Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
13
Переходя в последнем интеграле к пределу
0
в силу непрерывности действительной
и мнимой части
)(zf
, получаем
)(2)()exp((lim
2
0
2
0
0
zfidzfidizfi
.
Интегральная формула Коши выражает значение аналитической функции в любой точке
внутри замкнутого контура через ее значение на этом контуре. Поскольку аналитическую
функцию можно дифференцировать по обычным правилам, вычисляя производную от
обеих частей интегральной формулы Коши, получаем
C
dz
zz
zf
i
zf
1
2
1
1
)(
)(
2
1
)(
.
Покажем при помощи предельного перехода, что полученная производная также является
аналитической функцией. Для любой пары точек
zzz ,
внутри контура интегрирования
CC
dz
zz
zf
i
dz
zzz
zf
iz
zfzzf
z
1
2
1
1
1
2
1
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
11
)()(
1
,
CCC
dz
zzzzz
zzzzf
i
z
dz
zz
zf
i
dz
zzz
zf
i
1
2
1
2
1
11
1
2
1
1
1
2
1
1
)()(
))(2)((
2)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
,
|)(|
)(
)(
2
21
)()(
1
1
3
1
1
zOdz
zz
zf
i
zfzzf
z
C
.
Переходя в последней формуле к пределу
0|| z
, получаем
C
dz
zz
zf
i
zf
1
3
1
1
)(
)(
2
21
)(
.
Продолжая описанный процесс далее, можно показать, что производная аналитической
функции произвольного порядка
C
n
n
dz
zz
zf
i
n
zf
1
1
1
1
)(
)(
)(
2
!
)(
.
то есть аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой.
Пусть
za
любая точка лежащая внутри контура
C
. Не теряя общности, контур, исполь-
зуемый в интегральной формуле Коши можно деформировать в окружность
RazC ||:
1
. Тогда для любой точки на контуре будет выполняться неравенство
||||
1
azaz
. Переписав интегральную формулу Коши в виде
CCC
dz
azazaz
zf
i
dz
azaz
zf
i
dz
zz
zf
i
zf
1
11
1
1
1
1
1
1
1
)/()(1
1)(
2
1
)(
)(
2
1)(
2
1
)(
,
и разлагая второй сомножитель подынтегральной функции в геометрический ряд
0
2
1
1
1
k
k
uuu
u
,
получаем, что аналитическая функция представляется степенным рядом
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
14
0
1
1
1
1
1
11
1
)(
)(
2
1
)(
)/()(1
1)(
2
1
)(
k
C
k
k
C
dz
az
zf
i
azdz
azazaz
zf
i
zf
,
0
)()(
k
k
k
azczf
, где
,2,1,0),(
!
1
)(
)(
2
1
)(
1
kaf
k
dz
az
zf
i
c
k
C
k
k
.
По аналогии со степенными рядами для функций действительной переменой, этот ряд на-
зывается рядом Тейлора для аналитической функции.
Полученный результат означает, что для аналитических функций сохраняются все форму-
лы известных разложений элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена, и что из-
вестные ряды Маклорена могут быть использованы в качестве определения элементарных
аналитических функций комплексной переменной. Кроме того, разложение Тейлора до-
полнительно подтверждает справедливость всех стандартных правил дифференцирования
для функций комплексных переменных.
Аналитическое продолжение и теорема единственности
С точки зрения степенных рядов комплексной переменной, конкретный ряд, внутри сво-
его круга сходимости определяет аналитическую функцию. Например, геометрический
ряд
n
zzz
2
1
в круге
1|| z
определяет аналитическую функцию, которую
можно представить формулой
1
)1()(
zzf
. Поскольку значение функции по данной
формуле может быть вычислено для всех значений переменной
1z
, возникает вопрос:
будет ли функция, определяемая данной формулой аналитической и за пределами исход-
ного круга сходимости?
Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим функцию, задаваемую следующим гео-
метрическим рядом
n
ia
iaz
ia
iaz
ia
iaz
ia 1111
1
2
,
где положительный вещественный параметр
1a
. Этот ряд определяет функцию, ана-
литическую в круге
2
1|1||| aiaiaz
, а его сумма определяется той же формулой,
что и рассмотренный выше геометрический ряд
1
)1(
)1/()(1
1
1
1
z
iaiazia
.
Таким образом, мы имеем две аналитических функции, обладающие следующими свойст-
вами:
Обе функции определены на различных, но частично перекрывающихся областях
комплексной плоскости.
Значения обеих функций можно вычислять по единой формуле, в силу чего на пе-
ресечении областей определения функции совпадают.
