Агошков В.И. Задачи и уравнения теории переноса частиц

Подождите немного. Документ загружается.

В.

и.~

ЗАДАЧИ

УРАВНЕНИЯ

ТЕОРИИ

ПЕРЕНОСА

ЧАСТИЦ

·J~

~--m

, "

во

J;':'''З

-.il.

...

.•

,1.

АКАДЕМИЯ

НАУК

СССР

ОТДeJI

ВIAIIOJIИ'1'е.пьвоl

математики

в.и.

иовов

ЗАДА

ЧИ

1РАВНЕШШ.

'lEОРИИ

ПЕРЕНОСА.

ЧЛCNЩ

Москва

I985

С.

•

о:в

В.

и.

Задачи

уравнения

теории

пере"Qса

частиц.

М.:

Отдел

ВНЧИOJlИтельной

математики

АН

СССР,

1985.

PadoTa

ЯВJIЯетCSI

изложением

спеЦИ8JIЬноrо

хурса

леКЦИЙ

урав

нвНИJП

вsдачах.

ветреч8DЦИXОЯ

теории

пврвноса

нейтронов.

Сфор

мулировав

ряд

проолем,

исследование

которых можно

рекомев:цоватъ

студентам

старших

курсов,

аспирантам

МОJIОДШvf

ученым

их

науч

ной

деятельности.

От,це.п

ВНЧИCJlИтеJIЬНОЙ

математики

АН

СССР,

I985.

• t

СОДEPIAНИE

Пре.цвOJlовие

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Введение

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Глава

Уравнение перенооа

•

ООпpJlZеввое

уравнение

••••.••

Уравнение

перевооа

•••••••••••••••••••••••••••••

Уравнение

переноса

Р8ЭJIИЧIШX

rеоме'1'РШ

••••••

з.

ГР8llИЧllНе

УCJIОви.JI

•••••

••••••••••••••••••••••••

•

СОпpJlZ8нное

уравнение

••••••.••••••••••••••••••••

Миоrоrрупповое

при6J1Dение

•••••••••••••••••••••

§ 6

•.

Стационарное

уравнение

переиоса.

Квазиот8ЦIIОвар-

ное

при6J1Dtение.

Симметриз8ЦИЯ

задач

•••••••••••

Уравнение

П8Йерхса

•••••••••••••••••••••••••••••

r-при6JIaевие.

Диф»УЭИОШlое

уравнение

•.••••••••

Глава

п.

Задачи

теории

лдерннхрвакторов

•••••••••••••••••

Задачи

для

уравнения

переноса

••••••••••••••••••

Задача

ocs

ИМIIy'JIЬсиом

репмв

•••••••••••••••••••

з.

Задачи

IШВ8ТИRИ.

Точечное

прИБJJ:Dеиае

•••••••

••

Задача

:ксеноиовом

ОТрaВJIении

•••••••••••••••••

Задачи

внroравиа

(вакомении)

8Jl8II8Иroв

••••••

Задачи

ка

co<Sственине

эиачеНИJI

•••••.••••••••••••

Дополнение

Аважва

задач

•••••••••••••••••••••••••••••••

ДОПОJПI8вие

II.

П,podJleмн

••••••••••••.•••••••••••••••••••••••

ЛИтература

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1-2

Стр

.•

ru"

эв

.85

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дапнм:

работа

ЯВJIЯетCJI

ИЗJIOжением

специальноrо

курса

лекций.

прочитанвого

автором

студентам

кафеДРН

математическоro

моделиро

вания

физnеских

процессов

Московского

физико-техничеСRОro

инсти

тута.

цель,

которая

првследовалась

данннм

курсом,

да'rЬ

ПОВIIТИе

отудентам

аспирантам

математичесIGtX

МОДeJUIX,

встречaDЦИXОЯ

:в

теории

переиоса.

При

этом

БWIа

выбрана

JIИПIЪ

оДна

из

областей

тва

ри,

имевио

теориа

перевоса

нейтронов,

иrрauцал

важиеЙJll1D

POJIЪ

раочетах

ядерВЬtX

реахторов.

Однако

здесь

гpaницьt

приложеиий

8ТОЙ

оdлаоти

БWDI

суаеин,

пос1tоJIЬКУ

рассматрива.пись

задачи,

RaC8.J)-

щиеса'

JIИDIЬ

активной'

зовн

реактора.

