Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи теорії похибок вимірювань 271

\[d'

]

=±,

'п -1

Далі, для обох випадків точність одного вимірювання та середнє зна

кожної пари відповідно оцінюються виразами

т,, ,

§ 4.16. Приклади опрацювання рівноточних вимірювань

Приклад 1. На астропункті

1-го

класу зі спостережень зірки дев'ятьма при:

визначено азимут напрямку на земний предмет, значення якого подано в таб;

Потрібно отримати надійне значення азимута та оцінити його точність.

Табі

№

Значення

спостережуваного

азимута, 1,

Еі є,

8І

є,

•

57°29'38,2"

5,1

26,01

-0,76

0,5776

-3,876

43,9"

10,8

116,64

4,94 24,4036 53,352

33,1"

0,0

0,00

-5,86 34,3396 0,000

40,6"

7,5

56,25 1,64 2,6896 12,300

43,7"

10,6

112,36

4,'74

22,4676 50,244

36,3"

3,2

10,24

-2,66 7,0756 -8,512

39,1"

6,0

36,00 0,14 0,0196

0,840

36,5"

3,4

11,56

-2,46 6,0516 -8,364

39,2"

6,1

37,21

0,24 0,0576 1,464

/о

57°29'33,1"

— = 5,86

52,7 406,27

+ 11,70

-11,74

|<5|

= 23,44

97,6824

97,688

За наближене значення азимута приймемо найменше з pe3yj

спостережень, тобто /

= 57

29'ЗЗД". Обчисливши відхилення є, (і = 1,9), зк

]

сумарне значення [є] = 52,7, після чого і його середнє — = 5,86. Таким

надійне значення азимута будeL

= 57°29'33,1" + 5,86" = 57°29'38,96. Післз

щоб отримати оцінку точності, спочатку обчислимо величини

<5,-

- є, - —

знайдемо їх квадрати 8f = 97,6824 та сумарне значення

[<5

]

= 97,6824. У ре:

цього отримаємо середню квадратичну похибку одного вимірювання

Розділ IV

іку контролюємо за формулою Петерса

т = ±1,25

•

-Ж- = ±1,25

•

^^ = 3,45"

п -0,5 8,5

а середню квадратичну похибку середнього арифметичного

т 3,49" „

м=—= =

—==—

= 1,16 .

4п л/9

Перевіримо виконання контрольних співвідношень

[<5

] = [<&], [5

] = [є

]

Гр|2

т2

ГРІ

] = 97,6824; [&] = 97,688; [є

] = 406,27; = 308,59;

[є

] - = 406,27 - 308,59 = 97,682.

Остаточним результатом опрацювання рівноточних вимірювань азимута буде

L, ±М = 57°29' 38,96" ± 1,16".

Приклад 2. Довжина лінії вимірювалась у прямому та зворотному напрямках.

І Іеобхідно виконати оцінку точності даних вимірювань.

Всі дані для оцінки точності вимірювань довжини лінії подано таблицею 4.4.

Таблиця 4.4

№

лінії

Довжина лінії

(м)

Різниця

с/,

(см)

Виправлена

різниця d'i (см)

№

лінії

прямий

хід

зворотній

хід

Різниця

с/,

(см)

Виправлена

різниця d'i (см)

153,836 153,907

-7,1

1,66 2,7556

2 319,931 319,973

-14,2 -5,44 29,5936

3 228,192 228,283

-9,1 •

-0,34

0,1156

4 189,644

189,774

-13,0

-4,24

17,9776

5 398,975

399,114

-13,9 -5,14 26,4196

6 522,424

522,421

0,3 9,06 82,0836

7 102,866 102,935 -6,9 1,86

3,4596

501,263 501,305 -4,2

4,56 20,7936

389,909 389,990

-8,1

0,66

0,4356

93,834

93,948 -11,4

-2,64

6,9696

87,6 0

190,604

Елементи теорії похибок вимірювань 273

Обчислимо різниці d. (і = 1,10) та знайдемо їх суму [d\ = -87,6, яка свідчить і

наявність у них систематичних похибок (бо не дорівнює нулеві). Це підтверджує

виконання нерівності |[d]| < 0,25-[И], оскільки [|d|] = 88,2 і 87,6 > 0,25-88,2 = 22,0!

Усунемо систематичні похибки різниць, для чого спочатку обчислимо серед

залишковий систематичний вплив — = -8,76 , а потім виправлені різн

' Г d] —

d• =dj~— (і = 1,10). Після цього знайдемо середню квадратичну похибку од

' ' п

різниці

^ d'

^ 1190,604 ч

Ч^Ї

==14,60 (см)

середню квадратичну похибку одного вимірювання

т, =±-^ = ±^£ = +3,25 (см)

v2 v2

та середню квадратичну похибку середнього з двох вимірювань

= ±F = 2,30 (CM).