В связи с этим возникает и второй вопрос: можно ли считать, что оба рассмотренных
ряда представляют одну и ту же аналитическую функцию?
Ответ на оба поставленных вопроса дают понятие аналитического продолжения и тео-
рема единственности.
Определение аналитического продолжения.
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
15
Функция
)(zf
, регулярная в области
D
комплексной плоскости, называется ана-
литическим продолжением функции
)(zg
, определенной на подмножестве
DD
1
, если
)()( zgzf
для всех
1
Dz
.
Теорема единственности (в упрощенной формулировке).
Если функции
)(zf
,
)(zg
регулярны в области
D
комплексной плоскости и
)()( zgzf
на некоторой линии
DC
, то
)()( zgzf
для всех
Dz
.
Из теоремы единственности следует: аналитическое продолжение является единствен-
ным, если подмножество
1
D
является линией или областью.
Опираясь на понятие аналитического продолжения и теорему единственности, приходим к
следующим ответам на поставленные выше вопросы:
Оба степенных ряда являются единственными аналитическими продолжениями в
различные области комплексной плоскости функции
1
)1()(
zzf
, определенной
на пересечении кругов
1|| z
,
2
1|| aiaz
, то есть в результате двух аналити-
ческих продолжений получается единая функция, определенная на объединении
этих кругов (рис. 6)
Поскольку аналитическое продолжение можно осуществить на любой круг, не со-
держащий точки
1z
, формула
1
)1()(
zzf
определяет единую функцию, ана-
литическую при всех значениях переменной
1z
.
Рисунок 6. Пример расширение области определения функции при аналитическом продолжении
Аналитическое продолжение и теорема единственности являются эффективными инстру-
ментами, для обобщения известных свойств функций вещественной переменной на функ-
ции комплексной переменной.
Пример. Показать, что основное тригонометрическое тождество
1)(sin)(cos
22
zz
спра-
ведливо для любого значения комплексной переменной.
Решение. Поскольку ряды Маклорена для синуса и косинуса сходятся абсолютно во всей
комплексной плоскости, формула
1)(sin)(cos)(
22
zzzf
определяет функцию, регу-
лярную на всей комплексной плоскости, которая является аналитическим продолжением
функции
1)(sin)(cos
22
xx
, определенной на вещественной оси. Поскольку последняя
функция равна нулю в силу основного тригонометрического тождества, по теореме един-
ственности следует, что
0)( zf
на всей комплексной плоскости.
1|| z
2
1|| aiaz
zRe
zIm
1
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
16
Изолированные особые точки и ряд Лорана
Точки, в которых функция
)(zf
не является аналитической, называются особыми точка-
ми. Особая точка
az
называется изолированной особой точкой, если функция
)(zf
яв-
ляется аналитической на окружности
|| az
сколь угодно малого радиуса.
Рассмотрим представление функции
)(zf
по интегральной формуле Коши, используя
контур в виде кольца с разрезом, в центре которого находится одна особая точка (рис. 7).
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
2
1)(
2
1)(
2
1
)(
C CC
dz
zz
zf
i
dz
zz
zf
i
dz
zz
zf
i
zf
Записав первый интеграл в правой части равенства в виде
111
1
11
1
1
1
1
1
1
1
)/()(1
1)(
)(
)()(
CCC
dz
azazaz
zf
dz
azaz
zf
dz
zz
zf
,
и учитывая, что на контуре
1
C
выполняется неравенство
||||
1
azaz
, можно разложить
второй сомножитель подынтегральной функции по формуле суммы геометрического ряда
0
2
1
1
1
k
k
uuu
u
.
Тогда
0
1
1
1
1
1
11
1
11
)(
)(
)(
)/()(1
1)(
k
C
k
k
C
dz
az
zf
azdz
azazaz
zf
.
Аналогичное преобразование делается и для второго интеграла
222
1
11
1
1
1
1
1
1
1
)/()(1
1)(
)(
)()(
CCC
dz
azazaz
zf
dz
azaz
zf
dz
zz
zf
,
22
1
1
11
1
1
1
1
))(()(
)/()(1
1)(
C
k
k
k
C
dzazzfazdz
azazaz
zf
.
При этом для разложения второго сомножителя в геометрический ряд используется нера-
венство
||||
1
azaz
, справедливое на контуре
2
C
.
Рисунок 7. Контур интегрирования, используемый при получении ряда Лорана
bz
az
1
С
2
С
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
17
Поскольку функция
k
azzf ))((
не может иметь особых точек кроме
az
внутри конту-
ра
1
C
, а контур
2
C
лежит внутри контура
1
C
, контур
2
C
можно непрерывно деформиро-
вать в
1
C
, не изменяя значение интеграла. Следовательно,
12
1
1
11
1
1
1
1
))(()(
)/()(1
1)(
C
k
k
k
C
dzazzfazdz
azazaz
zf
.
