Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

4. Если система асимптотически устойчива целом при любом

ленного класса нели-

нейностей), то она называется абсолютно устойчивой.

характере нелинейности (в пределах опреде

8.2 ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ И ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ

ФУНКЦИИ

Рассмотрим скалярную функцию

()

(

)

ytVyyytVV

,,,,

= K

определенную и непрерывную в области

Hyta

∞

<< ,

(8.5)

в этой области непрерывными частными производ-

ными по и обращающуюся в нуль при

и обладающую

yyyt ,,,,

0=y

(

)

00,

= tVV

Функци этого вида используется при анализе устойчивости

неавтономных уравнений типа (8.4).

Рассматриваемая функция может не

зависеть явно от времени

()

yVV =

(

)

Она используется при анализе устойчивости автономных уравне-

ний.

Рассмотрим некоторые определения.

Ес

1 ли в области

функция

сохраняет один и тот же знак, но

обращается в нуль не только в начале координат, то такая функ-

ция называется знакопостоянной или знакополуопределенной

(положительной или отрицательной).

Например, функция

()

(

)

yyV +=

yV =

является знакоположительной или полуопределенно положитель-

ной, т.к. она обращается в нуль на прямой

−

()

2. Функция называется определенно положительной (строго

положительной) в области , если

150

()

0>yV

при

(

)

(

)

000

≠

Такая функция, например, может иметь вид

(

)

yayayayVV ++==

Функция

(

)

называется определенно отриц

от ти

ательной (строго 3

рицательной) в облас если функция -

()

является оп-

ределенно положительной.

()

ytV ,

4. Функция называется определенно положительной в об-

ласти , если существует определенно

ржа я времени функция

ща

положительная, не со-

(

)

де такая, что будет выполняться

неравенство

(

)

(

)

yVytV

, ≥

Пример:

()

yyytV ,

++=

(

)

yyyyyV −+=tyy sin

212

;

Функция

()

yt,

называется определенно отрицательной, если

функция

()

ytV ,−

является определенно положительной. Опре-

деленно положительные или определенно отрицательные функ-

ции называются знакоопределенными.

Если функция

()

ytV ,

в любой окрестности нач

может принимать значения разных знаков, то она называется

знакопеременной. Например,

ала координат 6

(

)

tyyytV sin,

Рассмотренные функции

от к наоорди т состояния системы,

В общем случае суждение о знакопостоянстве или знакоопре-

обращающиеся в нуль в начале координат, играют важную роль в

теоремах Ляпунова об устойчивости движения и называется функ-

циями Ляпунова.

деленности функций

(

)

ytV ,

или

(

)

представляет собой сложную

задачу.

Достаточно просто знакоопределенност находится в том слу-

чае, если функции Ляпунова представляют квадратичные формы:

151

()

[]

∑

jiij

yycyCyyV

, (8.6

)

() ()

[]

()

∑

jiij

yytcytCyytV

. (8.7)

Если коэффициенты

()

квадратичной формы ограничены

при

tt ≥

, то она удовлетворяет

t≥

неравенству

при

(

)

yyytVyy

, λ≤≤λ

, .8

(8 )

де

const,

1 2

рма (8.7) с огра

фициентами положительной

Квадратичная фо ниченными при коэф-

будет определенно , если удовлетворя-

м Сильв с

tt ≥

ет условия е тра:

(

)

[

]

t–

Все главные

диагональные миноры матрицы строго поло-

жительны

()

(

)

(

)

() ()

()

() ()

;00

1211

111

>α

>α≥>α≥

tctc

(8.9)

остаточны для определенной по-

;

111

≥

nnn

tctc

Эти условия необходимы и д

(

)

ytV ,

ложительности квадратичной форм .

.9) существует определенно по-

При выполнении условий (8

ложительная, не зависящая от времени квадратичная форм

()

[

]

yCyyV

такая, что при

tt ≥

справедливо неравенство

()

(

)

α≥

yVytV ≥,

Главным диагональным минором порядка

матрицы

[

]

)(tC называется ми

нор, составленный из первых

k строк и первых k столбцов матрицы

[]

)(tC

152

где .

чивости рассматривается поведение функций

0>α

В теории устой

(

)

(

)

tytV ,

г де

()

- решение системы дифференциальных уравнений в от-

клонениях (8.4). На основании свойств этих функций делаются за-

лючения о поведении решений системы (8.4). к Именно при такой

(

)

ytV ,

трактовке аргумента функции она и будет называться

цией Ляпунова.

