Агошков В.И. Задачи и уравнения теории переноса частиц

Подождите немного. Документ загружается.

(3.23)

(3.22)

-60-

Tp8nerO

рода,

периодичности

т.д.).

Обратив

внимание

на

задачи

(3.2)-(3.6),

(3.7)-(3.1I),

(3.12)-(3.18),

замечаем,

что

они

дмеко

-не

прос'1'Н

их

ЧИQJIен

вого

решения,

даже

ПОМОЩЬЮ

ЭВМ.

Поэтому

часто

ПOJIЬЗj'l)ТCSI

кaICИ

ми-либо

приБJIИЖеииями

этих

задач.

Одним

из

таких

приCSJпatеиий,

ИСПОJlЬзуемым

на

ПpaRтике

ВПJIОТЬ

до

настоящего

времени,

J1ВJU18TOJI

'.r

Н О

О'

при

в.

Получим

ero

на

примере

задачи

(3.2)-(3.6),

которой

предположим

ТЗIatе

завиоимость

се-

чений

0'1' t

,а

Ч'r

•

ПреДПOJlОJtIDI,

что

.эsестно

решение

CJIедуоцей

o~opoдвol

Э8-

.а

...

: .

)'l)lf

+~i;

(!.

E,tp}!ff=~l

dQJE.d.E

'I{'p

•

·(Z$

(!',E',E~,-f:,.)'"

(~,

Е',

(-t

))

<iQ'J

dE'tpp

"2:

У,,,

t(!,E',-t

)

J.~H)(E):

Q:D

1't~'.

Е.

tf,

о,

d]).

(:9-

,!!-)<.о,

r~e

s8lqeCDeBOe

ЧIICJJО,

...

фJlRсироВ8IПIВЙ

момент

времени,

(Н)

, "

~-l,e

·~.t,e.c!:,

E,t,,)'Y

(Е)

~L:-I

(r,E, E,t

IIyетъ

такав

В8Й.Цево

решение

еопpJDtевноl

(3.22)-(3.23)

V)If,,"

L:i;

(!:,

Е,

)

If;

do.'

dБ'

Ч',,*.

2 :D

•

(r,E,E',Y

1-t,,)+L

(1:,[,

E:-l:

))+

...

..L

:..L

dQ.'Jr1E'.(O~

lMtE')

J:I>

.t,t.

-'.1

.ге

Е,

'0:"'=0

rf.Э1).

n..»o.

"р

»-

--,-

Пре.цетавим

теперь

уравнение

(3.2)

форме

(Q,ч)q>

+2:-t(t,

Е,1:р'><р-

JJqJ

d,E'.

.Q..:J)s

•

Yf.

2'.f

(r)

Е,'

)

•

J~fII)(

Е)

- GJd.Q'J

J.E'"I(

t • Q

'J)e

задачи

(3.24)

(3.25)

•'f

(1:

,Е',Е,

Ро,

{

)-t2:.

(!,

Е',

Е,

»)

dQ'j

J.E"!f·( SZs

8Z.

8Z-t;

(.3.26)

rде

::<

(r.,'E:

Е,р.

,i)

s (!.,

Е:

Е.

,.,

-t

i:~

(!,

Е',

Е,Ц

L.:

(r.,

Е/.

Е,

-1;,),

J'L:i:

~-t.

Cr,E..i)-

L:1;

(!:,

Е,

Умножим

(3.26)

на

Ч':

реЗУJlЪТВ'f

проиитегриw

8М

по

мвоаеству

1)е

~.Q.])

ВЫIIОJПIИМ

интеГРИРОВ8ИJI8

по

част

1Ч8'1'О1I

урав-

кения

(3.24).

Torдa

придем

равенству

1t.

(~lf,

11;

(,,~

cLQ'J

df'·(

1-3L:i.

8~L:l)

tf,

ч(

Kp~i

·JfdQ'J

rJ..ЕL:))tе·L.f(r:,Е:iр)1~НtЕ)Ч',Ip;)+

.Q.

:Р

')..

(с(0(9,

If;)+

а,

If;)-

(fZ-t.