Так.,

без

специа.пьвоrо

paccмo'l'

peВIIJI

OCT8JDIOЪ

МОДeJIИ,

ИСПOJIЬЭyJ)ЩИеся

при

ра9чете

защит

ядервнх

реа.иторов

RO'l'Oрне

имеют

ево!)

специфИItY

(в

краевнх

УCJIOВИЛХ,

ФО1*8

ИСТОЧJlllКOВ

•

др.).

Да.пее,

не

рассматривaJIИСЬ

математические

МОДели,

которне

свяэавн

rидpoДИВ8МИRой

реакторвш:

систем.

Часто

эти

за.цачв

ВКJJI)ЧaJ)Т

се6S1

Raчестве

соетавннх

задачи

(ИJIИ

их уп

рощевия),

фоprqJIИруемне

ниze.

CJIeдyeT

также отметить,

что

оБJIаоть

прuоаеиd

теории

переиоса

раепроетраняетса

задачи

астрофизи

ки,

прохоадевия

из.цучеВИSI

атмоарерах

манет

др.

МодeJJИ

данинх

задач

ТaIalte

ие

раесматрива.пись

этом

курое

,ВIWтором

автор.

попн

'1'апCJ1

дать

описание

математичесIO!X

задач

JIИПIЬ.

из одной

ОО.паСТИ

теории

переиоса.

DOCRoJIЬКY

на

ее

примере

уже

можно

пoJly'чить

пред

ставление

сложности

ее

задач

RaКC

теоретической

точки

зрения,

тах

•

точки

зрения

'ЧИслевиоro

решения.

Заметим,что

наотоящее

Брема

систематическое

описание

математических·

моделей

теории

пере

воса

литера~е

фактичесви

OTCYTcтвye~.

иногда.

студентов,

специализирующихся

:в

облаоти

математических

моделей

физичеоких

процессов

возниха8'l'

не

совсем

прав:и.аьное

пре.цСТ8.ВJ.Iение

мо.це

J.UП,

применяемых

теории

перевоса.

Устранить

8'1'0'1'

недостаток

(хотя

бы

чаетИ1ПIО)

автор

попнта.поя

даивом

Х1рсе.

настоящyl)

работу,

:в

Raчестве

)tОПOJПlения,

ВКJШчеи

ТaюJtе

пе

реченъ

ряда

про6JIем,

ИСOJIедоваиие

КОТОРШ:

мo1tнo

рекомендовать

отудентам

отарших

курсов,

аспирантам

моло.цнм

учевнм

их

науч

НОЙ

деятельности

•.

Отмечу

что

мноrие

из

ЩюРМ;УJJИровашшх

цро6лем

зачаотую

овяз8НЬ1

проCSJIемами

теории

функций,

теории

крае:внх

за

дач.

ВНЧИCJIИтельной

математики.

ЭТо

.обстоатeJlЬство

придает

зада

чам

теории

пере

носа

ту красоту,

которая

IIpИВJIехае'l'

исследовате.пеЙ

вот

уже

на

протЯ1tевии

мноrиx

десяти.пеТИl.

При написании

курса

автор

использовал

извеС'1'ВЬ1е

кииrи,

первую

очередь

моногрlфul"

/1/-/6/.

...

PyRoписъ--

прочитa.D··

По-

пшtИН

Алексаццр

Иванович

Шу'тяев

ВИRтор

Петрович,

которым

автор

выражает

ГJIyСЮкyl)

CSJIarодарнос'l'Ъ

за

ВJ:Iскаэаввне

замечания

ltоиот

pyRтивнuе

предложения

по

1лучшеmm

КaR

подбора

материала,

так

•

его

ИЗJIожения

•

При

проеRТИроВ8RИИ

я;цериоro

pe~opa,

ero

пуоках

(физическом,

энергетическом,

ПОВТОJliОМ),

экоплуатации

необходимо

осуществить

математическое

'мо.це.пировавие

ЧИCJIеlU!НЙ

расчет

.PJЩа

задач

про

цессов.

Так,

ПОCJI8

того

как

определено

наэвачеиие

реактора, его

rеометрия

подобраны

матерИВJIН,

.из

которых

пре,цполarается

его

отроить

(вас

дальнейшем

первую

оче~

6~eT

интересовать

со

отав

активной

зовы...

