Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

Подождите немного. Документ загружается.

124

Емпіричними називаються частоти, які спостерігаються при

реалізації вибірки, а теоретичними — які обчислюються за фор-

мулами.

Дискретний закон розподілу. Теоретичні частоти для дис-

кретної випадкової величини обчислюємо за формулою

nPn

′

, (460)

де n — обсяг вибірки;

— імовірність спостережуваного значення X = x

, яка обчи-

слюється за умови, що ознака Х має взятий за припущенням за-

кон розподілу ймовірностей.

Приклад. За результатами вибірки, реалізованої з генера-

льної сукупності, ознака якої Х за припущенням має пу-

асcонівський закон розподілу ймовірностей, дістали такий

статистичний розподіл:

0 2 4 6 8

45 20 15 12 8

Необхідно знайти теоретичні частоти

′

Розв’язання. Для обчислення теоретичних частот застосовуємо фо-

рмулу Пуассона

λ−

)(

−

=→

)( , (461)

де λ = а.

Оскільки для математичного сподівання, тобто для параметра λ = а,

точковою незміщеною статистичною оцінкою є вибіркова середня ве-

личина

, обчислимо її значення

⋅

∑

100

88126154202450

36,2

100

236

100

64726040

+++

= .

Отже, λ = 2,36 = а.

Обчислимо ймовірності

)(

100

, де

8,6,4,2,0

094,0

)0(

36,2

100

−λ−

eeP

;

125

262,0094,07848,2

)36,2(

)2(

36,2

100

=⋅==

−λ−

eeP

;

121,0094,02925,1

)36,2(

)4(

36,2

100

=⋅==

−λ−

eeP

;

022,0094,0240,0

720

)36,2(

)6(

36,2

100

=⋅==

−λ−

eeP

;

0022,0094,002386,0

40320

)36,2(

)8(

36,2

100

=⋅==

−λ−

eeP

Тоді теоретичні частоти будуть такі:

9094,0100)0(

1001

⋅

=⋅=

′

Pnn

;

26262,0100)2(

1002

⋅

=⋅=

′

Pnn

;

12121,0100)4(

1003

⋅

=⋅=

′

Pnn

;

2022,0100)6(

1004

⋅

=⋅=

′

Pnn

;

022,00022,0100)8(

1005

≈

⋅

=⋅=

′

Pnn

У підсумку маємо:

Емпіричні частоти n

45 20 15 12 8

Теоретичні частоти

)(

100

knPn

′

9 26 12 2 0

Як бачимо, велика розбіжність між емпіричними та теоретич-

ними частотами ставить під сумнів припущення про пуассонів-

ський закон розподілу ознаки Х генеральної сукупності.

Неперервний закон розподілу. Якщо ознака Х генеральної

сукупності має неперервний розподіл імовірностей, то теоретич-

ні частоти обчислюються за формулою

Pnn =

′

де n — обсяг вибірки,

а P

— імовірність того, що випадкова величина Х потрапить в

і-й частковий інтервал. Вона обчислюється за формулами того

закону розподілу, який припускаємо на основі обробки статисти-

чного розподілу вибірки.

Так, наприклад, якщо є підстави для припущення, що ознака

генеральної сукупності Х має нормальний закон розподілу, то те-

оретичні частоти в цьому

разі можна обчислювати за формулами:

126

)(

−

⋅

=ϕ⋅

′

, (462)

де n — обсяг вибірки;

h — довжина часткового інтервалу;

x — вибіркова середня величина;

σ — вибіркове середнє квадратичне відхилення;

)(

uϕ — щільність імовірностей для загального нормального

закону розподілу

або

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅=

′

BB1

ФФ

xxxx

, (463)

де

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

xxxx

Ф,Ф

— функції Лапласа.

Приклад. У ВТК (відділ технічного контролю) були вимі-

ряні 400 валиків із партії, які виготовляє завод. Результати

вимірів наведено в таблиці:

, мм 10,4—10,6 10,6—10,8 10,8—11,0 11,0—11,2 11,2—11,4

40 100 200 40 20

Припускаючи, що ознака Х має нормальний закон розподі-

лу ймовірностей, обчислити теоретичні частоти за форму-

лою (461).

