Алексеев Д.В. Конспекты по общему курсу математики
Подождите немного. Документ загружается.
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
23
Из последней формулы сразу получается формула для вычисления вычета в полюсе по-
рядка
n
:
az
n
nnn
az
dz
zfazd
nn
ag
zfres
1
1)1(
)()(
)!1(
1
)!1(
)(
)(
,
а также и формула для вычисления вычета в простом полюсе:
)()(lim)()(
0||
zfazagzfres
az
az
.
Лемма Жордана.
Этот результат используется при вычислении несобственных интегралов второго рода,
которые сводятся к интегралам по замкнутому контуру путем замыкания интеграла вдоль
прямой по окружности или дуге бесконечно большого радиуса.
Если аналитическая функция
0)(
||
z
zf
при значениях аргумента
zarg0
то
интеграл по полуокружности
R
L
, расположенной в верхней полуплоскости с цен-
тром в начале координат
0)()exp(
R
L
R
dzzfiaz
, где
0a
.
11
Выбираем радиус окружности из условия
|)(| zf
, (
0
R
). Тогда
diiRiRfiiaRdzzfiaz
R
L
)exp())exp(()))sin()(cos(exp()()exp(
0
RdiRfRdiiRiRfiiaR |))exp((|))sin(exp(|)exp())exp(()))sin()(cos(exp(|
00
0)()exp(1)/2(exp2))sin((exp2
2/
0
2/
0
R
ORdRRdRR
.
При получении последнего неравенства использовано тригонометрическое неравенство
2/0,/2)sin(
.
Примеры вычисления интегралов
1.
1||,
)cos(21
)cos(
2
adx
axa
nx
I
Исходный интеграл записывается в виде
dx
axa
inx
2
)cos(21
)exp(
Re
, и заменой пере-
менной
)exp(ixz
далее сводится к интегралу по окружности
1|| z
, который вы-
числяется по теореме о вычетах (особая точка
az
внутри контура)
azaaz
z
resdz
azaaz
z
idz
azza
z
i
n
az
z
n
z
n
)1(
2
)1()/1(1
22
1||
22
1||
2
1
11
Аналогичный результат справедлив и для
0a
, когда
0)(
||
z
zf
при
0arg z
, а интегрирова-
ние ведется по полуокружности в нижней полуплоскости
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
24
1))(/1()1(
222
a
a
azaza
z
res
azaaz
z
res
nn
az
n
az
, то есть
2
1
2
a
a
I
n
.
Попутно вычислен и интеграл
0
)cos(21
)exp(
Im
)cos(21
)sin(
22
dx
axa
inx
dx
axa
nx
2.
0,,
)cos()cos(
2
badx
x
bxax
I
Этот несобственный интеграл записывается в виде
dz
z
ibziaz
Vpdx
x
bxax
VpI
22
)exp()exp(
Re
)cos()cos(
.
Подынтегральная функция имеет простой полюс на контуре интегрирования. За-
мыкая контур в верхней полуплоскости и используя лемму Жордана получаем
)())exp()(exp(
)exp()exp(
2
0
2
abibziazzresidz
z
ibziaz
z
,
)( abI
.
3.
0,,
))sin(sin())cos(exp(
0
badx
x
bxabxa
I
.
Этот несобственный интеграл
R
R
dx
x
bxabxa
I
))sin(sin())cos(exp(
lim
0
,
в силу четности подынтегральной функции можно записать в виде,
dx
x
bxiabxa
Vpdx
x
bxabxa
VpI
))sin()cos(exp(
Im
2
1))sin(sin())cos(exp(
2
1
,
или
dx
x
Vpdx
x
ibxa
VpI
11))exp(exp(
Im
2
1
, так как
0
1
dx
x
Vp
.
Разлагая «внешнюю» экспоненту подынтегральной функции в ряд и переставляем
порядок суммирования и интегрирования получаем
dx
x
ibnx
Vp
n
a
dx
x
ibnx
n
a
Vpdx
x
ibxa
Vp
n
n
n
n
))exp(
!
))exp(
!
