Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
7.
ЕМ
Рассмотрим автономную двумерную стему (7.21). Пусть
5. ТИПЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК И ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТ
си
[]
T
aaa
21
- одно
=
из положений ее равновесия. Вектор
a
является
еше мы (7.23).
Линеаризованная система в ок
р
рестности точки
нием систе
a
, согласно
формуле (7.8), имеет вид:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
+=
121
2
ya
dy
+=
,
,
222
212111
1
ya
dt
yaya
dt
dy
(7.24)
де - отклонение (вг ариация) решения от
)2,1(, =−= kaxy
kkk
положения равновесия;
j
i
ij
x
af
a
∂
∂
=
)(
- элементы матрицы Якоби.
Решением однородной сис ми коэффициен-
тами (7.24) будут некоторые функции
темы с постоянны
времени
()
(
)
tyytyy
11
,
22
=
=
. (7.25)
Зависимости (7.24) определяют фазовую траекторию на плос-
кости .
ма (7.24)
имеет решение
21
, yy
Одна из фазовых траекторий легко находится: систе
()
(
)
0;0
21
≡
≡
tyty
и фазовую траекторию - точку (0,0). Эта точка будет единственной
я или положением равновесия системы (7.24).
Пусть корни характеристическо
точкой поко
го уравнения
[]
()
0det
=
λ
−
EA
,
где
,
различны.
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2221
1211
a
aa
A
a
140
Постоянную матрицу
[
]
A
с помощью невырожденной матри-
цы
[]
S
можно преобразовать к диагональному виду
[]
⎦⎣
λ
2
0
S
[][]
⎥
⎤
⎢
⎡
λ
=
−
1
1
0
SA
.
Положим
[
]
zSy
=
. (7.26)
24) станут независимыми: Тогда уравнения (7.
22
2
11
1
; z
dt
dz
z
dt
dz
λ=λ=
. (7.27)
т зависимости:
. (7.28)
траектории в новой системе координат
ейдем к фазовым траекториям в исходной сис-
)
.
Их решениями буду
Рассмотрим фазовые
()
21
, zz
, а затем пер
теме координат
(
1
y
Корни
21
,
tt
eСzeСz
21
2211
,
λλ
==
2
, y
λ
λ
- вещественные
Искл возведем их в
но
ючим из решений (7.28) время, для чего
2
λ
степень соответствен и
1
λ
t
eCz
21
22
λλ
λλ
=
;
t
ez
12
11
λλ
λλ
=
.
11
C
22
Разделив полученные выражения друг на друга, получим:
12
2
1
λ
1
3
2
,
λλ
λ
=⇒= zCC
z
. (7.29)
2
z
1
z
Пусть
12
λ
>
λ
. (7.30)
1. ЗНАКИ КОРНЕЙ
1
λ
И
2
λ
ОДИНАКОВЫ
С учетом (7.30) имеем
1
1
2
>
λ
λ
.
141
Фазовые траектории (7.29) являются параболами (рис. 7.7).
При этом направление движения изображающей точки по любой из
траекторий определяется уравнениями (7.28).
Если корни отрицательны, то имеем затухающие про-
цессы
),
которым соответ-
ствует рис. 7.7,а.
В этом случае
особая точка
O
называется точ-
кой типа “устой-
чивый узел”.
Если корни
положительные,
о п
точка называется точкой типа “
2. ЗНАКИ КОРНЕЙ
21
, λλ
(
0,
21
→yy
z
2
z
2
z
1
z
1
00
т роцессы рас-
ходящиеся (рис.
7.7,б) и особая
Рис. 7.7. Двумерны ктории типа "узла"
устойчивого (а) о (б) вида. Корни
вещественные и с одинаков наками
е фазовые трае
и неустойчивог
ыми з
а) б)
неустойчивый узел”.
O
λ
1
И
λ
2
РАЗЛ ИЧНЫ
В этом случае
λ
λ
21
0<
и фа
гиперболами (рис. 7.8), а особая
“седло”.
Седловая точка всегда неуст
На рис. 7.8 показан случай, когда
зовые траектории (7.29) являются
точка
O
называется точкой типа
ойчива.
()
∞
→>λ
22
0 z
,
(
)
00
11
→
<
λ
z
.
овые портреты линеаризованной
координат
21
, yy
. И
Отобразим полученные фаз
системы на плоскость исходных спользуем тот
факт, что оси координат , являющиеся азовыми траек-
ториями, при линейном преобразовании прямыми. Их
отображение на плоскость принимает
21
, zz
1
,y
сами
останутся
вид
ф
2
y
12
yky
=
. Подста-
вив это соотношение в (7.24), получим:
kaa
kaa
k
1211
2221
+
+
=
или
(
)
0
212211
2
12
=−−+ akaaka
.
142
Отсюда находим два значения
(
)
21
и kkk
. Это дает две пря-
моугольные фазовые траектории на плоскости
21
, yy
(рис. 7.9)
2
.
