Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

Исследование проводится на основе теоретических положений, изло-

женных в главе 2 и формул (2.258) – (2.275), приведенных там же. Соглас-

но блок – схеме алгоритма, представленной в п. 7.8.8, рассчитаны значения

допустимой скорости, соответствующей заданному продольному габариту

при следующих исходных данных: t

=0,8, j

уст

=5, l

=7м.

Таблица 7.21

Зависимость допустимой скорости транспортных потоков, соответствующей

продольному динамическому габариту

№

), м

D x1 x2 V (y

), км/ч

1 15 3,84 5,797959

-13,798 20,87265

2 25 7,84 10 -18 36

3 35 11,84

13,20465

-21,2047

47,53674

4 45 15,84

15,89975

-23,8997

57,2391

5 55 19,84

18,27106

-26,2711

65,77581

6 65 23,84

20,41311

-28,4131

73,4872

7 75 27,84

22,38181

-30,3818

80,57452

8 85 31,84

24,21347

-32,2135

87,1685

9 95 35,84

25,93326

-33,9333

93,35973

100

15 25 35 45 55 65 75 85 95

Динамический продольный габарит, м

Допустимая скорость, км/ч

Рис. 7.31. Зависимость допустимой скорости транспортных потоков, соответствующей

продольному динамическому габариту

По данным таблицы 7.21 постоен график зависмости допустимой ско-

рости транспортных потоков, соответствующей продольному динамиче-

скому габариту (см. рис. 7.31).

Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполняют-

ся промежуточные вычисления. На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[15; 95] выберем точки х

= 15 и х

= 95 наиболее удаленных друг от друга

(крайние). Вычислим х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.264) и на графике гео-

метрически находятся соответствующие значения переменной у. По дан-

731

ным табл. 7.21 определим у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются формулы

(2.264).

арм

57,11619

65,77581

геом

37,74917

геом

44,14369

55,28612

гарм

25,90909

гарм

34,11756

37,37521

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оценивая

погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.274) полу-

чены следующие результаты:

-y

арм

8,659614

-y

геом

,63212

-y

гарм

31,65824

-y

арм

1,830076

После этого выбирается минимальная погрешность ε из εi, (i=1, 2,…7):

ε= min (ε

, ε

) =1,830076

Так как ε совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у=аlg х +b, с неизвестными па-

раметрами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Со-

гласно этому методу значения параметров функциональной зависимости а

и b следует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наи-

меньшей (уравнение (2.273)), т.е. F(а, в) =







baxfy

)),;((( будет мини-

мальной, где ε

= у

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных.

Значения параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275). По-

скольку зависимость получилась нелинейная, то следует применять преоб-

разование координат к функции у=аlgx+b.

Преобразовав у=аlgx+b, получим Z = A

t + B

, где Z =у; A

= a; B

b; t = lg x.

Система уравнений (2.275) примет следующий вид: (случай линейной

зависимости):

-y

геом

11,14243

-y

арм

9,74098

-y

гарм

3,257651

732























znBtA

tztBtA

или























ynaxb

yxxaxb

111

lglg)(lg

Далее находятся значения а и b путем решения системы матричным

методом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл.

7.22

Таблица 7.22

Данные расчетов для МНК при исследовании зависимости допустимой скорости,

соответствующей продольному динамическому габариту

i x

lg(x

) lg2(x

) lgx

1 15 20,87265

1,176091259

1,383191

24,548144

2 25 36 1,397940009

1,954236

50,32584

3 35 47,53674

1,544068044

2,384146

73,399964

4 45 57,2391 1,653212514

2,733112

94,628389

5 55 65,77581

1,740362689

3,028862

114,47376

6 65 73,4872 1,812913357

3,286655

133,22593

7 75 80,57452

1,875061263

3,515855

151,08217

8 85 87,1685 1,929418926

3,722657

168,18455

9 95 93,35973

1,977723605

3,911391

184,63975

∑

495

562,0143

15,10679167

25,9201 994,50849

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

25,9201

15,10679

а также матрица свободных членов

994,50849

562,01425

Используя X=L

-1

M, получим

Х=

90,87318924

90,08756515

где a= 90,87318924, b= -90,08756515.

Эмпирическая зависимость у=аlgx+b при найденных значениях a и b

принимает вид

y=90,8731892lgx+90,8731892.

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

y=90,8731892lgx+90,8731892 составим сравнительную табл. 7.23

Таблица 7.23

733

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по эмпи-

рической формуле y=90,8731892lgx+90,8731892.

выч

20,87265

16,78759841

4,085054

19,57

36 36,94770181

0,947702

2,63

47,53674

50,22682245

2,690081

5,66

57,2391 60,14512848

2,906033

5,08

65,77581

68,06474289

2,288936

3,48

73,4872 74,65765339

1,170453

1,59

80,57452

80,30523188

0,269291

0,33

87,1685 85,24488602

1,923613

2,21

93,35973

89,63448631

3,725246

3,99

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эм-

пирической формуле представлены на рис. 7.32.