§ 4.17. Ваги нерівноточних вимірювань

Як уже було сказано, нерівноточні вимірювання однієї величини або різ

але однорідних, виконують при різних умовах - приладами неоднакової точн

різними методами та спостерігачами, для різних зовнішніх умов. У резульї

отримуються значення вимірюваної величини з різною точністю, з різною мі

надійності. Очевидно, що остаточним значенням із ряду нерівното'

вимірювань вже не буде просте середнє арифметичне, тому що на нього точ

проведене вимірювання повинно впливати більше.

Якість результату нерівноточного вимірювання, міру його надій*

визначають величиною, яку називають його вагою. Точніший результат пов

мати більшу вагу і тому середні квадратичні похибки можуть служити м

надійності окремих результатів вимірювань. Чим менша середня квадрат

похибка якогось результату спостережень, тим він є надійнішим і навпаки. І

за міру надійності окремого значення нерівноточного вимірювання буде

тобто величина, що є обернено пропорційною квадрату його сере/

квадратичної похибки.

276

Розділ IV

Розглянемо істинне значення L якоїсь вимірюваної величини та її результати

шмірювання /. (і = 1 ,п), які отримано зі середніми квадратичними похибками т..

І'оді величини

Я —

= — ,(і = \,п) (4.53)

нагами нерівноточних вимірювань /., де Я - коефіцієнт пропорційності, який

може набувати довільних значень, але обов'язково однакових при порівнянні в

ікійсь задачі однорідних величин різної якості.

Іри визначенні ваг вимірювання, за якими визначаються середні квадратичні

юхибки, повинні бути без систематичних похибок і самі середні квадратичні

юхибки, за якими обчислюються ваги, повинні бути визначені досить надійно

приблизно 50 результатів вимірювань).

Візьмемо довільні два нерівноточні вимірювання / і А, зі середніми

Я Я

снадратичними похибками т. ш

Тоді ваги їх будуть Р\ -—- і р

=—г, а якщо

т{ т

•• • Рі

2 с-

ІЗЯТИ їх відношення, то отримаємо — = —-, тобто відношення ваг не залежить

ид коефіцієнта

Я.

Тому для різних значень коефіцієнта

о гримують різні значення

»аг, але відношення між ними залишається незмінним.

Слід зауважити, що вага будь-якої величини сама по собі ще ні про що не

онорить. Ваги мають значення лише у порівнянні між собою з точки зору

очпості, надійності результатів вимірювань однієї або декількох однорідних

іеличин, а відношення їх показує у скільки разів одна величина є надійнішою від

німої. Тому поняття ваги є відносним, а величина її цілком залежить від

соефіцієнта Я.

§ 4.18. Середня квадратична похибка одиниці ваги

Розглянемо довільне вимірювання І якоїсь величини, середня квадратична

юхибка якого дорівнює т

Знайдемо середню квадратичну похибку

/л

вимірювання,

іага якого дорівнює одиниці. Запишемо вирази для ваг даних вимірювань

Рі

2 - вага вимірювання /,

складемо їх відношення

Елементи теорії похибок вимірювань 275

або

=Рг т),

(4.5

тобто квадрат середньої квадратичної похибки вимірювання, вага якого дорів

одиниці, у р

разів є більшою від квадрату середньої квадратичної похи

вимірювання з вагою р

У подальшому величину

називатимемо середньою квадратичною похибкою одиниці ваги.

Нарешті вияснимо зміст коефіцієнта пропорційності Я, через який вве;

поняття ваги вимірювання у співвідношенні (4.53). Оскільки Я = /Д тобто ста

коефіцієнт пропорційності Я дорівнює квадрату середньої квадратичної похр

вимірювання, вага якого дорівнює одиниці.

Слід зауважити, що вибираючи коефіцієнт Я, ми встановлюємо вимірювг

з вагою, що дорівнює одиниці, причому в даному ряді нерівноточних вимірю

однієї або декількох однорідних величин може і не бути вимірювання з ва

що дорівнює одиниці.

У геодезичній практиці, як правило, за ваги результатів вимірювань дое

ліній приймають величини, що є обернено пропорційними довжинам ліні:

ваги результатів вимірювання сум перевищень за окремими нівелірними хо;

- величини, обернено пропорційні довжинам ходів, за заги сум кутів замкн

теодолітних полігонів - величини, обернено пропорційні кількості ку

полігонах, за ваги результатів вимірювань кутів на станції - величини, п]

пропорційні кількості прийомів і т. д.

