Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

плоскости, то очевидно при изменении от –∞ до +∞ приращение

аргумента составит:

)2(ππ)(π)ω(arg mnmmn

−

=Δ

. (5.17)

Таким образом, изменение аргумента характеристического

полинома однозначно связано с расположением его корней на ком-

плексной плоскости.

Построим годограф вектора

ω)(

, выделив его вещественную

и мнимую части

Рис. 5.10. Годограф

арактеристического полинома

(годограф Михайлова)

()

)(ωjω)(ω)

. (5.18)

Вектор

ω)(

, построенный в

декартовых координатах

ω),(

)(ω

, при изменении от –∞ до

+∞ вращается и своим концом опи-

сывает кривую, которая называется

годографом характеристического

полинома

, или годографом (кривой)

Михайлова

(рис.5.10).

Многочлен

(5.19)

++−=

=+++=

−−

−

)ω)ω()ω(

nnn

aaa

jajaajX

−

(

является четным относительно , т.е.

)ω()ω(

−

. (5.20)

Многочлен

(5.21)

)ω-ω(

)ω()ω(jω)ω(

−+=

=+++=

−−

nnn

aaaj

jjaajY

−

является нечетным относительно , т.е.

)ω()ω( −−=

. (5.22)

Отметим, что при имеем:

0ω =

0(,)0( )0

= YaX

При

+∞=∞∞= )(ω

или

∞

)(

или .

∞-

Знак предельных значений зависит от степени . При поло-

жительных значениях коэффициентов полинома имеем для

+∞=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

+∞=+∞==

−∞=+∞==

−∞=−∞==

+∞=−∞==

+∞===

;;;5

;;;4

;;;3

;;;2

;;;1

YXn

YaXn

и т.д.

Уравнения (5.20) и

(5.22) свидетельствуют о

симметрии кривой Михайло-

ва относительно веществен-

ной оси (рис. 5.11).

Обычно ограничиваются

половиной интервала изме-

нения

ω, берут его от 0 до

∞, т.е. не фиксируют поло-

вину кривой, являющейся

зеркальным отражением дру-

гой половины относительно

вещественной оси. В этом случае при изменении от 0 до +

∞ и

при наличии корней только в левой полуплоскости приращение ар-

гумента

ω)(

составит:

ω=ω

-y

ω=−ω

ω=ω

ω→+∞

ω→−∞

Рис. 5.11. Симметрия годографа Михайлова

относительно вещественной оси

njD

)ω(arg

ω0

=Δ

∞+<<

. (5.24)

Отсюда следует формулировка критерия Михайлова.

Система будет устойчива тогда и только тогда, когда при

возрастании

ω от 0 до +

∞

вектор

ω)(

повернется на угол

где n — степень характеристического полинома.

Другими словами, требуется, чтобы при изменении от 0 до

∞ годограф, начиная с положительной части вещественной оси,

последовательно проходил квадрантов в положительном направ-

лении (против часовой стрелки) (рис 5. 12).

Типичные годографы устойчивых систем, удовлетворяющих

условиям (5. 23), показаны на рис.5.12 для значений

5,,2,1 K

На рис.5.13 – 5.15 показаны годографы неустойчивых систем.

n=1

n=4

n=5

+∞

ω→+∞

ω=0

+jY

ω→+∞

.12. Годографы Михайлова устойчивых

систем 1,2,…,5 порядков

ω→

Рис. 5

n=1

n=2

n=3

+jY

ω→+∞

Рис. 5.13. Годографы Михайлова

неустойчивых систем

1, 2, 3 порядков

ω=0

n=5

ω→+∞

+jY

Рис. 5.14. Годограф Михайлова

неустойчивой системы 4-го порядка

(начало во втором квадранте)

Рис. 5.15. Годограф неустойчивой

системы 5-го порядка

(неохват начала координат и 4-го

квадранта)

Все они не удовлетворяют условию последовательного охвата

квадрантов в положительном направлении с началом кривой на по-

ложительной части вещественной оси.

Рассмотрим кривую Михайлова, когда система находится на

границе устойчивости.

1. Характеристическое уравнение имеет нулевой корень

В случае нулевого корня

)0(

кривая начинается из начала

координат (рис.5.16.а).

