Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч.

Подождите немного. Документ загружается.

115

()

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Критична область

кр

= 3,79

Рис. 135

За формулою (459) обчислюємо спостережуване значення критерію

′′

′

⋅

−

′′

′

−

′′

+−

′

−

∗

nnnn

SnSn

)1()1(

+⋅

−+

⋅+⋅

−

17,0

1,26564,365

63,8

21212

1,241124,3311

8,22817,220

91,3

21,2

63,8

8739,4

63,8

17,067,28

63,8

−≈−=−=

⋅

−=

Висновок. Оскільки

]79,3;[

−∞∈z

, то )()(:

YMXMH =

приймається.

2) Для альтернативної гіпотези

)()(: YMXMH

≠

будується дво-

бічна критична область. Беручи до уваги, що

кркр

′

−

′

, а

79,3

кр

′′

тоді

79,3

рк

−

′

. Двобічна критична область зображена на рис. 136.

116

()

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Критична область

′

кр

= –3,79

″

кр

= 3,79

Рис. 136

З попередніх обчислень маємо

91,3−=

∗

Висновок. Оскільки

]79,3;79,3]

−∈z

, то в цьому разі

немає підстав для прийняття

)()(:

YMXMH

Приклад. З двох вибірок обсягом

′

, реалі-

зованих із двох генеральних сукупностей, ознаки яких Х і

Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу,

oбчислені значення

,2,6

2,4,5,8

===

SSy

При рівні значущості α = 0,001 перевірити правильність

нульової гіпотези

)()(:

YMXMH

, якщо альтернативна гіпотеза

)()(: YMXMH >

Розв’язання. Статистичний критерій у цьому разі є випадковою ве-

личиною

′′

′

⋅

−

′′

′

−

′′

+−

′

−

nnnn

SnSn

)1()1(

′′

′

⋅

−

′′

′

−

′′

+−

′

−

nnnn

nnS

)11(

′′

′

⋅

−

117

тобто

′′

′

⋅

−

що має розподіл Стьюдента з

−

′

nnk

ступенями свободи.

Для альтернативної гіпотези

)()(: YMXMH

будуємо лівобічну

критичну точку.

кр

знаходимо за таблицею (додаток 6). Звідси маємо,

що

67,3)28,001,0(

кр

−

Критична область зображена на рис. 137.

()

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Критична область

кр

= – 3,67

Рис. 137

Обчислимо спостережуване значення критерію

⋅

−=

+⋅

−

′′

′

⋅

−

∗

134,02,4

3,2

2,4

5,82,6

48,1

554,1

3,2

37,02,4

3,2

−=−=

⋅

Висновок. Оскільки

[;67,3[

∞−∈z

, то )()(:

YMXMH =

приймається.

9.4. Перевірка правильності нульової гіпотези

про рівність двох дисперсій

Одним із важливих завдань математичної статистики є порів-

няння двох або кількох вибіркових дисперсій. Таке порівняння

118

дає можливість визначити, чи можна вважати вибіркові дисперсії

статистичними оцінками однієї і тієї самої дисперсії генеральної

сукупності. Воно застосовується передусім при обчисленні дис-

персій за результатами технологічних вимірювань.

Порівняння дисперсій

DD ,

здійснюється зіставленням ви-

правлених дисперсій

, які відповідно мають закон розпо-

ділу χ

із

−

′

= nk

−

′

ступенями свободи, де

′

′′

є об-

сяги першої і другої вибірок.

Нехай перша вибірка здійснена з генеральної сукупності з

ознакою Y, дисперсія якої дорівнює

, друга — з генеральної

сукупності з ознакою Х, дисперсія якої дорівнює

. Необхідно

перевірити правильність нульової гіпотези

DDH

За статистичний критерій береться випадкова величина

, яка має розподіл Фішера—Снедекора із k

i k

ступенями

свободи, де

є більшою з виправлених дисперсій, одержаною

внаслідок обробки результатів вибірок,

є меншою з виправ-

лених дисперсій.

Щільність імовірностей розподілу Фішера—Снедекора

()

0,1

)(

≥

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

визначена лише на додатній півосі, тобто

∞

≤

Приклад. Під час дослідження стабільності температури в

термостаті дістали такі результати: 21,2; 21,8; 21,3; 21,0;

21,4; 21,3.

З метою стабілізації температури було використано удоско-

налений пристрій, після цього заміри температури показали

такі результати: 37,7; 37,6; 37,6; 37,4. Чи можна за рівня зна-

чущості α = 0,01 вважати використання удосконаленого

пристрою до стабілізатора температури ефективним?

119

Розв’язання. Очевидно, що ефективність стабілізаторів без удоско-

наленого пристрою і з ним залежить від дисперсій вимірюваних ними

температур. Отже, задача звелась до порівняння двох дисперсій.

Обчислимо виправлені вибіркові дисперсії

333,21

8,2123,210,214,212,21

⋅

′

∑

;

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

′

∑

18,2123,2110,2114,2112,21

22222

17,455

02,2731

== ;

073,0097,45517,455)333,21(17,455)(

=−=−=−

′

∑

;

0876,0073,0

=⋅

−

′

;

+⋅+

′′

∑

4,372,757,37

4,3726,377,37

575,37

3,150

== ;

8925,1411

57,5647

14,3726,3717,37

222

⋅+⋅+⋅

′′

∑

;

=−=−

′′

∑

)575,37(8925,1411)(

011875,0880625,14118925,1411

−

= ;

01583,0011875,0

=⋅

−

′′

′

Обчислимо спостережуване значення критерію

534,5

01583,0

0876,0

===

∗

Число ступенів свободи для більшої виправленої дисперсії

SS =

=−

′

= nk

, для меншої

SS = ,

−

′

Оскільки удосконалення стабілізатора температур може тільки змен-

шити дисперсію, то будуємо правобічну критичну область. Отже,

120

SSH >

Критичну точку знаходимо за таблицею (додаток 7) відповідно до

заданого рівня значущості α = 0,01 і числа ступенів свободи

= 5,

= 3,

2,28)3;5;01,0(

21кр

kkF .

