Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

Для правильного выбора вида аналитической зависимости выпол-

няются промежуточные вычисления. На отрезке изменения переменной x,

т.е. х



[2; 10] выберем точки х

= 2 и х

= 10 наиболее удаленных друг от

друга (крайние).

Вычислим х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике гео-

метрически находятся соответствующие значения переменной у. По дан-

ным табл. 7.23 находим у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются формулы

(2.264):

арм

208,8555

348,0925

геом

4,472136

геом

430,2659

гарм

3,333333

гарм

232,0616

Сравнивая числовые значения y*

, y*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оценивая

погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.273) полу-

чены следующие результаты:

-y

арм

139,237

-y

геом

348,0925

-y

гарм

348,0925

-y

арм

221,4105

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1,

2,…7).

ε= min (ε

, ε

) =23,20616

Так как ε совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости

хорошим приближением служит зависимость у=а+b/х, с неизвестными па-

раметрами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Со-

-y

геом

430,2659

-y

арм

23,20616

-y

гарм

232,0616

721

гласно этому методу значения параметров функциональной зависимости а

и b следует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наи-

меньшей (уравнение (2.274)), т.е. F(а, в) =







baxfy

)),;((( будет мини-

мальной, где ε

= у

– f (x

;a,b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух

переменных является равенство нулю всех ее частных производных.

Значения параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275).

Поскольку зависимость получилась нелинейная, то следует применять

преобразование координат к функции у=а+b/х. Преобразовав у=а+b/х, по-

лучили: у=а+b/х, т.е. Z = A

t + B

, где Z =у; A

= b; B

= a; t = 1/x.

Система уравнений (2.275) примет следующий вид (случай линейной

зависимости):























znBtA

tztBtA

или























ynaxb

xaxb

111

/1)/1(

Далее, находятся значения а и b, путем решения системы матричным

методом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл.

7.14.

Таблица 7.14.

Данные расчетов для МНК при исследовании зависимости q

от ширины проезжей части

1 2 0 0,5 0,25 0

2 3 174,0462

0,333333333

0,111111

58,015409

3 4 261,0693

0,25 0,0625 65,267335

4 5 313,2832

0,2 0,04 62,656642

5 6 348,0925

0,166666667

0,027778

58,015409

6 7 372,9562

0,142857143

0,020408

53,279457

7 8 391,604 0,125 0,015625

48,950501

8 9 406,1079

0,111111111

0,012346

45,123096

9 10

417,7109

0,1 0,01 41,771094

∑

2684,87 1,928968254

0,549768

433,07894

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

0,549768

1,928968

а также матрица свободных членов

722

433,07894

2684,8702

Используя X=L

-1

M, получим

Х=

1044,27736

522,13868

где a=522,1386,8 b=-1044,27736.

Эмпирическая зависимость у=а+b/х при найденных значениях a и b

принимает вид:

y=522,1386800+-1 044,2773601/x.

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

y=522,1386800+-1 044,2773601/x составим сравнительную табл. 7.15.

Таблица 7.15

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=522,1386800+-1 044,2773601/x

выч

2 0 0 0 0,00

3 174,0462

174,0462267

2,27*10-13

0,00

4 261,0693

261,06934 2,27*10-13

0,00

5 313,2832

313,283208 2,84*10-13

0,00

6 348,0925

348,0924534

2,27*10-13

0,00

7 372,9562

372,9562 2,27*10-13

0,00

8 391,604 391,60401 2,27*10-13

0,00

9 406,1079

406,1078622

3,41*10-13

0,00

417,7109

417,710944 2,84*10-13

0,00

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эм-

пирической формуле представлены на рис. 7.28.

100

150

200

250

300

350

400

450

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 7.28. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=522,1386800+-1 044,2773601/x

723

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 2,84*10-130, среднее взвешенное отклонение составляет 0,00%, что

дает основание подтвердить точность выбранной эмпирической кривой.

7.8.6. Исследование зависимости допустимого продольного динамиче-

ского габарита от дорожных условий и от ширины полосы движения

7.8.6.1 Блок – схема алгоритма расчета допустимого продольного ди-

намического габарита в фиксированных дорожных условиях по формуле

(7.12)

Комментарий к алгоритму

(1)-Начало алгоритма;

(2)-Ввод исходных данных B

, B

, q,

(3)-Подсчет значения L

;

(4)-Вывод значения L

;

(5)-Конец алгоритма.

7.8.6.2 Изучение зависимости допустимого продольного динамического

габарита от ширины проезжей части методом аппроксимированного

моделирования

Исследование проводиться на основе теоретических положений,

изложенных в главе 2, и формул (2.258) – (2.275), приведенных там же (см.