If;

<3.27)

rде

(4',4')=

Jd.E

dQS

dt·tp·(jI I

.52

(М)

f)}

Z'.f.

:::

)}

.f.e'

(":E.f

(r..

,Е',

i)--Z.f

(!:,E',tp

»)jf

СЕ

- 62

...

СДeJIa8М

осиовное

предположение

(xoaropoe

'fOЙ

U1I

JlВol

форме

ПРИСУТОТВУ'ет

paзJПIЧН.ЬDC

мо.цифиК8ЦИJiX

'tOЧ8ЧНОro

прJl6J1U8ИU):

пуоть

ДJDI.

реШ8ВИЯ

уравнения

(3.2)

ВОЭМODО

прв<1Iaеивое

пре

СТaвJl8нив

If{~

,1:):)

tt(i)

Ipр

(l~,Q.

,Е)

(3.28)

r..e n..(i) -

иекотоpaJI

фyвкJ.:tиJt

'0'1'

t .

To~a,

по.цст8ВJIJDI

(3.28)

•

(3.27).

ПРПОДJВI

уравИ81UШ

n(i)

9~'

n'(-4:)

.A!~.:

Н)

~H)

(3.29)

~&1·

r:a:e

f=(t:.p-J.)/~р,

A(i,)=

(t!f

11:

)/(j

r1~d.E:'Af

~eL~,t(r,E:ip).h(~)tpp,~;),

'(i,i,}::[(I

~t.If~

,«1:)-

(~~d1rLE'(al;

8L:L+I'~l)lfp,

се;

)1/

J,Q'J

d.E'~f

~lle

2f.,C!.E:-I:

)

}.;HtE)

11,."

<1;))

.2.

:I>e

. .

Ci(f} =

(C(i).(i~

1f;)/(~"fI

Ч';J,

.th-)

(1,

,If;

)/(f

~P'

«1:)

за

вa1l8.lЪВ08

JQIOПе

....

n.l-f:)

110&0

прЙпяn

oa~ee

7Q.mвие:

lL(o)

"'По

('1'0,

tf;)/

(

~lfp

,1f;J.

(3.30)

Jta

1IЩY'Ч8ВВ11

_ОПQIIIII'rUЬВIIX

ypaвBeВJd

Д.IJI

{С;.

(i)

умвопм

v .

(3.5)

на

).i.

" •

ВВПOJППDl

JDr1'8rpиpoвавив

по

1>e)t,Q)t]) •

ре-

syJIыfu8

JPUdl8ВВ1D1

вида

.ki. .

J.:

сИ:

}.iCi.

(-tp)

It(-t)

, i

:i,

--". J

. .

'\.

В)

63-

r.це

_ ()..

(Е)'

dQ.'J

rLE'L;

'~)(E

').

У9

(Е

'29

e(~

,E:-iJ

ЧJр,

чJ;)

,ht!)= L

:1511,

-t,

. •

( JdQ'fdb'}-2:v,

.2:,

(!.,E:t~)J~M)(E)lfpl

tf;)

s2.

-,Х,

~,t

-+,(

НаЧ8JJЬшiе

1CJ10ВИJ!

ДJIJI

{

еоть:

е.

(о)

=сощ:а

О.

(i.)co(i.) (r.)/

If/"

)I (

tl'fp·,~;)

ИТ8К_

система

уравнений

lCИВвтики

в точечном

при6JIИZевии

имеет

вид

.4!!.:

fli:)-

~(i,i,)

/1(i)

±).,c.(-l:)i-~(-t)

d.t

i\(-t

)

i=1 I L I

(3.3!)

(о)

С.:

.Pi

li)

(-{;)

+ }..

С.

•

(i)

:::

d t

Л(-i:

)

C~(O)=C~~)

) i=1,

....

)I.

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Теперъ,

,Ч'1'OdН

воспоЛЬэоватъCJI

уравнениями

(3.3I)-(3.34)

.ц.пя

оп

рЦeJIеВИJI

(-1.),

ОС'l'aJ.tOСЪ

В1АИCJlИТ.

RоaIФиЦиевтн

.•

j t

1..