Розв’язання. Для обчислення

′

необхідно знайти

За заданим інтервальним статистичним розподілом будуємо дискре-

тний статистичний розподіл, варіантами якого є середини частинних

інтервалів, а саме:

10,5 10,7 10,9 11,1 11,3

40 100 200 40 20

Тепер обчислюємо:

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

400

203,11401,112009,101007,10405,10

85,10

400

4340

400

22644421801070420

мм;

127

() () () () ()

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

400

203,11401,112009,101007,10405,10

22222

758,117

400

2,47103

400

8,25534,492823762114494410

;

;0355,07225,117758,117)85,10(758,117)(

=−=−=−=

∑

1884,00355,0 ≈==σ

Обчислення теоретичних частот за формулою (463), показаною в

таблиці:

1884,0

85,10

−

)(

uϕ

)(55,10)(

iii

n ϕ⋅=ϕ

′

10,5 40 – 1,858 0,0707 30

10,7 100 – 0,796 0,2897 123

10,9 200 0,265 0,3847 163

11,1 40 1,327 0,1647 70

11,3 20 2,388 0,0258 11

Великі розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами да-

ють підстави зробити висновок, що припущення про нормальний закон

розподілу ознаки Х генеральної сукупності не має підстав.

Приклад. За поданим інтервальним статистичним розпо-

ділом вибірки

h = 10

80—90 90—100 100—110 110—120 120—130

2 14 60 20 4

скориставшись формулою (462), обчислити теоретичні ча-

стоти на підставі припущення, що ознака Х генеральної су-

купності Х має нормальний закон розподілу.

Розв’язання. Значення

обчислюємо за дискретним статис-

тичним розподілом

95 95 105 115 125

128

2 14 60 20 4

2,106

100

10620

100

412520115601051495295

⋅

+⋅

∑

;

++++−

∑

100

6250026450066150012635018050

11329

100

1132900

;

56,5044,1127811329)2,106(11329)(

=−=−=−=

∑

;

11,756,50 ≈==σ

Обчислення теоретичних частот за формулою (463) показано в табли-

ці:

i+1

−

)(

zФ

)(

1+i

zФ

)(

)((

zФ

zФnn

−

−=

′

80 90 2 – 3,68 – 2,28 – 0,499968 – 0,4837 2

90 100 14 – 2,28 – 0,87 – 0,4887 – 0,3078 20

100 110 60 – 0,87 0,53 – 0,3078 0,2019 49

110 120 20 0,53 1,94 0,2019 0,4732 27

120 130 4 1,94 3,35 0,4738 0,49966 3

Результати обчислень дають можливість зробити висновок, що

ознака генеральної сукупності гіпотетично має нормальний закон роз-

поділу, оскільки розбіжності між емпіричними та теоретичними часто-

тами є, але вони порівняно незначні. Однак це твердження необхідно

ще перевірити, скориставшись відповідними методами математичної

статистики.

Приклад. За поданим інтервальним статистичним розпо-

ділом вибірки

h = 8

0—8 8—16 16—24 24—32 32—40

40 30 20 8 2

знайти теоретичні частоти, виходячи з припущення, що

ознака Х генеральної сукупності має експоненціальний за-

кон розподілу.

Розв’язання. Теоретичні частоти обчислюються так:

129

nPn

′

де

(

)

(

)

11)()(

λ−λ−λ−λ−

−=−−−=−=

iiii

xxxx

iii

eeeexFxFP

129

Далі маємо

(

)

λ−λ−

−=

′

eenn

. (464)

Таким чином, для обчислення

′

необхідно знайти числове значен-

ня параметра λ. Ураховуючи, що

)( XM

для експоненціального

закону, маємо

)(

=λ

. (465)

Отже, для визначення λ необхідно обчислити його точкову незмі-

щену статистичну оцінку

. Тоді

=λ

За дискретним статистичним розподілом

4 12 18 22 34

40 30 20 8 2

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

100

23482220183012404

24,11

100

1124

100

68176360360160

++++

= .

Звідси маємо

089,0

24,11

===λ

Обчислення теоретичних частот подано в таблиці:

i+1

λ−

λ−λ−

−

(

)

λ−λ−

−=

′

eenn

0 8 40 1 0,491 0,509 51

8 16 30 0,491 0,241 0,25 25

16 24 20 0,241 0,118 0,123 12

24 32 8 0,118 0,058 0,060 6

32 40 2 0,058 0,0028 0,0552 6

40 ∞ — 0,0028 0 0,0028 0

130

Беручи до уваги порівняно невеликі розбіжності між емпірич-

ними і теоретичними частотами, гіпотетично можна стверджува-

ти про експоненціальний закон розподілу ознаки генеральної су-

купності Х.