В результате получается представление исходной функции в виде степенного ряда, кото-
рый содержит как положительные, так и отрицательные степени
az
1
0
)()()()(
n
n
n
n
n
n
azcazcazczf
,
а коэффициенты ряда вычисляются по формулам
,2,1,0,
)(
)(
2
1
1
1
ndz
az
zf
i
c
C
n
n
,
,2,1,))((
2
1
2
1
ndzazzf
i
c
C
n
n
.
Поскольку интегралы, определяющие коэффициенты разложения не изменяются при за-
мене контура интегрирования на гомотопный ему, коэффициенты ряда можно вычислять
по единой формуле
,3,2,1,0,1,2,3,
)(
)(
2
1
1
ndz
az
zf
i
c
C
n
n
,
где
C
- произвольный замкнутый контур, внутри которого лежит единственная особая
точка
az
функции
)(zf
.
Полученный степенной ряд для функции
)(zf
в окрестности изолированной особой точки
az
, называется рядом Лорана, входящая в этот ряд сумма отрицательных степеней, на-
зывается главной частью ряда Лорана, а сумма положительных степеней, - регулярной ча-
стью ряда Лорана.
Изолированные особые точки классифицируют по главной части ряда Лорана следующим
образом:
Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, изолиро-
ванная особая точка называется существенно особой точкой.
Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, изолирован-
ная особая точка называется полюсом, а наибольший модуль показателя степени в
главной части ряда Лорана, - порядком полюса
8
.
Поскольку при разложении функции в ряд Тейлора, коэффициенты разложения опреде-
ляются интегралом по контуру, внутри которого нет особых точек исходной функции, ряд
Тейлора сходится в круге
Raz ||
, радиус которого равен расстоянию от центра разло-
жения
az
до ближайшей к нему особой точки функции
)(zf
.
Аналогичная формулировка может быть дана и для области сходимости ряда Лорана. Ряд
Лорана сходится в кольце
Raz ||0
, где
R
– расстояние от особой точки
az
до
ближайшей к ней особой точки функции
)(zf
.
Для классификации поведения функции и при больших значениях переменной
|| z
также используется ее представление в виде степенного ряда по степеням
z
, который на-
8
Полюсы первого порядка также называют простыми полюсами.
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
18
зывают рядом Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (разложение идет в
кольце
|| zR
)
1
0
)(
k
k
k
k
k
k
zczczczf
,
,3,2,1,0,1,2,3,
)(
2
1
1
ndz
z
zf
i
c
C
n
n
,
где контур интегрирования, - окружность радиуса
R
, ориентированная против часовой
стрелки вне которой нет особых точек функции
)(zf
.
В отличие от ряда Лорана в окрестности
az
, для ряда Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки сумма положительных степеней называется главной частью ряда, а сум-
ма отрицательных степеней, - регулярной частью. При этом тип бесконечно удаленной
особой точки также определятся по главной части ряда Лорана:
Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, бесконечно
удаленная точка называется полюсом, а значение старшего показателя степени, -
порядком полюса.
Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, бесконеч-
но удаленная точка называется существенно особой точкой.
Теоремы о вычетах
Вычетом функции в изолированной особой точке
az
,
)(zfres
az
, называется коэффици-
ент ряда Лорана
C
az
dzzf
i
czfres )(
2
1
)(
1
.
Отсюда следует, что интеграл по любому замкнутому контуру, внутри которого находится
единственная особая точка, определяется через вычет функции в этой точке по формуле
)(2)( zfresidzzf
az
C
.
Обобщением данной формулы является следующая теорема.
Рисунок 8 Пример контура интегрирования, используемого при выводе теоремы о вычетах
1
az
2
az
3
az
4
az
5
az
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
19
Теорема о вычетах:
Пусть функция
)(zf
является аналитической в односвязной области
D
комплекс-
ной плоскости, за исключением некоторого набора изолированных особых точек, и
на замкнутом контуре
C
, окружающим эти особые точки, нет особых точек функ-
ции
)(zf
. Тогда интеграл
a
az
C
zfresidzzf )(2)(
,
где суммирование ведется по всем изолированным особым точкам, расположенным
внутри контура интегрирования.
