Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

чивости неприменимы алгебраические критерии устойчивости.

Частотные критерии Михайлова и Найквиста для систем с запазды-

ванием сохраняют все свои формулировки.

При практическом исследовании устойчивости более удобен

критерий Найквиста. Рассмотрим некоторые особенности систем с

запаздыванием, пользуясь критерием Найквиста.

Из выражения для амплитудно-фазовой характеристики ра-

зомкнутой системы

τω

0τ

)ω()ω(

ejWjW

−

(5.37)

следует, что наличие запаздывания не меняет амплитудную час-

тотную характеристику:

)ω()ω(

но существенно влияет на фазовую частотную характеристику:

τω)ω()ω(

−

причем

−∞=

∞→

)ω(lim

Вектор

)ω(

дополни-

тельно поворачивается отно-

сительно вектора в

отрицательном направлении

на угол . Этот угол с рос-

том возрастает. Поэтому

годограф вектор

)ω(

τω

имеет спиральную форму, за-

кручиваясь у начала коорди-

нат (рис.5.29).

граф

1).

ая за

Пусть система без за-

паздывания устойчива и в разомкнутом и замкнутом состояниях.

Это значит, что частотный годо

)ω(

не охватывает точку

ведем звено запаздывания и будем увеличивать запаздыва-

ние

, наблюд деформацией годографа

)ω(

. При некото-

ром значении

пр

ττ =

годограф пройдет через точку (-1) и, следова-

тельно, система окажется на границе устойчивости (рис.5.30). При

пр

ττ <

система устойчива, при

пр

ττ >

– неустойчива.

Значение предельного запаздывания

пр

легко может быть

найдено графически. Для этого провед ужность единичного

радиус

ем

а с центром в начале плоскости, ко-

в точке с частотой

Предельное время запазд

окр

комплекснойкоординат

ывания

торая пересечет частотный годограф

)ω(

ωω =

среза (

составит

пр

τ =

. (5.38)

В тех случаях, когда звено запаздывания находится в цепи ме-

стной обратной связи (его нет в прямой цепи), его влияние будет

другим. В зависимости от структуры системы это влияние может

системы

чтобы

быть

по

Зап

благоприятным, т.е. может улучшать устойчивость

аналогии с инерционной обратной связью.

ω=0

асы устойчивости, вводимые на основе критерия Найкви-

ста

Система автоматического регулирования не должна находить-

ся на границе устойчивости. Она должна обладать некоторым запа-

сом устойчивости, с тем, возможные вариации параметров

не нарушили ее устойчивость и не ухудшили качественные показа-

тели.

-1

ω=∞

τ=τ

пр

τ=0

τ>τ

0-1

ω=∞

()

τω

пр c

=ω

ω=0

Рис. 5.30. Деформация годографа Wj

при увеличении в звене запаздывания

()

времени запаздывания

пр

Рис. 5.31. К определению предельного

Частотный критерий Найквис воляет оценить запас ус-

той

та поз

чивости системы по виду частотной характеристики ее разомк-

нутой цепи. Запасы устойчивости характеризуют удаление частот-

ного годографа разомкнутой цепи

)ω(

от критической точки (-

1).

На практике используют два запаса устойчивости: запас по

фазе и запас по амплитуде (по коэффициенту усиления).Они могут

ки,находиться либо с помощью годографа частотной характеристи

либо с помощью логарифмических амплитудно-фазовых частотных

характеристик.

Запас устойчивости по фазе представляет собой угол

(рис.5.32) между отрицательной полуосью и лучом, проходящим

через точку пересечения годографа

)ω(

Этой

с единичной окружно

. точке соответствует

амплитуда частотной характеристики

час-

стью с центром в начале координат

тота среза , для которой

равна единице

-1

Δϕ=γ

ω=∞

1)ω()ω(

jWjA

Запас устойчивости по фазе

обеспечивает сохранение устой-

туде может характеризовать-

ся отрезком

чивости системы при увеличе-

нии запаздывания в прямой цепи

системы.

Запас устойчивости по ам-

пли

(рис.5.32). Чаще

оценивают этот запас отношени-

ем

)(

jWk

показывающим, во сколь

==β

пр

ко раз может быть увеличен коэффициент

усиления системы

Рис. 5.32. К определению запаса

устойчивости замкнутой системы

по фазе и амплитуде

при сохранении ее устойчивост

Запас устойчивости по амплитуде можно выразить в лога-

рифмическом масштабе

и.

)ω()ω(lg20βlg20

ππ

LjWL

зап

−

−==

Запасы устойчивости (рис. 5.33) показаны в виде соответст-

вующих отрезков, имеющих положительный знак для устойчивой и

отрицательный – для неустойчивой системы.

Численные значения запасов устойчивости выбирают исходя

из требований, предъявляемых к переходным процессам.

