Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
y
1
y
2
y ,...y
3 n
Mt()
t
0
0
d
e
А.А. Афанасьев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
ЧЕБОКСАРЫ 2000
Раздел второй
УСТОЙЧИВОСТЬ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова
А.А. Афанасьев
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Раздел второй
УСТОЙЧИВОСТЬ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Чебоксары
2000
УДК 517 (075)
А 94
Рецензенты: кафедра автоматики Мордовского государственного
университета им. Н.П. Огарева (зав. кафедрой
проф. И.Г. Учайкин), д-р техн. наук, проф. Ю.П. Сонин
Афанасьев А.А.
Математические основы теории систем управления. Раздел вто-
рой: Устойчивость уравнений состояния систем автоматического
управления: Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. 204
с.
ISBN 5-230-18144-3
Даются общие понятия теории устойчивости. Рассматриваются различ-
ные методы анализа устойчивости линейных уравнений состояния: критерии
устойчивости, связанные с характеристическим полиномом (алгебраические
и частотные), с характеристическими показателями Ляпунова, с мультипли-
каторами периодических систем, матричные критерии. Приводятся методы
оценки устойчивости нелинейных уравнений состояния: первый и второй ме-
тоды Ляпунова, критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова.
Для студентов, обучающихся по направлению «Автоматизация и
управление», а также по направлениям «Электротехника, электромеханика и
электротехнологии», «Электроэнергетика» и ряду многих других в области
технических наук.
Разд. 1 (Уравнения состояния систем автоматического управления)
вышел в 1998г. в изд-ве Чуваш. ун-та.
Ответственный редактор: д-р техн. наук, проф. Г.А. Белов
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
УДК 517 (075)
© А.А. Афанасьев, 2000
ISBN 5-230-18144-3
ГЛАВА ПЯТАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений
),,,(
21 nj
j
yyytf
dt
yd
K=
,
n
j
,,2,1 K
=
, (5.1)
где t-независимое переменное - (время);
n
yy K,
1
-искомые функции;
j
f
-известные функции, определяемые в некотором полу-
цилиндре
+
∞
<
<
=
×= ttIDIZ
tyt 0
,
;
y
D
-открытая область n-мерного действительного (или
комплексного) пространства.
Переходя к векторно- матричным обозначениям,
[
T
n
n
yy
y
y
y KM
1
1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
]
,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
),(
),(
),(
1
ytf
ytf
ytf
n
M
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
dt
dy
dt
dy
dt
yd
n
M
1
,
будем иметь:
),( ytf
dt
yd
=
. (5.2)
Функция
),( ytf
непрерывна по t и удовлетворяет условию
Липшица по переменной
y
2121
),(),( yyLytfytf −≤−
,
где .
0>L
3
Действительную или комплекснозначную функцию
)(
t
yy
=
, (5.3)
определенную в некотором интервале ( ) и удовлетворяющую на
ba,
нем уравнению (5.2), будем называть его решением.
1
Согласно теореме Ко-
ши для начальных значений
Zyt
∈
),(
00
существует един-
ственное решение системы
(5.2). Решение
)(
t
y
)(
_
tη=
можно
рассматривать как траекто-
рию фазового пространства
, где t играет роль пара-
метра (рис.5.1).
n
y
R
Определение 5.1
Решение
_
η
(
)
∞
<
<
ta
системы (5.2) на-
зывается устойчивым по
Ляпунову (или просто устойчивым), если для любых
0>
ε
и
существует
),(
0
∞∈ at 0>),(
0
≤
=
ε
ε
δ
δ
t
такое, что:
0
y
n
y
1
()
D
y
y(t )
0
y(t)
Рис. 5.1. Решение – траектория )(
_
ty
фазового пространства
1
Если функция ),( ytf имеет ограниченные частные производные по
y
в выпуклой
области D
y
, то эта функция удовлетворяет условиям Липшица (область называется
выпуклой , если вместе с любой парой точек ей принадлежит и отрезок, соеди-
няющий эти точки).
Ax , - нормы соответственно вектора и матрицы. Существуют три типа
норм:
;;;max
2
IIIIII
∑∑
===
j
j
j
j
jj
xxxxxx
Aa
j
jk
k
I
=
∑
max (максимальная сумма элементов некоторой строки);
Aa
k
jk
j
II
=
∑
max (максимальная сумма элементов некоторой строки);
Aa
jk
jk
III
=
∑
2
,
- евклидова норма.
4
1) все решения
)(
t
yy
=
системы (5.2), удовлетворяющие ус-
ловию
δ
η
<
− )()(
00
tty
, определены в промежутке
∞
<
< tt
0
, т.е.
y
Dty
∈
)(
при
[
)
∞
∈
,
0
tt
;
2) для этих решений справедливо неравенство
ε
η
<
− )()( tty
при .
∞<≤ tt
0
Иными словами, решение
)(
t
η
устойчиво, если достаточно
близкие к нему в любой начальный момент решения
t
0
)(
t
y
цели-
ком погружаются в сколь угодно узкую
ε
- трубку, построенную
вокруг решения
)(
t
η
(рис.5.2).
t
t
0
0
δ
(
ε
,)
t
0
y(t)
j
η
j
(t)
y
j
ε
ε
Рис.5.2. К определению устойчивости решения по Ляпунову
Определение 5.2
Решение
(
)
∞
<
<
= tat)(
η
η
называется асимптотически
устойчивым при
+∞→
t
, если:
1) решение устойчиво по Ляпунову;
2) для любого
существует
(
∞∈ ,
0
at
)
0)( >
Δ
t
такое, что все реше-
ния
(
)
tyy =
)
(
∞
<
≤
tt
0
, удовлетворяющие условию
)(
0
tΔ)()(
00
tty
<
η−
, обладают свойством:
0)()(lim
=
−
∞→
tty
t
η
.