,А

l~-tl

~_~~!!.~~_

,~еОБХОДИttl)

звание'

.tpp'

tf;

.:··-Длsiотнокаиия

ФУНКЦИЙ

I(J,

ч>~на

IIp8ItТП8

часто'

ПOJ1ЬЗYJ)'1'CSI

ритмами

теории

возмущеВИЙ.

TaR,

например,

свача.па

решают

задачи

(3.22)-(3.23),

(3.24)-(3.25)

при

ввХОТОРОII.фиксироваввОI4

•

Затем

раосма'l'РИВ8IJТ

их

при

Raчеотве

возмущеlПlНX

по

опоmеlDШ

задачам

(3.22)-(3.23).

(3.24)-(3.25).

ПримеВJIJI

те

перь

8JII'оритмв

теОрИИВОЗJl1ЩеВИЙ.~ИdлDевво

опреДeJIJD)'1'

новне

звачевил'1tоaIФициеитов

уравнвВИJП

<З-:-з:rl

(3.32)

при

>t,

ч а

е.

ВООПОJIЬЗОВ8Вmись

пре.цСТ8ВJI8ВJ11D111

(5.2).

(5.9)

(l"л.

1)1

леrко

мопо

JlOJlyЧИТЪ

внpaaeВJIJI

для

')"')

~ft)

мвоrоl'pytШOВОМ

приблаевви.

64-

ЗaJtача

Rсеноиовоu

О'l'paВJI8ВИИ

Изотоп

хо

135

ОRaЭ1mает

БОJIЬшое

ВJIИJШИе

на

padO'1'1

реактора

на

~епловЬIX

нейтРонах

(3фIJеRТОМ

ОТрaщtения

им

реакторах

на

п;ромежуточнux

или

6нетрux

нейтронах

МОЖНО

прене6рэ'ЧЬ)

из-за

ка

JDfЧИЯ

6ОJIЬшоrо

резонанса

тепловой

области

('--0.08

эВ).

сред

нее

значение

сечения

которого

достигает

8-I0

барк.

Это

ваиdолъ

8ве

из

всех

возможных

сечений,

почти

равное

АUlКСималъно

возмоа

кому

значению,

хоторое

может бить

п~ено

на

основе

теоретиче

ских

расчетов.

Некоторое

ко.mrч:ество

I35

образуется

иепооредо'f

.вино при

ДeJIении

ядер

ТОПJШВа,

однако

·CSоJ.tЬшая

ero

чаоть

odразу

ется в

реЗУJIЬтате

цепочки

радиоактивНIiIX

распадов,

иачинащейся

изотопа

I35

(перио.ц

полураСIIaJJ:а

мин).

RОТОРНй

превращае'1'

ел

II35

(период

ПОJJYраспада

6,7

ч),

распад8DЦИЙся

обраэова

ввеы

Хе

IЗ5

имеющеro

период

ПОЛУР80пв.ца

9,3

'Ч8С.

Коrда

реахтор

начинает

работать,

вем

ОТС)"rСТВYJ)'t

ЙОД

•

ксввов.

Спуотя

в.еRO'l'Oрое

Bpeмsl

(иеО1tОJIЬRО

чаоов)

.цоотиrае'fCJI

равновесная

1tО1Щеи'1'рация

этих

изотопов,

odУCJIоuевв:ая

тем,

Ч'1'О

их

06разовmше

за

счет

прsworо

вшсо.ца

при

ДeJIеШDI

и распада

npe

..-

8ecтвeнmma

компенсируется

сodСТВ8ВШD1

раопадо..

:внropaaeM.

При

оотановке

реактора

может

пролвитьCJI

еще

ОДИН

aIФuttr.

внэв8ШШЙ

:коеноновым

ОТpa:вJIеШlем,

оИJr1

тoro

ч\'о

ПОCJI8

OC~

1CИ

ксенов

yz8

ие

ввropaeT,

во

вое

еще

odраз18'1'CJI

за

сче'f

распааа

lода,

RОТОрНЙ,

разумеется,

еще

ПРИОТ1'с-rвуе'1'

схстем&.

T81t1bI

odразоы,

течение

И8КО'l'OРОro

Bpeмed

ICO~~итpaцu;

аоенова

....