выбирают

моде.пь

ДJIII

описания

физического

процесоа

(ПОДХО.цJIщИе

rрупповне

Rоиетавтн,

уравнения·

т.

п.

)

проводsт

раочет

критического

СООТОЯНИЯ

реактора.

математичеокой

ФОРМУ.IИровк~

проведеиие

Jtaнвoro

расчета.

преДО'1'8ВJUIет

с060Й

з8,1ta

чу

отнскавия

первоro

собственного

эиачеиия

•

соо~етствувцей

ему

ооботвенной

функции

вадачи

на

ообствеввнезиачеИИJt

•.

Обычно

прихо

ДИТСЯ

решать

ПОCJI8ДОватeJlЪНОС'l'Ь

таких

задач,.

поиа

не

будет

по.цod

ран

соотав

активной

зонн,

ПР.

ROТОРОМ

становится

ВОЗМО~

само

ПО,1tЦерпвauциlся

СТ8ЦIIоиspвнl

репм

pado'I'Н

внбравной

МОДeJIИ

реак

тора

- ero

критическое

·Оостояние.

Итак,

одной

из

математичеоIGIX

8ада"

П)8IЦИX

lSапое

значение

теоРИИРЕ!зкторов,

JJВJIЯ8ТOJI

В-

·мча

на

ообсреВIIМе

'ua

Ч8

ИМ

(lL1DIdолее

odщая

спеК'1'ра.пьНaR

за-

дача).

ПреДПOJlODll

теперь,

по

ПОCJI8

расчетов

на

кри!УЧВооть,

теп

JIOфизичес:коrо

расчета

'1'

....

веобходимо

провести

МОДeJПIрование

II1cкa

реактора

(радв

проcro'1'В,

под

'Цуском"

понимаем

JШdой

из

ИМ8D

IIП

место

на

~).

Этот

период

работа

реахтора

JlВJIЯетCSI

не-'

с'1'8ЦI[ОварlПDl,И

он

ОDJIснвае!'ся

ооответс'1'ВYJЦIIМИ

математическими

мо

ДeJIJIМII.

Процесс

пуска,

еС'1'8О!'В8ВИО,

.1Itела'1'8JlЬНО

осуществи'lЪ

по

предваритeJIЬНО

раосчитанному

режиму.

иноrда

желательно

СLЮДeJIИ-

ровать

схачкоо6разннй

режим,

когда

он

может

бытъ

близох

аварий

ным

ситуациям

(моделирование

подобншс

ситуаций

важно,

например,

для

изучения

различных

вопрооов

безопаснооти).

Отметим,

что эти

ситуации

могут

происходитъ

отоль

короткие

времена,

что

ВJIИЯНИ

ем

запа.эдuвaDЦИX

нейтронов

можно

пренебречь.

Однако

здеоь

dOJIЬпryJJ

роль

MOryT'

играть

раэJIичныe

температурнне

эc;Ix»ектыf

т.е.

ВJlИJШИе

изменения

температуры

ВaRТИВВОЙ

зове

на

процесс

ДeJlения.

важ

ным

становится

ЧИCJIеНННЙ

расчет·,

раЗJПlЧН1iX

температурных

коэc;Ix»ици

внтов,

набор

KoTopых

завиоит

от типа

реахТО'ра,

еroгеометрии,

мощности

Т.

п.

Описанный

Бшпе

режим

работы

реактора

мы

здесь

(и

ниже)

назовем

~СНШ4

режимом,

соответствующую

задачу

ero

расчета

задачей

ИМП:УJ.IЪСНОМ

режиме

реактора.

Следует

отметить,

что

ДJIЯ

ее

01ШСания

желательно

ПOJ1ЬзоватьCSl

КaR

можно

более

точ

ВIШИ

математичес1<ИМИ

МОДeJJЯМИ.

При

моделировании

перехо,цma

репмов(

настyпaDЦИX,

например,

ПОCJI8

6ыотрог()

увеличения

мощности

реактора)

существенную

POJIЬ

бу11УТ

уж.е

иrрать

запа.эднвanцие

веЙтроин.

Однако

эдеоь

такими

ар

фектами,

как

вШ'ОраниеТОПJJИВа,

ПОГJIОТИТeJIеl,

отpa:s.певие

p98RTO-

ра,

пренебрегают.