1))exp(exp(
11
Все входящие в сумму интегралы вычисляются с использованием контура, замы-
каемого по полуокружности в верхней полуплоскости, что дает
idx
x
ibnx
Vp
))exp(
,
)1)(exp(
!
1
aii
n
a
n
n
,
2/)1)(exp( aI
.
Примеры суммирования рядов
Теорема о вычетах позволяет находить суммы рядов вида
)(kf
и
)()1( kf
k
, если
)(zf
рациональная функция, убывающая при
|| z
не медленнее
)|(|
2
zO
, и ни один из
ее полюсов
k
a
не является целым числом. Соответствующие формулы суммирования
k
k
a
az
k
zzfreskf )ctg()()(
,
k
k
a
az
k
k
zzfreskf )(sin)()()1(
1
,
основаны на получаемых по теореме о вычетах интегральных формулах
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
25
0)ctg()()(2)ctg()(
1
2/1||
n
a
az
n
nk
nz
k
k
zzfreskfidzzzf
,
0)(sin)()()1(2)(sin)(
11
2/1||
1
n
a
az
n
nk
k
nz
k
k
zzfreskfidzzzf
,
которые следуют из регулярности функций
)sin(/)( zzf
,
)ctg()( zzf
в бесконечно уда-
ленной точке, и формул для вычетов этих функций в целочисленных полюсах
/)()1()(sin)(
1
kfzzfres
k
kz
,
/)()ctg()( kfzzfres
kz
.
1.
1
122
)(
k
ak
.
Представляем искомую сумму в виде
2122
1
122
)(
2
1
)( aakak
k
и ис-
пользуем первую формулу суммирования
aa
az
z
res
az
z
resak
iaziaz
/)cth(
)ctg()ctg(
)(
2222
122
. Окончательно
2/)/)cth(()(
2
1
122
aaaak
.
2.
2
)()1( ak
k
. По формуле суммирования сразу получаем
)(sin
)cos(
))(sin(
1
)()1(
2
2
2
2
a
a
azz
resak
az
k
.
Приведенные формулы суммирования справедливы и для более широкого класса функ-
ций, определяющих сумму степенного ряда, а именно, для любых функций, удовлетво-
ряющих условию
0)ctg()(
2/1||
n
nz
dzzzf
,
0)(sin)(
2/1||
1
n
nz
dzzzf
.
Интегралы Коши и основная теорема алгебры
Интегралы Коши.
Пусть
C
замкнутый контур на комплексной плоскости, функция
)(zf
аналитическая
всюду внутри и на самом контуре
C
, а функция
)(z
аналитическая на контуре
C
и
имеющая внутри контура только особые точки полюсы и не имеющая нулей на контуре
C
. Обозначим
k
a
нули кратности
k
s
, а
k
b
- полюсы порядка
k
r
функции
)(z
. Тогда ин-
теграл
kk
b
kk
a
kk
C
rbfsafdz
z
z
zf
i
)()(
)(
)(
)(
2
1
,
где суммирование в правой части ведется по всем нулям и полюсам функции
)(z
, распо-
ложенным внутри контура
C
.
Доказательство этого результата основано на теореме о вычетах и разложении функции
)(/)()( zzzf
в ряд Лорана в окрестности нулей и полюсов
)(z
. В окрестности нуля
)()()( zazz
k
s
k
, где функция
0)(
k
a
аналитическая в точке
k
az
. Тогда
Функции комплексной переменной. Начальные сведения
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д.В. Алексеева
26
частьрегулярная
az
saf
zaz
zazzf
z
zzf
k
kk
s
k
s
k
k
k
)(
)()(
))())(((
)(
)()(
.
Аналогично, в окрестности полюса
)()()( zbzz
k
r
k
, где функция
)(z
аналитическая
в точке
k
bz
, получаем
частьрег улярная
bz
rbf
zbz
zbzzf
z
zzf
k
kk
r
k
r
k
k
k
)(
)()(
))())(((
)(
)()(
.
Таким образом, особыми точками функции
)(/)()( zzzf
являются простые полюсы,
расположенные в нулях и полюсах функции
)(z
.