Наведені правила не є принципово новими у встановленні ваг нерівното

вимірювань. Вони випливають із формули визначення середньої квадрати

похибки функції виміряних величин (4.16) та зі співвідношення (4.53), що визн

поняття ваги вимірювання.

, § 4.19. Визначення середньої квадратичної похибки одиниці ва

Розглянемо результати нерівноточних вимірювань /. (і = 1 ,п) якоїсь вели

з вагами

p..

Припустимо, що є відомими істинні похибки А даних вимірюваь

середні квадратичні похибки т..

(4.f

Розділ IV

Відомо, що загальною характеристикою точності ряду рівноточних

шрювань служить середня квадратична похибка т одного вимірювання, а при

ішиїянні між собою з точки зору точності однорідних рядів нерівноточних

иірювань такою загальною характеристикою точності для кожного з них є

ісдня квадратична похибка jx одиниці ваги. І тому найточнішим буде той ряд

їішюточних вимірювань, середня квадратична похибка ц одиниці ваги якого

і.о найменшою.

Розглянемо величини (і = \,п) з істинними похибками Д

•

yfp^ та

ісдніми квадратичними похибками

(

yfp^, які отримуються за формулою (4.17).

Ллє згідно формули (4.5£)

Щ.уірЇ = j"> 0' = 1»И). (

)

їто вимірювання ряду (4.56) є рівноточними зі середньою квадратичною

хибкою, що дорівнює ц, а звідси випливає, що величини Д

•

-Jp^ є істинними

иібками рівноточних вимірювань /

(

--Jp^ . Таким чином, для достатньо великої

і.кості п вимірювань можна застосувати формулу Ґаусса (4.21)

(4.57)

V п

і дає змогу визначити середню квадратичну похибку ц одиниці ваги за вагами

істинними похибками вимірювань.

Якщо просумувати квадрати результатів вимірювань ряду (4.56) та поділити

уль гат на їх кількість, то отримаємо вираз для середньої квадратичної похибки

пінці ваги, що визнача'ється за вагами та середніми квадратичними похибками

)івпоточних вимірювань

(4.58)

V П

Ми розглянули випадок_ряду нерівноточних вимірювань із відомими

іншими похибками А. (і-\,п), тобто, коли відомим є істинне значення L

мірюваної величини. Виникає запитання, як провести оцінку точності

чівноточних вимірювань, якщо істинне значення вимірюваної величини є

йдомим.

Для цього спочатку знайдемо вагу середнього арифметичного L

з рівноточних

иірювань.

Відомо, що середня квадратична похибка М середнього арифметичного L

іислюється так:

Елементи теорії похибок вимірювань

277

М = ±

л/Г

де т - середня квадратична похибка одного вимірювання;

- кількість вимірювак

За означенням ваги вимірювання запишемо вагу для одного вимірювані

р - -А. та вагу для середнього арифметичного Р = —= і знайдемо

М т

Р т

відношення — = —г- = п , звідки випливає, що вага Р середнього арифметично

р т

в п разів є більшою від ваги р одного вимірювання. Якщо прийняти вагу одно

вимірювання таку, що дорівнює одиниці, то Р = п, тобто вага середньо

арифметичного дорівнює кількості рівноточних вимірювань. Дане твердженн

важливим, оскільки будь-який результат із вагою Р нерівноточних вимірюва

можна розглядати, як середнє арифметичне р уявних рівноточних вимірювані

Розглянемо нерівноточні вимірювання /. (г' = 1,и), як середні арифмети

уявних рівноточних вимірювань Я

(

•' (і =

п, j

= 1,

), тобто / = ——і, і знайде

РІ

середнє арифметичне уявних рівноточних вимірювань

і \

S[/

(,)

] ЇІ,Р,

= ^ = (4.59

м м

[рі]

ІР, ЇЛ

[р]

і /=і

Формула (4.59) дає змогу обчислювати середнє арифметичне результа

нерівноточних вимірювань і говорить, що середнє арифметичне нерівноточі

вимірювань дорівнює сумі добутків кожного з них на відповідну вагу, поділе

на суму ваг. Величину L

ще називають середнім ваговим результа

нерівноточних вимірювань.

Очевидно, що вага Р

середнього арифметичного L

нерівноточних вимірюві

дорівнює кількості всіх уявних рівноточних вимірювань, тобто сумі ваг Р

\р

середня квадратична похибка М

із врахуванням формули (4.55) дорівнюватий

=± "

л/ьГ

280

Розділ IV

А тепер розглянемо надійні похибки нерівноточних вимірювань 8 = /. - L

(/ = 1,и), які помножимо на відповідні вагир.(і = 1 ,п) та просумуємо. У результаті

отримаємо

[р5] = ІМ = ІМ - V І Д = [рі] -L

[p].