тенеивво

возраеТа8-r

•

,цостиrае'1'

максимa.nйоro

эвачеВJIJI

чере&

8-I2

часов

ПОc.l8

OC'laROВD

реакroра

("йодная

_").

ПОCJI8

!О1'О.

JC8К

пр90\."

W'nq;иv

С'f8ИOВИ'1'Cll

рааиоa1tfDВJdt

распц

асенова.

81'0

вовцепpaцu;

начинает

J1181DtIllanCII,

ПОС!е1t8SНО

прJlCSJrbеRCЬ

111-

В.

да

JI1CВ8.

pe8lr1'Op&

IOДllol

JIМК

веodхо.омо

1bIe'fЬ

опвь

БOJlЪВlоl

8&ПаО

реакп:ввосп.

ПРО\'Dl1Oll

сцучае

peaкt'Op

nOc.h

...

cкoJIыtп

Ж8СП'КОВ

часов

(40-70

ч)

ие

моает

бнтъ

П1D'ек.

КаК

CJl8JO'8tt

D.lQUDoro

ВВШ8,

маТ8М8.ТИЧ8СХО8

I4OJtQDpoM-

ВИ80ТpaмeJDUI

1Coe~ВOII

имеет

:&881108

8В8чевие

ДJD!

изrrения

pado-

!'8

реактора

•.

8с.а

paccIВ'lPD8S

8ремева

от

BeCКOJlЪКb:

часов

ДО

В8CИQIЪJCIIX

цrrox.

В8OCSХОД1lМO

ВDOДИ'J.'Ъ

JP81ПIеВИSl,

ОIlИ~е

.....

808

КOJЩ8J1'1'P8Цd

10.1&

:ксенона.

IIpи

8!'08

И30fJЮПOII

Те

35,

......

iIIaIНI

период

ПOJIYP8Cпада,

МОПО

преиебречь

СЧJ['l8S,

ч!о

весъ

1135

1IOQ'Ч&8ТС8

В811DOpeдcD8И1IО

при

.leJl8ВП.

Кроме

1'01'0,

при paCOlB)-феип

'f8DX

:времеввнх

JПn'8pвaJJ.OВ

88па

ДНВ8J)ЩИМИ

веl

~.1JOII8D

ире_речь.

.~.

. ,

1'-:-

•

- 65 -

Проедем

теперь

вид

'ураввеиий

ДJIЯ

КОJЩ8ВТР8ЦИЙ

,йода

ксе

вона

d~I

.А

=JdE'l

dQ/IfI(,:,Q:E:t)t~/t';o;'/f')~(tlt)}

(4.1)

'dNJ:e

...

\ N

-=.!

dE'J

dQ"tJ(~

E't).~

(Е')

ас

А,се

хе

-t_

I J

Ol.X(

d't

J)e

"of,(

(Е')Н

Cr.f.)

).1

Nr(r

.~)

-J

r1E

do.'

1(f:,Q:f;

l:)

Cf,JE}

~/r,t),

r.le .N;(t,t) -

КOВЦ811'1'paцiUI

в,цер

lода,

N)te(t,t) -

ковцентра

ЦIIII

в,цер

ксенона,

).k'.л

1 -

ПОСТOJDlВЫе

распада,

l't.,J

E'lJ;,I

(Е)

:вероЯ'1'ВОСТII

odраэОВ8.ШIJI

коенона

•

йода

как

проJt)ТfOВ

Ж8JI8В11J1

изотопа

•

иеlтровамв

энергией

Е'

Мвоrorpyпповое

пр.б~евие

8'rIIX

ураввевиl

_ее!'

вц

aNr

С;

,(j'),

(8')

(Э·)

+.A

1'SI

-L

<lQ

Ч'

(!:/Q,i).L~lо-l.

J'{

(r,i)j

«(.2)

а':1

,е

(;

'll')

(,',

(1"

:at

+)..~N~:::L

dQ'P

r!.Q'.t)~de/~Of~

f{(!.t)

9':f.Q

е,

, "

(9',

(9')

+).I

(r,i)

dQ'"

(!,Q.',

t.)~J~e

N;.i!,i>.