100

15 25 35 45 55 65 75 85 95

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 7.32. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=90,8731892lgx+90,8731892

Таким оброзом, размах отклонений значений табличных от

вычислительных составляет 4,085054 – 0,269291, средневзвешанное

отклонение – 19,57 – 0,33, что дает основание подтвердить точность

выбранной эмпирической кривой (см. табл. 7.12). отклонение равное

19,57% лишь в одном случае, когда L

= 15м, это связано с

недостаточностью последнего параметра, который зависит от величины

скорости движения.

7.8.9. Блок – схема алгоритма расчета ширины автомобиля, соответст-

вующей дорожным условиям и режимам движения

734

Если при вводе количества рядов К указать один ряд – будет рассчитана

ширины автомобиля для полосы

движения, канализированной по-

средством островков безопасности

(формула (7.19)). В остальных слу-

чаях будет использоваться формула

(7.18).

Комментарий к алгоритму

(1)-начало алгоритма;

(2)-ввод исходных данных K, L

, h,

;

(3)-ввод исходных данных по каж-

дому из K рядов q

;

(4)-обнуление суммы по q;

(5)-подсчет суммарного значения q

для всех рядов;

(6)-подсчет ширины автомобиля B

;

(7)-вывод значения B

;

(8)-конец алгоритма.

Изучение зависимости допустимой ширины автомобиля от ширины про-

езжей части методом аппроксимированного моделирования

Исследование проводиться на основе теоретических положений, изло-

женных в главе 2, и формул (2.258) – (2.275), приведенных там же.

Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполняем

промежуточные вычисления (см. табл. 7.24 и

рис. 7.33).

Таблица 7.24

Зависимость допустимой ширины автомобиля от ширины проезжей части

при плотности q=3

, м 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

, м 1,99

2,09 2,19 2,29 2,39 2,49 2,59 2,68 2,78

(1)

(2)

(3)

(5)

(8)

Начало

Ввод K,

, h, B

k:=1÷K

Ввод

q:=q+ q

k:=1÷K

q:=0;

:=B

*(1-0,001*L

*q*h)

Вывод

Конец

(4)

(6)

(7)

735

1,9

2,1

2,3

2,5

2,7

2,9

3,1

3,3

3,5

3,7

3,9

4,1

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4

Ширина проезжей части, м

Допустимая ширина автомобиля, м

Ba(q=3)

Ba(q=6)

Ba(q=9)

Рис. 7.33. Зависимость допустимой ширины автомобиля от ширины проезжей части

На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[2; 2,8] выберем точки х

2 и х

= 2,8 наиболее удаленных друг от друга (крайние). Вычисляем х

арм

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике геометрически находятся со-

ответствующие значения переменной у. По данным таблицы 7.24 находят-

ся у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются формулы (2.264):

арм

2,4

арм

2,386211

геом

2,366432

геом

2,352835

гарм

2,333333

гарм

2,319927

Сравнивая числовые значения у*1 , у*2 , у*3 с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оцени-

вая погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.274)

получены следующие результаты:

-y

арм

-y

геом

0,033375

-y

гарм

0,066284

-y

арм

0,033375

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7):

ε= min (ε

, ε

) =0

Так как ε совпадает с ε

и ε

то в качестве аналитической зависимо-

сти хорошим приближением служит наиболее простая зависимость

у=ах+b, с неизвестными параметрами а и b. Для уточнения этих парамет-

ров используется МНК. Согласно этого метода значения параметров функ-

циональной зависимости а и b следует выбрать так, чтобы сумма квадратов

погрешностей была наименьшей (уравнение (2.274)), т.е. F(а, в) =

-y

геом

-y

арм

0,066284

-y

гарм

736







baxfy

)),;((( будет минимальной, где ε

= у

– f (x

; a, b) – i-я погреш-

ность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных.

Значения параметров а и b найдем из системы уравнений (2.274).

Система (2.274) примет следующий вид:























ynbxa

yxxbxa

111

)(

Далее, находятся значения а и b, путем решения системы матричным

методом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл.

7.25

Таблица 7.25

Данные расчетов для МНК

i x

)

1 2 1,988509

4 3,977018

2 2,1 2,087934

4,41 4,384662

3 2,2 2,18736 4,84 4,812191

4 2,3 2,286785

5,29 5,259606

5 2,4 2,386211

5,76 5,726905

6 2,5 2,485636

6,25 6,21409

7 2,6 2,585061

6,76 6,72116

8 2,7 2,684487

7,29 7,248115

9 2,8 2,783912

7,84 7,794954

∑

21,6

21,4759 52,44

52,1387

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

52,44

21,6

а также матрица свободных членов

52,138701

21,475895

Используя X=L

-1

M, получим

0,9942544

8,52651*10

где a= 0,9942544, b=-8,52651*10

-14

≈0.

