Журнал - Вісник Донбаської державної машинобудівної академії 2010 №1 (6Е)

Подождите немного. Документ загружается.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

102

В работе [15] исследовано воздействие высокоскоростной струи жидкости от дозву-

кового до сверхзвукового диапазона на твердую поверхность. При помощи ПВДФ-датчиков

было измерено давление на твердую поверхность высокоскоростной струи ГП, истекающей

со скоростью 2000–4500 м/с.

ВЫВОДЫ

Показано, что при формировании гидроструи в пороховой ГП имеется характерное

распределение давления жидкости по длине ствола. Максимальной величины давление дос-

тигает при входе в профилированное сопло.

Наиболее перспективным методом измерения давления в стволе ГП является метод

измерения с помощью датчиков, работающих на пьезоэффекте. В частности, характеристики

датчиков на основе ПВДФ пленки делают их незаменимыми при измерении быстропроте-

кающих процессов взрыва и необходимо проведение дополнительных исследований, резуль-

таты которых будут учитываться при разработке нового измерительного оборудования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Отчет о научно-исследовательской работе. Исследование теоретических основ приборного, тех-

нологического и методического обеспечения гуманитарного разминирования. Шифр И-01/06 / Министерство

образования и науки Украины: НИПКИ «Искра»; № гоcрегистрации 0106Г001178.

2. Атанов Г. А. Гидроимпульсные установки для разрушения горных пород / Г. А. Атанов. – К. : Вища

школа, 1987. – 155 с.

3. Влияние формы сопла

на параметры пороховой гидропушки / Г. А. Атанов, Э. С. Гескин,

О. П. Петренко, А. Н. Семко // Прикладная гидромеханика. – 2007. – Т. 9, № 4. – С. 3–9.

4. Семко А. Н. Импульсные струи жидкости высокого давления / А. Н Семко. – Донецк : ВЕБЕР,

2007. – 148 с.

5. Бигвава В. А. Особенности применения гидропушек для обезвреживания взрывоопасных предметов /

В. А. Бигвава

, А. В. Кочергин, Г. Л. Логунова // Артиллерийское и стрелковое вооружение. – 2008 – № 4. –

С. 24–29.

6. Атанов Г. А. Силы, действующие при выстреле гидропушки / Г. А. Атанов, Э. С. Гескин, А. Н. Сем-

ко // Вісник Донецького університету. – 2004. – Вип. 1. – С. 237–242.

7. Анализ параметров внутренней баллистики пороховой гидропушки / Т. Н. Козак. – НИПКИ «Искра» :

Луганск, 2009. – 6 с. –

Библиогр. : 10 назв. – Рус. – Деп. в ГНТБ Украины 20.07.09, № 57; Ук. 2009.

8. Семко А. Н. Внутренняя баллистика порохового водомета и гидропушки // Теорет. и прикл. механи-

ка. – Харьков : Основа, 2002. – Вып. 35. – С. 181–185.

9. Сайт «PCB piezotronics». Датчики PCB piezotronics (пьезоэлектрические, для измерения динамиче-

ского давления)

[

Электронный ресурс

]

. – Режим доступа: http://pcb.com/contentstore/docs/PCB_Corporate/

Pressure/products/Manuals/118B03.pdf

10. Официальный сайт фирмы Kistler Group. Датчики высокого давления

[

Электронный ресурс

]

. – Ре-

жим доступа: www.intertechnology/com/Kistler/pdfs/Pressure.

11. Сайт ФГУП «ГосНИИ «Кристалл». Методика определения импульсных давлений с использованием

манганиновых датчиков

[

Электронный ресурс

]

. – Режим доступа: www.niikristall.ru/index.php?id-page=150.

12. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. И. Канель, С. В. Разоренов, Л. В. Уткин,

В. Е. Фортов. – М. : Янус-К, 1996. – 408 с.

13. Исследование фазовых превращений в железе и церии ПВДФ-датчиком давления: материалы меж-

дународной конференции «Ударные волны в конденсированных средах»: Санкт-Петербург, 3–8 сентября 2006 г. /

В. Г. Симаков,

В. А. Борисенок, В. А. Брагунец, В. А. Волгин, М. В. Жерноклетов.

14. Guillermo С. O. Silva. Development, characterization and Application of a reactive bulking Agent for wall

control / С. O. Guillermo. – Ontario: Queen’s University, Kingston, 2007. – 370 р.

