Зоценко Н.Л. Инженерная геология. Механика грунтов, основания и фундаменты

Подождите немного. Документ загружается.

210

шення основної задачі для площадок АВ, зорієнтованих під різними кутами до осі відліку,

спочатку доцільно побудувати графічний аналог умови граничного напруженого стану від-

повідно до послідовності процедур, наведених у п. 9.1. Тоді послідовний перебір точок для

задоволення умов рівноваги можна проводити на кругу 3 рис. 9.2.

Графічне вирішення, як видно з наведеного алгоритму, достатньо громіздке і для до-

сягнення необхідної точності потребує спеціальних навичок. Тому розглянемо аналітичне

вирішення основної задачі, зберігаючи наведені вище позначення.

Із геометричних співвідношень, наведених на рис. 9.4, можна визначити, що відрізок

е дорівнює у відносних одиницях

13121

ηβϕβϕµηβϕβϕν sin)]()(sin[sinsin)]()(sin[sin

−=−

, (9.15)

де

δβϕνη

−±=

)(

;

δβϕµη

−±=

)(

а ν і μ відповідають залежностям (9.14). Залежність (9.15) зв’язує δ

та δ

, тобто сумісно із

залежностями (9.14) дає розв’язання основної задачі. Розглянемо окремі випадки отриманого

вирішення.

1. φ(β)=const. Вираз (9.15) зліва і справа перетворюється в нуль, тобто відрізок О

вироджується у точку, розташовану в точці прикладання F. Таким чином, принцип суміще-

ності площадок ковзання буде справедливим, і вирішення, що визначається залежностями

(9.14), вироджується, як і належало чекати, у вирішення основної задачі для ізотропного ґру-

нту.

2. δ

=φ(β

). Із залежностей (9.14) отримаємо μ=0. У цьому випадку вираз (9.15) задо-

вольняється при η=0. Тоді з рівнянь (9.16), оскільки β

=β

, виходить, що δ=δ

, тобто по пло-

щадці АВ реалізується площинне зрушення, що відповідає фізичному розумінню. До анало-

гічного висновку приходимо при δ

=-φ(β

3. φ(β

)=φ(β

)≠φ(β

) або φ(β

)=φ(β

)≠η(β

). Тоді з виразів (9.15), (9.16) виходить, що у

першому випадку δ=ν±φ(β

) і δ=μ±φ(β

) – у другому.

4. φ(β

)=φ(β

)≠φ(β

). Вираз (9.15) набуває вигляду

]

)(sin[/])(sin[sin/sin δβϕµδβϕνµν

+±−±=

Звідси при δ=0 отримаємо ν=μ, що відповідає фізичному розумінню. Таким чином,

окремі випадки свідчать, що отримане розв’язання основної задачі узагальнює відоме вирі-

шення для ізотропного ґрунту і містить його в собі як окремий випадок. Із виразів (9.15),

(9.16) шляхом елементарних перетворень можна перейти до форми вирішення, більш зручної

для практичних розрахунків.

)cosk/(cos)sink(sintg ψεψεδ

+−=

, (9.17)

де

)

(

βϕνε

±=

;

)

(

βϕµ

±=

;

)]()(sin[sin

βϕβϕµ

βϕβϕν

−

При вирішенні конкретних задач окрім кінематичної частини, необхідно вирішувати

статичну частину, найважливішою ланкою якої є визначення напрямку дії і значень активних

сил. При вирішенні кінематичної частини розглядалась невагома призма АВD. Згідно із зага-

льноприйнятим, впливом власної ваги на кінематичну картину можна знехтувати. Статична

частина задачі відрізняється від вирішення для ізотропного ґрунту урахуванням зчеплення.

Покажемо це.