Доказательство теоремы о вычетах подобно доказательству интегральной формулы Коши,
и использует контур интегрирования, подобный изображенному на рисунке 8. Требуемый
результат следует из того, что интеграл по всему контуру обращается в нуль согласно ин-
тегральной теореме Коши, сумма интегралов по всем прямолинейным отрезкам равна ну-
лю, а интеграл по окружности вокруг особой точки (по направлению хода часовой стрел-
ки) равен
)(2 zfresi
az
.
Теорема о вычетах имеет обобщение и на случай, когда на контуре интегрирования распо-
лагаются простые полюсы подынтегральной функции. В этом случае под вкладом в инте-
грал по части контура, пересекающей полюс, понимается его главное значение по Коши,
то есть предельное значение суммы интегралов, получаемых симметричным «размыкани-
ем» контура вблизи полюса.
fin
ini
C
a
a
CC
dzzfdzzfdzzf
)()(lim)(
0||
,
здесь
finini
CC ,
- начальная и конечная точки пресекающего полюс контура
C
.
Обобщенная теорема о вычетах.
Пусть функция
)(zf
является аналитической в односвязной области
D
комплекс-
ной плоскости, за исключением некоторого набора изолированных особых точек, и
пусть на замкнутом контуре
C
, расположенном в области
D
, нет особых точек
)(zf
, кроме полюсов первого порядка. Тогда
b
bz
a
az
C
zfresizfresidzzf )()(2)(
,
где первая сумма содержит все изолированные особые точки
a
расположенные
внутри контура интегрирования, а вторая сумма, - все простые полюсы
b
, распо-
ложенные на контуре интегрирования.
Для ее доказательства вначале рассматривают случай единственного простого полюса на
контуре интегрирования. Интеграл по контуру, пересекающему полюс, определяется как
интеграл в смысле главного значения по Коши, а для его вычисления используется замк-
нутый контур, получаемый замыканием этого симметрично разомкнутого контура по по-
луокружности бесконечно малого радиуса (рис. 9).
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
20
Рисунок 9 Пример обхода полюса на контуре интегрирования
Поскольку полюс является изолированной особой точкой, при определении интеграла
a
aC
dzzfdzzf )(lim)(
0
можно выбрать простейшее направление «размыкания» контура,
параллельно действительной оси. Замыкая исходный контур полуокружностью так, чтобы
полюс оказался внутри замкнутого контура, по теореме о вычетах получаем
)(2)()()( zfresidzzfdzzfdzzf
az
L
a
aC
,
L
az
a
a
dzzfzfresidzzf )(lim)(2)(lim
00
.
Интеграла по полуокружности бесконечно малого радиуса вычисляется при помощи за-
мены
2),exp( iaz
, и разложения подынтегральной функции в ряд Лорана
)()()exp()1(
)exp(
)(
)exp())exp((
2
OzfresidiiO
i
zfres
diiiaf
az
az
L
,
откуда и следует выражение интересующего нас интеграла через вычет в полюсе
)()(lim
0
zfresidzzf
az
a
a
.
Обобщение рассмотренного доказательства на общий случай не составляет труда.
Вычет в бесконечно удаленной точке.
Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется интеграл
Rz
z
dzzf
i
zfres
||
)(
2
1
)(
,
где интегрирование ведется по окружности настолько большого радиуса, что все изолиро-
ванные особые точки функции
)(zf
попадают внутрь круга
Rz ||
.
9
Сравнивая эту фор-
мулу с формулой для коэффициентов ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной
точки, получаем:
1
)(
czfres
z
.
9
Знак минус перед интегралом полностью согласуется с «обходом» бесконечно удаленной точки против
хода часовой стрелки.
az
zRe
С
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
21
В то же время, согласно теореме о вычетах
a
az
Rz
zfresdzzf
i
)()(
2
1
||
,
где суммирование ведется по всем особым точкам, расположенным внутри контура.
Сравнивая последнюю формулу с определением вычета в бесконечно удаленной точке,
получаем
a
azz
zfreszfres )()(
, или
0)()(
a
azz
zfreszfres
,
то есть сумма всех вычетов функции
)(zf
, включая и вычет в бесконечно удаленной точ-
ке, равна нулю.
Понятие о конформных отображениях
Функция комплексной переменной задает отображение между множествами комплексных
чисел. Для уточнения свойства отображений, определяемых аналитическими функциями,
рассмотрим пару линий
)(
1
tz
,
)(
2
tz
, пересекающихся в некоторой точке комплексной
плоскости. Аналитическая функция
)(zfw
переводит эти линии в пару линий
))(()(
11
tzftw
,
))(()(
22
tzftw
. Точка пересечения этих линий определяется тем же зна-
чением параметра, что и точка пересечения исходных линий.