15. Hong-Hui Shi The measurement of impact pressure and solid surface response in liquid-solid impact up to

hypersonic range: 8

International conference on erosion by liquid and solid impact / Shi Hong-Hui, K. Takayama;

N. Nagayasu. – Cambridge, 1995. – P. 352–359.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ

СЕРДЕЧНИКА ПОРОШКОВОЙ ЛЕНТЫ ПРИ ДУГОВОЙ НАПЛАВКЕ

Кассов В. Д., Турчанин М. А., Малыгина С. В.

Проанализированы тепловое состояние оболочки и шихты порошковой ленты на раз-

ных ее участках по длине свободного вылета. Показано, что повышение температуропровод-

ности шихты позволяет повысить среднюю температуру нагрева сердечника и выровнять

распределение температуры по его толщине. Полученные математические зависимости по-

зволяют наметить пути управления технологическими характеристиками процесса наплавки

порошковой лентой. Полученные математические зависимости позволяют определить тем-

пературу в любой точке сердечника на вылете порошковой ленты в зависимости от безраз-

мерных критериев и относительной толщины сердечника, а также наметить пути управления

технологическими характеристиками процесса наплавки порошковыми лентами.

Проаналізовано тепловий стан оболонки та шихти порошкової стрічки на різних її ді-

лянках по довжині вільного вильоту. Показано, що підвищення температуропровідності ши-

хти дозволяє підвищити середню температуру нагріву сердечнику та вирівняти розподілення

температури по його товщині. Отримані математичні залежності дозволяють намітити шляхи

управління технологічними характеристиками процесу наплавлення порошковою стрічкою.

Отримані математичні залежності дозволяють визначити температуру в будь-якій точці сер-

дечника на вильоті порошкової стрічки в залежності від безрозмірних критеріїв і відносної

товщини сердечника, а також намітити шляхи керування технологічними характеристиками

процесу наплавлення порошковими стрічками.

The thermal condition of a cover and charge of a powder tape on its various sites on length

of a free departure is analyzed. It is shown that the increase of diffusivity of a charge allows to in-

crease average temperature of heating of the core and to level temperature distribution on its thick-

ness. The received mathematical dependences allow to plan the ways of management of technical

characteristics on powder tape deposition process. The received mathematical dependences allow to

define temperature in any point of the core on a departure of a powder tape depending on dimen-

sionless criteria and a relative thickness of the core, and also to plan ways of management of techni-

cal characteristics on the process melting deposition with the help of a powder tape.

Кассов В. Д.

д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой ПТМ ДГМА

ptm@dgma.donetsk.ua

Турчанин М. А.

д-р хим. наук, проф. кафедры ТОЛП ДГМА

tolp@dgma.donetsk.ua

Малыгина С. В. канд. техн. наук, ст. преп. кафедры ПМ ДГМА

ДГМА – Донбасская государственная машиностроительная академия, г. Краматорск

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

УДК 621.791.75.04

Кассов В. Д., Турчанин М. А., Малыгина С. В.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО СОСТОЯНИЯ

СЕРДЕЧНИКА ПОРОШКОВОЙ ЛЕНТЫ ПРИ ДУГОВОЙ НАПЛАВКЕ

В условиях дефицита материальных и энергетических ресурсов восстановительная

наплавка порошковой лентой является высокоэффективным ресурсосберегающим техноло-

гическим приемом, обеспечивающим удовлетворение регламентации надежности и долго-

вечности, соблюдение принципов взаимозаменяемости и экономичности [1]. При этом важ-

ное значение приобретают вопросы качества наплавленного металла, обеспечения требуемой

износостойкости [2]. Однако при наплавке порошковыми электродами легированных изно-

состойких сплавов не всегда обеспечивается химическая однородность металла шва, получе-

ние в нем соответствующей структуры [3], что повышает темпы износа восстановленных ра-

бочих поверхностей. Это во многом связано с неравномерностью плавления оболочки

и сер-

дечника порошковой ленты [4]. Поэтому особый интерес для регулирования процесса пред-

ставляет распределение тепла на вылете порошковой ленты, что позволит контролировать

нагрев и расплавление компонентов шихты сердечника.

Цель работы – изучение теплового состояния системы «сердечник – оболочка» по-

рошковой ленты при нагреве в процессе дуговой наплавки.