При визначенні напрямку F (див. рис. 9.4) ураховувався тиск зв’язності

)]([tg/)(c)(

111

βϕββσ

. Водночас прийнято припущення, що по площадках AD та BD

діють також

)(

βσ

. Найбільш зручно у практичних задачах вибирати у якості базового зна-

чення тиск зв’язності, тобто відносно цього значення вести врахування зчеплення по усіх

площадках ковзання. Тоді, розглядаючи

)()()(

сiсiс

βσβσβσ∆

−=

як навантаження на і-й

поверхні ковзання, що коригує прийняте раніше рівним

)

(

βσ

, залишається її рівнодіючу

(9.16)

211

iiсi

)()(Q



βσ∆β

, де



– довжина пло-

щадки і, додати до власної ваги G призми

ABD. При цьому слід користуватися прави-

лом: від’ємні результуючі

)(Q

спрямо-

вуються по нормалі від площадки ковзання

в середину ABD, позитивні – у протилеж-

ному напрямкові. На рис. 9.5 показано при-

клад урахування зчеплення для анізотроп-

ного ґрунту і його вплив на величину й на-

прям активної сили G (рис. 9.5, б).

Вирішення основної задачі є найва-

жливішою складовою ланкою, необхідною

для розгляду прикладних задач теорії гра-

ничного напруженого стану анізотропних

ґрунтів, які будуть наведені у п. 9.3.

Загальна задача Ренкіна

Припустимо, що до плоскої зорієнтованої до горизонту під кутом β

поверхні напівне-

скінченного ґрунтового масиву прикладене навантаження інтенсивністю σ

із кутом нахилу

δ′ відносно нормалі до поверхні. Ґрунтове середовище характеризується φ(β) і с(β), осі відлі-

ку β у яких збігаються з горизонтом, а також питомою вагою γ. Поставимо задачу про відшу-

кування поверхонь ковзання у масиві.

Оскільки у даному випадкові напруги не залежать від координати x (рис. 9.6), рівнян-

ня рівноваги у позначеннях (9.7) набувають вигляду:

βγ

sin

;

βγ

cos

, (9.18)

Після інтегрування і врахування граничних умов отримаємо

(β

)

Δσ

φ(β

)

φ(β

)

Δσ

Рис. 9.5. До врахування зчеплення, заданого

(β) при вирішенні основної задачі

π/2

(β)

γzcosβ

δ′

(β

)

=165°

z=zi

Рис. 9.6. Задача Ренкіна:

а – визначення; б – сітка ліній ковзання, φ(β) і с(β) за рис. 4. , d

=20°, γ=20 кН/м

212

δσβγτ

′

sinsin

zxy

;

)(coscos

czz

101

βσδσβγσ

′

У підсумку для довільної точки z одержимо

211

λβλδ

βλδ

′

coscos

sinsin

, (9.19)

де

σγλ /

та

012

σβσλ /)(

Прирівнявши вирази (9.19) і (9.17),

ψε

λβλδ

βλδ

coskcos

sinksin

coscos

sinsin

−

′

211

, (9.20)

одержимо залежність, за допомогою якої можна відшукати напрямки поверхонь ковзання у

будь-якій точці ґрунтового напівпростору. На рис. 9.6, б наведений приклад побудови ліній

ковзання у загальній задачі Ренкіна за допомогою залежності (9.20).

Особливістю вирішення у зіставленні з ізотропним ґрунтом є наявність зони неодно-

значних вирішень, котра легко встановлюється за допомогою залежності δ÷δ

для площадки

із заданою орієнтацією.

Розглянемо визначення положення площин z

, z

, які відповідають зоні неоднозначних

вирішень δ

≤δ≤δ

. З виразу (9.19) видно, що













−

′′

βδβ

δδλδ

costgsin

sin)

cos(tg

. (9.21)

Підставляючи у вираз (9.21) замість δ послідовно δ

та δ

, у підсумку отримаємо відпо-

відно z

й z

, що визначають межі зони.

Зрозуміло, що для невагомого напівпростору права частина залежності (9.20) зали-

шиться постійною, оскільки ліва частина

const

cos

′

незмінна для довільної площини z. Тому поверхні ковзання вироджуються у площини, на-

прямки яких визначені аргументами μ і ν в ε і ψ, k із пояснень до виразу (9.17).

