Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

лево – 1/16 λ

Для интенсивностей λ

<0,13 ТЕ/с при данных значениях τ

=2 с, Т

пj

, μ

лj

, k

пj

, k

лj

, S

, t

, ν требуется трехфазный цикл работы светофорного объек-

та, для интенсивностей λ

>0,21 ТЕ/с длина цикла становится неоправданно

большой, рост интенсивности движения до такой степени требует увеличе-

ние полос на данном перекрестке.

Таблица 2.3

Расчет основных характеристик работы регулируемого перекрестка при изменении

интенсивности движения транспортных средств на нем

0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21

5,496286

5,496009

5,495732

5,495457

5,495182

5,494909

5,494637

5,494337

5,494096

q=r 0,28425

0,3055 0,32675

0,348 0,36925

0,3905 0,41175

0,433 0,45425

5,339373

4,91785

4,4653 3,978166

3,452327

2,882879

2,264488

1,590206

0,852227

α=β 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,5

C 15,05512

16,69925

18,7467

21,36663

24,83817

29,65712

36,79681

48,4652

70,97373

зел

кр

4,779419

5,601621

6,625485

7,935589

9,671495

12,0811

15,65109

21,48543

98,21945

1,957166

2,337895

2,812005

3,418662

4,222489

5,338281

6,991394

9,69304

40,10049

7,033325

11,96993

16,2401

26,5999

40,52916

64,95226

110,2093

209,652

3733,427

1TE

3,593627

5,119961

5,775275

7,780795

9,598404

12,16726

15,76356

21,62913

93,10178

4,477987

5,321564

6,368151

7,70246

9,464202

11,90145

15,50107

21,36727

87,15736

0,301432

0,280058

0,257334

0,233129

0,207293

0,179655

0,150021

0,118166

11,06209

0,150716

0,140029

0,128667

0,116564

0,103646

0,089828

0,075011

0,059083

5,531046

0,142125

0,15275

0,163375

0,174 0,184625

0,19525

0,205875

0,2165

0,68842

2,139709

2,550811

3,062742

3,717794

4,585748

5,790552

7,575543

10,49272

48,85972

На основании полученных данных (табл. 2.3) построены графики изу-

чаемых величин в зависимости от интенсивности движения.

1. Изучение зависимости Т

(λ)

Следует отметить, что длительность промтакта – желтого сигнала све-

тофора зависит от Т

– времени занятости ТС при проезде перекрестка, а Т

зависит лишь от геометрических параметров регулируемого перекрестка. ве-

личина Т

получается методом замера при натурных наблюдениях и после

расчета по формулам (2.26) – (2.32) определяется Т

и Т

, которые остаются

неизменными на этом перекрестке независимо от размеров движения и дли-

тельности циклов СР (рис. 2.30) поскольку длительность цикла прямо про-

порционально зависит от размеров промтактов (Т

, Т

) и интенсивности при-

бытия ТС к стоп – линии, то доля длительности промтактов в длительности

цикла по мере возрастания последних будет соответственно уменьшаться.

261

Поэтому линия имеет убывающий вид.

5,493

5,4935

5,494

5,4945

5,495

5,4955

5,496

5,4965

0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21

Длительность промежуточного

такта, с

Интенсивность прибытия, ТЕ/с

Рис. 2.30. Зависимость длительности промежуточного такта Т

от интенсивности

прибытия к стоп – линии λ при неизменных геометрических характеристиках перекрестка

По графику можно предположить, что зависимость носит линейный

характер. Воспользовавшись встроенной возможностью Microsoft Excel «Ап-

проксимация и сглаживание – добавление линии тренда» установим уравне-

ние зависимости: y = -0,0003x + 5,4966. Для определения точности выбора

эмпирической кривой, т.е. максимального отклонения точек таблицы от кри-

вой y = -0,0003x + 5,4966 составим сравнительную табл. 2.4.

Таблица 2.4.

