Агошков В.И. Задачи и уравнения теории переноса частиц

Подождите немного. Документ загружается.

,.40-

-1~

i ,

о"'

"Н

2.%

(~,~',]A

)::

j jf:2:

(it.,Jle>.

СфеР

••

'О

••

-О.М.8~р

•••

а.

r80

••

р.

а:

.-(

;;

!:t-СI")\f=

1.r1.1"ry(",i)L(,.,}i~J')

(6.16)

(r,J')j

tf(tl.,jf)

"''1,,(Р)

пра

-1~'<O,

(6.17)

-f~У.~i

o",r6R,

(",

~',

Jl)

-li

J",

(11

jt.)

...

•••

оК.-о

••••

.,р

...

Ва.

r 8

• 8

Р •

а:

j{~

...

~(-JЧ':

(~S'I'~

s~!i

)+2:-tIf=

tJr f

=i; J

d'l"

Jd,'tp

(1",1/",111')1:("

,";tJjU.)+I(r,l,

Il,ф).

0-1

;

J-'

(6.I8)

(6.19)

Cf(r

~H)J"

Ч')"

<f1

(1"))Il,Ч')

<О,

;

(~,o,J,

cv)

•

{"'"

,),

0'<

}I.

rxe

o~r-~R

,О

~t~Н

-J..~JЧ.~·i,

o~o/~2a:.

Вое

odo_

(6.13)-(6.21)

lфИIJЯ'1'8

corJJaC80

0ОО'1'.88'1'С5''''

.012.

Pa~

пп8ръ

IQ8V

(6.I1).-(6.12)

при

~r=

о.

как

arкo

88118П1'Ъ,

OD8pa'lOP

иoI

аадача

не

JПUrJl81fCS[

СИММе'1'pичmAI.

О.-вако

•

PlJJte

0.Q'ЧIl8В

мoDo

перейп

0'1' 8'1'01

эца,.

зцаЧ8,

lIO'fopol

оператоpl

1&8

6ТJ13Т

свмметрИЧIDIМII

(что

вее!'

8ЭВ80ТВil8

JIP8IIII1I'eCDa). IIJCn.

вanpимeР.

фувкца

L·<r:

,jJ.)

-l

(r,Q)

........,011

.......

OUOCJI'f8JIЬBO)'I'tIOBНX

пвремеввнх,

".8.

Х.

(!: I pt.) =2:(!:,-

jl.)

J f(!,:)Q}::

(r)~).

1'OQa,ВJПIAIRD

•

(5.11)

a8118117Q

на

-:-Q t

J1PПО_

JP8ВИ811118

(Q,

V)1f

С!

,-Q)

L:./!:}If>(!:

,-Q)

:=1х

J1:

(f:,j'.)

(r., Q!)

rJ.Q!

+ l

U:,$l.)

. , " .

Оицнвм

81'0

(6.11)

•

:IIJЧJI'IU

...

(6.11).

JIO.Q1Ia811

OOO!'llOll8ВD

Lt(!:.

Q).

;

{ч>

,Q)

"'1/

(!;

,-.Q»

"(!:,Q.):: 4

(ер

(t:,

-!f

(t"

-.Q»).

ИC&8ЧU.

первом

••

IIП

Ф1iiiCЦii1t

, 8CIIQA8J-

.~poe

OOO~

.~e"',

ПРПОЮIII

•.

JP88В811J18

-(Q,

,V)IL+L.L

JdQ'2:(t,jU.)

u.{(,

g')

+/(t,Qj.

t L Q ,

(6.22)

Краев8е

7caoвu

.....

..-во

DO.Q"'IIIn

JIOIIOIIPt8

1caoвd

...

Ч'

.ОПD8Ивq

(6.24)

u-t

(~,Ч)U=О

u.+#(QQ)u.=o

пpII!Е-dD,

(Q,!J:)

>0.

J :

.L.t-»

И'l8lt,

8CJП1

ч'

8С1'Ъ

реш8вие

(6.11)-(6.12)

(при

tpp

If()

Ф1D-

IUISI

C~)Q)

есп

решевие

вадачв

(6.22)-

(6.24).

Обрапо,

ес-.

6-1

42.

u(t,

1до:в.иетворает

(6.22)-(6.24),

'1'0

IIODО

про:верпь,.