Основная теорема алгебры.
Основная теорема алгебры гласит: многочлен
)(zp
n
порядка
n
имеет ровно
n
нулей. Ее
доказательство основано на рассмотрении частного случая интеграла Коши,
1)( zf
и
)()( zpz
n
. Так как многочлен является аналитической функцией во всей комплексной
плоскости, рассматриваемый частный случай интеграла Коши определяется только нуля-
ми
)(zp
n
:
k
a
k
C
n
n
sdz
zp
zp
i )(
)(
2
1
.
При больших значениях переменной имеем
2
||
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
2
1
1
/
1
)/11(1)1(
)(
)(
Сzzn
zczc
zczcn
z
n
czcz
czcnnz
zp
zp
z
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
то есть подынтегральная функция является регулярной в окрестности бесконечно удален-
ной точки, и ее вычет
nzpzpres
nn
z
)(/)(
. Отсюда по теореме о вычетах и следует тре-
буемый результат
nzpzpressdz
zp
zp
i
nn
z
a
k
C
n
n
k
)(/)(
)(
)(
2
1
.
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
Дифференцирование и интегрирование функций
нескольких переменных
Скалярные функции векторного аргумента
Будем рассматривать формулы, при помощи которых по упорядоченному набору несколь-
ких чисел вычисляется число (скаляр)
),,(
21 n
xxxf
. Такие формулы задают числовые
функции нескольких переменных. Переменные, по которым вычисляется значение функ-
ции, удобно рассматривать как координаты вектора в многомерном евклидовом простран-
стве
),,(
21 n
xxxx
, а саму функцию, как отображение точек многомерного пространст-
ва на множество точек числовой прямой
),,()(
21 n
xxxfxfx
.
1
Областью определения функции нескольких переменных
)( fD
является множество точек
многомерного пространства
),,(
21 n
xxxx
, на которых формула функции непротиворе-
чива, а областью значений функции
)( fE
является множество чисел, получаемое по фор-
муле функции, когда переменные пробегают всю область определения функции
)}(:)({)( fDxxfufE
.
График функции нескольких переменных
)}(:))(,{()( fDxxfxfG
это множество пар
))(,( xfx
, получаемых, когда переменные пробегают всю область определения. График
удобно представить как множество точек в многомерном пространстве, размерность кото-
рого на единицу больше размерности пространства, на котором определена функция, то
есть на единицу больше числа переменных.
Непрерывную функцию нескольких переменных можно определить по аналогии с непре-
рывной функцией одной переменной, - функция непрерывна, если ее график является не-
прерывным множеством. Однако с понятие многомерного непрерывного множества су-
щественно сложнее, чем понятие непрерывной линии. Поэтому, чтобы сделать это опре-
деление полным, необходимо более подробно разобраться с описанием множества точек
многомерного пространства, определить понятие внутренних и граничных точек. По-
скольку эти определения достаточно абстрактны и в дальнейшем не понадобятся, ограни-
чимся наиболее простым определением непрерывной функции во внутренней точке мно-
жества в многомерном пространстве.
2
Функция является непрерывной в точке
a
, если для
любого сколь угодно малого
0
можно указать такой шар
}||:{
axxS
, что для
всех точек
x
, находящихся внутри этого шара выполняется неравенство
|)()(| afxf
.
Такое определение не зависит от способа сближения точек
a
и
x
.
3
Условие непрерывно-
1
Такие функции естественно назвать скалярными функциями векторного аргумента (их также называют
скалярными полями).
2
Точка множества в многомерном пространстве является внутренней, если вокруг нее можно описать шар,
все точки внутри которого также принадлежат рассматриваемому множеству. При этом принадлежность
точке шару определяется по формуле, обобщающей на многомерный случай определение трехмерного шара,
rax ||
,
2
1
2
)( rax
n
j
jj
.