Аналогічний висновок можна зробити

при λ

=λ

=0. У цьому випадку δ´=δ. Крім того,

оскільки залежність (9.20) виходить з

розв’язання основної задачі, розглянуті окремі

випадки необхідно доповнити наведеними при

аналізі залежності (9.15).

Звідси можна зробити висновок, що

отримане вирішення задачі Ренкіна для анізот-

ропного за опором зрушенню ґрунту узагальнює

аналогічне для ізотропного масиву або при

φ(β)=const залежність (9.20) вироджується у за-

лежності (9.14), де φ(β

)=φ і δ

=δ.

Зона Прандтля

Вирішення задачі для проміжної зони є

складовою частиною діагностики несучої здат-

ності основ і бічного тиску для анізотропних за

опором зрушенню ґрунтів. Тому її розгляд необ-

хідний для отримання загального розв’язання

вказаних задач.

Не визначаючи спочатку граничні умови,

розглянемо ґрунтовий невагомий напівпростір,

125

180

225

β°

-50

-100

100

β°

150

200

=200°

β-x

-n

φ(β

)

Рис. 9.7. До побудови поверхні ковзання

другої сім’ї в зоні Прандтля:

а – схема до виводу основного співвідно-

шення; б – допоміжна залежність β-β

213

який знаходиться у граничному напруженому стані

Прандтля. Це означає, що існує два сімейства поверхонь

ковзання, перше з яких являє собою пучок прямих

(площин), що проходять через точку А, котру звичайно

називають полюсом. Як і раніше, будемо вважати, що

анізотропія задана годографами φ(β) та с(β) з осями від-

ліку, фіксованими відносно ґрунтового масиву. Поста-

вимо задачу відшукування поверхонь ковзання другого

сімейства. Для цього звернемося до рис. 9.7, а.

Нехай довільна точка Е розташована на довільній

лінії АЕ (яка належить першому сімейству поверхонь

ковзання), що зорієнтована відносно осі відліку φ(β) під

деяким кутом β. Будемо вважати, що аа

є дотичною до

поверхні ковзання другого сімейства, яка проходить че-

рез точку Е. При цьому кут орієнтації дотичної аа

до

осі відліку складає β

. Тоді, оскільки наведена напруга у

точці Е з умови граничного напруженого стану відхиле-

на від нормалі до аа

під кутом φ(β

), а з умови належ-

ності до зони Прандтля спрямована вздовж лінії АЕ

(див. рис. 9.7, а), можна записати таке рівняння:

/)(

πβϕββ

−−=

За допомогою рівняння (9.22) можна відшукати напрям дотичної до поверхні ковзан-

ня другого сімейства у будь-якій точці, що належить до проміжної зони. Для практичних ро-

зрахунків перед побудовою поверхонь ковзання другого сімейства доцільно для заданого го-

дографа φ(β) накреслити залежність β-β

. На рис. 9.7, б зображено цю залежність для годог-

рафа, наведеного на рис.4.???. Пунктиром показано порядок визначення β

за заданим β.

У загальному випадку рівняння (9.22) не дає однозначного вирішення у проміжній зо-

ні. При цьому інтервали β, що відповідають неоднозначним вирішенням, легко фіксуються

на графіках, аналогічних рис. 9.7, б. На цих інтервалах із збільшенням β значення β

змен-

шуються або залишаються постійними. Виходячи з екстремальних принципів механіки, в

цих випадках із ряду можливих реалізацій кінематичної картини вибирається найбільш неви-

гідна.