пофуикция

Ч'(I:,Q)=ц(!,Q)-i:~{!:)

(Q,V)u.

(6.25)

еcn

реШ8R118

88ДE11D1

(6.II)-(6.I2).

Оператор

вв.цачи

(6.22)~(6.24)

уже

RВJJJI8-r08

СИММ8'1'paчIIНМ,

•

,.,а

задача

часто

уже

,цопусха8Т

све,цение

ее

:к

пpodJIеме

IODDDIИsа

JXD

COOneTCDJDЦero

КВадр8ТИЧВОro

фушсциОВ8JJ'&

•

првмеВ8JIIID

118-

'lOдa

Ритца

ДJIJI

приdJID8ВВОro

реШ8ВU

~ТОЙ

задачи.

CJIYЧ88

ПJIосхо-паР8JlJlenвоl

reoMeTp"

ОJIIIМ8'1'риаов8В11811

эа

ача

(6.22)-(6.24)

записнвае-rС8:

":виде

2'd

-)А

:Z~

+L~U::

I:(il,}'~J')U(l.,!')rJ.p'+t(I,JI)J

(6.26)

}It

Эu

при

:сО,

(6.27)

и--

.z~

u+L

пр.

l=H

(6.28)

Э;!

(о'"р

O~i~H).

....

(6.33)

(6.ЗI)

(6.32)

(6.30)

(6.29)

r:::R

при

l.t+f

(Q;V)u.=o

u.-t

(Q,V)(.t:O

CJI1Ч8.8

(феРn8СD-СИММ8'1'ричноl

rеОМ8'1'РП

·8та

задача

вее!'

.....

(

d f-

jU.

d )L(

()и

-}J2.

дц

)

Э!

r:-

~.JIA

L:-f:,

Р.

dr-

-~-

Э!,

L:~(r)u.::.

(r,p',/l)

(,-,,1) d.,i + f

(г,}I)

(Dl

+ I_jlt'l.

ЭЦ

)=0

при

"'~R

2:-1:

Г;},.,

а?

Eou

odJIaC'1'), D

odладае!'

Цll.lllllAPИЧескоl

CDlМетривl,

то

задача

(6.22)-(6.24)

88ID1сuваетса

CJl8д1DJP1М

образом:

2%'

-(Q.v)4;

(Q,v)U

+~i;Lt

=1:i

dJr'}tx,'U(r-,r,jII','fJj"

. .

L(".'I:.}lo) + f

(,.,

~,jU,

ЧJ),

при

i=R

111

< r

)..

Z )

=Н

)

u+~

(Q,

~)ц

ц.

..L

V)u.

-1

rде

(

Г"\)

(

dU)

==;:J

u '=

c.oS

'1'

dr' -

f:МI.Ч'

Э,!,

JIIа

)I;;i

)

(.o~4'~Z'1",

O~Y.ti,

o~~~H,o~r~~

а и

•

е.

Симметризация

стационарma

•

вео'l'ацио

варша

эа.цач

творив

перsноса

при

более

odщих

пре.цпОJIozенша

ОТ

ВОCII'1'&JIЪво

иоходвнх

даввнх

расомотрена

работах

Л2/.

/1,з/,

'88.It1J1JЧ8иие

введем

IDИроltо

ИСПOJIЬзуеыое

на

прaRтике

ПОНJI

пе

"хваЗИС'1'8ЦИовариоro

приdJID8НИЯ".

При

описании

рл.,ца

веста

ционарип

процессов

перевоса

нейтронов

t 8

которых

харах'1'ерине

времена

ИСЧИCJUШ'1'CS

веокоJ1ЬКИМИ

,чиями

или

меCJЩ8МИ

(а

ивоrда

. i

d<p

dtp">·

dtl

ча~~.

saЧ&ОтyD

ИЗМЩl8JD1SD111

В8JDI'CIИВ

iГ

d1:'

:(81

bii

э~1-

1ЮJlВ0

Dpeнedречь.

UOСКOJП>К;У

ОП

Ма.1Н

по

сравнев:в»

00-

'1'8JIЬ1DDIIt

ЧJlевами

ооответствующих

1Раввениях.

ПО8тоrq.