Угол между линиями в точке пересечения определяется через скалярное произведение ка-
сательных векторов
),(
111
yxV
,
),(
222
yxV
(для линий
)(
1
tz
,
)(
2
tz
), и касательных век-
торов
11111
, y
y
v
x
x
v
y
y
u
x
x
u
W
,
22222
, y
y
v
x
x
v
y
y
u
x
x
u
W
для линий
))(()(
11
tzftw
,
))(()(
22
tzftw
. Вычислив скалярные произведения последней пары век-
торов, и используя условия Коши – Римана, получаем
22
1
22
1
2
1
|grad||||grad||||| vVuVW
,
22
2
22
2
2
2
|grad||||grad||||| vVuVW
,
2
21
2
2121
|grad||grad| vVVuVVWW
.
Отсюда сразу следует что
||||||||
21
21
21
21
VV
VV
WW
WW
,
|grad||grad|
||
||
vu
V
W
,
то есть отображение, осуществляемое аналитическими функциями, сохраняет неизмен-
ность углов и растяжений в каждой конкретной точке. Такие отображения называются
конформными отображениями.
Понятие о гармонических функциях
Из условий Коши – Римана следует, что действительная и мнимая части аналитической
функции удовлетворяют дифференциальному уравнению второго порядка, называемому
двумерным уравнением Лапласа
0
),(),(
2
2
2
2
y
yxu
x
yxu
,
0
),(),(
2
2
2
2
y
yxv
x
yxv
.
Для доказательства этого достаточно продифференцировать условия Коши – Римана по
каждой из переменных, и исключить смешенные частные производные второго порядка,
воспользовавшись их независимостью от порядка дифференцирования.
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
22
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.
Следовательно, действительная и мнимая части аналитической функции являются гар-
моническими функциями. Более точно, действительная и мнимая часть аналитической
функции образуют пару сопряженных гармонических функций. Суть этого понятия состо-
ит в том, что сопряженные функции могут быть определены друг через друга. Например,
пусть
),( yxu
известная гармоническая функция. Тогда из условий Коши – Римана следу-
ет, что форма
dyyxbdxyxayxdv ),(),(),(
, где
y
u
yxa
x
u
yxb
),(,),(
является
полным дифференциалом, и гармоническая функциям
),( yxv
, сопряженная исходной
функции
),( yxu
может быть получена интегрированием полного дифференциала. Следо-
вательно, аналитическая функция может быть полностью восстановлена по своей дей-
ствительной или мнимой части.
Кроме того, сопряженные гармонические функции задают два семейства взаимно перпен-
дикулярных линий на плоскости
1
),( cyxu
и
2
),( cyxv
. Это следует из того, что гради-
енты функций
),( yxu
,
),( yxv
, взаимно перпендикулярны в каждой точке их области оп-
ределения (выполните прямое вычисление скалярного произведения градиентов с исполь-
зованием условия Коши – Римана). Таким образом, сопряженные гармонические функции
могут быть использованы для задания ортогональных криволинейных координат на плос-
кости.
Простейшие применения функций комплексной переменной
Вычисление интегралов и суммирование рядов вычетами
Одним из популярных приложений функций комплексной переменной является вычисле-
ние определенных интегралов и суммирование рядов при помощи вычетов.
10
Суть исполь-
зуемого для этого метода состоит в представлении интересующего интеграла (или суммы
ряда) через некоторый интеграл по замкнутому контуру на комплексной плоскости, с по-
следующим вычислением интеграла по замкнутому контуру по теореме о вычетах. Преж-
де чем переходить к примерам вычислений, приведем следующие важные для этих при-
ложений результаты.
Формулы для вычисления вычетов
Единственным способом вычисления вычета в существенно особой точке является разло-
жение функции в ряд Лорана в кольце, окружающем эту точку. Тот же прием использует-
ся и для вычисления вычета в полюсе. Для записи ряда Лорана в окрестности полюса по-
рядка
n
, расположенного в точке
az
, исходную функцию
)(zf
представляют в виде
произведения полюсного сомножителя
n
az
)(
на функцию
)(zg
, регулярную в точке
az
:
)()()( zgazzf
n
, и разлагают сомножитель
)(zg
в ряд Тейлора:
1
)1(
)(
)!1(
)(
))(()()(
n
n
az
n
ag
azagagzg
.
Отсюда сразу следует искомое разложение функции
)(zf
в ряд Лорана:
частьрег улярнаяaz
n
ag
azagazagzf
n
nn
1
)1(
1
)(
)!1(
)(
)()()()()(
.
10
Этот метод эффективен и в тех случаях, когда первообразную подынтегральной функции можно выразить
через элементарные функции.