Маючи рівняння (9.22), можна перейти до побудови загальної поверхні ковзання, що

має важливе значення у практичних задачах. Для цього розглянемо невагомий елемент

(рис. 9.8) проміжної зони з нескінченно малим кутом розкриття dβ, сторона AD якого обумо-

влена і дорівнює r. Дотична до поверхні ковзання у точці D зорієнтована під кутом β

. Буде-

мо вважати, що поверхня ED є поверхнею ковзання, а AE=r+dr. З’єднаємо точки D та Е

площиною. У трикутнику ADE кут при вершині Е залишається невідомим, але його можна

обумовити через нескінченно малий приріст таким чином:

βϕ d)(AED

−−=∠ 90

. Тоді з геометричних співвідношень виходить:

]d)(sin[

]d)(dsin[

drr

ϕβϕϕβϕβ

ππ

−−

++−

. (9.23)

Після елементарних перетворень рівняння (9.23) запишемо у вигляді

−−−

ϕββϕϕββϕ dsin]d)(sin[dcos]d)(cos[

drr

ϕβϕϕβϕ dsin)](sin[dcos)](cos[

−

. (9.24)

Нехтуючи у знаменниках рівняння (9.24) лівими частинами як нескінченно малими

порівняно з правими і скорочуючи на cosdφ, в підсумку отримаємо:

Рис. 9.8. Елемент проміжної зони

(до побудови поверхні ковзання)

dβ

r+dr

φ(β

)

φ(β

)

φ(β

)

214

)](cos[

dsin)](sin[dcos)](cos[

drr

nnn

βϕββϕββϕ

−

. (9.25)

Приймаючи у рівнянні (9.25) cosdβ=1 та sindβ=dβ, після інтегрування і знаходження

постійної інтегрування отримаємо вираз





















∫

d)]([tgexp)(r)(r

nkm

ββϕββ

, (9.26)

який дозволяє виконати побудову загальної поверхні ковзання другого сімейства. Неважко

побачити, що при φ(β

)=const рівняння (9.26) вироджується у відоме для ізотропного ґрунту

в зоні Прандтля. Оскільки на вид годографа φ(β) обмежень не накладають і він задається

табличною функцією, визначення інтеграла у рівнянні (9.26) виконується чисельно. У зага-

льному випадку вирішення на окремих елементах зони може бути неоднозначним, тому інте-

грування слід виконувати для найбільш невигідної кінематичної реалізації. При цьому попе-

редньо за заданими граничними кутами β розкриття зони з’ясовують значення β

, β

, які і бу-

дуть межами інтегрування у рівнянні (9.26). На рис. 9.9 наведений приклад побудови загаль-

ної поверхні ковзання, який виконаний на основі годографа, зображеного на рис. 4.??. За до-

помогою побудови, наведеної на рис. 9.7, б, замість рівняння (9.26) у практичних розрахун-

ках можна використати наближений прийом, що полягає у заміні поверхні ковзання лама-

ною, напрямки елементів якої виконуються для пучка першого сімейства поверхонь ковзання

за допомогою побудов, аналогічних рис. 9.7, б. При цьому похибка не перевищує 3÷5%. Зі с-

тавлення із загальними поверхнями ковзання для ізотропного ґрунту, поданими на рис. 9.9,

приводить до висновку про суттєву відмінність результатів.

Для практичних задач необхідно мати напрям реакції F

, результуючої реактивні на-

пруги по поверхні ковзання ED. Для розв’язання цього питання розглянемо рівновагу нева-

гомого елемента, зображеного на рис. 9.8, замінивши кінцевим значенням кут dβ=β

+β

Крім того, обумовимо r(β

) та r(β

) за допомогою виразу (9.26) або графічного засобу, викла-

деного вище. За умовами задачі елемент ADE знаходиться у граничному напруженому стані

Прандтля. Тому наведені напруги по площадках ковзання AD й AE і їх результуючі відхи-

лення від нормалей відповідно під кутами φ(β

) та φ(β

). Крім того, F

і F

, з причин неваго-

мості ADE, прикладені у точках, розташованих від полюса А відповідно на відстанях r(β

)/2

та r(β

)/2. Продовжуючи лінії дії F

і F

, отримаємо точку їх перетину К. З умови рівноваги

ADE лінія дії F

повинна включити точку К і полюс А, виходячи з виду напруженого стану.