3
Говоря иначе, функция непрерывна в точке
a
, если для сколь угодно малого
0
можно указать такой
интервал
),0(
, что для любого
),0(
t
и для любого единичного вектора
e
выполняется неравенство
|)()(| afteaf
. Отсюда видно, что условие непрерывности функции нескольких переменных
эквивалентно условию непрерывности бесконечного множества функций одной переменной.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
2
сти, как и в случае функции одной переменной, записывают с помощью символа предель-
ного перехода
)()(lim
0||
afxf
ax
.
Для функций нескольких переменных, как и в случае функций одной переменной, в клас-
се непрерывных функций выделяют важнейший подкласс дифференцируемых функций.
При этом, как и в случае функций одной переменной любая дифференцируемая функция
является непрерывной, а обратное утверждение, в общем случае неверно, - не всякая не-
прерывная функция является дифференцируемой.
Дифференциал, частные производные и градиент
Дифференциал функции нескольких переменных
Рассмотрим определение дифференциала функции одной переменной
)()()()()( axafafxfadf
,
ax
afxf
af
ax
)()(
lim)(
.
с точки зрения рассмотренных выше определений, для функций нескольких переменных.
Областью определения функции является подмножество точек числовой прямой, - одно-
мерного пространства. Тогда разность
ax
естественно трактовать как координату век-
тора
ax
, задающего смещение из точки
a
в точку
x
, а произведение
)()( axaf
, - как
скалярное произведение одномерных векторов
ax
и
)(af
. Последний вектор называ-
ется градиентом функции в точке
a
, и обозначается
)(grad af
. В этих обозначениях диф-
ференциал записывается в виде
)(grad)( afax
.
Дифференциал функции нескольких переменных определяется при помощи обобщения
последней формулы на случай многомерного пространства
n
j
jjj
afaxafaxadf
1
)(grad)()(grad)()(
.
Однако, это обобщение будет «висеть в воздухе» до тех пор, пока не будет указано, как
вычисляются координаты градиента. Ниже будет показано, что вычисление координат
градиента проводится по стандартным правилам дифференцирования, то есть в полном
соответствии с одномерным случаем.
Дифференцируемые функции и частные производные
Функция нескольких переменных называется дифференцируемой в точке
ax
, если ее
приращение вблизи этой точки может быть представлено в виде
||)(grad)()()( axoafaxafxf
,
где символ о-малое имеет стандартный смысл, то есть обозначает бесконечно малую
функцию более высокого порядка малости, чем
|| ax
.
Рассмотрим частный случай приращения функции нескольких переменных, когда вектор
ax
имеет только одну ненулевую координату
)0,0,,0,0(
jj
axax
. Тогда в ска-
лярном произведении остается только одно слагаемое, и линейная часть приращения оп-
ределяется только одной координатой градиента
)(grad af
j
:
jjjjjnjjjnjjj
axoafaxaaaaafaaxaaf
)(grad)(),,,,(),,,,(
111111
.
Поскольку все переменные, кроме переменной
j
x
, зафиксированы, последняя формула в
точности совпадает с формулой, определяющей дифференцируемую функцию одной пе-
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
3
ременной. Следовательно, координата градиента
)(grad af
j
вычисляется по формуле, оп-
ределяющей производную по переменной
j
x
jj
njjjnjjj
ax
j
ax
aaaaafaaxaaf
af
jj
),,,,(),,,,(
lim)(grad
111111
.
Поскольку в ходе этого вычисления изменяется только одна переменная
j
x
, а остальные
переменные рассматриваются как константы, получаемая в результате производная назы-
вается частной производной функции
),,(
21 n
xxxf
по
j
x
в точке
),,(
21 n
aaaa
. Для
обозначения частной производной в произвольной точке
),,(
21 n
xxxx
используются
как формулы со штрихами
)(),( xfxf
jx
j
, так и формулы с операторами дифференциро-
вания
jj
x
xf
xf
x
)(
)(
.
В приведенных обозначениях градиент записывается как многомерный вектор, координа-
тами которого являются частные производные функции
n
x
xf
x
xf
x
xf
xf
)(
;
)(
;
)(
)(grad
21
.
