Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

На рис. 9.5 показаны варианты расположения модифициро-

анной частотной характеристики, для которых критерий П

не выполняется.

Обратим внимание на то, что

точный критерий, поэтому если с не удовлетворяет ему, то

о система неустойчива.

ВА ДЛЯ СЛУЧАЯ

в опова

∞

а) б)

∞

Рис. 9.5. Модифицированные частот

не расположенные правее

критерий Попова – это доста-

истема

отсюда еще не следует, чт

9.3. КРИТЕРИЙ ПОПО

()

xkxxk

Нелинейная характеристика

)(

расположена в угловом

(рис. 9.2).

ореме Попова принимает вид

секторе

[]

αα ,

Неравенство (9.6) в те

)(1

)(

)

образуя (9.16) с у

()

1(Re

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

ω+

kkjWk

. (9.16)

Пре четом формулы (9.8), получим:

() ()

()

>+ω+

⎜

⎝

⎛

++ω

+ωω

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−ω

⎟

⎠

⎞

(9.17)

) найдем, что уравнение

0 m

После введения в рассмотрение модифицированной частотной

характеристики (9.9

ные характеристики W* j ,

прямо

()

й Попова.

190

11111

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∗

∗∗∗

mmm

(9.18)

в коор

∗

динатах

описывает квадратичную параболу, пересе-

кающую вещественную ось

∗

в точках

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

имеющую в этих точках крутизну наклона касательных соответст-

венно

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

(рис. 9.6).

Следовательно, в рассмат-

риваемом случае имеем парабо-

о-

я следующим об-

разом:

лу Попова вместо прямой П

пова в предыдущем случае.

устойчивости Критерий

формулируетс

Состояние равнове-

сия нелинейной системы

будет абсолютно й-

чиво, если н линейная ха

истика

усто

е -

рактер

()

на-

о провести через точ

ходится внутри углового

сектора

[]

αα ,

и мож-

н ки

⎟

⎞⎛

−

⎠

⎜

⎝

⎟

⎠

⎜

⎝

−

та-

кую параболу с верти-

кальной осью, чтобы мо-

дифицированная

⎞⎛

час-

отная характерист

парабо-

ы.

ное расположение параболы и

т ика

лежала вне этой

На рис 9.7. показано возмож

модифицированной частотной характеристики для абсолютно ус-

тойчивой системы.

наклон

-1/h

наклон

1/h

Ри

-1/

с. 9.6. Парабола Попова

-1/

∞

()

-1/

Рис.9.7. К абсолютной устойчивости нелинейной

ейная функция которой находится

ри углового сектора

[,]

αα

системы, нелин

внут

191

Из рисунка видно, что рассм терий с

лой дает более широкую область

критерий с прямой. Этот вывод ез

точку

атриваемый кри парабо-

устойчивости, чем предыдущий

следует из того факта, что чер

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

нельзя провести п не пе

модифицированную частотную арактеристику. Следовательно,

данная система, абсолютно устойчивая при нелинейности, распо-

ложенной в угловом секторе

рямую, которая ресекала бы

[

]

расположена

, не будет абсолютно устой-

чивой, если сектор, где нелинейность, расширяется до

значения .

9.4. УСТОЙЧИВОСТЬ В "М

СВЯЗЬ КРИТ ЯПУНОВА.

ОМ"

нелинейного

осью

о, что линейная сис-

тема при значениях углах

[]

α,0

АЛОМ" И В "БОЛЬШОМ".

ЕРИЯ ПОПОВА С МЕТОДАМИ Л

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ

9.4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ В "МАЛОМ" И В "БОЛЬШ

Имеем нелинейную систему, характеристика

элемента которой

()

xΦ

частично расположена внутри сектора ме-

жду абсцисс и прямой

kxy =

(рис 9.8).

Известн

arctg0 <α<

(9.19)

соглас

, вызы-

(9.20)

устойчива.

В этом случае, но

критерию Попова, нелинейная

система при воздействиях

вающих отклонения

будет устойчива.

