

воздействие

tXx



cos

, на выходе звена -

 



 tYy

cos

, тоже имеем

гармонический сигнал, но с другой амплитудой и со сдвигом по фазе.

При практических расчетах автоматических систем удобно использовать

частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат.

Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну

и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из

нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев

удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых

правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить

характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению

обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат

логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают

декаду. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением



его десятикратным значением 10



. Отрезок логарифмической оси частот,

соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную

характеристику (ЛАЧХ)

   

,lg20



AL 

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах (Б) или децибелах

(дБ).

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб

применяют только для оси абсцисс.

На рис.г показаны ЛАЧХ L(



) (толстая линия) и соответствующая ей

приближенная (асимптотическая) характеристика L

(



) в виде прямолинейных

отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков,

называют сопрягающими и обозначают



2.7. Типовые динамические звенья

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными

дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название

типовых динамических звеньев.

Типовые динамические звенья подразделяются на:

1. безынерционное звено (усилительное);

2. апериодическое звено;

3. колебательное звено;

4. идеальное дифференцирующее звено;

5. реальное дифференцирующее звено;

6. идеальное интегрирующее звено;

7. реальное интегрирующее звено;

8. форсирующее звено;

9. звено чистого запаздывания.

2.7.1. Безынерционное звено

Безынерционное звено является простейшим среди всех типовых звеньев. Оно

передает сигнал со входа на выход мгновенно, без искажений его формы. В звене

может происходить только усиление или ослабление мгновенных значений входной

величины.

Связь между мгновенными значениями входной величины x(t) и выходной

величины y(t) описывается алгебраическим уравнением

   

.tkxty 

Передаточные свойства звена определяются лишь одним параметром –

передаточным коэффициентом k.

При единичном ступенчатом воздействии x(t)=1(t), приложенном в момент t=0,

выходная величина мгновенно изменяется и принимает значение k (рис.а).

1. Переходная характеристика звена имеет вид

   

ktkth  1

2. Импульсная переходная характеристика (функция веса) (рис.б)

   

      

;

tktkt

tht















3. Уравнение звена в операционной форме

   

,pkXpY 

отсюда передаточная функция

 

pW 

4. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена описывается функцией

 

,kjW 



которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси

(рис.е).

5. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

   

kjWA 



представляет собой прямую, параллельную оси частот (рис.в).

Это означает, что сигналы любой частоты (от нуля до бесконечности)

проходят через безынерционное звено с одинаковым отношением амплитуд

выходной и входной величин, равным k.

6. Выражение для фазовой частотной характеристики (ФЧХ) (рис.г)

   

 

arg 

arctgjW



показывает, что безынерционное звено не создает фазовых сдвигов между входной и

выходной величиной. Это и оправдывает название звена.

7. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ)

безынерционного звена

   

kAL lg20lg20 



так же, как и его АЧХ, является прямой линией, параллельной оси абсцисс (рис.д).

Графики соответствующих характеристик изображены на рис.:

На алгоритмических схемах безынерционное звено изображают в виде

прямоугольника, внутри которого указывают буквенное обозначение или числовое

значение передаточного коэффициента k (см. рис.).

Пример:

;

об









Здесь U  входная характеристика;

I  выходная характеристика.

Примерами могут также служить любая электрическая цепь, состоящая из

сопротивлений и являющаяся усилительным звеном; рычаги и зубчатые передачи. В

практике усилительные звенья встречаются очень редко.

2.7.2 Апериодическое звено

Динамика процесса описывается следующим уравнением:

 

   

,tkxty

tdy

T 

где k передаточный коэффициент или коэффициент усиления, Тпостоянная времени,

характеризующая инерционность звена.

1. Переходная характеристика:

 

ktht

kekthTt

tht

ekth























63,01

kT 63,0

2) В точке ноль строят касательную

переходной характеристики, определяют точку пересечения с линией k. Абсцисса

этой точки и есть постоянная времени.

2. Импульсная переходная характеристика, или функция веса, звена может

быть получена путем дифференцирования функции h(t):

   

 

27,0

































TTt

kektht

3. Передаточная функция:

Применим преобразование Лапласа к уравнению:

     

      







pWpkXTppY

pkXpYpTpY

Структурная схема звена при этом будет выглядеть

следующим образом:

4. АФХ:

Подставляя в передаточную функцию p=j



получим амплитудно-фазовую функцию:

   

2222

ImRe

)1)(1(

)1(

)(











jkTk

jTjT

jTk



























5. АЧХ:

 

   

222

ImRe















График АЧХ строится по точкам:

 







Здесь



– частота среза.

Гармонические сигналы малой частоты (



)

пропускаются звеном хорошо – с отношением амплитуд выходной и входной

величин, близким к передаточному коэффициенту k. Сигналы большой частоты (



) плохо пропускаются звеном: отношение амплитуд существенно коэффициента k.