Выделение облас-

тей устойчивости

– способ Д-

разбиений

Коэффициен-

ты характеристиче-

ского уравнения

системы автомати-

ческого регулиро-

вания являются

функциями пара-

метров всех звень-

ев, входящих в

прямые и обратные

цепи. Некоторые

параметры (коэф-

фициенты усиле-

ния, постоянные

времени, времена

запаздывания) мо-

гут в процессе конструирования и настройки системы изменяться в

определенных пределах с целью обеспечения необходимых рабо-

чих показателей (точности, качества регулирования и др.). В этом

случае необходимо оценить возможные диапазоны варьирования

параметров системы, не вызывающих нарушения ее устойчивости.

Например, при варьировании какого-либо параметра можем

умозрительно предположить, что существуют интервалы значений

зап

< 0

L, дБ

зап

> 0

ϕ,

рад

-1

< 0

-/2

-3 /2

Рис. 5.33. Определение запаса устойчивости системы по

амплитуде и фазе с помощью логарифмических

амплитудных и фазовых частотных характеристик

, при которых характеристический полином имеет только левые

корни. Эти интервалы на рис.5.34 отмечены жирными отрезками.

Аналогично для двух, трех и большого числа варьируемых

параметров, можно представить плоские и объемные области, для

которых система регулирования устойчива.

Сформируем задачу нахождения области устойчивости в про-

странстве параметров. Обозначим через – число правых корней

характеристического полинома степени , тогда

n mn

−

– число ле-

вых корней этого полинома (в предположении, что корней на мни-

мой оси нет).

В пространстве

параметров

можем

выявить некоторые

области ,

которым соответствуют правых и

),,2,1( ki K=

,(mD

)mn −

m mn

−

левых корней полинома

. Например, если характеристический полином имеет

третью степень , то возможно существование в пространстве

параметров следующих четырех D – областей с конкретными зна-

чениями левых и правых корней:

),,1,0 nK=

Рис. 5.34. Интервалы значений параметра П, для

которых все корни характеристического полинома

являются левыми

)3( =n

)0,3(),1,2(),2,1(),3,0( DDDD

из которых только первая является областью устойчивости.

Значениям параметров на границах D – областей соответст-

вуют корни характеристического уравнения (один или несколько),

лежащие на мнимой оси (

). Для этих корней, очевидно, спра-

ведливо

0)ω(

где – характеристический полином.

aaaD ++λ+λ=λ

−

)(

Будем считать, что искомые параметры входят в состав коэф-

фициентов характеристического уравнения линейно, т.е. в характе-

ристическом уравнении они представлены только первой степенью

и отсутствуют их произведения. В этом случае характеристическое

уравнение имеет вид

)λ()λ()λ()λ(

110 kk

DDDD

Π+

где – известные полиномы (в общем случае,

возможно, все n-й степени).

)λ(,),λ( ),λ(

10 k

DDD K

Ставится задача нахождения всех значений параметров

, при которых замкнутая система устойчива.

),,2,1( kj

K=Π

В зависимости от числа искомых параметров рассматривае-

мый метод называется методом D разбиения по

параметрам.

Чаще всего число

принимает значения 1,2 или 3.

D-разбиение по двум параметрам

Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике слу-

чай, когда два параметра

входят в характеристическое

уравнение линейно

0)λ()λ()λ()λ(

22110

= DDDD

. (5.39)

Найдем значения и

, при которых характеристическое урав-

нение (5.39) имеет пару чисто мнимых корней

jωλ

. (5.40)

После подстановки (5.40) в (5.39) получим уравнение

0)ω()ω()ω()ω(

i22i11i0i

= jDjDjDjD

. (5.41)

Входящие в него комплексы можно представить вещественными и

мнимыми слагаемыми

).ω()ω()ω(

),ω()ω()ω(

i2i2i2

i1i1i1

i0i0i0

jjYjXjD

Тогда уравнение (5.41) распадается на два

, (5.42)

⎭

⎬

⎫

−=Π+Π

),ω()ω()ω(

i0i22i11

YYY

XXX

решая которые по формулам Крамера получим

=Π=Π

(5.43)

где

)ω()(ω

(5.44)

)ω()(ω

Δ;

)ω()(ω

−=−=

(5.45)

Для конкретного значения из формул (5.43) можем найти

соответствующие значения и

Формулы (5.43) при изменении от 0 до +

∞ определяют

кривую D – разбиения на плоскости двух параметров

и .

При изменении от -∞ до 0 кривая D – разбиения вторично

проходит те же самые точки, т.е. прочерчивается еще раз. Следова-

тельно, для нахождения этой кривой достаточно варьировать от

0 до +

∞.

Кривая D – разбиения в плоскости параметров

и явля-

ется образом мнимой оси комплексной плоскости корней характе-

ристического полинома.

Можно показать [18], что значения

, рассматривае-

мые по способу нахождения как функции частоты , обладают

свойством четности

)ω()ω();ω()ω(

2211

−

−Π=Π

а определители и , наоборот, являются нечетными функ-

циями частоты . Четными являются также функции и .

Нечетными – и .