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле y = -0,0003x + 5,4966

iвыч

0,13 5,496286 5,496561 0,000275 0,01

0,14 5,496009 5,496558 0,000549 0,01

0,15 5,495732 5,496555 0,000823 0,01

0,16 5,495457 5,496552 0,001095 0,02

0,17 5,495182 5,496549 0,001367 0,02

0,18 5,494909 5,496546 0,001637 0,03

0,19 5,494637 5,496543 0,001906 0,03

0,2 5,494337 5,49654 0,002203 0,04

0,21 5,494096 5,496537 0,002441 0,04

Отклонение табличных значений от значений, вычисленных по эмпи-

рической формуле, взятых по абсолютной величине имеют вид

= |y

– y

выч

где γ

–отклонения табличных значений от значений, вычисленных по эмпи-

262

рической формуле, взятых по абсолютной величине; y

выч

– значения эмпи-

рической функции в данных точках; y

- табличные значения функции в за-

данных точках; % - отношение γ

/ y

выч

*100%.

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 0,000275  0,002441, среднее взвешенное отклонение составляет 0,01 

0,04 %, что дает основание говорить о достаточной достоверности выбранной

эмпирической кривой.

Однако, значения y

и y

выч

на графике в увеличенном масштабе (рис.

2.31) заметно отличаются, и можно предположить, что расхождение графи-

ков с ростом интенсивности будет увеличиваться, о чем несколько выше бы-

ло сказано.

Проведем дополнительное исследование зависимости Т

(λ). Для этих

целей рассматривается класс функций, используемых для аппроксимации

(главным условием которого является возможность наиболее простого вы-

числения функции по заданному значению аргумента) и чтобы это прибли-

жение было возможно «лучшим» (в аспекте минимальности отклонений эм-

пирической кривой от табличных значений).

5,4925

5,493

5,4935

5,494

5,4945

5,495

5,4955

5,496

5,4965

5,497

0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21

Yi, Yiвыч

Интенсивность движения, ТЕ/с

Рис. 2.31. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле y = -0,0003x + 5,4966.

В классе двухпараметрических нелинейных функций у = f ( х, а, в) рас-

сматриваются следующие:

 линейная функция

у = а х + в , (2.258)

263

 показательная функция

у = а* в

, (2.259)

 дробно-рациональная функция

у = 1 /(а х + в), (2.260)

 логарифмическая функция

у = а lg х + в, (2.261)

 параболическая функция при в > 0

у = а * х в, (2.262)

а при в < 0 –гиперболическая;

 гиперболическая функция специального вида

у = а + в/х , (2.263)

 дробно-рациональная функция специального вида

у = х/(ах +в). (2.264)

Наилучшим образом описывает функциональную зависимость уравне-

ние типа у = f (х, а, в) т.е. та из кривых (2.257) –(2.263), для которой погреш-

ность отклонений выборочных значений у

(i = 1, 2, 3) от статистических ха-

рактеристик у

арм

, у

геом

, у

гарм

(среднее арифметическое, среднее геометриче-

ское и среднее гармоническое) является минимальной.

На отрезке изменения независимой переменной х



; x

] рассмот-

рим крайние точки, достаточно надежные (в аспекте чистоты и точности экс-

перимента), которые используются в дальнейших расчетах. После этого на-

ходятся статистические характеристики для значений переменных х

и функ-

ций y

по формулам:

арм

= (x

+ x

) /2 х

геом

хх

; х

гарм

= 2х

/( x

+ x

); (2.265)

арм

= (у

+ у

) /2; у

геом

уу

; у

гарм

= 2у

/( у

+ у

); (2.266)

Из графика, построенного по точкам (х

; у

), (х

; у

), … , (х

; у

) для

арм

, х

геом

, х

гарм

определяются значения, соответствующих им функций

у*

= у (х

арм

); у*

= у (х

геом

); у*

= у (х

гарм

);

При этом используется линейная интерполяция Ньютона для значений

аргумента, не совпадающих с табличными.

264

Далее находится погрешность ε

(i = 1, 2, … , 7) отклонений найденных

у*

(i = 1, 2, 3) от статистических характеристик у

арм

, у

геом

, у

гарм

, т.е.

= |у*

– у

арм

|; (2.267)

= |у*

– у

геом

|; (2.268)

= |у*

– у

гарм

|; (2.269)

= |у*

– у

арм

|; (2.270)

= |у*

– у

геом

|; (2.271)

= |у*

– у

арм

|; (2.272)

= |у*

– у

гарм

|. (2.273)

Полученная здесь минимальная погрешность ε

= min (ε

, ε

, … , ε

)

укажет на вид, соответствующей кривой (2.258) –(2.264).