Нелинейная система уже не

будет абсолютно устойчивой (не

будет устойчивой в целом (при любых воздействиях

)(

Ф()

y=kx

xxx <<

ис устойчивости нелинейной

системы пр ограниченн х внешних

воздействия

.9.8. К

и ы

)), однако

она, очевидно, будет устойчивой в "малом" и в "большом". В по-

192

193

следнем случае

()

tgSup

должно

быть настолько ограниченным,

чтобы величина координаты

ву

я не на границе устойчиво-

сти. Тогда очевидно будет устойчивой и линейная система с -

теристи

удовлетворяла неравенс

(9.20).

харак

9.4.2. СВЯЗЬ КРИТЕРИЯ

ПОПОВА С ПЕРВЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА

Ф()

Рис.9.9. К связи критерия Попова с

первым методом Ляпунова

Критерий Попова устанавливает условия применимости пер-

вого метода Ляпунова.

Заменим характеристику нелинейного элемента

()

xΦ

каса-

тельной в начале координат (рис 9.9).

Будем считать, что линеаризованная система с характеристи-

кой

kxy =

устойчива, причем находитс

кой

xky

где

немного больше k.

Следовательно, начальная часть нелинейной характеристики

()

xΦ

попадает в сектор

[

]

, в котором линейная система -

ива.

о а

устой

ч Поэтому согласно критерию Попова нелинейная система бу-

дет устойчива в "малом".

Вывод: в рассмотренных условиях первый метод Ляпунова

применим.

Если же линеариз ванн я в точке

система находится на

границе устойчив

ости (характеристический полином содержит

корни на мнимой оси), то критерий Попова , взятый для начальной

части нелинейной характеристики не дает оснований утверждать,

что нелинейная система устойчива в "малом". В этом случае -пер

вый метод Ля е об ус-

тойчивости в "малом".

для нели-

скольку второй метод

ловия ус-

нова вида "квадратичная форма плюс

, чем любая из областей устойчивости, определяемая

ст-

на частотных характеристиках, поэтому мно-

ли-

приспособлены для исследования не-

пунова также не позволяет получить суждени

9.2.3. СВЯЗЬ КРИТЕРИЯ ПОПОВА СО ВТОРЫМ МЕТОДОМ

ЛЯПУНОВА

Р. Калман показал [13], что если критерий Попова

нейной системы выполняется, то существует функция Ляпунова.

Ка з заданнойк и вестно, для нелинейной системы, в принципе мож-

но построить несколько функций Ляпунова, по каждой из которых

в фазовом пространстве можно построить область устойчивости

(область асимптотического притяжения). По

Ляпунова (как и критерий Попова) дает достаточные ус

тойчивости, то найденные области устойчивости будут отличаться

от истинных.

Р. Калман доказал, что область устойчивости, даваемая крите-

ри ем Попова, будет огибающей всех областей устойчивости, най-

денных по функциям Ляпу

нелинейность", т.е. будет шире и ближе к истинной области ус-

тойчивости

функциями Ляпунова заданной формы.

9.4.4. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЯ ПОПОВА

Большим преимуществом критерия Попова является то, что

он ж мо ет быть распространен на системы с запаздыванием и с рас-

пределенными параметрами, а также на некоторые классы им-

пульсных систем [13].

Важным его преимуществом является также то обстоятель

во, что он базируется

гие частотные методы анализа и синтеза, разработанные для

нейных систем, могут быть

линейных систем.

194

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Абгарян К.А. Устойчивость движения на конечном интервале // Итоги

науки и техники. Сер. общ. механики. М.: ВИНИТИ, 1976. Т.3. С.43-126.

6. С. 977-986.

устойчивости процессов на заданном проме-

ние в теорию устойчивости. М.: Наука, 1968.

нциальных урав-

Теория систем автоматического регули-

ноград Г.Э. и др. Теория показателей Ляпунова. М.:

ций Ляпунова. Киев: Наук.

равления. Ч. 1. М.;

966. 364 с.

атической теории устойчивости.

ати-

К.В. Основы теории автоматического регулирования. М.:

кола, 1973. 272 с.

974. 336 с.