Рассмотрим

функ-

геометрическую иллюстрацию функции

(

)

ytV ,

Пусть

(

)

ytV ,

- положительно определенная ( положи-

тельная) функция, такая, что

строго

() ()

yVytV

, ≥

, (8.10)

где

()

> 0

при

≠

Предположим, что поверхности

ня

()

уров

() (

≥> ccyV

в пространстве пред-

ставляют собой семейство не-

прерывных замкнутых поверхно-

тей,

динат О и монотонно расши-

, на рис. 8.3 они показаны

огда, очев

,...

)

yy ,,

с окружающих начало коор-

ряющихся при росте параметра с.

Будучи вложенными в друг

друга

пунктиром. Т идно, каждая поверхность уровня

(

)

, cytV

для любого значения времени t будет целиком располагаться внут-

ри соответствующей поверхности

(

)

cyV

Здесь нужно иметь в виду, что при одинаковых значениях

вы-

еравен во (8.10), поэтому для обеспечения равенства полняется н ст

V( )=c

V(t, )=cy

V( )=c

ис.8.3. Вложенные др

г в др

га

хности уровня строго

ложительных функций Ляпунова

повер

по

153

()

(

)

, yVytV

необходимо иметь

≤

Пусть имеется автономная нелинейная система

()

niyyyF

,,2,1,,

KK ==

. (8.11)

Производная по времени от знаковой функции

будет иметь вид

()

yyyV K

∂

В силу уравнений системы (8.11) получим

∂

()

)(

yFgradVF

VdV

⋅=

∂

yyydt

∂

= K

, (8.12)

где

⎥

⎥⎢

⎦

⎤

⎢

⎡

∂

⎢

⎣

∂

=gradV

- вект

ор.

производная

Формула (8.12) показывает, что

представля-

ет скалярное произведение вектора

grad

на вектор фазовой ско-

рости

()

изображающей точки

в фазовом пространстве (рис.

.4).

Вектор

(

)

yVgrad

перпендикулярен поверхности

()

cyV =

вознаправлен в сторону растания значения

. В точке

, где фа-

ктория пересекает поверхностьзовая трае в возрас-

тания

уровня сторону

()

, скалярное произведение векторов (8.12) положительно

(скалярное произведение равно произведению модулей векторов на

косинус угла между ними). Следовательно, этой траекто-

рии имеем

точки для

154

В точке

фазовая траектория пересекает поверхность уров-

ня в сторону уменьшения

(

)

ведение (8.12) отрицательно (уг

торами тупой Следовательно, в

Видим, что здесь скалярное произ-

ол между рассматриваемыми век-

этой точке имеем ).

0<dtdV

Функция Ляпунова

(

)

ytV ,

будет иметь производную по -

мени в силу неавтономной системы

ем

вре

(8.4), определяемую выражени-

()

),( ytFradV ⋅g

∂

Так же как и для автономной сис если

. (8.13)

темы,

при

(

)

(

)

0, >

ccyt

то фазовая траектория

(

)

в точках

поверхности

()

cytV

пе-

ресекает ее (без касания, скольжения вдоль ее) в направлении роста

()

yt,V

При

dtdV

фазовая траектория

()

при росте t пересекает поверхность уровня

()

cytV =,

в сторону уменьшения с [16].

,...

grad V

Рис.8.4. Скалярное произведение векторов

ешения а

нелинейной системы (8.11):

()- вектор фазовой скорости;

grad V - векто градиента функции Ляпунова

()

в точках и

фазовой траектории р втономной

yFVgrad

=⋅

))((

)0(

155

8.3.ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА

ПЕРВАЯ ТЕО ОВА (ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ)

(8.4) сущест-

кция

РЕМА ЛЯПУН

Если для неавтономной системы в отклонениях

вует определенно положительная фун

(

)

ytV ,

, производная

которой в силу системы

()

ytW

является знако ца

отри тельной функцией, то решение системы

0=y

устойчиво.

метрическая иллюстрация

дается на рис.8.5.

Гео

этой теоремы

При

(

)

0, >yt

(

)

0, ≤ytW

рхн

(если

соответствии с предыдущим, фа-

пере

ости у трь,

поверхности

зовая траектория секает по-

ве ровня извне вовну

или скользит по этой

). Поэтому решение

(

)

остается ограниченным. (Речь

а не

иво-

име

нова ости

идет просто об устойчивости,

об асимптотической устойч

сти).

Аналогичную формулировку

ет теорема и применительно к

автономным системам.

Теорема Ляпу дает достаточные условия устойчив

решения

0=y

нелинейной системы. Поэтому система может быть

устойчивой и за предел х условий. Насколько полно условия

теоремы охватят действительную область устойчивости системы

зави от выбора функции Ляпунова.

