Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

Теорем а 7.2

Если хотя бы одно собственное значение

()

,,2,1 K=

матрицы

[]

квазилинейного уравнения (7.8)

ельной вещественной частью, то

обладает положи-

т положение равновесия

неустойчиво.

Теорема 7.3

Если среди собственных значений матрицы

[

]

квазилинейно-

го уравнения (7.8) имеется нулевое значение

(

)

или два чисто

мнимых значения

(

)

ω±=

, а остальные значения

имеют отрицательные вещественные ст устойчивости

положения равновесия

собственные

об

ча и, то

нельзя судить линейному уравне-

ного слагаемого

по

нию без учета малого нел еин й

(

)

значений матрицы

[

он не представляет ин-

Этот случай расположения собственных

называют критическим. Для практики

указан-

с начений. твенные зна-

должны находиться на достаточно большом асстоянии от

границы устойчивости (большем некоторой величины , называе-

запасом у

7.2. УСТОЙЧИВОСТЬ В “МАЛОМ” НЕАВТОНОМНЫХ

Рассмотрим неавтономную систему

]

ых

чения

тереса, так как соответствует граничному расположению

н обственных з В реальных системах собс

мой стойчивости).

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

()

txf

. (7.10)

Будем предполагать, что вектор-функция

(

)

txf ,

дважды не-

прерывно дифференцируема в некоторой области:

Hxt

≥ ;0

Пусть

()

tx η=

- некоторое решение системы (7.10), удовле-

творяющее условию

130

(

)

при

0≥

удем полагать это решение невозмущенн

Положим

Б ым движением системы

(7.10).

−

- отклонение решения от возмущенного движения. Тогда из (7.10)

имеем:

(7.11)

()

ytf

dyd

+η=

dtdt

+ ,

Принимая во внимание, что

()

η=

,tf

получим для отклонения

()()

η−+η= ,, tfytf

. (7.12)

вая Расклады

()

ytf +η,

в ряд Тейлора, запишем:

()

(

)

(

)

(

)

ytgytftfytf

,,,, +η

′

+η=+η

()

−ytg ,

где остаточный член;

()

′

∂

,tf

- матриц с элементами

η,tf∂

а Якоби

)(tx

η=

∂

Следовательно, уравнение (7.12) можно переписать

∂

в таком виде

()

[]

()

ytgytf

,, +η

′

(7.13)

()

где

0,lim

→

ytg

Квазилинейное уравнение (7.13) называют первой вариацией

неавтономной системы (7.10) отн льосите но невозмущенного реше-

ния

()

tη=η

, или уравнением неавтономной системы в вариациях,

или линеаризованным неавтономным уравнением.

Если обозначим

(

)

(

)

(

)

[

]

tAttf

=η

′

131

то

уравнение (7.13) запишется так:

()

][

(

yyt

)

. (7.14)

(

)

Невозмущенное решение системы (7.10) называется

симптотически устойчивым, если

удет решение для отклонения

а асимптотически устойчивым

(

)

решен Асимптотическая устойчивость ия

(

)

означает,

что если величина

()

(

)

(

)

000

−

достаточно мала, то

(

)

(

)

0lim

−

∞→t

то есть точки фазовой траектории возмущенного решения

()

при

∞→

неограниченно сбл ами фазовой траектории ижаются с точк

невозмущенного решения

()

tη

Устойчивость траектории называют также орбитальной ус-

тойчивостью.

положим теперь, что правая часть уравнения (7.10) пе-

риодична во времени

Пред

()

(

)

txfTtxf ,, =−

где

- период.

Невозмущенное решение

(

)

также периодично и имеет

ериод

п . Тогда уравнение в вариация

ную систему с периодическими коэффициентами.

Если все характеристические уравнения в ва-

риациях для данного период ения

х (7.14) представляет линей-

Теорема 7.4 (Ляпунова)

показатели

ического реш

(

)

имеют отрица-

ки усто

тельные вещественные части, то это периодическое решение

асимптотичес йчиво при

∞

→

132

7.3. СТРУКТУРА РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ

Лемма 7.1

Если автономная система

)(xf

(7.15)

допускает невозмущенное решение

(

)

, не являющееся тож-

дественной постоянной (точкой равновесия), т.е.