оцуокаа:

8П

ЧJIевн

:в

1Р8.Ввевиsa,

мв

придем

задачам

'1'ИПа

(6.I)-(6.2).

(6.3)-(6.4),

(6.5)-(6.6), (6.7)-(6.8).

(6.I1)-(6.12),

при

ЖО-

ПO.IВК'1'8АВНХ

преДПOJIozеввп

:к

(6.22)-(6.24),

(6.26)-(6.28).

(6.29)-(6.30),

(6.31)-(6.35).

:в

иоторнх

:все

8ОХОДНН8

Jt8IDIНe

pe118ВU'

8ТП

эцач

б1Ж1't

зав_оеть

от

1wt

0.'1

параме'fра.

Ц8СЪ

ПOJl)"laеJl

задачи,

ИО'1'Орк8

ОПВ:СНВ8DТ

вое

ае

иеС'l'8ЦIIоварвве

проItеосн,

ВО ПО

форме

оп

ООJJIUWШ'f

со

О\,8ЦIIОВ8pв1D1И.

Такие

аа

.-ачк,

1IO.Q'Ч8.8IIВе

при

преJglOJIO&ева

...

осп

проиuоJt8П

по

01'

peDlеввй

от<sрасввакп

их в

COO'l'В8'fO'fВIDIPIX

7PUJl81111П.

В88ВВ8Dt'

ХJJ8виетациоварв

••

uрВdж.аеи.ем

S80Т8Ц1Iовариоl

'1'80РП

иеревооа.

ИСJlOJfЬ80JNUD18

8'1'01'0

DpII(S.ID8I1U

поааоме'f

вcfфeк'1'DВО

пpJDI8J1J1'1Ъ.

uroри'.rl8,

paвpadO'f8ВJIII8

....

~e

,l8ВВОro

решения

С'1'8ЦИоварввж

ВЦ&Ч,

••

веcmщковаPвu

8Q8Ч8Х

MeДJIeввO

измеВJIIIIPUIИCR

характерисТIIX8МК

ВО

арем8П.

О'1'lleТИII,

что

поllOllt'lJ

иваас'1'8Цl[Оварвоro

МОа0

.....

СМОДeJ[Ирова'l'Ъ

процесс

:вв:ropaвu

~п.пва

(00

8'1'0.

цроцессе

011

ив

же).

При

этом

S8Висимостъ

коtJClфиlxвеll'm1t

от

:времеи

описнваеТQII

~OIIОЩЬD

ивтеРmiwп.tий

ковцевтpaциllWI8ВSIIЦПС8

ИSО1'Опов.

сами

ае

6-2

....

ХОИЦ8ИТp8ЦIIИ

изотопов

вахОДlП'М

птrеll

решеВИJI

вес1'8ЦИОварввх

JP8ВВевий

(часто

.то

есть

системк

оdнхвовеmпa

.uвIФeреllЦll8.&ВП

JP8Виевd

первоro

ПОpRДlCa).

§--?

Уравнение

ПайеРJIса

ЧаСТО

становитоя

цеJIесообразнШvI

оведение

про6JIемнрешеиия

за

дачи

для

интеrpo-диqфeренциaJIЬНОro

уравнения

перевооа

реШ81UШ

иитвгралщого

уравнения

Пайеp.7Iоа.

Так,

например,

раЗpidoтанн

це

ЛН8

гpyIIIIН

методов решения

задач

переиоое

чаОТИЦ,

освоваиннх

иа

иопользовании

именно

уравнения

пайеp7Iоа".

Приведем

это

уравнение.

оrpaиичивaяоь

JIИDIЬ

односкоростноl

стационарной

задачей.

Итак,

пусть

раосматривается

задача

(g,V)\f

...

.E~(!:)If=h

rlQ.\fU:,Q'J~(!:,}L.)+

l(rtQ~

(7.1)

Ч'(!:,Q

)=0

при

!'d"D

•

(.Q,.IЗ:)<::О.

(7.2)

Оdозначим

через

(!:

,Q)

функцию

вида

1'\(!:,Q)=~1J.Q',,(!:.2')~(!:,Jl.)

.__

(7.3)

функцию

ИОINИPO:ваниоro

JlНтеrра.пьвоrо

пото:ка

.lC8I(

<р(!:)

11f(!:,Q)d.Q · . .