Поэтому

МОДeJIИровавие

ра<10ТН'

реахтора

данном

сшучае

необходимо

провести

учеroм

запаз.цква:ющих

нейтронов,.

TaIate,

возможно,

учетом

температурma

эc;Ix»ехтов.

Изучение

пе.режо.ц

BOro

режима

ПОМОЩЬЮ

математического

моделирова.вия

помоraет

оп

редeJ1ИТЬ?

насколько

бастра

peaItTOP,

после

иМпу'JIЪсиоrо

репма,

возвратится

требуемое

расчетное

хритичесхое

состояние.

Отметим,

1 ' .

рассматриваемнй

режим

характеризуетcs:

"ROJIеdаииями"

потом

вейт-

ронов,

соответственно,

мощности

реахтора.

Поэтому

изучение

дли

тельности

этих

колебаний

самого

процесса

ИХ.

протекания

важно

ДJIЯ

эfфехтивноro

реryJIИрования

реактора

этот,

также

опаоннй

момент

его

работы.

ТaIGDI

odразом,

сущеотвеВШIЙ

интерес

ДJШ

моде

лирования

работнр~а:ктора

правт

запачакинеТИ1SИ.

которая

сводит

ся

решеmm

уравнения

перевоса

учетом

запаэ.цкваацих

нейтронов,

тa.кzеэа.цаЧSRИВетИISИ

петом

температурньq

odратвщ

связей,

описывающих

в.пияние.

температура

на

протекание

первходвоI'O

процвс-

са.

После пусха

реахтора,

через

неско.п:ьхо

часов,

происходит

уже

:в.пияние

продуктов

деления.

При

этом

,среди

них

ВОЗИИRaJDт

мемен

ТЫ,

вдра

которых

обладают

БOJIЬШИМИ

сечениями

поrлощевия

нейтро

НОВ.

еCJIИ

реактор

БыJI

выведен на

Rритичвский

стациоварlШЙ

ре

ЖИМ,

то·

после

несRQJIЬКИХ

часов

работы

он

может.

стать

подхритиче-

111

- 8 -

ским

МОЩНОСТЬ

ero

Raчивае'1'

сииаатъся.

Таким

образом,

при

мате

матическом·

моделировании

этоro

этапа

pa60TЪt

реактора

вazнo

учео'J!Ь

на:копление

ОСКОJПCоа

делеВJUI

БQJlЬDIВМИ

сечеВИIDIИ

ПОГJIОЩ8НИЯ

(ЭТОТ

процесс

НaROl11Iеmш

чаото

иаЗНВaDТ

отравлением

реактора)

их

ВJlИJI

вив

на

физичесIGIЙ

процеос

функционирования

воей

.CJlOTeмн

цел:ом.

О.цним

из

таких

продуктов

ДeJIевия

JIВJUIе'1'СЯ

ксенон.

RO'1'ОpIiЙ

оказы

вает

большое

ВJIИJПD[е

на

процесс

поrЛОIЦевия:

Т9МОВНХ

нейтронов.

Поэтому

при

МОДeJПIровавии

ра.6отн

реактора

течение

от

иеоКOJlЪJGIX

1f8COB

дО

иесICOJlЬКИХ

СУТОЕ

мrpa8T Вa&YI)

ро.&

ИО0Jl8дование

эаца,.

ксеноновом

отрав.цеиии.

ВJmянив

ксенона

на

состояние

реактора

необходимо

ыоделировать

'1'8JDIe

при

~СОllOтреНИИОТ8ЦИонарноro

рв

DII8.

работы

реактора,

при

зваЧИТ8JlЪИОМ

8зменении

МOII(Ности,

когда

часто

приходится

J'ЧИтнвз.ть

температурине

эф»еRТН,

такав

00-

'l'8НOВJIeнвOЫ

реакТ<?ре.

Oтмe'1'llll,

Ч'tO

эcIФerroм

О'l'paвJ.[8НИ1t

ксеноном

реакторах

на

промe.rrочвъа:

•

dblC'fPНX

нейтронах

часто

превedре

1'8Irl'•

Кроме

TOro,

ПР.