Сердечник порошковой ленты можно представить как

тело, ограниченное двумя па-

раллельными плоскостями – оболочкой ленты. Изменение температуры

T во времени про-

исходит только в одном направлении x, в двух других направлениях y и z температура неиз-

менна. Следовательно, задача является одномерной.

Теплообмен между поверхностями сердечника и оболочки ленты происходит по зако-

ну Ньютона. Найдем распределение температуры на вылете по толщине сердечника порош-

ковой ленты в любой момент времени t > 0.

Поместим начало координат в середину порошковой ленты. Тогда r – это половина

толщины сердечника порошковой ленты, т. е. r = h/2.

Условие задачи математически может быть сформулировано следующим образом.

Решить дифференциальное уравнение теплопроводности Лапласа:

),(),(

txT

∂

, (t > 0, r < x < r); (1)

при начальных и граничных условиях:

TxT

)0,( ; (2)

),0(

∂

; (3)

0)],()([

),(

=−+

∂

− trTtT

trT

αλ

, (4)

где а – коэффициент температуропроводности, м

/с;

– коэффициент теплопроводно-

сти, вт/(м⋅град);

– коэффициент теплообмена, вт/(м

⋅град).

Если учесть, что T(t) есть линейная функция времени, то граничное условие (4) можно

записать в виде:

0)],([

),(

=−++

∂

− trTgtT

trT

. (4

)

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

Задачу (1)–(4) решали операционным методом. Решение поставленной задачи полу-

чили в следующем виде:

)exp(cos

),(

gtTtxT

μμ

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=−

∑

∞

, (5)

где

Bi = – критерий Био;

/ ratFo = − критерий Фурье [5];

− начальные тепло-

вые амплитуды, определяемые из соотношения:

)(

)1(

BiBi

μμ

−=

– простые корни, определяемые из характеристического уравнения:

Bictg /

. (6)

Выражение (5) позволяет рассчитать температуру ),( txT

в любой точке сердечника

порошковой ленты, находящейся на вылете. Интенсивность повышения температуры обо-

лочки ленты (окружающей среды) характеризует безразмерная скорость нагрева – критерий

Предводителева:

max

)(

dFo

Pd =

Поскольку gtTtT

+=)(, то

=⋅= .

Тогда решение (5) задачи нагрева сердечника можно представить в виде:

∑

∞

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+−=

−

).exp()cos(

15,0

),(

nocc

TtxT

μμ

(7)

Таким образом, относительная температура в любой точке сердечника на вылете порош-

ковой ленты является функцией безразмерных величин

BiFo ,,

На оси порошковой ленты, т. е. при х = 0, выражение (7) принимает вид:

)exp()

1(5,0

−++−=

∑

∞

. (8)

Здесь температура нагрева сердечника минимальна.

Выполним анализ решения (7). Если положить Bi→∞, то при заданных значениях

и r это условие эквивалентно

→

∞. А это означает, что термическое сопротивление пере-

ходу теплоты от оболочки к сердечнику порошковой ленты 1/

равно нулю. Тогда из гра-

ничного условия (4

) следует, что температура поверхности сердечника мгновенно становит-

ся равной температуре оболочки и затем изменяется по линейному закону gtTtrT

=),(.

Для решения такой задачи необходимо в (7) положить Bi = ∞. Тогда:

)exp()cos()1(5,0

μμ

−+−−=

∑

∞

, (9)

где

)12(

−= n

)12(

)1(

−

−=

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

Если критерий Био мал (Bi < 0,1), то все члены ряда в решении (7) ничтожно малы по срав-

нению с первым, так как в этом случае корни характеристического уравнения

)1( −→ n

, а ко-

эффициенты 0→

A , за исключением амплитуды A

, которая близка к единице.

Для малых значений

можно ctg

заменить на 1/

, тогда из уравнения (6) полу-

чим, что Bi=

. Следовательно, решение (7) примет вид:

)exp()cos(

)

1(5,0

BiFo

Bir

−+−+−=

. (10)

Интенсивность нагрева сердечника определяется отношением интенсивностей двух эффек-

тов – переноса теплоты через граничный слой (теплообмен на поверхности сердечника) и перено-

са теплоты материалом сердечника (теплопроводность внутри шихты), т. е. отношением

Продолжим анализ выражения (7). Величины

представляют собой ряд возрастаю-

щих чисел

< … <

. Числовые значения членов ряда в выражении (7) быстро умень-

шаются с возрастанием номера члена, так как при этом возрастает значение

. Поскольку

ряд знакопеременный, то он быстро сходится. Кроме того, для больших значений Fo ряд

сходится быстрее, чем для малых.