Для обозначения градиента, особенно для случая функций трех переменных, используют
так называемый набла-оператор (название от греческой буквы набла
). Набла-оператор
это «вектор», «координатами» которого являются операторы вычисления частных произ-
водных
n
xxx
;;
21
,
j
j
x
.
С помощью набла-оператора градиент записываются в виде
)()(grad xfxf
.
Правила дифференцирования
Поскольку определение частных производных опирается на понятие производной функ-
ции одной переменной, правила вычисления частных производных в точности совпадают
с правилами вычисления производных функции одной переменной. Для вычисления част-
ных производных надо лишь внимательно следить за тем, какие переменные рассматри-
ваются в конкретном вычислении как константы. Основные правила вычисления част-
ных производных перечислены в таблице 1.
Таблица 1 Правила вычисления частных производных
Правило дифференцирования
Формула
Линейность
)()()}()({ xg
x
Bxf
x
AxBgxAf
x
jjj
Дифференцирование произведения
)()()()()()( xg
x
xfxf
x
xgxgxf
x
jjj
Дифференцирование сложной функции
(переменные
),,(
21 mjj
uuuxx
являются
функциями других переменных)
n
j
k
j
jk
u
ux
x
xf
uxf
u
1
)(
)(
))((
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
4
Дифференцирование частного
)(
)(
)(
)(
)(
1
)(
)(
2
xg
xxg
xf
xf
xxgxg
xf
x
jjj
Геометрический смысл дифференцирования
Операция дифференцирования функции одной переменой сопоставляет графику диффе-
ренцируемой множество линейных геометрических объектов, - прямых линий, касатель-
ных к графику функции
)()()( axafafy
.
Это уравнение можно интерпретировать и как уравнение прямой, проходящей через точку
))(,( afa
, перпендикулярно вектору
)1),((
af
.
Уравнение линейного геометрического объекта, связанного с дифференциалом функции
двух переменных
),( yxfz
b
baf
by
a
baf
axbafz
),(
)(
),(
)(),(
есть не что иное, как уравнение плоскости, проходящей через точку
)),(,,( bafba
, перпен-
дикулярно вектору
1,
),(
,
),(
b
baf
a
baf
. Эта плоскость является касательной плоско-
стью к графику функции, в чем нетрудно убедиться при помощи рассмотрения предельно-
го положения плоскости, проходящей через три точки
)),(),,(),,(( ybafbxafbaf
,
расположенных на графике функции.
Поэтому, в общем случае, линейный геометрический объект, определяемый дифферен-
циалом функции нескольких переменных
n
j
j
jj
a
af
axafu
1
)(
)()(
называется касательной гиперплоскостью, проходящей через точку
))(,,,(
21
afaaa
n
,
перпендикулярно вектору
1,
)(
,
)(
,
)(
21 n
a
af
a
af
a
af
.
Перечисленные результаты можно обобщить следующим утверждением: операция диф-
ференцирования сопоставляет каждой точке графика дифференцируемой функции
n
пе-
ременных, - гиперповерхности в пространстве размерности
1n
, касательную гиперпло-
скость.
Производная по направлению
Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную функ-
ции нескольких переменных, по направлению, задаваемому вектором единичной длины
e
. В этом случае
teax
, то есть переменные
teax
jjj
являются линейными функ-
циями смещения из опорной точки
t
. По правилу дифференцирования сложной функции,
получаем
)(grad
)(
|
)(
)(
)(
11
afe
a
af
e
t
tx
x
xf
teaf
t
n
j
j
j
n
j
ax
j
j
,
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
5
то есть производная функции по направлению равна скалярному произведению градиента
функции на единичный вектор, задающий направление смещения из опорной точки.
Так как
)cos(|)(grad|)(grad
afafe
, отсюда сразу следует, что производная по на-
правлению принимает наибольшее значение тогда, когда вектор
e
параллелен градиенту.
Поэтому говорят, что градиент функции задает направление, вдоль которого изменение
функции максимально.
Формула Тейлора и экстремумы гладких функций
Частные производные высших порядков
Частная производная функции нескольких переменных также является функцией несколь-
ких переменных. Если эта функция является дифференцируемой, можно поставить задачу
о вычислении ее частных производных. Функции, получаемые при помощи повторного
применения операции вычисления частных производных, называются частными произ-
водными высших порядков.