Ця обставина дозволяє з геометричних співвідношень отримати напрямок F

, що визначаєть-

ся кутом β

, значення якого можна визначити за формулою

170°

160°

150°

140°

130°

120°

110°

100°

90°

r(β)

Рис. 9.9. Поверхня ковзання:

1 – д

ля анізотропного за опором зрушенню грунту в гранично напруженому

стані Прандтля; 2 – відповідає φ=minφ(β)=const; 3 – φ=maxφ(β)=const

215













−−

−=

242

ηβϕβϕ

ηβϕ

ββ

sin)uexp()](cos[)(tg

cos)](cos[)uexp(

arctg

, (9.27)

де

4242

βββϕη

+−=

)(

;

∫

ββϕ d)]([tgu

Слід зазначити, що при φ(β)=const формула (9.27) набуває вигляду

)

tgexp(cos

)tgexp(sin

arctg

ϕθθ

ϕββ

−−

−

−−=

, (9.28)

що збігається з аналогічним результатом для ізотропного ґрунту, який отримано

П. І. Яковлєвим. У формулі (9.28)

ββθ

−=

При діагностиці несучої здатності анізотропних основ, бічного тиску анізотропного

ґрунту, крім кінематичної, необхідно розглядати статичну частину задачі, яка передбачає ви-

значення площ і власної ваги відповідно зон граничного напруженого стану. Для зони Пран-

дтля площу елемента ADE визначають згідно із залежністю

∫ ∫

−





















42 2

ββ β

εεβϕβ dd)]([tgexp)(rS

. (9.29)

Інтегрування у залежності (9.29) виконується чисельним шляхом, оскільки φ(β) задане

у практичних задачах табличною функцією. Відмітимо також, що β

, який уходить у вирази

(9.26), (9.27), (9.29), не є постійною величиною, а пов’язаний із β залежністю (9.22).

Урахування зчеплення, заданого годографом с(β), ведеться аналогічно розглянутому

раніше для кута внутрішнього тертя. У якості базового зчеплення зручно зберігати σ

(β

). Ро-

зглядати площадки AD і АЕ недоцільно, оскільки у багатокутнику сил додаткові складові,

обумовлені різницею зчеплень по цих площадках, взаємно ліквідуються складовими сусідніх

елементів або зон максимального й мінімального напруженого станів. По поверхні ковзання

ED нормальна та дотична складові, – відносно осі відліку φ(β), результуючої додаткового ти-

ску зв’язності, – визначають відповідно за формулами:

∫

+−−=

ββϕβπββσβσ d)](,cos[)(r)]()([)ED(Q

ncncn

; (9.30)

∫

+−−=

ββϕβπββσβσ d)](,sin[)(r)]()([)ED(Q

ncnc

. (9.31)

Вибір напрямів (9.30), (9.31) виконується згідно з правилом знаків, сформульованим

раніше у п. 9.2. Інтегрування у формулах (9.29)-(9.31) виконується чисельними методами.

Таким чином, отримані всі необхідні для практичних задач залежності, які зумовлю-

ють напружений стан анізотропного за опором зрушенню ґрунту в зоні Прандтля.

9.3. ВИРІШЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ

АНІЗОТРОПНОГО ЗА ОПОРОМ ЗРУШЕННЮ ҐРУНТУ.

Несуча здатність анізотропного за опором зрушенню ґрунтового клину

Результати, отримані у п. 9.2, дають можливість перейти до вирішення задачі у зага-

льній постановці, а також відмовитись від графічних побудов і привести залежності до аналі-

тичного вигляду, найбільш зручного для практичних інженерних розрахунків.

Розглянемо плоску задачу для ґрунтового клину, по одній із граней якого, зорієнтова-

ної відносно горизонтальної осі відліку під кутом β

(рис. 9.10), прикладене навантаження

смугою інтенсивністю σ, що діє під кутом δ′ до нормалі. На другій грані клину, зорієнтованій

під кутом

′

, розташоване навантаження інтенсивністю σ

із кутом нахилу до нормалі δ″. На

рис. 9.11 показані позитивні значення δ′ і δ″.