Чем больше постоянная времени Т, т.е. чем больше инерционность меньше звена, тем

меньше АЧХ вытянута вдоль оси частот, или, тем уже полоса пропускания частот.

Т.о. инерционное звено первого порядка по своим частотным свойствам

является фильтром низкой частоты.

6.ФЧХ:

ФЧХ инерционного звена первого порядка равна:

 

   







TarctgTarctg

arctgarctg









 

000





























Чем больше частота входного сигнала, тем больше отставание по фазе

выходной величины от входной. Максимально возможное отставание равно 90

. При

частоте



=1/Т сдвиг фаз равен –45

7.ЛАЧХ:

Рассмотрим теперь ЛАЧХ звена. Точная ЛАЧХ описывается выражением:

   

1lg20lg20

lg20lg20





AL 

















При построении ЛАЧХ апериодического звена прибегают к асимптотическим

методам или, другими словами, строят асимптотический график ЛАЧХ.

 

     

дБLLL

TkkL

2010

20lg20lg2010lg20lg2010

lg20lg20

)

lg20

)













На втором участке наклон асимптотической ЛАЧХ составляет 20 дБ/дек.

 



дБ

2lg10lg20

1lg20lg20

lg20lg20

lg20

1lg20lg20

)

lg20

)





















От первых двух точек эта

характеристика ЛАЧХ в точке

среза будет меньше асимптотической ЛАЧХ на величину

дБ32lg10 

Шаблон поправки

Для построения ЛАЧХ апериодических

звеньев в литературе приводится шаблон

поправки.

В пределах одной декады ЛАЧХ вокруг

частоты



претерпевает наибольшие изменения.

Шаблон таких изменений уже вычислен и

приведен в литературе.

Порядок построения ЛАЧХ апериодического звена

1. Строим асимптотический ЛАЧХ.

2. Выбирается шаблон поправки, ось ординат которого совмещается с

частотой среза асимптотической ЛАЧХ.

3. По данному шаблону вносятся изменения в асимптотическую ЛАЧХ.

Примеры апериодических звеньев

2.7.3. Колебательное звено

Динамика процессов в колебательном звене описывается уравнением:

   

tkxty

tdy

tyd

T 



где k коэффициент усиления звена; Т постоянная времени колебательного звена;





коэффициент демпфирования звена (или коэффициент затухания).

В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают четыре

типа звеньев:

а) колебательное 0<



<1;

б) апериодическое звено II порядка



>1;

в) консервативное звено



=0;

г) неустойчивое колебательное звено



<0.

1. Переходная характеристика колебательного звена:

   

;

где,sin





















































arctg

kthа

Амплитуды первых двух колебаний

определяют величину -





Чем ближе коэффициент затухания к единице, тем меньше амплитуда

колебаний, чем меньше Т, тем быстрее устанавливаются переходные процессы.

 

kthб



































При



>1 колебательное звено

называется апериодическим звеном

второго порядка (последовательное

соединение двух апериодических

звеньев с постоянными времени Т

   



 tkthв

sin)

, или можно записать

так

   

 

tkth

cos1





Здесь



– величина, обратная постоянной

времени (





);







Такое звено в литературе называют

консервативным звеном.

   

























kthг

sin

Все переходные характеристики

будут колебаться вдоль величины k.



2. Импульсная переходная

характеристика:

   

 

    



























































tekthtа

000

cossin

cos

sin

)

   













































































212

21221

121

)

TTT

kthtб



   

 













tkthtв

cos

sin)

3.Передаточная функция:

 

  

 

)

















pWв

pTpT

pTTpTT

pWб

pTpT

pWа



4.АФХ:

 

   

2222222222

)









jWа











График АФХ будет выглядеть следующим образом:

Это характеристика для колебательного звена и

для апериодического звена второго порядка.

Для апериодического звена -





А в случае б) формула АФХ совпадает со случаем

а).

 

222

)



jWв









- АФХ для консервативного звена.

5.АЧХ:

 

22222

))





Aба





АЧХ при частоте

max





имеет максимум

(резонансный пик), равный

 

maxmax

12/



 kAA

Отсюда видно, что, чем меньше коэффициент



, тем

больше резонансный пик.

 

)



Aв





Т.о., по

графику АЧХ видно, что колебательное звено, как

и все инерционные звенья, хорошо пропускает

сигналы низкой частоты и плохо – сигналы

высокой частоты; если частота гармонического

входного сигнала близка к частоте собственных

колебаний звена, то отношение амплитуды

выходного сигнала к амплитуде входного больше

передаточного коэффициента k.

6.ФЧХ:

 















































))

arctg

arctgarctgба

Для случая б) график будет аналогичным, только перегиб будет чуть меньше

(штриховая линия на графике).

 

)  arctgarctgв



7.ЛАЧХ: