Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Теорема 6.15
Если:
все
()
xt
1) решения системы (6.126) ограничены в промежутке
)
∞,
0
t
,
2)
интеграл от следа матрицы этой системы ограничен снизу
()
[]
t
где а - постоянная, то система (6.126) с помощью преобразова-
ия Ляпунова может быть преобразован
матрицей [16].
едствие
Если матрица однородной линейной системы (6.126)
абсолютно интегрируема, т.е.
[
−∞>≥
,
∫
adASp
t
ττ
0
н а в систему с нулевой
Сл
()
[]
tA
()
[]
∞<=
∫
∞
kdA
ττ
t
0
,
то эта система приводим левой матрицей.
Рассмотрим линейную дифференциальную систему
а к системе с ну
6.7.3. ПРАВИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
()
[]
xtA
dt
xd
=
(6.129)
с ограниченной действитель вной матрицей .
сумма характеристических показателей (с учетом их кратностей
) независимых решений системы (6.129), входящих в некоторую
ее фундаментальную систему, причем
()
[]
tA
ной непреры
Пусть
m
∑
=
=
k
kk
n
1
ασ
(6.130)
k
n
120
k
k
x α=χ ][
.
Определение
Действительная линейная система (6.129) называется пра-
вильной по Ляпунову, если сумма характеристических показателей
ее -
цы
совпадает с нижним пределом среднего значения следа матри
системы, т.е. если имеет место равенство
s
=
σ
, (6.131)
где
()
[]
ττ=
∫
∞→
dASp
t
s
t
t
t
0
1
lim
. (6.132)
В стационарной системе
,
где
[]
∑
μ
=
α=
1k
kk
nASp
- собственные значения матрицы
[
]
A
k
λ
,
n nnn =
+
+
μ
K
21
.
Замечание 6.3
Если матрица ловие правильности
()
]
tA
- комплексная, то ус
[
линейной системы записывается следующим образом:
()
[]
ττσ
dASp
t
t
t
t
∫
∞→
=
0
Re
1
lim
.
Лемма 6.2
Линейная дифференциальная система (6.129) является пра-
о тогд
ред
цы с
вильной тогда и тольк а, когда:
1)
существует п ел среднего значения вещественной части
следа матри истемы
()
[]
ττ=
∫
∞→
dASp
t
s
t
t
t
0
Re
1
lim
.
121
s
=
σ
2) выполнено равенство Ляпунова .
Теорема 6.16
Всякая приводимая линейная дифференциальная система яв-
6.7.4. ПРАВИЛЬНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
ляется правильной [16].
Рассмотрим линейную систему с ограниченной треугольной
матрицей. Не уменьшая общности, остановимся на системе с ниж-
ней треугольной матрицей:
()
() ()
( () ()
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
+++=
+=
.
221
22121
2
nnnnn
n
xtaxtata
dt
dx
taxta
dt
dx
dt
K
KKKKK
(6.133)
Имеем
⎫
= ,
111
1
xta
dx
⎪
⎬
,
2
x
)
1
x
()
[]
()
[
]
tatA
jk
=
,
0
=
jk
a
при
j
k
>
.
Теорема 6.17 (Ляпунова)
родная система с ограни-
ченными коэффициентами является правильной тогда и только
огда ее диагональные коэффициенты
Действительная треугольная одно
(
)(
nkta
kk
K,2,1=
)
средние значения [16]:
тогда, к
имеют конечные
()
∫
ττ=μ
∞→
t
t
kk
t
k
da
t
0
1
lim
. (6.134)
Можно доказать, что
k
μ
=
()
k
α
- есть спектр характеристических по-
казателей матрицы
[
]
tA
. Следовательно,
n
∑
=
=μ
k
s
,
k
1
а значит,
122
∑
=
α=σ=
k
k
s
1
,
.е. равенство (6.131) выполняется
n
т рассматриваемая тре-
у .
, поэтому
гольная система является правильной
Всякую фундаментальную матрицу
Лемма 6.3
(
)
[
]
tx
однородной систе-
ы (6.129) можно представить в ви
дифференцируемых унитарной матрицы
м де произведения непрерывно
(
)
tU
и верхней треуголь-
атрицы с положительными диагональными -
, т
ной м элемента
()
[]
tR
ми .е.
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
tRtUtx
=
(6.135)
где
()
[]
()
[
]
EtUtU =
∗
,
()
[]
()
[
]
(
)
(
)
,0,0,
=
>= trtrtrtR
jkkkjk
при
k
j
>
.
Здесь
(
)
[
]
(
)
[
]
T
tUtU =
∗
.
Напомним свойства унитарных матриц:
1)
()
[]
()
[]
1−
∗
= tUtU
;
2)
1=
k
λ
;
3)
(
)
[]
1det =tU
.
Замечание 6.4
Если матрица вещественная, то матрица ортого-
нальная
5
, а треугольная матрица
()
[]
tx
()
tU
(
)
[
]
tR
действительная
.
5
Действительная матрица с тремя указанными свойствами унитарной матри-
цы называется ортогональной.
123
Теорема 6.18 (Перрона)
Всякую линейную однородную систему (6.129) с помощью
нитарного преобразования у
(
)
[
]
ytUx =
(6.136)
можно привести к системе с верхней треугольной матрицей, диа-
гональные элементы которой вещественны:
()
[]
ytB
dt
yd
=
, (6.137)
где
()
[]
()
[
]
()
0, == tbtbtB
jkjk
и
0Im
=
jj
b
при
k
j
>
.
и матрица ограничена на
[
)
∞
,
0
t
()
[
]
tA
Есл , то матрицы
и также на
()
[]
tB
()
[]
tU
ограничены
[
)
∞
,
0
t
.
можно также выбрать действительной.
29) пра
ая.
Из правильности системы (6.129) следует равенство
Замечание 6.5
Если матрица
()
[]
tA
- действительная, то матрицу
()
[]
U t
Следствие 1
Если система (6.1 вильная, то треугольная система
(6.137) также правильн
()
[]
ττα
dASp
t
t
t
t
n
j
j
∫
∑
∞→
=
=
0
Re
1
lim
1
. (6.138)
Поскольку
(
)
[
]
ytUx
=
,
то
()
[]
()
ytU
dt
yd
tU
dt
xd
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
•
.
Отсюда
()
[]
()
[]
() ()
[]
ytBytUtU
dt
xd
tU
dt
yd
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
•
−− 11
,
124
125
где
Можно
(
[
B
)
]
()
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
⎥
⎤
⎢
⎡
−=
•
−−
tUtUtUtAtUt
11
. (6.139)
⎦⎣
доказать [16], что
(
)
[
]
(
)
[
]
tASptBSp ReRe
=
.
Поэтому из (6.138) следует
()
[]
ττα
Sp
t
n
j
∫
∑
= Re
1
lim dB
. (6.140)
как
t
t
t
j
∞→
=
0
1
Так
(
)
[
]
(
)
[
]
tytx
χ
χ
=
(поскольку унитарное преобразование (6.136) не изменяет характе-
ристических показателей независимых решений), то равенство
(6.140) доказывает правильность треугольной системы (6.137).
Следствие 2
Если линейная система (6.129) правильная, то для каждого ее
независимого решения
(
)
txx
=
существует строгий характери-
стический показатель
()
txln
1
lim
.
t
t ∞→
=
α
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
(УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛИНЕЙНОМУ
метод Ляпунова дает возможность оценить устойчи-
уравнений с
ономных) - устойчивость в "малом"
ПРИБЛИЖЕНИЮ)
Первый
ость линеаризованныхв остояния (автономных и неав-
т .
Неавтономное нелинейное уравнение имеет вид
0
)0(),,( xxtxf
dt
xd
==
. (7.1)
Из совокупности его возможных решений выбирают одно
)(
t
η
=
η
,
которое называют невозмущенным. Всякое другое решение будет
азы
щения могут привести к отклонению
системы от расчетного движения. Возмущения могут вызываться
изменением в момент либо внешних сил, либо начальных ус-
н ваться возмущенным. Вообще говоря, выбор невозмущенного
решения произволен. Обычно в качестве невозмущенного решения
выбирают такое, которое описывает расчетный режим движения.
Всякого рода внешние возму
0
tt =
ловий.
Отклонения (вариации) процесса
η
−
=
x
y
(7.2)
являются функциями времени и позволяют судить об устойчивости
невозмущенного движения.
Невозмущенное движение считается асимптотически устой-
чивым, если
0lim
=
∞→
y
t
. (7.3)
126
Автономное (динамическое, консервативное) уравнение имеет
вид
1
0
)0(),( xxxf
d
t
xd
==
. (7.4)
В качестве невозмущенного решения его рассматривают урав-
нение равновесия
a
=
η
,
для которого
0)( =af
. (7.5)
Линейные системы имеют единственное состояние р
с елине ные системы могут иметь их несколько (решен
авнове-
ия. Н й ие (7.5)
еединственно), причем одни состояний могут оказаться усто
ыми, другие - неустойчивыми. Кроме того свободном движ
же могут оказаться
ибо
суют возможностью существования автоколе-
аний, то автоколебательное движение приним
енное и исследуется дифференциальное уравн
ий от эт ижения.
н йчи-
в , в ении
нелинейных систем могут иногда существовать несвойственные
линейным системам специфические движения, например периоди-
ческие движения (автоколебания), которые так
л устойчивыми, либо неустойчивыми.
Если интере ся
б ается за невозму-
щ ение относительно
вариац ого дв
1
Система обыкновенных д нений называется автономной
(или динамической, или кон ависимое
переменное явно
не
входит в систему.
системы в нормальной форме следующий:
ифференциальных урав
сервативной), если нез
()t
Общий вид автономной
dx
dt
fx= ()
.
Всякую систему можно свести к автономной, если увеличить число неизвест-
система ных функций на единицу. Пусть, например, дана неавтономная
dx
dt
ftx= (, )
.
бозначим , тогда О
tx
n
=
+1
1),,(
1
1
==
+
+
dt
dx
xxf
dt
xd
n
n
и мы получим автономную систему с
()n
+
1 -й неизвестной функцией.
127
При исследовании несвободного процесса в качестве невоз-
мущенного движения выбирают вынужденное движение.
Таким образом, в нелинейных системах говорят об устойчи-
7.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
АВТОНОМНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
7.1.1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
Пус
вости либо равновесия, либо того или иного процесса.
ть
a
- положение равновесия автономной системы
0
)0(),( xxxf
dt
==
, (7.6)
у которой вектор - функция
xd
)(xf
предполагается дважды непре-
рывнодифференцируемой в точки
a
x
=
окрестности .
Разложим вектор – функцию
)(xf
по формуле Тейлора в ок-
рестности точки
a
x
=
:
()
[
]
)()()()( xgaxafafxf +−
′
+=
, (7.7)
где ;
2
)( axcxg −≤
0)( =af
;
[]
ax
j
x
=
⎥
⎦
⎢
⎣
∂
- матрица Якоби.
i
f
af
⎥
⎤
⎢
⎡
∂
=
′
)(
Введем обозначения:
[
]
[
]
Aa =
′
)(
,
f
y
a
x
=
−
- отклонение вектора
x
от положения равновесия.
Уравнение (7.6) примет вид
[]
)( ygyA
yd
+=
, (7.8)
dt
где
128
0
)( yg
lim
0
=
→
y
y
.
Уравнение (7.8) называют квазилинейным или линейным пер-
вого приближения или линеаризованным. Норму второго слаг
го в нем иногд
аемо-
а обозначают так:
(
)
(
)
yy 0g
=
,
.ет .
)( y
- величина бесконечно малая по сравнен с
g
ию
y
.
7.1.2. ОЦЕН ЧИВОСТИ ПО ЛИНЕЙНОМУ
ПРИБЛИЖЕНИЮ
Первый метод Ляпунова, позволяющий оценить устойчивость
линеаризованных уравнений состояния (устой с
КА УСТОЙ
чиво ть в "малом"),
формулируется тремя теоремами.
Теорема 7.1
Если все собственные значения
),,2,1( nj
j
K
=
λ
матрицы
Якоби
[
]
)(af
′
имеют отрицательные вещественные части
0Re
<
λ
j
,
то положение равновесия
a
x
=
нелинейной автономной системы
(7.6) асимптотически устойчиво по Ляпунову при
∞→
t
.
раведлива оценка [49]: Кроме того сп
()
∞≤≤−≤−
α
−
taxeCaxtx
t
0,;
00
, (7.9)
де г
0,0 >>α
C
для всех
0
x
, достаточн
a
о близких к точке .
Можно показать, что в качестве
(7.9) можно взять любое такое число, что
показателя
α
в неравенстве
)Re(min
1
j
nj
λ
−
<
α
≤≤
.
Эту теорему можно сформулироват так:
если положение равновесия линеаризованной системы асимптоти-
чиво, т
стемы.
ь еще
чески устой о асимптотически устойчиво положение рав-
новесия нелинейной си
129