Ґрунтовий клин вважаємо однорідно анізотропним, тобто φ(β) та с(β), які зафіксовані

216

відносно горизонтальної осі відліку, задовольняють умови (9.1) й (9.2). Вигляд годографів у

рамках указаних умов довільний і заданий табличними функціями, які побудовані за резуль-

татами стандартних випробувань відповідно до п. 9.1 або є результатом приведення шарува-

тої основи до квазіанізотропної. За допомогою φ(β) та с(β) для зручності у подальшому по-

будуємо також годограф тиску зв’язності σ

(β).

Із рис. 9.10 виходить, що наведені напруги, які діють по смузі завантаження, відхилені

від нормалі під кутом

{ }

]/)(/[cossinarctg

σβσδδρ

′′

. (9.32)

Послідовно задаючи δ

(у позначеннях п. 9.2), відповідно до залежностей (9.14), ви-

значаємо ν, μ:













+++=

)](sin[/arcsin[sin)(

1111

βϕβδβϕ

; (9.33)

)(

βϕν

+−

. (9.34)

Ураховуючи, що (див. рис. 9.11)

νβπβ

−+=

; (9.35)

ββ

, (9.36)

за годографом φ(β) визначаємо φ(β

) та φ(β

), які дозво-

ляють визначити згідно з виразом (9.17)

)

(

βϕνε

−=

; (9.37)

)

(

βϕµ

−=

; (9.38)

)]()(sin[sin

βϕβϕµ

βϕβϕν

−

; (9.39)

ψε

coskcos

sinksin

arctg

−

. (9.40)

Перевіряючи відповідність залежностей (9.40) і

(9.32) послідовною зміною δ

, добиваємось їх рівності.

Для ізотропного ґрунту δ

=ρ і необхідність у послідов-

них наближеннях і розрахунках (9.35)-(9.40) відпадає.

У даному випадку залежності (9.32)-(9.40) дозволяють

кінематично обумовити зону мінімального напружено-

го стану. В загальному випадку, як було відмічено у

Рис. 9.10. Поверхні ковзання для анізотропного за зрушенням зсуву клину

β′

φ(β

)

φ(β

)

φ(β′

)

2τ

φ(β′

)

(β′

)

δ′

Рис. 9.11. Векторна діаграма сил

2τ

217

п. 9.1, у інтервалі δ

, тобто –φ(β

)<β

<φ(β

), можлива реалізація декількох кінематичних об-

рисів зони, з котрих вибирається найбільш несприятлива, виходячи з інженерних позицій.

Таким чином, окрім кінематичної і статичної частин задачі, характерних для ізотропного

ґрунту, в умовах анізотропії необхідно вирішувати ідентифікаційну частину задачі, яка приз-

начена для визначення екстремальної кінематичної схеми руйнування основи з декількох

можливих схем, що повністю задовольняють розрахункові моделі й граничні умови.

Для зони максимального напруженого стану алгоритм вирішення кінематичної части-

ни задачі аналогічний. Кут відхилення наведених напруг

{ }

]/)(/[cossinarctg

111

σβσδδρ

′′′′

. (9.41)

Задаючи

′

у інтервалі

)()(

111

βϕδβϕ

′

−

, розраховуємо μ

та ν

(див. рис. 9.11) за

формулами:

[ ]













′′

−

′

−=

)(sin/sinarcsin)(

11111

βϕδδβϕ

; (9.42)

)(

111

βϕν

′

+−=

. (9.43)

Визначивши

πνββ

+−

′

112

; (9.44)

ββ

−

′

(9.45)

і з’ясувавши, відповідно до годографа

)( βϕ

значення

)(

βϕ

′

та

)(

βϕ

′

, згідно з виразом

(9.17), розраховуємо

)(

211

βϕνε

′

−=

; (9.46)

)(

311

βϕµψ

′

−=

; (9.47)

)]()(sin[sin

311

211

βϕβϕµ

βϕβϕν

′

−

′

−

′

; (9.48)

і в підсумку

111

ψε

coskcos

sinksin

arctg

−

. (9.49)

Значення ρ

порівнюємо з отриманим за формулою (9.41). Якщо результати не збіга-

ються, розрахунок за формулами (9.42)-(9.49) повторюється для чергового значення δ

. Як і в

попередньому випадку, ідентифікується екстремальний із можливих варіантів.