і=і /=і і=і

Але з формули (4.59) випливає, що L

-\p] = \pl\ і тому \р5\ = 0, тобто сума

добутків надійних похибок нерівноточних вимірювань на відповідні ваги завжди

дорівнює нулеві.

Запишемо_вирази для істинних похибок А. = /. - L та надійних похибок

= /. - L

(і = \,п) і знайдемо їх різниці

її 0 '

або А. = 5. + А

(і = 1 ,п),

де L, L

- істинне та надійне значення вимірюваної величини; А

= L

- L- істинна

похибка середнього арифметичного L

Величини А (/ = \,п) піднесемо до квадрату, помножимо

п&р.

та просумуємо.

У результаті отримаємо

[рА

] = [р8

] + 2А

[р8] + А

[р].

Але, оскільки \р8\ = 0, то

[рА

] = [р8

] + А

[р] (4.60)

зиідки випливає така нерівність:

[рА

] > \р8

тобто сума добутків квадратів істинних похибок нерівноточних вимірювань на

відповідні ваги є завжди більшою від суми добутків квадратів надійних похибок

даних вимірювань на ці ж ваги.

Розглянемо рівність (4.60), поділимо її на кількість вимірювань п і, врахувавши

формулу (4.57), отримаємо

2 [р8

\ [р]А

VJL

—± + (4.61)

п п

Для достатньо великої кількості вимірювань п середнє арифметичне за вагами L

мало відрізнятиметься від істинного значення L вимірюваної величини і значення

істинної похибки А

буде достатньо малим, тому у співвідношенні (4.61) замінимо А

()

Елементи теорії похибок вимірювань

279

середньою квадратичною похибкою М

= ± fl— середнього арифметичного

лІІР]

.2 _[р8

] , II

вагами. У результаті отримаємо М = + —, або т

(п - 1) = [р<5

п п

звідки

МІ]

бо д = ±

(Mil

(4 62

п-1 V п-1

Формула (4.62) дає змогу визначити середню квадратичну похибку одині

ваги за вагами та надійними похибками нерівноточних вимірювань.

Отримані вирази (4.57) та (4.62) для середньої квадратичної похибки одині

ваги ц дозволяють визначити середню квадратичну похибку M

середньс

арифметичного нерівноточних вимірювань, коли відомим є істинне значеи

вимірюваної величини

Ч'-Ш

за вагами та істинними похибками і коли істинне значення вимірюваної велич*

є невідомим

за вагами та надійними похибками.

§ 4.20. Ваги функцій виміряних величин

Розглянемо функцію F незалежно виміряних нерівноточних величин

у,.

F= F{x, у,..., и).

Часто бувають випадки , коли є невідомими середні квадратичні похиі

аргументів х, у, ..., и, але є відомими їхні ваги , які встановлено на основі уі

вимірювань, що обумовили неоднакову їх точність. У такому випадку для оці

точності функції спочатку визначають її вагу р

а потім знаходять сере/

квадратичну похибку m

за відомою середньою квадратичною похибкою оди*

ваги [х.

Скористаємось формулою (4.55), у якій покладемо т, = т^р, = р

після ч

отримаємо

282

Розділ IV

= ±/л-

тобто для оцінки точності функції незалежно виміряних нерівноточних величин

достатньо знати середню квадратичну похибку одиниці ваги ц та вагу функціїр

Для визначення величини m

використаємо формулу (4.16 )

т\ -

У-

'dF^

дх

dF^

Ьу

ди

•

т..

в якій покладено т

2 H

Ру

2 И

—, після чого отримаємо

Ри

DF_

дх

І"

+ ...+

о Ру

ди

.iL

0 Ри

або, скоротивши праву та ліву частини даної рівності на ц

, одержимо вираз для

знаходження оберненої ваги функції незалежно виміряних нерівноточних вели-

чин х, у, ..., и

DF_

дх

• +

ду

'dF

л2

J0 Ру

ри

0 Ри

(4.65)

тобто обернена вага функції незалежних в сукупності величин дорівнює сумі

добутків квадратів значень часткових похідних функцій по кожному з аргументів

на обернені ваги відповідних аргументів. Значення часткових похідних беруться

для довільної комбінації виміряних величин, або для значень, що є близькими до

їх істинних значень.

Зауваження 1. Якщо між величиною/та виміряною величиною х із вагою р

існує лінійна залежність/ = к-х, де к = const, то вага величини /буде

_1_

'dp

або p

Px Px

Зауваження 2. Величина/виражається через незалежно виміряні величини х

(і = 1 ,п) з вагами р. лінійною функцією

і=і

де а. (і = 1 ,п) - сталі коефіцієнти. Тоді вага/ь величини/, буде