Для практических расчетов уже при Fo

≥

0,3 в уравнении (7) можно ограничится толь-

ко первым членом ряда. При этом оно упростится и примет вид:

)exp()cos()

1(5,0

μμ

−+−+−=

. (11)

Из выражений (7), (8) видно, что решение уравнения теплопроводности состоит из

двух составляющих: регулярной и нерегулярной. Эти части по-разному зависят от времени.

Регулярная составляющая увеличивается с ростом числа Фурье по линейной зависимости,

т.е. довольно быстро. Нерегулярная составляющая, которая отражает внутреннее тепловое

состояние сердечника перед началом нагрева, очень быстро уменьшается с ростом

Fo. Сле-

довательно, существует такое значение числа Фурье, за которым нерегулярная составляющая

становится пренебрежительно малой. Эта граница считается началом наступления регуляр-

ного режима нагрева сердечника. Регулярным режимом можно считать нагревание, когда не-

регулярная составляющая составляет не более 5 % регулярной.

Пользуясь формулами (8) и (11), можно, задаваясь критерием Био, вычислить наступ-

ление регулярного режима

на оси порошковой ленты и, следовательно, для всего вылета:

)/15,0(05,0)exp(

BiFoFo

−−≤−

. (12)

Таким образом, начиная с некоторого значения oFFo

′

> , суммой ряда можно пренеб-

речь, а режим нагрева сердечника становится квазистационарным. Тогда температура в лю-

бой точке сердечника будет линейной функцией времени, а ее распределение по толщине

сердечника – параболическим.

Найдем среднюю относительную температуру

PdT

Δ по толщине сердечника по-

рошковой ленты в заданный момент времени

t. Эту температуру можно найти, если проин-

тегрировать решение (7) по

x/r в пределах от 0 до 1:

)exp()

()(

ncc

∑

∫

∞

−++−=

, (13)

где

sin

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

Коэффициенты

B все положительны и с увеличением

быстро уменьшаются. Для

практических расчетов можно ограничиться первым членом ряда, поэтому формула (13) уп-

ростится и примет вид:

)exp()

(

−++−=

. (14)

Используя формулы (7) и (13), были определены зависимости температуры нагрева

сердечника от скорости нагрева оболочки, величины критерия Био и коэффициента темпера-

туропроводности шихты. С ростом критерия Био уменьшается тепловое сопротивление

переходу теплоты от оболочки к сердечнику, и средняя температура сердечника возрастает,

а время наступления регулярного режима уменьшается. С увеличением коэффициента a

интенсивность нагрева

сердечника возрастает, а регулярный режим нагрева наступает быстрее.

Так при a = 0,2⋅10

-6

/с регулярный режим нагрева вплоть до времени нагрева 12 с не

наступает при всех значениях критерия Био. При a = 0,4⋅10

-6

/с регулярный режим нагрева

наступает после 8-ой секунды при значениях Bi > 20 (рис. 1, а). При a = 2⋅10

-6

/с регулярный

режим нагрева сердечника наступает уже на 6-ой секунде при Bi > 0,5. При увеличении крите-

рия Био до 20 регулярный режим наступает уже на третьей секунде (рис. 1, б).

а б

Рис. 1. Расчетные средние температуры сердечника порошковой ленты в зависимости

от времени нагрева и критерия Био:

а – g = 50 град/с, а = 0,4·10

–6

/с; б – g = 100 град/с, а = 2,0·10

–6

/с

Таким образом, повышение температуропроводности шихты позволяет увеличить

среднюю температуру нагрева сердечника и выровнять распределение температуры по его

толщине. Результаты работы легли в основу создания новых высокоэффективных порошко-

вых лент, позволили разработать технологические рекомендации по управлению технологи-

ческими характеристиками процесса наплавки.

ВЫВОДЫ

Рассматривая сердечник порошковой ленты как тело, ограниченное двумя параллель-

ными плоскостями оболочки ленты, получена математическая модель нагрева сердечника,

позволяющая определить температуру в любой точке сердечника на вылете порошковой лен-

ты в зависимости от безразмерных критериев Предводителева, Био и Фурье и относительной

толщины сердечника.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рябцев И. А. Высокопроизводительная широкослойная наплавка электродными проволоками и лен-

тами / И. А. Рябцев // Автоматическая сварка. – 2005. – № 6. – С. 36–41.