На рис. 7.9 дано расположе-
ние оста
траекторий
Переходный процесс прой-
дет по той раектории, на которой
будет находиться начальное по-
ложение из
льных (криволинейных)
.
т
ображающей точки
(
)
tM
0
На рис. 7.10 показан в ис-
х х координатах ф й
.
а
одны азовы
портрет траекторий с особой точ-
кой тип “седло”.
2
На рис. 7.9
k
означает не угол, а тангенс его.
z
2
z
1
0
Рис. 7.8.
соответственно устойчивы и
12
Двумерные фазовые
траектории типа "седла”, у
которых переменные z, z
неустойчивы. Корни и
вещественные с разными знаками
λλ
12
-
0
k
1
k
2
Mt
()
0
y
1
тории типа
исходных
координатах
y
2
Рис. 7.9. Фазовые траек
устойчивого “узл ” ва
0
k
1
k
2
y
2
y
1
Рис. 7. Фаз
исходн ах (се
10. овые траектории типа “седла” в
ых координат дловая точка всегда
неустойчива)
143
Корни
21
,
λ
λ
- комплексные
Переходный процесс - колебательный.
Пусть
β
±
α
=
λ
2,1
. (7.31)
Решения (7.28) принимают вид:
,
()
tjteCz
t
β+β=
α
sincos
11
(
)
tjteCz
t
β−β=
α
sincos
22
,
где
γ
−
γ
===
jj
eACCeAC
121
;
,
γ
,
A
- произвольные вещественные постоянные.
Вводя новые переменные с помощью подстановки
22211
; jwwzjwwz
1
−
=
+=
,
получим решения в вещественной форме:
()
γ+β=
α
teAw
t
cos
1
,
(
)
γ+β=
α
teAw
t
sin
2
.
Перейдем к полярным координатам при записи полученных
решений:
t
Aewwr
α
=+=
2
2
2
1
; (7.32)
()
γ+β==ϕ ttg
w
w
tg
1
2
,
или
K,21,0,
±
±
=
π
+
γ
+β=ϕ
k
k
t
(7.33)
Эти выражения описывают логарифмическую спираль, пока-
занную на рис. 7.11, а для случая
0
<
α
и на рис.7.11,б - для .
ый фокус”.
В частном случае, когда
0>α
В случае комплексных корней с отрицательной вещественной
частью (
0<α
) (рис.7.11,а) особая точка
O
называется точкой типа
“устойчив
В случае комплексных корней с положительной вещественной
частью (
0>α
) (рис. 7.11,б) имеем особую точку
O
типа “неус-
тойчивый фокус”.
0
=
α
, в (7.31) имеем чисто мнимые
корни
β
±
=
λ j
2,1
.
144
На плоскости
21
,ww
имеем в полярных координатах из (7.32)
const
=
=
A
r
.
ужностей (рис.7.12). Фазовые траектории имеют вид окр
При переходе к исходным п
совидные траектории (рис.7.13),
еременным
21
, yy
получим эллип-
соответствующие периодическому
процессу.
Особую точку
O
называют в этом случае точкой типа
“центр”. Динамические системы, имеющие особую точку типа
“центр“, называются консервативными.
0
0
w
2
1
w
r
w
2
а)
б)
w
1
ϕ
Рис.7.11. Фазовые траектории типа устойчивого (а) и
неустойчивого (б) фокуса. Корни и - комплексные
λλ
12
0
w
2
w
1
y
2
0
y
1
Рис. 7.13. Фазовые траектории
типа "центр" в исходных
координатах
Рис. 7.12. Фазовые траектории
типа "центр". Корни и -
мнимые
λλ
12
145
7.6. ОБЩИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
щих состоянию равновесия.
о, фокус, центр. На рис. 7.14
две особых точки (2 и 3) ти-
их области с разными типа-
называются сепаратриса-
ена жирной линией.
, являющихся предельными
ие двух предельных циклов
данном случае внешний), дру-
(рис. 7.15) типа фокус для
него цикла является неус-
ивой, для внутреннего - ус-
, называется автоколебани-
периодического воздей-
, причем амплитуда и час-
автоколебаний не зависят
начальных условий, а опреде-
внутренними свойствами
нелинейной системы. Автоколе-
бания могут возникать только в нелинейных системах.
Физическое содержание неустойчивого предельного цикла
(замкнутая кривая 2 на рис. 7.15) другое. Он представляет границу
областей начальных условий.
При начальных условиях , находящихся внутри неус-
тойчивого цикла, получаем затухающий переходный процесс.
1.
Наличие особых точек, соответствую
Эти точки носят название: узел, седл
имеем особую точку 1 типа центр и
па седло.
2.
Наличие особых кривых, разделяющ
ми фазовых траекторий. Эти кривые
ми. На рис. 7.14 сепаратриса изображ
3.