Простейшими примерами частных производных высших порядков являются частные про-
изводные второго порядка для функции двух переменных. Эти производные можно пере-
числить путем указания порядка выполнения операций дифференцирования
2
2
),(),(
x
yxf
x
yxf
x
,
2
2
),(),(
y
yxf
y
yxf
y
xy
yxf
x
yxf
y
),(),(
2
,
yx
yxf
y
yxf
x
),(),(
2
.
Если дифференцирование проводится по различным переменным, частные производные
называются смешанными.
Справедливо утверждение: если смешанные частные производные являются непрерыв-
ными функциями, то они не зависят от порядка дифференцирования
yx
yxf
xy
yxf
),(),(
22
.
Ниже будут рассматриваться только такие функции, все частные производные которых
являются не только непрерывными, но и дифференцируемыми функциями. То есть все
рассматриваемые смешанные частные производные не будут зависеть от порядка диффе-
ренцирования.
Разложение функции по формуле Тейлора
Формулой Тейлора для функции нескольких переменных называется приближенной пред-
ставление приращения функции в виде многочлена по степеням разностей переменных
jj
ax
.
Простейшим из таких представлений является рассмотренной выше линейное приближе-
ние, определяемое дифференциалом
n
j
j
jj
a
af
axafxf
1
)(
)()()(
.
Дальнейшая цель, обобщить эту формулу на случай высших степеней приращений неза-
висимых переменных. Это обобщение получается на основе формулы Тейлора для функ-
ции одной переменной и правила дифференцирования сложной функции следующим об-
разом.
Дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных
Кафедра высшей математики КузГТУ Конспекты проф. Д. В. Алексеева
6
Рассматривается функция одной переменной
))(()( taxaftF
и записывается
ее разложение по формуле Маклорена.
В полученном разложении полагают
1t
.
Описанные шаги получения разложения Тейлора опираются на тривиальные формулы
3)3(2
)0(
!3
1
)0(
2
1
)0()0()( tFtFtFFtF
,
)0(
!3
1
)0(
2
1
)0()0()1(
)3(
FFFFF
,
а главной задачей является явное вычисление входящих в эти формулы производных
)0(
)(n
F
. Именно в этих вычислениях и используется правило дифференцирования слож-
ной функции.
Процесс вычисления искомых производных можно записать в следующей компактной
форме. Введем в рассмотрение дифференциальный оператор
n
n
a
u
a
u
a
uuD
2
2
1
1
)(
,
который действует на функцию
)(af
по правилу, подобному правилу вычисления произ-
водной по направлению
n
j
j
j
a
af
uafuafuD
1
)(
)(grad)()(
.
Каждое слагаемое в правой части последнего равенства также является функцией пере-
менных
n
aaa ,,
21
. Поэтому повторное действие оператора
)(uD
на функцию представ-
ляется в виде
n
j
n
k
kj
kj
n
j
j
j
aa
af
uu
a
af
uDuafuD
1 1
2
1
2
)()(
)()()(
.
Если положить в полученных формулах
axu
, нетрудно заметить, что
)()()0( afuDF
,
)()()0(
2
afuDF
.
Для вычисления производной
)0(
)(n
F
надо выполнить формальное возведение оператора
)(uD
в соответствующую степень, вычислить все частные производные, определяемые
слагаемыми полученного оператора, и сделать подстановку
axu
, то есть общее сла-
гаемое в разложении функции нескольких переменных по Тейлору имеет вид
)()()0(
)(
afuDF
nn
, при
axu
.
Развернутая запись этих формул не приводится, как ввиду их громоздкости, так и потому,
что в дальнейшем понадобятся только разложения Тейлора второго порядка.
Условия экстремума гладкой функции
Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных будем
строить как обобщения соответствующих условий для гладких функций одной перемен-
ной. Напомним условия экстремума, основанные на квадратичном разложении Тейлора
2
))((
2
1
))(()()( axafaxafafxf
,