(7.4)

Ееп

оd18ТИ1'Ь

.цИф»ереlЩИЗJIьmd

оператор,

стоящий

Х8ВОЙ

части

na&-

неиия:

(5.I).

затем

реЭУJlьтат

умноп'1'Ь

на

~(.!.

jцo

)/4х

проинтеrpировать

по..Q

то

придем

ояеДj'DЦему

ивтвI'plJ1ЬНОМУ

уравнению

:rpaвнеmш

Пайемса:

tt(r,Q)::

~3C

...

(~.!

li-~I!'

)clS}

"2:(1"

(~,~)'(n(c.',Yl)

...

~(.t',~»·

,.-I.d.,:',

(7.5)

где

( 2

'12.

r=1

-r'\

=.(

Ж·

-~!))

-.r.')/,...

- -

i:1"

с.

I .

Ес.пи

процесон

взаимодействия

нейтронов

со

средой

изотропнн,

Т.

•

<t'

.JЦo)

(.!

,Q)

=.f

)

то

n (

,Q)

n(.!: )

интеrpaJIьиое

уршневие

принимает

вид

(,,!:)

(!. .!:')

(rJ·

(п(

r')

0:.1»)

dr;

(7.6)

v·

где

...

-1

"Р

iz:.j;

(~!+

(~-

)1:')

d~]

(t)r)

-~--~-------.:-

','

f'l.

' .

Еоп

это

ypmиение

запиоать

,Ц1Ш

фyиIщии

ивтеrpa.пьного

потока

ер

( J:

'1'0

оно

еоть

<P(r}

=.G

(t,t')

(L:.(t')<P(!:.')+!r!:'»)olr~

(7.7)

1:>

Итак,

есJlИ

нао

интересует в

задаче:'(?

:'r)-(7

.2)

функция

иитег-

paJIьиоro

пото:ка

<:р

(,.,

то

ее

MOJtНO

найТИ,JIИ60

репая

(7.1)-

(7.2)

JIИ60

решив

Щ{Теrp9.JIьиое

yplвнение

(7.7).

Однако

замечаем,

ЧТО

размернооть

.7)в

олучае

:J:)c

на

две

еДИНИЦЪt

меньше

183-

мернооти

задачи

(7.1)-(7.2).

ЭТИМ

060ТОЯТ&JIЬСТВОМ

6оJIЬшей

оте

пво

объясняетоя

целеоообразнооть

перехода

некоторых

о.пучаях

от

(7.1)-(7.2)

(7.7).

Пос.пе'1'Оro

какфункция

(-t

)

Найдена,

и>zно

внчиоJ.tить

также

·И

(1:

.Q).

для

э'того

достаточно

ре-

IПИ'1'Ь

(ив

интвrpo-ДИФI>eреициаJIЬИое

уравнение,

RaR

это

6шо

(7.1)--

(7.2»

двМереициaJIЬНое

уравнение

' .

(Q,~)

'Р

L-{

'Р

Q(!7)=4f;

Ч1С!:,Q')L

(r:)dQ'

....

J(r>

(7.8)

при

Iq8eВOM уоловии

(7.2).

Таким

обpiЗОМ.

еоnи

требуется

найти

ФyиR-

ЦИI)

,.Q),

то

некоторнх

оJI1чaяx

задачу

ее

отыокания

оказнвае'l'СЯ,цeJIеооо618ЗИО

свести'

ПОСJIе.цоsaтеJIЬИОlq

решешm

lJ13yx

6оJlее

простых

задач

типа

.7)

(7.8).

Иитеrpaльиое

уравнение

ПайеPJIоа

М01lll0

внписать

•

для

чаСТ

вых

reOMeTpd.

Так,

ПJlос:ко-параяJIеJIЬИОЙ

rеомвтрии

уравнение

(7.7)

имеет

вцд

'"'

<P(~)=;

JE\

(IJL:-I:(~)clsl)(L:(~'fP(l')i"f(i'»)di",

(7.9)

rJte

<P(~)

='~

;(~,Jt.)J.~

•

фymщия

Е"1

(.!; )

есть

о,цва

~...