Наличие замкнутых особых кривых
циклами (рис. 7.3). Возможно налич
(рис. 7.15): один - устойчивый (в
гой - неустойчивый. Особая точка О
внеш
тойч
тойчивой.
Периодическое движение,
соответствующее устойчивому
x
2
2
циклу
внешнего
ствия
тота
от
ляются
ем. Автоколебания - это собст-
венный периодический процесс,
происходящий при отсутствии
x
1
1
3
Рис.7.14. Двухмерные фазовые
траектории с особыми точками типа
"центр" (1) и "седло" (2,3)
2010
, yy
146
147
При начальных у хся вне этого цикла,
имеем расходящийся процесс.
Следовательно
стояние
внутри неустойчивого цикла, устой-
иво
большом".
Важно
ли
зн
го процесса. Так, применительно к
ис.
ениях, заходящих за пределы
внутреннего неустойчивого цикла,
истема выходит на установившийс
сткое" возбуждение автоколебаний, для выхода
а которые необходимо "забросить"
внутреннего цикла).
еет место "мягкое" возбуждение
словиях, располагающи
, равновесное со-
особой точки О, находящейся
y
2
ч при небольших начальных от-
клонениях и неустойчиво при боль-
ших отклонениях. Говорят: система
устойчива "в малом" и неустойчива "в
также отметить, что, в от-
чие от линейных систем, начальные
ачения влияют на тип динамическо-
р 7.15 при больших начальных от-
клон
с я автоколебательный режим
(говорят, имеем "же
н начальные значения за преде-
лы
Если имеем один устойчивый предельный цикл (рис. 7.3,а), то
возникновение автоколебаний возможно при любых начальных ус-
ловиях. В этом случае, говорят, им
автоколебаний.
0
1
2
y
1
Рис.7.15. Фазовые траектории с
(2) циклами) и особой точкой типа
"фокус“ (0)
особыми кривыми (с предельными
устойчивыми (1) и неустойчивыми
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
) МЕТОД ЛЯПУНОВА
етод Ляпунова позволяет исследовать
ых дифференциальных уравнений,
авнений.
ВТОРОЙ (ПРЯМОЙ
Второй, или прямой, м
устойчивость решений нелинейн
не производя решения самих ур
8.1. ВОЗМУЩЕННОЕ (ПРИВЕДЕННОЕ)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ
Исходное нелинейное дифференциальное уравнение имеет
вид
()
xtf
xd
,=
. (8.
dt
1)
Пусть его решение
(
)
t
η
=
η
(8.2)
описывает некоторый установившийся работы истемы.
Этот процесс (решение (8.
дифференциальной си ы
Обозначим через
процесс с
2)) считают невозмущенным движением
стем (8.1).
)(
t
y
отклонение решения уравнения (8.1) от
ения невозмущенного движ
()
tη
:
()
(
)
(
)
ttxty
η
−
=
. (8.3)
Так как
()
η= ,tf
dt
,
ηd
то после подстановки (8.3) в (8.1 чим уравнение возмущенно-) полу
го движения в отклонениях
()
ytF
yd
=
dt
,
, (8.4)
где
() ()()
η−η+= ,,, tfytfytF
.
148
Причем очевидно
()
00, ≡tF
.
Следовательно, решение
0≡y
вуе
системы (8.4) соответст-
ной системы (8.1) (рис. 8.1)
Систему (8.4) называют
ой
движения в отклонениях.
ормулируется следую-
уравнению (8.4)).
.
Невозмущенное движение
т решению
()
tη=η
исход-
.
приведенной или чаще систе-
м уравнений возмущенного
Понятие устойчивости по Ляпунову ф
щим образом (применительно к приведенному
1
0
=
y
называется устойчивым, если
при заданном
0>ε
(рис. 8.2), сколь бы оно мало не было, суще-
ствует такое
0>
δ
, завис ящее от
ε
и
меньшее
ε
, чт начальных условиях о ри п
(
)
δ
<
0
ty
справедливо неравенство
(
)
ε
<
ty
при
∞≤≤ tt
.
0
Фазовая траектория устойчивого реше-
внутри сферы радиуса
ния уравнения (8.4), начинаясь из точки
δ
, не выйдет из сферы
радиуса
ε
.
2.
Если имеем (в условиях определения 1)
(
)
0→ty
при
∞
→
t
,
то невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым.
.
Ес3 ли же
(
)
0→ty
при
∞
→
t
при любых начальных отклонениях, то система называется асим-
птотически устойчивой в целом.
0
t
0
t
y
0
t
0
t
x
а
)
б
)
ηη=()
t
Рис.8.1. Решение уравнения состояния (8.1):
- невозмущенное движение;
мущенное движение в отклонениях
а
б - невоз
y,...y
3
n
Mt
()
t
δ
ε
0
0
y
2
y
1
Рис. 8.2. К определению
у чивости по Ляпуновустой
149