Схематично правобічна критична область зображена на рис. 138.

1)(

)(

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

кр

= 28,2

Рис. 138

Висновок. Оскільки

]5,28;0]

∈F

, дані спостережень

не дають підстав відхилити нульову гіпотезу, тобто

вдосконалення термостабілізатора є ефективним.

120

Приклад. За заданими статистичними розподілами вибі-

рок, які реалізовано з генеральних сукупностей, ознаки

яких Х і Y є незалежними і мають нормальний закон роз-

поділу,

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2

′

1 2 4 2 3

0,8 1,6 2,4 3,2 4

′′

2 6 1 1 2

при рівні значущості α = 0,01 перевірити правильність ну-

льової гіпотези

DDH =:

, якщо альтернативна гіпотеза

DDH >

: .

Розв’язання. Обчислимо значення

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

′

∑

32,522,442,322,212,1

53,3

4,42

6,154,88,124,42,1

≈=

++++

;

04,14

48,168

32,522,442,322,212,1

22222

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

′

∑

;

5791,14609,1204,14)53,3(04,14)(

=−=−=−

′

∑

;

723,15191,1

112

=⋅

−

′

;

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

′′

∑

2412,314,266,128,0

067,2

8,24

82,34,26,96,1

++++

;

39,5

64,64

2412,314,266,128,0

22222

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

′′

∑

1175,1272489,439,5)067,2(39,5)(

=−=−=−

′′

∑

;

121

22,11175,1

112

≈⋅

−

′′

′

Обчислимо спостережуване значення критерію

41,1

22,1

723,1

===

∗

Для альтернативної гіпотези

DDH >

: будуємо правобічну

критичну область. Знайдемо за таблицею (додаток 7) критичну точку

.4,4)11;11;01,0(

)11112,11112,01,0(

21р

====

==−==−==α

kkF

Критична область зображена на рис. 139.

1)(

)(

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

кр

= 4,4

Рис. 139

Висновок. Оскільки

[

]

4,4;0∈

∗

, нульова гіпотеза

DDH =:

є правильною.

10. Перевірка правильності непараметричних

статистичних гіпотез

Усі перевірки параметричних статистичних гіпотез ґрунтува-

лися на припущенні, що ознака генеральної сукупності має нор-

мальний закон розподілу ймовірностей і що за іншого розподілу

висновки щодо статистичних гіпотез можуть бути хибними.

Тому використання в наведених методах перевірки гіпотез

можливе у разі достатньої упевненості, що спостережувана озна-

122

ка генеральної сукупності має нормальний закон розподілу або

близький до нормального.

Основою для висунення гіпотези про закон розподілу ознаки

генеральної сукупності може бути наявність теоретичних перед-

умов про характер зміни ознаки. До них, зокрема, відносять ви-

конання умов, що є підґрунтям теореми Ляпунова. У деяких ви-

падках підставою для висунення гіпотези

про закон розподілу

ознаки генеральної сукупності можуть бути певні формальні вла-

стивості здобутого статистичного розподілу, а саме: рівність ну-

лю

для нормального розподілу, рівність вибіркової серед-

ньої і вибіркового середнього квадратичного відхилення для

експоненціального розподілу.

Інколи підґрунтям для висновків про характер гіпотетичного

розподілу можуть бути форми полігону, гістограми.

Приклад. За заданим статистичним розподілом вибірки

ознаки Х:

h = 6 0—6 6—12 12—18 18—24 24—30 30—36

8 12 30 36 10 4

гіпотетично визначити закон розподілу ознаки генеральної

сукупності Х.

Розв’язання. Побудуємо гістограму частот для заданого статистич-

ного розподілу вибірки, яка має такий вигляд (рис. 140).

30126

Рис. 140

Якщо з’єднати пунктирною лінією середини кожного прямокутника

гістограми, то дістанемо криву лінію, яка певною мірою подібна до

123

графіка щільності для нормального закону з ненульовим математичним

сподіванням. Це може бути підставою для висунення гіпотези про нор-

мальний закон розподілу ознаки Х генеральної сукупності. Але цю гі-

потезу необхідно перевірити на її правильність.

Приклад. За заданим статистичним розподілом вибірки

ознаки Х:

h = 4 0—4 4—8 8—12 12—16 16—20 20—24

40 24 16 12 8 4

гіпотетично визначити закон розподілу ознаки генеральної

сукупності.

Розв’язання. Побудуємо гістограму частот, записавши статистич-

ний розподіл у такому вигляді:

h = 4 0—4 4—8 8—12 12—16 16—20 20—24

10 6 4 3 2 1

Гістограма частот має такий вигляд (рис. 141).

1612

840

2420

Рис. 141

Коли з’єднаємо послідовно середини кожного прямокутника пунк-

тирною лінією, то дістанемо криву, що в деякому наближенні подібна

до графіка щільності ймовірностей для експоненціального закону роз-

поділу. Це дає нам підстави для висунення нульової гіпотези про екс-

поненціальний закон розподілу ознаки генеральної сукупності Х, котру,

звичайно, необхідно перевірити на

правильність. А для цього необхід-

но мати значення емпіричних і теоретичних частот.

Жлуктенко В. І., Наконечний С. І., Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: У 2-х ч. - Ч. ІІ. Математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.