Побудова загальної поверхні ковзання у проміжній зоні виконується таким чином. З

геометричних співвідношень (див. рис. 9.10) r у відносних одиницях складає

)](cos[/sin

βϕµ

′

, (9.50)

де В – ширина смуги завантаження.

В інтервалі

βββ

≤≤

′

фіксуємо β

із кроком, який обумовлює бажану точність. По-

тім шляхом послідовних наближень для кожного β

згідно з (9.19) розраховуємо β

за форму-

лою

/)(

niini

πβϕββ

++=

. (9.51)

Визначення (9.51) необхідне для розрахунку чисельним шляхом інтегралів

∫

βϕβ d)(tg)(u

, (9.52)

які необхідні для визначення відносних радіус-векторів, що розраховують на основі рівняння

(9.26) за формулою

)](uexp[

)](cos[

sin

)(r

)(r β

βϕ

′

. (9.53)

218

Крайнє значення рівняння (9.53), що відповідає

′

, позначимо r

. Таким чином, пос-

лідовність процедур, котра визначається залежностями (9.50)-(9.53), дозволяє завершити роз-

гляд кінематичної частини задачі не тільки у проміжній зоні, але і в цілому для клину. Слід

відмітити, що число таких реалізацій для реальних годографів φ(β) скінчене, що дає змогу

шляхом додаткового аналізу з’ясувати найбільш несприятливий випадок.

Статична частина задачі, як і для ізотропного ґрунту, полягає у з’ясуванні активних і

реактивних сил, їх орієнтації у вибраній системі координат, за допомогою котрих з умови

рівноваги визначається несуча здатність клину. Вирішення цієї частини задачі можна отри-

мати таким чином.

Власну вагу зон визначають за формулами (див. рис. 9.10):

νγ sinrBG

; (9.54)

∫

′

ββγ d)](uexp[rBG

; (9.55)

µγ sinarBG

, (9.56)

де γ – питома вага ґрунту; u(β) – функція, що визначається з формули (9.52), а інтеграл, що

входить у формулу (9.55), визначається чисельно, оскільки годограф φ(β) заданий табличною

функцією. Коефіцієнт а визначається за формулою

111

νβϕ sin/)](cos[ra

′

, (9.57)

За допомогою формули (9.57) визначають b=b(a), що дозволяє знайти результуючу

привантаження

bqQ

. (9.58)

Окрім активних сил, визначених за формулами (9.54)-(9.56) і (9.58), згідно з алгорит-

мом, наведеним у п. 9.2, необхідно визначити рівнодіючі Q

по площадках ковзання, зумов-

лені анізотропією зчеплення. Для цього попередньо з годографа тиску зв’язності з’ясовуємо

значення

)

(

βσ

′

)(

βσ

. Тоді по площадках

та

′

діють відповідно

)]()([

)(cos

sin

сс

βσβσ

βϕ

−=

; (9.59)

)]()([

sin

sinr

сс

βσβσ

−

′

. (9.60)

На поверхні ковзання проміжної зони згідно з формулами (9.30), (9.31) отримаємо

∫

′

+−

′

−=

ββϕβπββσβσ d)](,cos[)](uexp[)]()([BrQ

ncncn,

; (9.61)

∫

′

+−

′

−=

ββϕβπββσβσ d)](,sin[)](uexp[)]()([BrQ

ncnc,

, (9.62)

які розраховують чисельним шляхом аналогічно формулі (9.52). Таким чином, у якості базо-

вого тиску зв’язності для зон максимального напруженого стану і проміжної вибрано