«(.3)

=1.Q

НаЧ8JlЪВН8

JCЖOВВJI

-~e

Dl8М

обtmDd

ВЦ

N"t

(!:,о)

::::N

•

(е

,О)::

Nxe,o

•

(4.4)

Таким

образом,

система

1равиевd

ДJJЯ

ОIlllC8ВU

поввЖ8J1J1J1

DO'1'ОIC&

нейтронов

1ЧеТОII

КС8ИОВОВОro

O'1'p&ВJI8118J1

88е.,

вц

d<p(S)

( )

(f>

~(8)(r-

t)Ф

('~_4

dQ'i~t

t)-

,,<а)

'dt +

Q,V

'р

+~t

4~t:H2.

,~,

(з'.~)

(9~9)

(~~~)(3)

w(L!>

(!:,j'Lo,t)

+L:i.

(.t,t)+

vl:

cr,t»)t

j8j

(4.5)

9-1

•

...

"f(iJ

'9~3)

при

1:'

d'D

,IJ:

) <

о;

(4.6)

'f(~)=

tp~S)

при

=-0;

(4.7)

(

(~')

(9')"

lЭ'J,

+J.I~=L...

L:oeI~"

.Nir,t)

"J<f1(!::,Q,1JdQ;

(4.8)

d-t

9'=1

КУ-е

f.,

(""

(9')

<r(~I)l\r

(~t

))}

clQ'

ca'~

1)+

'"\.1. ....

Л"'е

).е

L.a

O~~

<Р

(-,_

,"t

<7~

9':" ,

52·

(;"

(9')"

(~'1

'\И

(~3:)

rт::

хе.

N..Jr,t;

d-Q'!fI

tr,Q',

-/;)4

(4.9)

0'-1

iJ-

. Q

при

=0·

(4.10)

)

.N:

при

::j""J

(;

(4.11)

хе

I . I I )

(8')

где

L:~~)(!:",i),L:~~,g(t,JЦo,-{;)

,Z~~'~(r,f),

vL:~

19(~·o

зависят

от

-1:

пооредством

соответствущеl

зависимооти

lШнцевтра

nиI

(Г)

N).e

(!: 1-t) t

:ВХОДJПЦИX

эти

внражеНШI

(т. е.

задача

(4~5)-(4.I1)

авлиется

вenивеЙНоЙ).

Отметим,

что

процесс

отравления

ксеноном

все

же

протекавт

ме.п;.певво.

Это

оБСТОJlТeJlЬОТВО

чаото

ИСПOJIЬзуетCS1

ДJlЯ

введения

раз

личинх

упрощений

задачи

(4.5)-(4.11).

Одво

из

них

состоит

том,

d~)

Ч'1'О

произво.1tИоl

"tJ'(fI}

"в

уравнении

(4.5)

превеdре·r8J)'1'

•

реЭУJIЬТ8'l'е

ПРИХОДSlТ

задаче

ксеноновом

ОТрaвJIввии

I:C

а:

8 •

С Т

а р

пр

J1.

В"

и.

Др)Тое

приdJlDевие

задачи

(4.5)-(4.11)

З8XJJlJЧaется:

замене

1равввlDUl

(4.5)

ero

травспортинм

-ПРИОJПDlеиием

(СМ.

rJI.1).

8roM

CJIYЧав

задача

:ксеноновом

ОТрaвJIевии

фоpll1пруетоя

CJleдy»

ЩИII

образом:

Э~"2(8)+

J(S)

",(8)

(8)

(9')(",(0)/g~~",(Slg)vL:(9~9))+P(~)

11(8)

ШI1_

Ч'о

11'0

\LJ

'L-...

f.)

(4.I2)

(4.13)

.".

при

1:.

=-о;

при

.re

0=1,

...,

G-

...

)

(4.14)

(4.16)

(4.I7)

(4.18)

- 68 -

rруппн,

как

обнчно,

опускаем):

oLi\rD

я,.ад

Ч'

La.lf

"""))L....f

!f;

: tf(D)

при

-t

;

tp+

2-D

dtp

при.r

dD;

д~

'dM

dt.