из

опециan:ышх:

функций,

опре.цеJШеМblX

:как

-t

со

e-"'I'"

(е

({)

4 )

n~.,}

==т

· (7.IO)

Отметим.

что

oLEn(i-)::._

(-1::)

En(o)=n~~

,n~1)

J.-f:

n-t'

·-

-t

-1:.2

e~(1:)

:-C-t--,

+ - -

...

1·1.

2'2!

3·31

Со;;

0.511.12,

(t)=-t

(E.(i)-E

(i».

(7.II)

Замечание

ИЗJ!оzенв:ое

.цанном

IТapiграфе

J18по

обобщить

на

01!У

чай

задач,

которых

индикатриоа

раооеяния

задана

виде

конечноl

ормн

по

ПОJ1ИНома.м

Лежандра.

результате

прео6разований,

ава

JlОГИЧНЫХ

прове,цеиным

выше,

мы

ПОJI1"Dlll

1tонечнyIO

оиотему

ИIIтеrpaJIЪ

ша

уравнений.

Замечание

с~ответствущеМ1

ИИ'1'еrpaJIЬНОМУ

уравнению

моао

овеоти

зt:щaчу

дJIЯ

уравнения

переиооа,

иепрврыввнм

об1ВЗОМ

3аВИ

OЯJIP:'О

от

энергетичеокой

временной

переменинх,

TaRlt8

ОJIYЧ8.е

нео,циородных

Itр:1евнх

УОJlОвиl.

(ом.

например,

/3/

/6/

t 15/

§-В.

Р1

·-при6лпение.

ДlЩфУЗИОШlое

ураВНение

рцце

задач

теории

ядеринх

реакторов

:вмеото

ураввеНИSI

пере

носа

уопехом

ИСПОJIьзуеТОJl

таи

вазнмемое

-приdJIПeние

приd

JПlЖеввая

модель

уравнения

перевооа.

SIВJIJDJIJlЛОЯ

чаОТIIНII

о.цучаем

оио

темы

уравнений

метода

сферичеоRИX

raIllОВИR.

СОГJIaОИО

этому

мето-

1JY

решение

ч>

предотавметоя

виде

по

сферичеоким

raIRo-

НJlX8II

{Xa,t

. ·

(8.I)

(8.2)

О,

...

)

о,

... , ±

}

r.це

(2rn+1.)

Р",

(.l")L;"')(t,E',E,i).

m::.о

Оставим

разложении

(8.!)

ЧJI$НН

I'L

I.H

точное

решение

(8.2)

npи6JIПeШlО

заменим

внра.жец8М

(~)

i .

n..

ч>

(2n.+'1)Z af\ L

Ч'

.,У.

n'=О

i..=-n..

n,L

n,с.

rде

ч' о

(t, E,i)+

(~\-1

Х-1

-t-

Ч"'О~О

Ч\1~.

)

Ч'о

(Q)~)

(8.З)

(8.4)

(8.5)

э".

(

Ч'

1,-1

tf.f,o

•

1,1)

)

i t

tf"

L (!:)

)

. ,

Фymщии

{tp",t(!'

, i

)}

I«>'l'O~

(8.З)

тае

СЧИ'l'аются

неиз

вестными,

опреД8JШМ

из

системы

nввнений

(1)

({:

Cg,\7)tp(1)+L:t.

tp(4)_

J<ю'jdЕ'ч,с'l)(2:

.Q.:t>E

+L(+»L'~)-Jс)Х,LcLQ;о)

n=o/I,··

О)±.1.

Если в

(8.4)

ВНnОJIНИ'l'Ъ

иитвrpирование

по

Q ,

ВОСПОJIЬЗОВВВШИОЬ

при

этом

ооотноmеИИS1МИ

.GJ

(jl8)\,/Q)tlQ

J~~1)

~,c

(Q)

)

d.Q

=.(;х

J.Q

clQ

~O,

Q-

JQ.(Q.A)

dQ=~

А,

J(Q)'&)C.Q.,~)ciQ=~;r

(д,!Р,

.52

-48-

то

придем

сиатеме

уравнений

вида

rже

·~A

'(<lQ.

( =(!1,-J' (.0 '

l1.1.))

.t,

'r:t

tLQ.

•

4,....