Построение эмпирической формулы основано на использовании прин-

ципа Лежандра: «Параметры выбранной эмпирической формулы

у=f(х;а

;а

;…;а

) определяются так, чтобы сумма квадратов отклонений от

табличных значений функции была наименьшей » и записывается в виде.

F(а

;а

;…;а

) =

 







nii

aaaxfy

);...;;;(

– min. (2.274)

Следует добавить, что аналитические зависимости, описывающие экс-

периментальное (явление) исследование нами понимается, как эмпирические

называются эмпирическими.

На базе изложенной теории выполняется математическая обработ-

ка результатов эксперимента. Для правильного выбора вида аналитиче-

ской зависимости выполняются промежуточные вычисления. На отрез-

ке изменения переменной x, т.е. х



[0,13; 0,21] выберем точки х

= 0,13 и х

= 0,21 наиболее удаленных друг от друга (крайние).

Далее вычисляем х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265), и на графике гео-

метрически находятся соответствующие значения переменной у. По данным

табл. 2.3 находим у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используем формулы (2.266):

арм

0,17

арм

5,495191

5,495178

геом

0,165227

геом

5,495191

5,49531

265

гарм

0,160588

гарм

5,495191

5,495439

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оценивая

погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.273) получе-

ны следующие результаты:

арм

0,000013

геом

0,0000129

гарм

0,0000128

арм

0,000119

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7).

ε= min (ε

, ε

) =0,0000128

Так как ε

совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у=1/(ах+b), с неизвестными пара-

метрами а и b. Для уточнения этих параметров используется МНК. Согласно

этому методу значения параметров функциональной зависимости а и b сле-

дует выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей

(см. уравнение (2.274)), т.е. F (а, в) =







baxfy

)),;(((

будет минимальной, где

= у

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных.

Значения параметров а и b найдем из системы уравнений:















0),(

baF

или



























.0)),;(((

0)),;(((

fbaxfy

(2.275)

Поскольку зависимость получилась нелинейная, то следует применять

преобразование координат к функции у=1/(ах+b). Преобразовав у=1/(ах+b),

получили:1/у=ах+b, т.е. Z = A

t + B

, где Z =1/у; A

= a; B

= b; t = x.

Система (2.275) примет следующий вид: (случай линейной зависимо-

сти):

геом

0,000119

арм

0,000248

гарм

0,000248

266























znBtA

tztBtA

или























nbxa

xbxa

111

)(

Далее, находятся значения а и b, путем решения системы матричным ме-

тодом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл. 2.5

Таблица 2.5

Данные расчетов для метода наименьших квадратов

1/y

1 0,13 5,496286

0,181941042 0,0169 0,0236523

2 0,14 5,496009

0,181950212 0,0196 0,025473

3 0,15 5,495732

0,181959382 0,0225 0,0272939

4 0,16 5,495457

0,181968488 0,0256 0,029115

5 0,17 5,495182

0,181977594 0,0289 0,0309362

6 0,18 5,494909

0,181986635 0,0324 0,0327576

7 0,19 5,494637

0,181995644 0,0361 0,0345792

8 0,2 5,494337

0,182005581 0,04 0,0364011

9 0,21 5,494096

0,182013565 0,0441 0,0382228

∑

1,53 49,45665

1,637798143 0,2661 0,2784312

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

0,2661

1,53

а также матрица свободных членов

0,2784312

1,6377981

Используя X=L

-1

M, получим

0,000911458

0,181822624

где a= 0,000911458, b= 0,181822624, отсюда эмпирическая зависимость

у=1/(ах+b) при найденных значениях a и b принимает вид:

у=1/(0,000911458*х+ 0,181822624).

Для определения точности выбора эмпирической кривой, т.е. макси-

мального отклонения табличных значений от аппроксимирующей кривой

у=1/(0,000911458*х+ 0,181822624) составим сравнительную табл. 2.6

267

Таблица 2.6

Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных по

эмпирической формуле у=1/(0,000911458*х+ 0,181822624).