МОДeJПIРОВ8ВIIII

вроцессов,·

ОВIIЗаввнх

воз

lDIКИовением

IIJDI

раСЩ\ЦОМ

JJДep

ксенона.

AlИТeJlЪВОСТЪ

КO'1'Oporo

во

1IIICJDISTCII

ОТ

вескOJIЪКИХ

часов

·11.0

иескоJlЬюа

ОТЮК,

запаЗДJlВ8I1Ц11

...

иеlТРОII8IIII

превебреI'8ln'.

ПреДПOJlODII

теперь,

Ч'fO

иeodХОДlDlO

ВIШOJIВИТЪ

мo.цвJDIpoвaввe

процесса

раdoтн реактора

течение

И8СКOJlЪКIIX

месяцев,

кor.

иа

ЧIDI8I)'l'

иrратъ

ВaDYI)

POJIЬ

эcIФeхтн,

смзаиинвс

вакОПJI8ВИell

ИJDI

:внroравием

тех

1IJDI

ИIIНX.uемеВ'fOВ

цервоro

I'O,PI)Ч8ro,·

вхо.uщеro

СОСТав

8It'1'JlВВОЙ

80ВН.

ацесъ

ВО8В11Ка8!'

QJUIa

ИЗ

1I8EIIX

вес1'8ЦИОвар

вп

8qач

твори

цepвra:

реакторов

-881Ача

IН1'Opмp-ua.кoMe

11I

...

epвoro

ropn8I'O.

~РИ

.ее

раОCUOl'ревии

.ктами

1UJ1IВВИЯ:

З8

П8~

нейтронов,

темпера'1'1pв!D111

8CfфeК'1'8МИ

преИedреI'8J)Т.

Кроме.

ТQI'<,,',

эта

-""18

опиоввает

0'1'0JIЪ

мед.ц.евио

протеК8IIIIИе

во

времени.

процессв,

что

частоо"'авови~са

возмоенм

ИСПOJIЬзование

JП.POЩ81111П

ypaввeвd

.....

ОПИCЩIИJI

процесоа

переиоса

нейтронов,

что

необходимо

учитнвз.тъ

1Il8.

ЧИOJIевиOll

.МОJteJIИРОвавии·

ЭТОЙ

задачи.

ИТ81t,

мв

(

CDМaDЧВО

отме'1'ИJlИ

и&которве

этапн·

проеК'l'ИРОва

ВИJI

раdoТВ

реахтора,

также

иеRO'lорне

из

задач,

ВОЗВИRaIIЦИX

при

мате_DЧeСИOll

.модuировании

Э'l'П

этапОВ.

давннми

задачами

SВJDIIJТCII

Задача

на

codcтвеввне

8вачеlПfJl.

·2.

ЗвдачаoCS

"IDIlQ"JlЪCВOll.

pe:EИII8.

•.

задачи

КВВ8ПD1.

задача

ксеноновом

О'1'р8.мевии.

Задача

ввroравии

(В8ItOПJlевп)

ядериоrо

roIJOчеro.

....

- 9 -

Целесоodразноеть

рассмотрения

:каждой

из

этих

задач

зависит

от

ти

па

реактора,

его

МОЩНОСТИ

це.пеЙ,

для

которых

он

предназначев.

CJIeдyeT

T8IOIe

отметить,

ЧТО

некоторые

из

них могут

мноroкратно

ветречаться

процеосе

эхсп.пуатации

ROНRpemoro

реактора

(при'

00-

таиоВIC8X

пуоках,

переходах

ОДНОГО

уровня

МОЩНОСТИ

на

дI>yroЙ,

переrрузRaX

топлиВа

т.д.).

Уже

это

rоворит

60~ОЙ

црактиче

окой

вааиости

теоретичеохоI'O

изучения

их

математических

моделей,

такав

разработок

афрективннх

aлro.ритмов

их

ЧИCJ1енноro

решения.

Поэтому

нае

6YJI:Тl

приведенн

модели,

используемые

J1,1IЯ

опиоания

давинх

задач.

поскоJlы<у

важной

СООТaвJUll)Щей

компонентой

К8JЩоl

из

IDIX

JJВJISIется:

уравнение

переиооа·

(ИJПI

81'0

хакие-JJ:И60

првdJIa&

ИВJI).

-.ro

рассмотрение начнем имевво

М'оro

уравВ81DU1.

2-1