табл. 7.16. и рис. 7.29)

500

1000

1500

2000

2500

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

2,3

2,35

2,4

2,45

2,5

2,55

2,6

2,65

2,7

2,75

2,8

2,85

2,9

2,95

Допустимый продольный

динамический габарит, м

Ширина проезжей части, м

Ld(q=3)

Ld(q=6)

Ld(q=9)

Ld(q=12)

Рис. 7.29. Зависимость допустимого продольного динамического габарита от ширины

проезжей при плотности q=6

(1)

(2)

(3)

(5)

Начало

Ввод B

, q, h

:=(B

- B

)/(0,001*B

*q*h)

Вывод

Конец

(4)

724

Таблица 7.16

Зависимость допустимого продольного динамического габарита от ширины про-

езжей при плотности q=6.

, м

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

, м 0

165

316

453

579

694

801

900

992

Для правильного выбора вида аналитической зависимости выполня-

ются промежуточные вычисления. На отрезке изменения переменной x,

т.е. х



[2; 2,8] выберем точки х

= 2 и х

= 2,8 наиболее удаленных друг от

друга (крайние).

Вычисляем х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике гео-

метрически находим соответствующие значения переменной у. По данным

табл. 7.16 находятся у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используются формулы

(2.264).

арм

2,4

арм

496,0317

578,7037

геом

2,366432

геом

605,8729

гарм

2,333333

гарм

551,1464

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оценивая

погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.273) полу-

чены следующие результаты:

-y

арм

82,67196

-y

геом

578,7037

-y

гарм

578,7037

-y

арм

109,8411

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1,

2,…7):

ε= min (ε

, ε

) =55,11464

Так как ε совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хоро-

шим приближением служит зависимость у=а+b/х, с неизвестными пара-

метрами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Со-

гласно этому методу значения параметров функциональной зависимости а

и b следует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наи-

-y

геом

605,8729

-y

арм

55,11464

-y

гарм

551,1464

725

меньшей (уравнение (2.273)), т.е. F (а, в) =







baxfy

)),;((( будет мини-

мальной, где ε

= у

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пере-

менных является равенство нулю всех ее частных производных. Значения

параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275). Поскольку зависи-

мость получилась нелинейная, то следует применять преобразование коор-

динат к функции у=а+b/х. Преобразовав у=а+b/х, получим: у=а+b/х, т.е. Z

= A

t + B

, где Z =у; A

= b; B

= a; t = 1/x.

Система уравнений (2.275) примет следующий вид: (случай линейной

зависимости):























znBtA

tztBtA

или























ynaxb

xaxb

111

/1)/1(

Далее, находим значения а и b, путем решения системы матричным

методом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл.

7.17

Таблица 7.17.

Данные расчетов для МНК при исследовании зависимости допустимого L

от ширины полосы проезжей части

i x

1/x

(1/x

)

1 2 0 0,5 0,25 0

2 2,1 165,3439

0,476190476

0,226757

78,735198

3 2,2 315,6566

0,454545455

0,206612

143,48026

4 2,3 452,8986

0,434782609

0,189036

196,91241

5 2,4 578,7037

0,416666667

0,173611

241,12654

6 2,5 694,4444

0,4 0,16 277,77778

7 2,6 801,2821

0,384615385

0,147929

308,1854

8 2,7 900,2058

0,37037037 0,137174

333,40954

9 2,8 992,0635

0,357142857

0,127551

354,30839

∑

21,6

4900,598

3,794313818

1,61867 1933,9355

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

1,61867

3,794314

а также матрица свободных членов

726

1933,9355

4900,5985

Используя X=L

-1

M, получим

Х=

6944,444444

3472,222222

где a=3472,222222 b= -6944,444444.

Эмпирическая зависимость у=а+b/х при найденных значениях a и b

принимает вид:

y=3 472,2222222+-6 944,4444444/x

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

y=3 472,2222222+-6 944,4444444/x составим сравнительную табл. 7.18.

Таблица 7.18

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по эмпи-

рической формуле y=3 472,2222222+-6 944,4444444/x

выч

2 0 2,18279*10-11

2,18*10-11

0,00

2,1

165,3439

165,3439153 1,53*10-11

0,00

2,2

315,6566

315,6565657 9,44*10-12

0,00

2,3

452,8986

452,8985507 4,21*10-12

0,00

2,4

578,7037

578,7037037 5,68*10-13

0,00

2,5

694,4444

694,4444444 5,12*10-12

0,00

2,6

801,2821

801,2820513 9,09*10-12

0,00

2,7

900,2058

900,2057613 1,33*10-11

0,00

2,8

992,0635

992,0634921 1,66*10-11

0,00

Результаты отклонений табличных значений от вычисленных по эмпи-

рической формуле представлены на рис. 7.30.