)(

βσ

′

, для зони мінімального напруженого стану –

)(

βσ

. “З’єднання” виконується шля-

хом уведення результуючої Q

, що діє по площадці β

, котра розраховується за формулою

)]()([BrQ

114

βσβσ

−

′

. (9.63)

Отже, для завершення статичної частини залишається з’ясувати кути орієнтації акти-

вних і реактивних сил. Для цього найбільш зручно перейти від прийнятої системи відліку

кутів до їх визначення відносно вертикальної осі. Тоді для активних сил кути орієнтації

складуть (рис. 9.11)

βρπε

′

−+=

; (9.64)

; (9.65)

βπε

′

−=

; (9.66)

219

; (9.67)

; (9.68)

; (9.69)

βπε

−=

; (9.70)

; (9.71)

πβε

−=

. (9.72)

Результуюча граничного опору основи зорієнтована під кутом

βρπε

−+=

. (9.73)

Реактивні сили зорієнтовані відносно вертикальної осі таким чином (див. рис. 9.12):

βϕβε

−−=

)(

331

(9.74)

)(

222

βϕβπε

−−=

; (9.75)

πβϕβε

−

′

−

′

)(

333

(9.76)

)(

224

βϕβπε

′

−

′

−=

; (9.77)

βπε

−=

(9.78)

У виразі (9.78) β

згідно з (9.27) визначається за формулою













−

′

−

′

−=

χβϕβϕ

χβϕ

ββ

sin)](cos[)]([Vtg

cos)](cos[V

arctg

, (9.79)

де

)](uexp[V

′

;

323

βββϕχ

′

−−

′

)(

Розглядаючи граничну рівновагу зон послідовно максимального напруженого стану,

проміжного і мінімального напруженого стану, приходимо до бажаного результату відповід-

но до залежностей:

}sinQsinQ]cosQGcosQ[tg{VF

QQQQ

333314

εεεεε

++++=

, (9.80)

де

4341

−

)costg(sinV εεε

;

344333

εεεε cos/]cosFcosQG

cosQ[F

−++=

, (9.81)

εεε

,n,

QsinF]QGcosF[tg{VF

2332233225

+−++−=

, (9.82)

де

5252

−

−=

)costg(sinV εεε

; (9.83)

+−++−=

]cosFcosQcosQG[tg(VФ

22441113

εεεε

)sinQsinQsinF

4122

εεε

−+

, (9.84)

де

−

)tgcos(sinV

фф

εεε

Отримане значення результуючої Ф граничного опору ґрунтового клину зіставляється

з діючим навантаженням згідно з прийнятими в інженерній практиці критеріями.

Отже, наведений алгоритм дає змогу виконувати визначення несучої здатності без ви-

користання графічних побудов, що значно полегшує виконання розрахунків шляхом викори-

стання ЕОМ.

Відмітимо деякі окремі випадки одержаного вирішення. Оскільки на вигляд годогра-

фа φ(β) обмежень не накладають, при деякому окремому розташуванні площадок ковзання у

зоні мінімального напруженого стану може виявитися, що φ(β

)=φ(β

). Тоді результу-

ючі по площадках β

та β

проходять через точку прикладення рівнодіючої навантаження. У

цьому випадку замість залежностей (9.37)-(9.40) з геометричних співвідношень отримаємо













−

−=

)](sin[sinsin

)](cos[sin

arctg

βϕµν

βϕµ

. (9.85)

Аналогічно для зони максимального напруженого стану замість формул (9.46)-(9.49)

при

)

()()(

321

βϕβϕβϕ

′

можна користуватися виразом













′

−−=

)](sin[sinsin

)](

cos[sin

arctg

111

βϕµν

βϕµ

. (9.86)

Залежності (9.85) і (9.86) використовують також у випадках, коли анізотропія має мі-

сце тільки із зчеплення, тобто при φ(β)=const і с(β)≠const.

В окремих випадках

)

()()(

231

βϕβϕβϕ

≠=

та

)

()()(

321

βϕβϕβϕ

′

≠=

замість зале-