2. Характеристическое уравнение имеет пару мнимых

комплексно – сопряженных корней

В случае нахождения на границе пары комплексно – сопря-

женных корней:

01,

ωjp

кривая Михайлова при частоте

ωω

проходит через начало координат (рис.5.16.б).

n=5

n=4

+jY

ω→+∞

а)

б)

Рис. 5.16. Годографы систем, находящихся на границе устойчивости

3. Вариация коэффициентов характеристического уравнения

На границе устойчивости системы все корни характеристиче-

ского уравнения, кроме

ωj

, должны находиться в левой полу-

плоскости. В этом случае при малом изменении коэффициентов

характеристического полинома можно добиться перехода мнимых

корней в левую полуплоскость. Этой операции будет соответство-

вать малая деформация кривой Михайлова, после которой кривая

будет последовательно обходить в положительном направлении

квадранты, не проходя через начало координат (рис.5.17.а и

ис.5

озникнуть и при наличии нуле-

ого

полуплоскости, то малое изменение коэффициентов не обеспечит

переход системы в устойчивое состояние (рис.5.17,в и 5.18,в).

чивости Михайлова может быть сформулиро-

ан и

ет ос

ости

равно порядку характеристического полинома n (рис.5.19,а).

р .18.а).

Аналогичная ситуация может в

в корня (рис.5.17.б и рис.5.18.б).

Однако если кроме граничных корней есть и корни в правой

n=5

+jY

+jY +jY

ω=

б)

а)

в)

ω→+∞

Рис. 5.17. Деформация годографа Михайлова системы 5-го порядка при малой

вариации коэффициентов ее характеристического уравнения:

а, б - исходная система находится на границе устойчивости; в - неустойчива

а)

б)

в)

p p

Рис. 5.18. Расположение корней исходной системы 5-го порядка

с годографами рис.5.17

Критерий устой

в в другом виде:

В устойчивой системе годограф Михайлова поочередно пере-

сека и координат, начиная с положительной половины оси X

при

0ω =

. Число таких последовательных пересечений в точн

X,Y

+jY

ω→+∞

а)

б)

Рис. 5.19. К альтернативным формулировкам критерия устойчивости Михайлова

Для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно вы-

полнение следующих условий:

;

0)0( >=

0ω

(кривая идет вверх от оси X);

Корни уравнений

0)ω(0)ω(

вещественные, положи-

тельные и перемежающиеся (рис. 5.19.б), т. е. между двумя со-

седними действительными (положительными) корнями уравне-

ния

0)ω( =

лежит один действительный (положительный) ко-

рень уравнения

0)ω(

Существование комплексных корней уравнения

0)ω(

или

0)ω( =

или отсутствие перемежаемости этих корней свиде-

тельствуют о неустойчивости системы.

Заметим, что при повышении порядка системы

)54(

объ-

ем вычислений, связанных с применением критерия Михайлова,

существенно возрастает. В этом случае отдают предпочтение таб-

личному критерию Рауса.

Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой

системы по виду частотной характеристики (годографа) разомкну-

той системы, которая может находиться как аналитически, так и

опытным путем. Последнее обстоятельство сообщает критерию

важное преимущество по сравнению с другими критериями.

Рассмотрим критерий Найквиста для нескольких типичных

видов разомкнутых систем.

1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

Ее передаточная функция имеет вид

)1(

)(

+++

−

scsc

sbsbk

skN

причем .

nm <

)(

– характеристический полином разомкнутой

системы в нормированной форме (

Образуем вспомогательную функцию

)(

)()(

)(1)(

skNsL

sWsF =

=+=

, (5.25)

где – характеристический полином замк-

нутой системы, имеющий, как известно, передаточную функцию

)1()()(

+++= kscsD

)()(

)(

)(1

)(

skNsL

skN

=Φ

Знаменатель вспомогательной функции (5.25) – характеристи-

ческий полином разомкнутой системы

)(

, имеющий ту же сте-

пень n, что и характеристический полином замкнутой системы

)(

Поскольку разомкнутая система устойчива, то согласно кри-

терию Михайлова при изменении

ω от 0 до +∞ приращение аргу-

мента

)ω(

равно

Если потребовать устойчивости и замкнутой системы, то, со-

гласно критерию Михайлова, приращение аргумента вектора

)ω(

при изменении ω от 0 до +∞ будет равно

. Отсюда из

формулы (5.25) следует:

0)ω(arg)ω(arg)ω(arg

−

Δ=Δ

Поэтому годограф вектора

)ω(

в этом случае не должен охваты-

вать начало координат (рис.5.20. а).