737

Эмпирическая зависимость у=ах+b при найденных значениях a и b

принимает вид:

y=0,9942544*x.

Для определения точности выбора эмпирической прямой, т.е. мак-

симального отклонения табличных значений от аппроксимирующей пря-

мой

y=0,9942544*x составим сравнительную табл. 7.26

Таблица 7. 26

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле y=0,9942544*x

выч

2 1,988509

1,9885088 2,31*10

0,00

2,1

2,087934

2,08793424

2*10

0,00

2,2

2,18736 2,18735968

1,69*10

0,00

2,3

2,286785

2,28678512

1,38*10

0,00

2,4

2,386211

2,38621056

1,07*10

0,00

2,5

2,485636

2,485636 7,55*10

0,00

2,6

2,585061

2,58506144

4,44*10

0,00

2,7

2,684487

2,68448688

1,33*10

0,00

2,8

2,783912

2,78391232

1,78*10

0,00

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эмпи-

рической формуле представлены на рис. 7.34.

0,5

1,5

2,5

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 7.34. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=0,9942544*x

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 2,31*10

-14

÷1,33*10

-15

, среднее взвешенное отклонение составляет 0,00

%, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпирической

прямой.

7.8.10. Блок – схема алгоритма расчета ширины полосы движения с

учетом ширины автомобиля, продольного и вертикального габаритов

по формуле (7.20)

738

Комментарий к алгоритму

(1)-Начало алгоритма;

(2)-Ввод исходных данных H, α, B

, L

, h, q

, q

;

(3)-Подсчет значения B

;

(4)-Вывод значения B

;

(5)-Конец алгоритма.

Изучение зависимости ширины полосы движения от продольного, по-

перечного и вертикального габарита методом

аппроксимированного моделирования

Исследование проводится на основе теоретических положений, изло-

женных в главе 2, и формул (2.258) – (2.275), приведенных там же [31].

Анализ проведен для высоты Н=1,9м на основе данных табл. 7.27 и рис.

7.35. Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполняем

промежуточные вычисления.

Таблица 7.27

Зависимости ширины полосы движения

от продольного, поперечного

и вертикального габарита

α sinα

1,50 1,70 1,90 2,10 2,30 2,50 2,70 2,90 3,10

5 0,09 2,36 2,39 2,43 2,46 2,50 2,54 2,57 2,61 2,65

8 0,14 2,52 2,58 2,63 2,69 2,75 2,81 2,87 2,92 2,98

11 0,19 2,68 2,76 2,84 2,92 3,00 3,08 3,16 3,24 3,32

14 0,24 2,84 2,94 3,04 3,14 3,24 3,34 3,44 3,54 3,64

17 0,29 3,00 3,12 3,24 3,36 3,48 3,61 3,73 3,85 3,97

20 0,34 3,15 3,29 3,44 3,58 3,72 3,86 4,01 4,15 4,29

23 0,39 3,30 3,47 3,63 3,79 3,95 4,12 4,28 4,44 4,61

26 0,44 3,45 3,64 3,82 4,00 4,18 4,37 4,55 4,73 4,91

29 0,48 3,60 3,80 4,00 4,20 4,41 4,61 4,81 5,01 5,21

(1)

(2)

(3)

(5)

Начало

Ввод H, α

, L

, h, q

, q

:=(B

- B

*sinα*H)/(1-0,001*L

)

Вывод

Конец

(4)

739

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

5 8 11 14 17 20 23 26 29

Угол а

Ширина проезжей части, м

Bn(H=1,5м)

Bn(H=1,7м)

Bn(H=1,9м)

Bn(H=2,1м)

Bn(H=2,3м)

Bn(H=2,5м)

Bn(H=2,7м)

Bn(H=2,9м)

Bn(H=3,1м)

Рис. 7.35. Зависимость ширины полосы движения от угла α при скорости 60 км/ч,

=2м, и Н=1,5 – 3,1 м

На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[5; 29] выберем точки

= 5 и х

= 29 наиболее удаленных друг от друга (крайние).

Вычислим х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике гео-

метрически находятся соответствующие значения переменной у. По дан-

ным табл. (7.27) определяем у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются фор-

мулы (2.264):

арм

3,214817

3,240069

геом

12,04159

геом

3,117082

2,911201

гарм

8,529412

гарм

3,022319

2,670267

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

, и оценивая

погрешности проведенных вычислений по формулам (2.266)-(2.272) полу-

чены следующие результаты:

-y

арм

0,025252

-y

геом

0,205881

-y

геом

0,122986

-y

арм

0,54455

-y

гарм

0,217749

-y

гарм

0,352052

-y

арм

0,303615

После этого выбирается минимальная погрешность ε из εi, (i=1, 2,…7):

ε= min (ε

, ε

) =0,0252520

Так как ε совпадает с ε 1, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у=ах+b, с неизвестными пара-

метрами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Со-

гласно этого метода значения параметров функциональной зависимости а

740