0)( ≠η

•

, то

)(ty

•

η=

(7.16)

является решением ее уравнения в вариациях.

Доказательство

Дифференцируя по t тождество

))(()( tft η=η

•

получим:

)())(()( ttft

•

ηη

′

=η

или, с учетом (7.16), имеем:

)(η=

′

. (7.17)

Сравнивая (7.17) с (7.13), убеждаемся в справедливости лем-

мы.

Лемма 7.2

Если автономная система (7.15) допускает - периодиче-

ское решение

()

tx η=

, то для соответствующего уравнения в ва-

иях

риац

)(η

′

, (7.18)

133

представляющего собой л иодическую систему, по

оди

инейную пер

меньшей мере н из ее мультипликаторов

, т.е., по меньшей

мере, один из характеристических показателей системы (7.18) яв-

ляется нулевым.

Доказательство

С огласно лемме 7.1,

- периодическим решением уравнения

в отклонениях (в вариациях) будет зависимость

0≠

(производная от периодического решения будет также периодиче-

ласно замечанию 3.1 (глава 3) перио-

(7.18) будет иметь, по крайней мере,

один мультипликатор . Тогда соответствующий ему характе-

ен нулю

ской функцией). Поэтому сог

дическая однородная истема с

1=ρ

ристический показатель будет рав

01ln

=ρ=λ =

7.5

.15) допускает

Теорема

Пусть автономная система (7 - периодиче-

ское решение

()

tη

, не являющееся тождественной постоянной

)0( ≠

, причем уравнение в ва

ния имеет один простой нулевой характеристический показатель,

а остальные - с отрицательными действительны

риациях (7.18) этого реше-

м частями. То-

да п

для

г ериодическое решение

(

)

tη

асимптотически орбитально ус-

тойчиво при

∞→

Если

()

−

)0(0x

где дос

Δ>0

таточно малое число, то (см. рис. 7.1)

(

)

(

)

lim 0

−

∞→

ttx

Следующая теорема [41] посвящена классификации ений

автономной системы

реш

(7.15).

134

Тео

Решение

рема 7.6

()

автономной системы (7.15) может быть толь-

ко одного из с иледующ х трех типов:

а) непериодическое, для которого

(

)

(

)

≠

при

≠

()

- гладкая кривая без

б) периодическое, для кото тся такое постоянное

самопересечений;

рого найде

(период), что

()()

txTtx ≡

, а

(

)

(

)

xtx

≠

Ttt <<

при .

Имеем замкнутую гладкую кривую (цикл);

в) постоянное, для которого

()

atx ≡

без самопересече-

Отметим, что траектория, о

личная от точки покоя, представ

(

)

(0)

зовая траектория - точка. Фа

Траектории, отвечающие ре-

шениям указанных типов, называ-

ются соответственно незамкнутой

(траектория

(0)

()

ний), замкнутой и точкой покоя.

Замкнутая траектория иначе

называется циклом.

Рис. 7.1. Периодическое решение

асимптотически орбитально

устойчиво

т-

ляет собой ориентированную линию, т.е. линию, вдоль которой

указано направление, принятое за положительное.

Отметим также, что точка покоя

называется устойчивой

оот (с ветственно асимптотически устойчивой, неустойчивой), если

решение

()

atx

≡

системы (7.15) является устойчивым (асимптоти-

чески устойчивым, неустойчивым) (см. тео ему 7.1). р

Предельное поведение траекторий

Рассмотрим какое-либо решение

(

)

системы (7.15) и соот-

ветствующую траекторию l.

Точка называется предельной точкой решения

(

)

∗

(или

траектории l) при

∞→

, если существует последовательность

135

моментов

+∞→

, такая, что

(

)

∗

→ xtx

. Совокупность всех таких

точек называется предельным множеством для рассматриваемого

решения при

+∞→

Траектория l спиралевидно при-

к циклу l

(рис. 7.2). Нетруд-

видеть, что этот цикл и служит пре-

множеством для l при

ближается

но

дельным

+∞→

точек Для

(

)

(

) ()

txatx =atxa

имеем

(

)

∗

= x

∞→

= txa

lim

Замкнутая траектория является

своим предельным множеством присобственным

∞

→

Предельное замкнуто как точечное множество в n -

ме

Рассмотрим некоторые свойства предельных множеств.