).tNi

(С,

-t).tf:

d~e

AxeN;e

~ОJtеt!:,t).Ч'

~ЛI'~

-а;.~Nуе(~3)4ottp;

-N"

N - I\r

при

1:-==0

Х,О)

'j.R - J'Jxe}o '

r.цв

2:a.(~,t)=2:

Z4t(!',t)i"<I

·N

(!:,-t)+«'al·~(!:)t)"

-t-

XeJI

а,хе

хе.

D-=

Y.3:L.l.,.

L:t.t'

2.{,.e(!:;t)+Oi~.~

Nxe(r,!)

е.

:1:

е,l

t J

О{""

r .N1

(r:,4:)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

C,r,t)

~e.

·N

(r,i.)

'4ос,

'"'

+.е

J.e

Ct,t):o

re.)\i~,e·

.N"tc.r:,-t)·

4~,

'у

2:.f

И{

(r.,

-1:)

•

(V.f,e

O"j,e

1-:

').

ЭaкJD)чение

проедем

еще

O'ДJ;JJ'

задачу

ксеноиовом

OTP8ВJI8

ВИИ,

которое

может

бнть

также

причиной

так

иаэнваемоl

KceJ:l0HO-

вой

неетаdИJIЬиоети

реактора.

Может

оказаться,

что

'система

регу

лирования

по.ццеpzивает

ПОСТОЯШIоl

общую

мощность

реактора,

но

при

ЭТОМ

мoryT

иметь

место

JIока.пьннв

изменения

мощности,

когда

МOIЦВOCTЪ

увеличивается

одной

части

реактора

:в

то

же

время

уменьшается

:в

.JU>1I'ИX

частях.

Лока.пьнне

у:веJlИ1lеиия

потом

вейтро

вов

инзНВaDТ

ЛОR8ЛЬвне

уменьшения

концентраций

хоенона

из-за

его

пог.пощевия.

Это

уменьшение

ксенона,

вовою

очере,ць',

приводит

да.пьвеЙПIему

УВeJIИЧеНИIJ

потоха

нейтронов

JIОR8JIЬВОЙ

мощности,

УВ6ЛИЧеВИD

иовцентрации

11351

затем

через

несхолько

часов

•

увеличеНИJ)

концентраций

Хе

35.

Это

приводит

уже

умеиьmеmm

"\.

-69

потока

нейтронов.

чаСТО

подобные

процессн·.поК8JIЪВОro

УВeJШЧеНВSI

потоков

изменения

концентраций

Хе.

важно

рассматривать

учетом

поведения

температурных

по.пеЙ.,

Поэтому

сиотеме

уравне

НИЙ,

ОПИСьmВlOЩИX

поведение

потока

концентраций

Хе.

··д06ав

J1ЯI)Т

уравнение

для

функции

распределения

температуры.

Так.

вCJШ

ПРИНJIТЬ

ДИФWзиоввое

приближение.

a,цJUI

описания

поведения

тем

пературн

применяетCJI

уравнение

Т8I1JlОПРОВО.цвости,

ТО

рассматри

naell8Jl

задача

OД1l~CКOPOCТВOM

при6лваеlDlJl

вее'!

:вид

;'f

di.tт

1)(!:

,t,'Т')

f+2:'~

(1:,-1:,1')4'::

(VL.

)(1:

,-t,Т)~

t(>::

()

при

;

tV+2.D

dЧ'

=-0 .

при

1:'

"d1);

+лIlft

'"'

(r,i;r)tp;

(4.25)

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

N"I:N'

1,0 '

N)f.e

N;t.e,o

при

-t=o;

c.(t,T)·

'p(!::T)~

dшi(!,'Т')

FЦ'Т;"

O(!;t,T)~

(t;t);

(4.30)

(4.32)

(4.33)

r(!:,~,rг)

4;11;f

L:.t,e

(r.

Т)

ае.,

.LQ.

,1:,

Т)

(r,

·(гr)

1'-./1')

'~/!,t)

f.~)Le,l

' , .

+cr

(T)·N(r:;t),

Оо.I

I .

T(r,o) =

'"r

(1:')

(t,t)

(r;t)

r.це