Оскільки всі припущення про закон розподілу ознаки генера-

льної сукупності, розглянуті в прикладах, наведених вище, ма-

ють риси гіпотез, а не категоричних тверджень, то вони мають

бути перевірені з допомогою критерію узгодженості.

Критерій узгодженості Пірсона. Критерій узгодженості Пір-

сона є випадковою величиною, що має розподіл

, який визна-

чається за формулою

∑

−

=χ

npn

)(

, (466)

і має k = q – m – 1 ступенів свободи,

де q — число часткових інтервалів інтервального статистич-

ного розподілу вибірки;

m — число параметрів, якими визначається закон розподілу

ймовірностей генеральної сукупності згідно з нульовою гіпоте-

зою. Так, наприклад, для закону Пуассона, який характеризується

одним параметром λ, m = 1, для нормального закону m = 2, оскі-

льки цей закон визначається

двома параметрами

)( XMa

i σ.

Якщо

npn =

(усі емпіричні частоти збігаються з теоретич-

ними), то

=χ

, у противному разі

>χ

. Визначивши при за-

даному рівні значущості α і числу ступенів свободи критичну

точку

)1;(

кр

−−=αχ mqk

, за таблицею (додаток 8) будується пра-

вобічна критична область. Якщо виявиться, що спостережуване

значення критерію

кр

сп

χ>χ

, то Н

про закон розподілу ознаки

генеральної сукупності відхиляється. У противному разі

()

кр

сп

χ<χ

приймається.

Приклад. За заданим інтервальним статистичним розподі-

лом випадкової величини Х — маса новонароджених дітей

—

h = 0,5

1—1,5 1,5—2 2—2,5 2,5—3 3—3,5 3,5—4 4—4,5

10 20 50 35 28 15 12

131

при рівні значущості α = 0,01 перевірити правильність H

про нормальний закон розподілу ознаки Х — маси новона-

роджених дітей.

Розв’язання. Для визначення теоретичних частот

npn

′

необхід-

но обчислити

σ,

Дискретний статистичний розподіл буде таким:

1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25

10 20 50 35 28 15 12

∑

170

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

170

1225,41575,32825,33575,25025,22075,11025,1

67,2

170

5,454

170

0,5125,569125,965,112355,12

++++++

;

;75,7

170

125,1318

170

75,2169375,210

170

75,2956875,264125,25325,61625,15

170

1225,41575,3

170

2825,33575,25025,22075,11025,1

22222

+++++

⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

∑

6211,01289,775,7)67,2(75,7)(

=−=−=−=

∑

;

79,06211,0 ≈==σ

D .

Обчислення теоретичних частот подано в таблиці:

i+1

−

)(

zФ

)(

1+i

zФ

)

(

((

zФ

zФnn

−

′

1 1,5 10 – 2,11 – 1,48 – 0,4821 – 0,4306 9

1,5 2 20 – 1,48 – 0,85 – 0,4306 – 0,3023 22

2 2,5 50 – 0,85 – 0,22 – 0,3023 0,0871 37

2,5 3 35 – 0,22 0,42 – 0,0871 0,1628 43

3 3,5 28 0,42 1,05 0,1628 0,3531 32

132

3,5 4 15 1,05 1,68 0,3531 0,4535 17

4 4,5 12 1,68 2,32 0,4535 0,4898 6

Обчислення спостережуваного значення статистичного критерію

сп

дається нижче в таблиці:

– np

)

npn

)( −

10 9 – 1 1 0,11

20 22 – 2 4 0,18

50 37 13 169 4,57

35 43 – 12 144 3,35

28 32 – 4 16 0,5

15 17 – 2 4 0,24

12 6 6 36 6

Отже, маємо

95,14

)(

сп

∑

−

=χ

npn

За таблицею (додаток 8) знаходимо значення

3,13)4;01,0()4127;01,0(

кр

=χ==−−==αχ k

Правобічна критична область показана на рис. 142.

()

Г2

)(

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=χ e

кр

= 13,3

Рис. 142

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.