5
tt
0
0
yt
j0
()
η
j0
()
t
y
j
η
j
(t)
y(t)
j
Δ( )
t
0
Рис.5.3. Асимптотически устойчивое решение
Определение 5.3
Если , то решение
∞=Δ )(
0
t )(
t
η
называется асимптотиче-
ски устойчивым в целом.
Если вектор-функция
f
не зависит явно от времени t, т.е.
уравнение (5.2) имеет вид
)(yf
dt
yd
=
, (5.4)
то эта система называется автономной (стационарной).
5.2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
Утверждение 5.1
Линейная нестационарная неоднородная система дифферен-
циальных уравнений
[]
)()( tfytA
dt
yd
+=
(5.5)
устойчива тогда и только тогда, когда устойчива соответст-
вующая система однородных дифференциальных уравнений
6
[]
xtA
dt
xd
)(=
. (5.6)
Как известно, решение неоднородной системы
)(
t
y
состоит из
двух слагаемых: решения однородной системы (5.6)
() ()
[]
_
Ctxtx =
,
где
[
T
n
CCCC K
21
=
]
- вектор-столбец произвольных постоянных,
и частного решения
)(
~
ty
.
Поле интегральных кривых неоднородного уравнения
)(
~
)()( tytxty +=
,
где
()
(
)
[]
0
ytxtx =
,
[][ ]
∫
−
=
t
t
dfxtxty
0
)()()()(
~
1
τττ
топологически эквивалентно (с сохранением близости) полю инте-
гральных кривых однородного уравнения
)(
t
x
. Разница только та,
что в первом случае «ось»
)(
~
ty
, вообще говоря, криволинейна (рис.
5.4, а), во втором - «ось»
0)(
≡
t
x
прямолинейна (рис. 5.4, б).
Утверждение 5.2
y
j
(t)
∼
y
j
(t)
t
а)
t
0
y
j
x
j
б)
t
x
≡
0
t
0
0
0
Рис. 5.4. Топологическая эквивалентность, решений неоднородного (а) и
однородного (б) решений
Для асимптотической устойчивости линейного неоднородно-
го уравнения состояния (5.5) при любом свободном члене
)(tf
не-
7
обходимо и достаточно, чтобы было асимптотически устойчиво
соответствующее однородное уравнение состояния (5.6).
Утверждение 5.3
Линейное однородное уравнение состояния (5.6) устойчиво по
Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое решение
(
)
txx =
этой системы ограничено.
)(
0
∞<< tt
Утверждение 5.4
Линейное однородное уравнение состояния (5.6) асимптоти-
чески устойчиво тогда и только тогда, когда все его решения
()
txx =
стремятся к нулю при
∞
→
t
, т.е.
0)(lim
=
+∞→
tx
t
.
5.3. УСТОЙЧИВОСТЬ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ
Утверждение 5.5
Линейное однородное стационарное уравнение
[]
_
_
xA
dt
xd
=
, (5.7)
()
0
__
xox =
устойчиво тогда и только тогда, когда собственные значения
),...,2,1( nkj
kkk
=+=
ω
α
λ
матрицы
[
]
A
имеют неположительные
вещественные части
0Re
≤
α
=
λ
kk
, (5.8)
причем собственные значения с нулевой вещественной частью не
должны быть кратными.
В справедливости этого утверждения можем убедиться из
формулы (2.60) для общего решения уравнения (5.7)
8
∑
μ
=
−λ−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−++−+=
1
)(
_
1
0
2
_
0
1
__
0
)()()(
k
tt
kn
n
kk
k
k
k
eBttBttBtx K
,
где - собственные числа матрицы [A];
),...,2,1( μ=λ k
k
- кратность собственного числа
k
n
k
λ
, причем
nnnn
=
+
+
+
μ
...
21
,
- размерность матрицы
n
[
]
A
.
Поскольку
[
]
)(sin)(cos
00
)())(()(
000
ttjtteee
kk
ttttjtt
kkkk
−ω+−ω==
−α−ω+α−λ
,
то очевидно при
0<α
k
0)(lim
=
∞→
tx
t
как для простого , так и сложного спектра матрицы
.
)1( =
k
n )1( >
k
n
[]
A
Если
0
=
α
k
, то решение
)(
t
x
будет ограниченным только для
матрицы с простым спектром
[]
A
)1(
=
k
n
)1>
. Для матрицы с кратны-
ми собственными значениями условие приведет к
неограниченному росту
(
k
n 0=α
k
)
(
t
x
при
∞
→
t
.
Таким образом при условии (5.8) и
)1(
=
k
n
решение
)(
t
x
бу-
дет ограниченным, следовательно, в соответствии с утверждением
(5.3), уравнение (5.7) будет устойчивым по Ляпунову.
Если
0
<
α
k
, то, как мы видим, даже при
)1( >
k
n
0)(lim
=
∞→
tx
t
.
В этом случае, в соответствии с утверждением 5.4, уравнение (5.7)
будет асимптотически устойчивым.
В устойчивой системе все собственные значения матрицы
[A] принадлежат левой полуплоскости. Мнимая ось является гра-
ницей устойчивости. Она может принадлежать ( на оси про-
стое) или не принадлежать (
k
λ
k
λ
на оси кратное) области устойчи-
вости.
Возможны три типа границы левой полуплоскости:
9