Рассмотрим решение

ами эти

сит

(

)

tyy

с начальным условием

()

δ<

. 8.6). тория этого решения

(рис Согласно теореме траек

,...,

ccc

123

()

Vt c

(, )=

Рис.8.5. Фазовая

усто

уравне

извне

траектория

йчивого решения неавтономного

ния состояния (8.4) пересекает

поверхность уровня V(t, )=c или

скользит по ней

156

должна остаться целиком внутри сферы радиуса

δ>ε

(для фикси-

рованного

0>ε

существует вполне определенное

, т.е.

(

)

=δ

)

()

ε<ty

при

∞

≤

. (8

.14)

При наличии условий первой тео-

ремы Ляпунова все решения

Следствие 1

Рис.8.6. ог о

ой ре и

началь

(

)

систе-

начальными значениями

мы (8.4) с достаточно малыми по норме

(

)

нечно продолжаемы вправо

ы на

Следствие 2

беско-

и ограниче-

Сферы

чивого)

ного отк

раниченног

шения

лонения >0

ε>0

н полуоси

[

)

∞,

(уст

Если для линейной однородной системы

()

[]

ytA

15) (8.

существует определенно положительная функция

()

ytV ,

, для кото-

р роизво ная в силу системы ой п д

(

)

≤

ytW

, то все решения

(

)

(8.15) определены и ограничены на полуоси

[

)

∞,

системы

(ТЕОРЕМА ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ

Пусть для системы (8.4) существует -

)

положи

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА

УСТОЙЧИВОСТИ

определенно

(

тельная функция

)

, имеющая определе трицательную

производную по врем

ytV ,

нн

ени

о о

(

)

0ytW

в силу этой систем гда

решение системы

ы. То

0=y

устойчивым

Услови

будет асимптотически

я этой теоремы отличаются от

ем,

предыдущейусловий

т что производная

(

)

ytW ,

является трицательной, а

определенно отриц функцией. Поэтому фазовая траекто-

рия

не знак

ательной

оо

()

, пересекая поверхности уровня

const

извне внутрь, не

157

может остаться на них, пой лоть до начала координат,

де

дет внутрь вп

()

00, =tV

. Следователь еем г

но, им

()

0→ty

при

∞

→

Эта и первая условия устой-

чивости, и охвата ой области устойчивости

и Ляп

, дает достаточные

действительн

теорема, как

полнота

зависит от выбора функци унова

(

)

ytV ,

Следствие 1

В теоремы множество условиях второй Ляпунова

∞

≤

Hhy

принадлежит области притяжения решения

Следствие 2

Если однородной системы для линейной

()

[]

ytA

существует определенно положительная функция

),( y

, удов

яющая условиям второй теоремы Ляпунова, то каждое реш

й системы асимптотически устойчиво в целом.

ле-

твор е-

ние это

Пусть системы уравнений (8.4) существует функция

ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА (ТЕОРЕМА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ)

для

()

ytV

производной

, определенно-знаковойобладающая

()

ytW ,

силу системы.

Если в любой сколь угодно малой окрестности начала коорди-

нат

(

)

Hhy

≤

Δ<

найдется точка

()

, yt

, для которой знак

(

)

ytV ,

совпадает со

()

ytW

знаком производной

, то решение системы

0=y

не-

устойчиво.

158

(

)

0, >ytV

Допустим для определенности, что , тогда

ой точке имеем

в некото-

()

0, >ytW

, т.е. в этой точке, в со

улой (8

ответствии с

форм .12), фазовая скорость направлена от начала коорди-

нат. Система расходится.

Замечание 1

В третьей теореме функция

(

)

ytV ,

не обязательно является

определенно-знаковой.

Замечание 2

Функции Ляпунова

(

)

ytV ,

, удовлетворяющие условиям пер-

вой, второй и третьей теорем Ляпунова, будем называть соответ-

ственно функциями Ляпунова 1-го, 2-го и 3-го рода.

Если для системы дифференциальных уравнений (8.4) суще-

функция Ляпунова 1-го, или 2-го, или 3-

той системы

Следствие

ствует го рода, то решение

0=y

соответственно устойчиво

пунову при

, неустойчиво по Ля-

∞→

ВА

ЛЯПУНОВА С ПОМОЩЬЮ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

Имеем исходную систему нелинейных дифференциальных

8.4. ЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНО

8.4.1. ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ

НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

уравнений в отклонениях

() ()

00,;, == tFytF

, (8.16)

в области

которая имеет

0, ≥

tHy

асимптотически устойчивое решение.

Пусть известно решение системы (8.16) в форме Коши

159