2. Патон Б. Е. Проблемы сварки на рубеже веков / Б. Е. Патон // Автоматическая сварка. – 1999. – № 1. – С. 4–15.

3. Кассов В. Д. Наплавка порошковой лентой деталей энергетических установок / В. Д. Кассов,

Е. В. Кассова

// Вестник двигателестроения. – 2006. – № 2. – С. 151–153.

4. Кассов В. Д. Восстановительная наплавка комплекснолегированной порошковой проволокой дета-

лей металлургического оборудования / В. Д. Кассов, А. П. Литвинов // Захист металургійних машин від поломок :

зб. наук. праць. – Маріуполь: ПДТУ, 2006. – № 9. – С. 158–162.

5. Юдаев Б. Н. Теплопередача / Б. Н. Юдаев. – М. : Высшая школа, 1981. – 319 с.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

116

АВТОМАТИЧЕСКОЕ БАЛАНСИРОВАНИЕ РОТОРОВ, РАБОТАЮЩИХ С УДАРОМ

Кравченко В. И.

Для устранения повышенных вибраций ротора, вызванных неуравновешенностью, ко-

торая изменяется непосредственно во время выполнения технологических операций, пер-

спективным является применение автобалансирующих устройств разной конструкции с твер-

дыми или жидкостными (сыпучими) рабочими телами. Представлены результаты теоретиче-

ских исследований процесса автоматической балансировки шаровым автобалансирующим

устройством роторов, работа которых сопровождается ударом. Разработаны математическая

модель и соответствующие алгоритм и программа, написанная в системе визуального про-

граммирования Delphi V6 и позволяющая моделировать с использованием ЭВМ работу

двухшарового однорядного автобалансирующего устройства, установленного на ротор, под-

верженный ударным нагрузкам. Описаны результаты моделирования. Установлено, что опи-

санная в статье математическая модель согласуется с известными, если принять в ней рав-

ным нулю значение силы удара.

Для усунення підвищених вібрацій ротора, викликаних неврівноваженістю, яка змі-

нюється безпосередньо під час виконання технологічних операцій, перспективним є застосу-

вання автобалансірующіх пристроїв різної конструкції з твердими або рідинними (сипучими)

робітниками тілами. Наведені результати теоретичних досліджень процесу автоматичної ба-

лансировки кульовим автобалансуючим пристроєм роторів, робота яких супроводжується

ударом. Розроблено математичну модель і відповідні алгоритм і програма, написана в систе-

мі візуального програмування Delphi V6, яка дозволяє моделювати з використанням ЕОМ

роботу двохкульового однорядного автобалансуючого пристрою, встановленого на ротор,

схильний до ударних навантажень. Описані результати моделювання. Встановлено, що наве-

дена в статі математична модель співпадає з відомими, якщо у ній значення сили удару дорі-

внює нулю.

To eliminate excessive vibration of the rotor caused by the imbalance, which varies di-

rectly during the execution process operates, it is promising to use autobalancing devices of

various designs with solid or liquid working parts. In the article the results of theoretic research

of the process of automation stability with auto-balanced sphere devise under knowing force has

been described. A mathematical model and corresponding algorithm and a program written in

the visual programming Delphi V6 which can simulate using the computer work of two a ball-

row autobalancing device installed on the rotor, which is subject to shock loadings. the simula-

tion results are described. It has been established that described in the article mathematical

model is consistent with the known, if ones we take it equal to zero value of impact force.

Кравченко В. И. канд. техн. наук, доц. кафедры КИТ ДГМА

kit@dgma.donetsk.ua

ДГМА – Донбасская государственная машиностроительная академия, г. Краматорск

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

117

УДК 622.002.3

Кравченко В. И.

АВТОМАТИЧЕСКОЕ БАЛАНСИРОВАНИЕ РОТОРОВ, РАБОТАЮЩИХ

С УДАРОМ

Для устранения повышенных вибраций ротора, вызванных неуравновешенностью, ко-

торая изменяется непосредственно во время выполнения технологических операций (роторы

пескометов, шлифовальных станков, центробежных насосов, центрифуг и др.), традицион-

ные методы статического или динамического балансирования являются малоэффективными.