ΔΔ,

X,X

Y Y

Особые прямые

При изменении определители (5.44), (5.45) непрерывно из-

меняются. При некоторых частотах

ωω

может возникнуть си-

туация, когда все определители обратятся в нуль. Из формул для

определителей (5.44), (5.45) следует возможность такого варианта

при пропорциональности чисел:

)ω(

В этом случае одно уравнение в (5.42) является следствием друго-

го, т.е. эти уравнения линейно зависимы, следовательно, вместо

двух уравнений (5.42) нужно рассматривать одно, например пер-

вое:

)ω()ω()ω(

02211 iii

XXX

−

. (5.46)

Это уравнение определяет в плоскости параметров и

для

фиксированной частоты

ωω

прямую линию, называемую особой

прямой.

Чтобы выявить особые прямые, необходимо фиксировать все

значения , при которых определители одновременно

обращаются в нуль.

ΔΔΔ, и

Если коэффициенты характеристического уравнения и

зависят от параметров

(

3n2211 nnn

aaa

Π+Π

;

), то в число частот следует включить

соответственно и

032021010

aaaa +Π+Π=

0ω =

∞

Поскольку функции и нечетные, то очевидно

Y,Y

0)0()0(Y(0)Y

021

Четность функций не требует их обязательного

обращения в 0 при . Поэтому уравнение (5.46) может быть

особой прямой и при

021

XX,X и

ω =

Если для полинома

)

вместо

взять величину обратную

(

λ1

), то условие будет соответствовать особой прямой (ес-

ли зависит от и ) при значении

Π Π

∞

Таким образом, для получения особых прямых нужно:

принять равным нулю свободный член

характеристическо-

го полинома

)

, если он зависит от параметров

Получаем особую прямую для частоты

0ω

32211

nnnn

aaaa

;

принять равным нулю коэффициент

полинома (в слагае-

мом с наивысшей степенью), если он также зависит от пара-

метров

. Получаем особую прямую для частоты

∞=ω

202010 1

;

aaa

обращаются в оп-

ределители

найти частоты

, при

которых одновременно

нуль

ΔΔΔ

. Каждой

ая.

я D

из этих частот

со-

ответствует особая

прям

Штриховка границ D – раз-

биений

Как уже отмечалось,

крива – разбиения в плоскости параметров

является

образом мнимой оси комплексной пл -

ческого полинома.

Нанесем на мнимую ось

оскости корней характеристи

штриховку слева, помня, что левая

системы.

, то будем штриховать левую сторону D – по от-

ы. Поэтому ее штрихов-

полуплоскость является областью устойчивости

Будем перемещаться вдоль D – кривой, увеличивая

от - ∞ в

положительном направлении. Если при таком движении определи-

тель

0Δ >

кривой

ношению к направлению перемещения [18]. При изменении

от -

∞ до + ∞ D – кривая будет пройдена дважд

ка будет двойной (рис.5.35.б).

Особая прямая, соответствующая частоте

∞

ω0

, снабжа-

ется двойной штриховкой, причем сторона штриховки меняется

пр о-

ересекает D – кривую (таких то-

шт D -

мой особой прямой обращены навстречу друг другу.

Если на частоте в рассматриваемой точке определитель

только принимает нулевые значение, не меняя знака, то эта особая

прямая не штрихуется (рис.5.37).

только в одной точке ямой, для которой соблюдаются два усл

ия:

в этой точке особая прямая п

ек может быть несколько, (рис.5.36)),

в ней определитель меняет зн к.

В окрестности этой точки риховки – кривой и рассматривае

ω=+∞

) б)

ω=−∞

ω=

Рис. 5.35. Мнимая ось комплексной плоскости

арактеристического полинома (а) и ее обра

плоскости двух параметров – D – кривая (б

х з

на )

Особые прямые, соответствующие частотам

0ω =

∞

снабжаются одинарной штриховкой. Выбор стороны штриховки

производится аналогично предыдущей особой прямой (рис.5.38).

Если известно распределе орней в одной из областей D –

разбиения, то, пользуясь изложенными выше п лами штрихов-

ки границ, легко найти распреде-

ление корней в других областях.

На рис. 5.36

÷5.38 через

)(mD

обозначим области, для ко-

торых число правых корней равно

ние к

рави

ивости. Определив для

и значения параметров

и подставив их в характеристическ

известными критериями устойчивости

и будет неустойчива.

Запишем характеристическое уравнение в виде

. Область

)0(D

является областью устойч

какой-либо внутренней точки этой област

ий полином (5.39),

можем , подтвер-

пользуясь

дить устойчивость системы для выбранных значений параметров

Если область

)0(D

отсутствует, то при любых значениях па-

раметров

система

D – разбиени по одному параметру

(2)

(4)

Δ∞

=0; 0< <

ω=ω

(2)

(0)

ω±∞

Рис. 5.36. Особая прям

пересекает D-

ая с

∞<ω<

причем

кривую в нескольких точках,

в одной определитель

меняет знак

(2)

(3)

(4)

(0)

/ /

ω=±∞

/ /

////////

/////

ми, соответствующими частотам

ωω∞

Рис. 5.38. D-кривая с двумя особыми

прямы

=0 =

Δ∞

=0; 0 <

ω=±∞

Рис. 5.37. Особая прямая с

есекает D-кривую в нескольких

точках, причем в них определитель

принимает нулевое значение,

не меняя знака

0< <

ω∞

пер