Q J

неl

JtОба.ВJIRD'rOЯ

ваЧ8J1Ы1К8

JCJlOВU

~(!:

,Е,о)

=.Jo

(r,

Е')

'Р.

С!'

,Е,

0)=

Ч'о

Cr,

Е)

ПОJIYЧ811RЫе

из

наЧ8JlЪНоro

lСJlOВИЯ.ttJИ

<р

(!.,.9

•t )

8Н8JIo

rичн:нм

образом.

Чтоdн

найти

вц

JОJlОвиА,

замеВ81

JО1l0вие

(I.2)

ОJlедyIЦIIII:

(Q,~)l'f-'r)=О

.!E-dD,

СВ

,!J.)<

....

11'1'0

0)010 •

'lO

88.

(1)

Ее.

.,8перъ

8'1'0

внpue'П8

по.1tставиъ

_есто

If'

прпоJUIII

. -

ЧJ

....

(!!,;1)

(~,~:>'9r

dQ.

•.

(~,~)(.O

•

то

СР.

-2

(!1,])=1f~1),

,;01)

J,(~.!!>I

Ч'r

rlQ.

(Q.,!1)<O

'l'a1aDI

OdPa8OII,

~вие

.ФUi~.

(1.1)"'(1.3)

есть.

- 49 -

d.ц,~

+L:i:(!:,E;!:)4'o'"

JdE'tjlo(!:,E',t){~~·tf~E~E,i:)+

:t>E

. .

+Li.(r:,

:Е,

~Li!:.E:

E,i»+

(!: ,E,t);

..!.

d;L

oradlo

+""

(1'"

Et)·J=j

''''J(r-

E'i)"

То

L..

-t

-.,

a..t:

_ - , ,

.:De.

(4)

, )

(

XL.

{J:,E.E,t

+.!j

.r)c., ,

(8.7)

(8.8)

(8.12)

(8.14)

(8.13)

'1'0

(t,

Е,о)

~o)

(r:,

Е);

(8.9)

(r.,E,o)=

;Jo

(!:,Е);

(")

(8.10)

'Ро(!.:

,E,i)

2(n,J)(r:.

,{)

=CPr

(!:,E.t)

.,!'Е

d1>.

(8.II)

МноrОrpJIlПовое

при<1JIиzeние

этой

задачи

(ко!'орое

моао

ПОJQ'ЧИ'1'Ь

так

ае,иак

ДJIJI

(1:I)-(1.з»

.имеет

(.,--

(}

()Ч'

J(t'

~(~

(').

(8')

11"(3)

dtO

cJi"

L..

<r-,t)lp.

::=

Ч'.

(!:

.t)x

О'-1

(0)(':1'

'~'

)

( )

(~.t)

22;'g.

(~.i)

~~L.f

(9,'

(c,-I:))

,о

;

..L-~)

(1)<')

(9)

С,

11"(')

+ 3

~f.

+L:.L

o:.-f:);]

=2:

(.c.-I:).

8':·

(4'

(,!,J'

(,>

xL..

(1:,!)

+f~

(r,i);

10(')

(I)

при

"::,

(fJ

1118

. J

::.01.

"'0

.::

)

-r-

··-v,

-СО)

(,)

'"f(S»).

(,>

' )

Ч'о

-2(п)~

пр.

!t:d:D

3==4,

...

,(;.

'(8.15

Вов

ввect'И

.цОПОJJНИТ8JIЬВКе

пре.цпOJI088ID11f

•.

'1'0

8Q8Ч1

(8.12)

(8.I5)i

cвoiJ

очере,цъ

'l'аае

моаио

JП.POOit'll'rъ.

Так.

NIЯ

do.иыII1в~ва

~Ч

t'9OpИII

церинх

peaRТOpoB

расс8Я1D18

1!IIJ1.'P.

JJlIIIRоl

I'p)'ППН

из

doee

_СОIalX.

эиеpreтичвоRI!X

rpym:t

примерно

J,paВНoвerlfD8.МCJI

расоеанием

веlтpoиов

из

даивай·

doJtee

виэхие

эиepret'ичеоае

rpyппн

(011.

[111,

C'l'p.

·I90).B

ЭТОМ11р$JUIOJiOzeВiii-jiii

имеем

7..1