множество

рном пространстве (т.е. содержит все свои предельные точ-

ки).

Для того чтобы предельное множество было пустым, необхо-

димо и достаточно, чтобы линия

(

)

при

∞→

уходила в бес-

конечность, т.е. чтобы

()

∞

→tx

при

∞

→

Для того предельное множество состояло из единствен-

ной точки

чтобы

∗

, необходимо и достаточно, чтобы траекто-

рия

()

входила в эту точку при

t →

∞

аектория (цикл) называется устойчивой, если

траектории ающиеся снаружи или внутри цикла, спирале-

видно приб

Замкнутая тр

, начин

лижаются к циклу (рис. 7.3, а).

Если траектории (внутренние и наружные) удаляются от цик-

ла, то имеем неустойчивый цикл (рис. 7.3, б).

Рис. 7.2. l - предельное

множество траектории l

136

или внутри) траекто-

р дятся, то имеем полуустойчи-

Если на одной стороне цикла (снаружи

ии устойчивые, а на другой - расхо

ый ц

О И ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ

еаризации, описываются линейными

двух (реже - нескольких) существен-

но нелинейных звеньев этой системы составляются нелинейные

уравнения (или используются нелинейные характеристики). В об-

щем случае в векторной запис

уравнения имеют вид:

в икл.

а) б)

в)

Рис. 7.3. Замкн

тые траектории (циклы)

стойчивого (а), не

стойчивого (б)

и по уустойчивого (в) типал

7.4 ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВ

При составлении уравнений динамики нелинейной системы

се з нв венья, поддающиеся ли

уравнениями. Для одного или

и нелинейные дифференциальные

() ())

tgg

, (7.19)

(

txf

,,=

где

[]

xxxx

K21

- координат

ы состояния системы;

() ()

tgtg

вз

- соответствен возмущающие воз-

действия.

При рассмотрении переход

нат

но задающие и

ных процессов, вызванных началь-

твия ными отклонениями коорди (внешние воздейс

()

(

)

з в

с постоянными (т.е. для

тационарных систем) уравнения (7.19) примут ф

отсутствуют) и для систем параметрами

с орму

137

()

. (7.20)

стем широко используется

м образуют координаты со-

Для исследования нелинейных си

етод фазового пространства, которое

системы в момент изобра-

жается точкой координа-

стояния системы

xxx ,,,

В этом пространстве

(рис.7.4) начальное состояние

tt =

()

тами

()

, а процесс во времени,

.е. решение уравнения (7.20)

ая времени t, называ-

ется изображающей точкой.

Значение правой части

() () ()

txtxtx

,,,

изобразится в виде некоторой

кривой, которая называется фа-

зовой траекторией системы.

Текущая точка М на ней, соответствующ

()

,,2,1 K==

формуле (7.20) является анало-

скорости

изображающей

в механической системе.

Картина, которую образуют

фазовых траекторий,

название: фазовый портрет

(7.20).

Для двумерных систем

гом

точки

несколько

носит

системы

(

)

лагается

фазовая траектория распо-

на плоскости (рис.7.5).

Уравнения (7.20)

принимают вид

для

() ()

212

211

,,, xxf

xxf

. (7.21)

()

равнения

x ,...,x

Рис. 7.4. Фазовая траектория у

состояния

()

Рис. 7.5. Фазовая траектория

двумерного уравнения состояния (7.20)

()

138

ся

из (7.21) пу

Дифференциальное уравнение фазовой траектории получает

тем исключения времени t:

(

)

()

211

212

, xxfdx

. (7.22)

Точки равновесного состояния системы определяются нуле-

выми значениями скорости

, xxfdx

0,0

Поэтому в этих точках имеем

()

,0,

211

xxf

(

)

212

xxf 0

, (7.23)

что создает неопределенность правой части уравнения (7.22). Сле

тельно, решения уравнен

(7.21) ками на фазовой плоскости.

Наряду с обычным изображением решения системы (7.20)

применяют

дова ий (7.23) - точки равновесия системы

- являются особыми точ

()

также изображение в виде

()

В колебательный процесс этом случае, например, затухающий

.(рис 7.6, а) изобразится в виде сходящейся спиралевидной кривой

(рис.7.6, б).

Рис. 7.6. Способы изображения координатных составляющих решения уравнения

состояния (7.20)

139