Абгарян К.А. Об устойчивости движения на конечном промежутке

времени // Прикл. матем. и механика. 1968. Т.32, №

Абгарян К.А. Одна постановка задачи об устойчивости процессов на

заданном промежутке времени // ДАН СССР. 1973. Т. 212, № 6. С. 1313-1316.

Абгарян К.А. К теории

жутке времени // Прикл. матем. и механика. 1975. Т. 39, № 5. С. 827-834.

Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регули-

руемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 140 с.

Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

Барбашин Е.А. Введе

224 с.

Беллман Р. Теория устойчивости решений диффере

нений. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. 216 с.

Бесекерский В.А., Попов Е.П.

рования. М: Наука, 1975. 768 с.

10.

Былов Б.Ф., Ви

Наука, 1966.

11.

Валеев К.Г., Финин Г.C. Построение функ

думка, 1981. 412 c.

12.

Воронов А.А. Основы теории автоматического уп

Л.: Энергия, 1965. 396 с.

13.

Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. Ч. 2. М.;

Л.: Энергия, 1

14.

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автомати-

ческого регулирования и управления. М.: Высш. школа, 1977. 519 с.

15.

Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциаль-

ных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

16.

Демидович Б.П. Лекции по матем

М.: Наука, 1967. 472 c.

17.

Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной матем

ки. М.: Наука, 1966. 664 с.

18.

Егоров

Энергия, 1965. 396 с.

19.

Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высш. ш

20.

Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматиче-

ского регулирования. Л.: Машиностроение, 1

195

21.

Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего ана-

лиза. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

22.

Карачаров К.А. Некоторые критерии устойчивости движения при на-

с.

змущениях // Укр. матем. журнал.

.А. Оптимизация практической устойчи-

ики, 1978. С. 12-20

Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым мето-

линейных регулируемых систем. М.: Гос-

нелинейные задачи теории автоматического

. Собрание сочинений: В 5 т. Т. 2: Общая задача об ус-

Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1965. 432 с.

ия на за-

ы управления. Киев:

Наукова думка, 1972. Вып. 15. С. 58-64.

36.

Математические основы теории автоматического регулирования:

В 2 т Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1977. 821 с.

37.

Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука,

1976. 320 с.

38.

Младов А.Г. Системы дифференциальных уравнений и устойчивость

движения по Ляпунову. М.: Высш. школа, 1966. 224 с.

39.

Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости

// Тр. ВВА им. Жуковского. 1945. Вып. 135.

личии постоянно действующих возмущений // Диф. уравнения. 1970. № 11.

С. 1963-1969.

23.

Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию ус-

тойчивости движения. М.: Физматгиз, 1962. 244

24.

Кириченко Н.Ф. Об устойчивости движения на заданном множестве в

конечном при постоянно действующих во

1969. № 21, вып. 1. С. 98-100.

25.

Кириченко Н.Ф., Цыганова Л

вости линейных систем. // Математическое. обеспечение систем управления.

Киев: АН УССР. Ин - т кибернет

26.

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.

М.: Физматгиз, 1959. 212 с

27.

Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управле-

ния с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 339 с.

дом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

29.

Летов А.М. Устойчивость не

техиздат, 1955. 312 с.

30.

Лурье А.И. Некоторые

регулирования. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. 216 с.

31.

Ляпунов А.М

тойчивости движения. М: Изд-во АН СССР, 1956. 475 с.

32.

33.

Мартынюк А.А. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Технiка,

1973. 188 с.

34.

Мартынюк А.А. К устойчивости неустановившегося движен

данном интервале времени // Прикл. механика. 1967. Т.3, № 5, С. 121-12

35.

Мартынюк А.А. О технической устойчивости сложных систем. // Ки-

бернетика и вычислительная техника. Сложные систем

. /

196

40.

Моисеев Н.Д. Обзор раз ких теорий устойчивости

движения // Зап. семинара по теории устойчивости движения. ВВА им. Жу-

41.

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных

45.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной пере-

. 175-

560 с.

и алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970. 376 с.

ики. /

вития неляпуновс

ковского. 1946. № 1. С. 75-93.

уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.

42.

Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования

и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.

43.

Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирова-

ния и управления. М.: Наука, 1979. 256 с.

44.

Розенвассер Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем

управления. М.: Наука, 1977. 344 с.

менной. М.: Наука, 1979. 320 с.

46.

Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными парамет-

рами. Казань, 1971. 180 с.

47.

Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущен-

ных движений динамических систем // Вестн. Чуваш. ун-та, 1997. № 1.С

186.

48.

Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной ал-

гебры. М.: Физматгиз, 1960. 656 с.

49.

Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:

Наука, 1980. 352 с.

50.

Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.:

Наука, 1977. 248 с.

51.

Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М: Наука, 1977.

52.

Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы

53.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М: Наука, 1990. 176 с.

54.

Четаев Н.Г. Об одной мысли Пуанкаре // Казан. ин-т. 1935. №3.

55.

Электрические системы. Математические задачи электроэнергет

Под ред. В.А. Веникова. М.: Высш. школа, 1970. 336 с.

197

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 5. Устойчивость линейных стационарных уравнений состояния....3

5.1. Основные понятия теории устойчивости....................................................... 3

5.2. Общие сведения об устойчивости линейных уравнений состояния...........6

5.3. Устойчивость уравнений состояния с постоянной матрицей...................... 8

5.4. Критерии устойчивости, связанные с характеристическим уравнением

.................................................................................................................................11

5.5. Методы оценки устойчивости, не связанные с построением

5.7. Матричные методы исследования качества систем автоматического

.................................................................................................................................77

6.2. Показатели Ляпунова..................................................................................... 79

дного уравнения

приближению)

....................................................................................................126

характеристического полинома ........................................................................... 52

5.6. Матричные критерии устойчивости............................................................. 60

управления на основе построения критериальных матриц устойчивости

[]

для областей специального вида.......................................................................... 69

Глава 6.

Устойчивость линейных нестационарных уравнений состояния

6.1. Устойчивость линейных нестационарных уравнений специального вида

6.3. Условие ограниченности на полуоси решений неоднородного уравнения

.................................................................................................................................90

6.4. Достаточное условие асимптотической устойчивости однородного

уравнения ............................................................................................................... 90

6.5. Расщепление решений одноро объекта ........................... 92

6.6. Кинематически подобные уравнения......................................................... 115

6.7. Приводимые уравнения ............................................................................... 117

Глава .

Первый метод Ляпунова (устойчивость по линейному

198

7.1. Устойчивость положения равновесия автономной нелинейной системы

............................................................................................................................... 128

7.2. Устойчивость в “малом” неавтономных нелинейных систем................. 130

7.3. Структура решений автономной системы................................................. 133

7.4 Фазовое пространство и фазовая плоскость............................................... 137

7.5. Типы особых точек и фазовые портреты двумерных автономных систем

............................................................................................................................... 140

7.6. Общие особенности процессов в нелинейных системах ......................... 146

Глава 8.

Второй (прямой) метод Ляпунова................................................... 148

8.1. Возмущенное (приведенно ное уравнение, устойчивость

............................................................................................................................... 148

8.2 Знакопостоянн ....................... 150

8.4. Численное построение функ 159

решения

Техническая устойчивость ............................................ 179

Глава 9.

Частотный критерий абсолютной устойчивости нелинейных

систем (критерий В.М.По

...................................... 184

9.1. Понятие аб ................. 184

9.2. Критерий Попова для случая

е) дифференциаль

ые и знакоопределенные функции..............

.3.Теоремы Ляпунова ........................................................................................ 156

ций Ляпунова ...............................................

8.5. Построение области притяжения асимптотически устойчивого

................................................................................................................ 172

8.6. движения ............

пова)

................................

солютной устойчивости ..........................................

xkx

)Φ0 (

.......................................... 186

9.3. Критерий Попова для случая

(

)

xkxxk

...................................... 190

9.4. Устойчивость в "малом" и в "большом". Связь критерия Попова с

методами Ляпунова. Области применения....................................................... 192

Список рекоменду ..................... 192

емой литературы ............................................

199