Перспективным является применения автобалансирующих устройств (АБУ) разной конст-

рукции с твердыми или жидкостными (сыпучими) рабочими телами [1, 2]. Одна из конст-

рукций АБУ с твердыми рабочими телами (дебалансами) представляет собой закрепленную

на роторе цилиндрическую или коническую обойму, внутренняя пустота которой заполнена

несколькими шарами, кольцами или маятниками и залита смазочной жидкостью. При вра-

щении вала с угловой скоростью, которая превышает критическую скорость, рабочие тела

автоматически занимают положение, которое ликвидирует существующий дисбаланс. При

изменении величины дисбаланса дебалансы изменяют свои начальные положения и ротор

дальше остается в сбалансированном состоянии.

В известных роботах [1, 3–5] изучается поведение АБУ для роторов, которые нахо-

дятся под действием обычных сил, когда скорости точек изменяются непрерывно, т. е. когда

каждому бесконечно малому промежутку времени отвечает бесконечно малое приращение

скорости. Однако часто неуравновешенные ротора работают в системах, на которые среди

действующих сил действуют и очень большие силы, когда прирост скорости за малый про-

межуток времени является величиной конечной, т.е. на ротор действуют ударные силы. На-

пример, захват полосы валками прокатного стана, формирование пакета формовочной смеси

пескометной головкой, наезд колеса автомобиля на препятствие и другие технологические

операции сопровождаются ударом, но в выше указанных роботах это явление изучено еще

недостаточно. Поэтому возникает практический интерес в оценке изменения основных пара-

метров АБУ, предназначенных для работы в роторных системах (ротор и связанные с ним

детали), которые испытают удар. Учитывая то, что динамика АБУ разных конструкций

с твердыми рабочими телами во многом подобная, рассмотрим этот вопрос на примере ша-

рового автобалансирующего устройства.

Целью данной работы является исследование поведения шарового АБУ, установлен-

ного на роторе, который находится под действием ударной силы.

Задачи работы:

– разработка и анализ математической модели;

– сравнение полученных результатов с теми, которые известны для данного типа

АБУ, работающего в обычных условиях.

В качестве модели исследуемого процесса используем установленный в подшипниках

вертикально невесомый вал с насаженным на него диском (обоймой) массы М. Вал вращает-

ся с постоянной угловой скоростью ω.

Плоскость диска перпендикулярна оси вала и пересекается с ней в центре диска О

(рис. 1). Центр С массы диска смещен относительно точки О на величину эксцентриситета е.

На верхней плоскости диска внешним радиусом R концентрично центру выполнен один

кольцевой канал, внутри которого располагаются два шара, каждый массой m

и радиусом r

Введем прямоугольную систему координат ХОУ таким образом, чтобы ось ОХ проходила

через центр масс системы, а – ОУ – через точку О. Положение шаров на диске определим уг-

лами α

, отсчет которых следует вести как показано на рис. 1.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

118

Рис. 1. Силы, действующие на шаровое АБУ при ударе

Напомним, что АБУ, не подверженное ударным нагрузкам, работает таким образом:

– при вращении ротора на рабочей скорости шары под действием неуравновешенных

центробежных сил перекатываются в сторону, противоположную смещенному с оси враще-

ния центру масс системы и тем самым автоматически балансируют ротор;

– при изменении дисбаланса шары перекатываются в новое положение, противопо-

ложное вновь измененному положению или величине дисбаланса, и ротор снова оказывается

в сбалансированном состоянии.

Пренебрегая гироскопическим эффектом и трением шаров об корпус АБУ, рассмот-

рим постоянное движение сбалансированной системы, по которой в плоскости диска под уг-

лом γ (см. рис. 1) прикладывается мгновенный ударный импульс Z (мгновенная ударная си-

ла) [6]:

Z(t) = Sδ(t – t

), (1)

где S – ударный импульс; δ – дельта-функция Дирака; t, t

– соответственно время кон-

ца и начала удара.

Опираясь на принцип Даламбера для механической системы [7] и проектируя дейст-

вующие силы соответственно на оси ОХ и ОУ, можно записать:

– m

cosα

– m

cosα

+ Меω

– Zcosγ = 0;

(2)

sinα

– m

sinα

– Zsinγ = 0.

Анализ последнего равенства в выражении (2) показывает, что в связи с самоуравно-

вешенностью проекций центробежной силы, действующей на шары в направлении оси ОУ,

оно выполняется лишь при Zsinγ = 0.