200

400

600

800

1000

1200

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 7.30. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y=3 472,2222222+-6 944,4444444/x

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычисли-

тельных составляет 2,18*10

-11

-5,86*10

-13

, средневзвешенное отклонение –

727

0,00%, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпириче-

ской кривой.

7.8.7. Блок – схема алгоритма расчета допустимой скорости транс-

портных потоков, соответствующей динамическому габариту и до-

рожным условиям (ширине полосы движения) по формулам (7.14) –

(7.15)

Комментарий к алгоритму

(1)-Начало алгоритма;

(2)-Ввод исходных данных B

, B

, λ, h;

(3)-Подсчет значения V;

(4)-Если интенсивность движение

λ указана в ТЕ/с, то рассчитанное

значение скорости умножим на

1000;

(5)-Вывод значения V;

(6)-Конец алгоритма.

Путем решения системы уравнений матричным методом и посредст-

вом представленного здесь алгоритма, осуществлены расчеты, результаты

которых помешены в табл. 7.19

Таблица 7.19

Данные расчетов для МНК

i x

)

1 2,2 41,32883

4,84 90,92344

2 2,22 57,00343

4,9284 126,5476

3 2,24 68,73003

5,0117 153,9533

4 2,26 79,19519

5,1076 178,9811

5 2,28 88,95525

5,1984 202,818

6 2,30 98,23552

5,29 225,9417

7 2,32 107,1522

5,3824 248,5931

8 2,34 115,7739

5,4756 270,9109

9 2,36 124,145 5,5696 292,9823

∑

20,52

780,5194

46,8096

1791,623

На базе данной матрицы коэффициентов и матрицы свободных

членов получена эмпирическая зависимость у = 502,88 х – 1059,85. Для оп-

(1)

(2)

(3)

(5)

(4)

Начало

Ввод B

, L

, λ, h

V:= (0,001*λ*B

*h) /(B

- B

)

Вывод

Конец

λ[TE/c]

V:=V*1000

да

нет

(6)

728

ределения точности выбора эмпирической прямой составляется сравни-

тельная табл.7.20

Таблица 7.20

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле y=502,88x+-1059,85

выч

2,2 41,32883

46,49365531

5,164821

12,5

2,22

57,00343

56,55133473

0,4521 0,79

2,24

68,73003

66,60901414

2,121017

3,09

2,26

79,19519

76,66669355

2,528499

3,19

2,28

88,95525

86,72437296

2,230877

2,51

2,3 98,23552

96,78205237

1,453472

1,48

2,32

107,1522

106,8397318

0,312447

0,29

2,34

115,7739

116,8974112

1,123543

0,97

2,36

124,145 126,9550906

2,810047

2,26

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных составляет 5,164821 – 0,4521, средневзвешенное отклонение - 12,5 -

0,79%, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпирической

прямой и присутствие линейной зависимости V от В

7.8.8. Блок – схема алгоритма расчета допустимой скорости транс-

портных потоков, соответствующей динамическому габариту

по формулам (7.16) – (7.17)

729

Комментарий к алгоритму

(1)-Начало алгоритма;

(2)-Ввод исходных данных t

, t

, j

уст

, l

, L

;

(3)-Подсчет значения V

в м/с;

(4)-Подсчет значения V

в м/с;

(5)-Если требуется представить скорость в км/ч рассчитаем новые значе-

ния скорости по формулам V

:=V

*10/36; V

:=V

*10/36;

(6)-Если расчетное значение скорости V

>0, то выводим его;

(7)-Если расчетное значение скорости V

>0, то выводим его;

(8)-Конец алгоритма.

Изучение зависимости допустимой скорости транспортных потоков, со-

ответствующей динамическому габариту, методом

аппроксимированного моделирования

(1)

(2)

(3)

(5)

(4)

(6)

Начало

Ввод t

, t

уст

, l

, L

V1:=-j

уст





)(2)(

daустустcr

Llljjtt 

Конец

V2:=-j

уст

) -





)(2)(

daустустcr

Llljjtt 

V1>0

да

Вывод V1

V2>0

да

Вывод V2

V[км/ч]

V1:=V1*10/36; V2:=V2*10/36

да

нет

(6)

730