выч

0,13

5,496286

5,496283839

0,0000021609

0,00

0,14

5,496009

5,496008509

0,0000004905

0,00

0,15

5,495732

5,495733207

0,0000012073

0,00

0,16

5,495457

5,495457933

0,0000009328

0,00

0,17

5,495182

5,495182686

0,0000006859

0,00

0,18

5,494909

5,494907466

0,0000015335

0,00

0,19

5,494637

5,494632275

0,0000047253

0,00

0,2

5,494337

5,49435711

0,0000201104

0,00

0,21

5,494096

5,494081974

0,0000140263

0,00

Эти результаты также представлены на рис. 2.32.

5,4925

5,493

5,4935

5,494

5,4945

5,495

5,4955

5,496

5,4965

0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21

Yi,Yiвыч

Yiвыч

Рис. 2.32. Результаты отклонений табличных значений от значений, вычисленных

по эмпирической формуле у=1/(0,000911458*х+ 0,181822624)

Таким образом, размах отклонений значений табличных от вычислен-

ных 0,0000006859  0,0000021609, среднее взвешенное отклонение составля-

ет 0,00 %, что дает основание подтвердить точность выбранной эмпириче-

ской кривой.

2. Изучение зависимости динамических характеристик q и r от интенсив-

ности движения

По графику (рис. 2.33) можно предположить, что зависимость носит

линейный характер, однако для правильного выбора вида аналитической за-

висимости выполняются промежуточные вычисления.

268

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,2

0,21

q=r

Интенсивность прибытия, ТЕ/с

Рис. 2.33. Зависимость динамических характеристик q и r от интенсивности прибы-

тия к стоп – линии λ при характеристиках пешеходных потоков на перекрестке

На отрезке изменения переменной x, т.е. х



[0,13; 0,21] выберем точки

= 0,13 и х

= 0,21 наиболее удаленных друг от друга (крайние).

Далее вычисляем х

арм

, х

геом

, х

гарм

по формулам (2.265) и на графике гео-

метрически находятся соответствующие значения переменной у. По данным

табл. 2.3 определяем у

арм

, у

геом

, у

гарм

, при этом используем формулы (2.266):

арм

0,17

арм

0,36925

геом

0,1652

геом

0,359333

0,359108

гарм

0,160588

гарм

0,349683

0,34925

Сравнивая числовые значения у*

, у*

с у

арм

, у

геом

, у

гарм

и оценивая

погрешности проведенных вычислений по формулам (2.267)-(2.273) получе-

ны следующие результаты:

арм

1,11

*10

геом

0,009917

гарм

0,019567

арм

0,010142

После этого выбирается минимальная погрешность ε из ε

, (i=1, 2,…7).

ε= min (ε

, ε

) =1,11•10

-16

Так как ε

совпадает с ε

, то в качестве аналитической зависимости хо-

рошим приближением служит зависимость у=ах+b, с неизвестными парамет-

рами а и в. Для уточнения этих параметров используется МНК. Согласно

геом

0,000226

арм

0,02

гарм

0,000433

269

этого метода значения параметров функциональной зависимости а и b следу-

ет выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей

(уравнение (2.274)), т.е. F (а, в) =







baxfy

)),;(((

будет минимальной, где ε

– f (x

; a, b) – i-я погрешность (i=1, 2,…7).

Необходимым условием существования минимума функции двух пе-

ременных является равенство нулю всех ее частных производных. Значения

параметров а и b найдем из системы уравнений (2.275). Система (2.274) при-

мет следующий вид:























ynbxa

yxxbxa

111

)(

Далее, находим значения а и b, путем решения системы матричным ме-

тодом, предварительно осуществив расчеты, которые приведены в табл. 2.7

Таблица 2.7

Данные расчетов для МНК

)

0,13

0,28425

0,0169

0,036953

0,14

0,3055

0,0196

0,04277

0,15

0,32675

0,0225

0,049013

0,16

0,348

0,0256

0,05568

0,17

0,36925

0,0289

0,062773

0,18

0,3905

0,0324

0,07029

0,19

0,41175

0,0361

0,078233

0,2

0,433

0,04

0,0866

0,21

0,45425

0,0441

0,095393

∑

1,53

3,32325

0,2661

0,577703

Итак, дана матрица коэффициентов при неизвестных вида:

0,2661

1,53

а также матрица свободных членов

0,5777025

3,32325

Используя X=L

-1

M, получим

2,125

0,008

где a= 2,125, b= 0,008, отсюда эмпирическая зависимость у=ах+b при най-

270