Но по условию задачи ударная сила Z – величина конечная. Тогда равновесие системы

возможно только при условии – sinγ = 0. Из этого имеем γ = πn, где n = 0, 1, 2, ... . Для дан-

ных значений угла γ величина cosγ = 1.

Таким образом, систему (2) можно заменить одним уравнением:

–2m

cosα

+ Меω

2 -

– Z = 0. (3)

Учитывая, что величину Z всегда можно представить в виде Z = Fω

, где F – имею-

щий размерность силы коэффициент пропорциональности, то, подставляя это выражение

в соотношение (3) и сокращая на ω

получим:

–2m

cosα

+ Ме – F = 0. (4)

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ДГМА № 1 (6Е), 2010

119

Выражение (4) связывает параметры АБУ, ударной силы и дисбаланса и позволяет

получить значение угла α

, при котором возможно самоуравновешивание системы, т. е. ав-

томатическая балансировка. Решая уравнение (4) относительно неизвестного угла α

, полу-

чим его корень в виде:

cosα

= (Ме – F)/2m

. (5)

Анализ формулы (5) и ее сравнение с аналогичными формулами из робот [3, 5] пока-

зывает, что при Z = F ω

= 0, т. е. в безударном режиме они тождественно совпадают.

Максимальная емкость устройства D (максимальный дисбаланс Ме, который ликви-

дируется шарами) находится из соотношения І cosα

І ≤ 1 или с учетом (5):

I(D – F)/2m

І ≤ 1. (6)

Решая неравенство (6) относительно D, получим два выражения:

D = 2m

+ F; D = F – 2m

. (7)

Зная величину ударной силы, максимальный дисбаланс ротора и максимальное значе-

ние радиуса R

, на котором в АБУ допускается размещение шаров с плотностью материала ρ,

из соотношений (7) несложно получить их радиус r

, достаточный для устранения заданного

дисбаланса ротора, работающего в условиях ударных нагрузок:

= [3(D – F)/8πρR

]

1/3

, для D > F;

(8)

= [3(F – D)/8πρR

]

1/3

, для D < F.

Анализ соотношений (8) показывает, что шаровое АБУ принципиально способно вы-

полнять уравновешивание роторов в условиях, когда их робота сопровождается ударом. При

этом в зависимости от соотношения величин дисбаланса Ме и ударной силы Z возможно

возникновение такого состояния, при котором шары вообще не нужны – Ме = Z (D = F). Т. е.

ударная сила будет самобалансировать ротор, но при этом она должна действовать в проти-

вофазе дисбалансу. В этом случае для определения положения дисбаланса и управления ме-

стом приложения ударной силы можно воспользоваться методами мехатроники [8].

Для вычислительного эксперимента по математической модели (1–8) был разработан

алгоритм, блок-схема которого показана на рис. 2.

Порядок работы алгоритма, состоящего из одиннадцати блоков, заключается

в сле-

дующем:

– процедурой блока 2 (бл. 2) Vvod выполняется ввод и логический контроль входных

данных по ротору, ударной силе и некоторым параметрам АБУ. Ограничение программы –

масса ротора до 1000 кг, ударная сила до десяти тонн, число оборотов ротора до 10000 об/мин;

– процедурами бл. 2 и 3 – Rotor и Udar выполняются расчеты соответствующих пара-

метров для ротора и ударной силы;

– в бл. 5–10 выполняются вариантные расчеты параметров автобалансирующего уст-

ройства.

Сущность вариантных расчетов заключается в том, что с начала в бл. 6 проводится ана-

лиз текущих значений дисбаланса и ударной силы (числитель формулы 8) и вычислительный

процесс разветвляется на две ветви. Бл. 8, 9, 10 – одна ветвь, бл. 7, 9, 10 – вторая.

Дальше в бл. 8 по известным значениям плотности материала шаров и радиусу до-

рожки качения R вычисляется их радиус – r

. Далее в бл. 9 рассчитываются некоторые тех-

нические характеристики устройства – диаметр шаров, их масса, центробежная сила, дейст-

вующая на шары и др. Результаты расчетов визуализируются в бл. 10.

После этого пользователь принимает решение на продолжение или окончание расче-

тов. Если расчеты продолжаются, то весь цикл бл. 5–10 повторяется, если нет, то работа про-

граммы заканчивается в бл. 11.