а)

()

ω=∞

ω=0

б)

ω=∞

()

Рис. 5.20. Годограф вспомогательной функции F j =1+W j для системы,

устойчивой в разомкнутом состоянии

() ()

ωω

Обратим внимание, что при

)ω(0ω

, как видно из фор-

мулы (5.25), равняется

, а

1)(

∞

Если рассматривать годограф частотной характеристики ра-

зомкнутой системы

)ω(

, то из (5.25) для него имеем:

1)ω()ω(

−

Видим, что

0)(,)0(

∞

.Следовательно, этот годограф отли-

чается от рассмотренного ранее

)ω(

только сдвигом влево на (-

1).

Формулировка критерия Найквиста для этого случая гласит:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и доста-

точно, чтобы частотный годограф передаточной функции ра-

зомкнутой системы при изменении

ω от 0 до +∞ не охватывал

точку -1 (рис.5.21).

Обратим внимание, что критерий Найквиста оперирует с го-

дографом передаточной функции разомкнутой системы

)ω(

, а

не с годографом характеристического полинома замкнутой систе-

мы

)ω(

(в нормализованной форме) при обращении к критерию

Михайлова.

Отметим также, что для графика (рис 5.21,а) увеличение ко-

эффициента усиления

может вызвать неустойчивость замкнутой

системы. А для графика рис.5.21,б, наоборот, уменьшение коэффи-

циента усиления

может привести замкнутую систему в неустой-

чивое состояние.

-1

а)

-1

б)

W(j )

ω=∞

Рис. 5.21. Замкнутая система устойчива: расположение годографа Wj для

системы остающейся после размыкания устойчивой

()

2. Система в разомкнутом состоянии находится на границе

устойчивости

2.1. Граница устойчивости апериодическая

Будем полагать, что характеристический полином разомкну-

той системы

)(

кроме корней в левой полуплоскости имеет и ну-

левые корни – система находится на границе апериодической ус-

тойчивости. Передаточная функция разомкнутой системы в этом

случае имеет вид:

.1;1;

)1(

)(

==<

−

bcnm

scs

sbk

skN

Такую передаточную функцию имеют астатические системы.

Показатель степени называется порядком астатизма.

При обосновании критерия в предыдущем случае предполага-

лось, что корни характеристического полинома

)(

находятся в

левой полуплоскости вне мнимой оси. Сведем рассматриваемый

случай к предыдущему, сдвинув нулевой корень влево на величину

. Следовательно, разомкнутая система становится устойчивой с

характеристическим полиномом вида:

)1()β()(

+++=

−

scssL

Оценим вид частотного годографа

)ω(

системы, устремив

сдвиг

к нулю. Очевидно,

0β

0ω

ω)(lim

jW =

≠

→

, где

– большее положительное число на

вещественной оси;

ωβ

0ωβ,

ω)(

ω)(lim

jW =

→

, – естественный предел при отсутствии

искусственного параметра

Точке

0ω

рис.5.22 соответствует дуга окружности большо-

го радиуса. Эти три рисунка (а, б и в) относятся к астатическим

системам первого, второго и третьего порядков. На каждом годо-

граф разомкнутой системы не охватывает точку (-1). Следователь-

но, при замыкании все три системы будут устойчивы.

Критерий устойчивости Найквиста для рассматриваемого слу-

чая может иметь такую редакцию:

Для устойчивости замкнутой астатической системы авто-

матического регулирования, которая в разомкнутом состоянии

находится на границе апериодической устойчивости, имея нулевые

корни характеристического полинома, необходимо и достаточно,

чтобы частотный годограф передаточной функции разомкнутой

системы, начиная от точки на действительной оси (при

0ω

), не

охватывал точку (-1) при изменении от 0 до +

∞.