Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи теорії похибок вимірювань 261

§ 4.11. Формула Петерса

Відомо, що квадрат середньої квадратичної похибки можна обчисли

формулою Ґаусса (4.3), якщо є відомими істинні похибки вимірювань

або за формулою Бесселя (4.28), якщо є відомими надійні похибки вимірюв*

Для достатньо великої кількості вимірювань можна вважати, що вирази —

] • *

є рівними, тобто

п -1

або

п п-1

] = ^т[<5

п -1

Тоді, на основі останньої рівності можна записати, що

п-1

Дане співвідношення означає, що в середньому істинна похибка в

є більшою за надійну похибку.

Просумуємо праву та ліву частини рівності (4.29) за індексом і від одиниі

та поділимо їх на п. У результаті отримаємо

[И|] [|<51]

Оскільки f , то

л]п(п -1)

в, J£L

yjn(n-1) '

Співвідношення (4.30), яке встановлює зв'язок між середньою похибка

надійними похибками 8. (і = 1,и), називається формулою Петерса.

Використаємо зв'язок між середньою похибкою в та середньою квадрати

похибкою т, тобто формулу (4.4)

264 Розділ IV

Л>

0 ~

—

т,

5 '

звідки т~—0, або згідно співвідношення (4.30), одержимо

= (4.31)

Врахувавши, що для великих п

п(п- 1) = (и-0,5)

рівність (4.31) остаточно набуде такого вигляду:

Формулу (4.32) використовують як контрольну при обчисленні середньої

квадратичної похибки вимірювань за формулою Бесселя (4.28).

§ 4.12. Середня квадратична похибка парних

рівноточних вимірювань

Розглянемо два ряди рівноточних вимірювань деякої величини (кута, довжини

лінії, перевищення та ін.)

і;,і;'(і=U) (4.33)

і знайдемо їх різниці ?

сі.

= // - /". (4.34)

Істинним значенням кожної різниці (4.34) є нуль (якби вимірювання (4.33) були

проведені абсолютно точно, то кожна різниця дорівнювала б нулю) і тому істинні

різниці стають своїми істинними похибками. Обчисливши їх, можна за формулою

Ґаусса (4.3) знайти середню квадратичну похибку однієї різниці

™„=±J—• (4-35)

V п

З іншого боку середня квадратична похибка m

різниці двох рівноточних

вимірювань (4.34) є в 4Ї разів більшою від середньої квадратичної похибки т

однієї величини (див. Зауваження 2 §4.9), тобто

Елементи теорії похибок вимірювань

263

=4ї-т,

ЗВІДКИ

tYl

т = (4.36

л/2

або після підстановки у вираз (4.35), отримаємо співвідношення для знаходжен

середньої квадратичної похибки одного вимірювання

У деяких випадках знаходження середньої квадратичної похибки одно

вимірювання для парних рядів за формулою (4.37) може бути неточним. !

пов'язано з тим, що окремі фактори в однаковій мірі можуть впливати

результати як першого, так і другого рядів вимірювань, а в різницях (4.34)

вплив може бути значно послабленим.

Якщо у різницях (4.34) парних вимірювань містяться систематичні похибі

то перш ніж знаходити середню квадратичну похибку, їх необхідно усунути.

Припустимо, що різниці d. (і =

п) містять як випадкові

А.,

так і систематичн

похибки, тобто

d. = А. + д.

і і і

і просумуємо їх. Тоді для достатньо великої кількості парних вимірювг

випадкові похибки будуть взаємно знищуватись, а систематичні - накопичувати

Отже, якщо величина [d\ буде значно відрізнятись від нуля, а саме, як:

виконується нерівність

[d] |> 0,25[| d |], (4.3*

то це свідчить про наявність систематичних похибок.

Для усунення систематичних похибок припустимо, що значення їх у в

різницях є однаковими та дорівнюють

"о

Знайдемо виправлені різниці

Ad. - d. -

(і =

п)

та, оскільки d

є середнім арифметичним різниць d. (і = \,гі), а величини Ad

надійними похибками, то із використанням формули Бесселя отримаємо ви

для середньої квадратичної похибки однієї різниці

266 Розділ IV

Щ-4^}. («9)

V п -1

Підставивши співвідношення (4.39) у вираз (4.36), отримаємо формулу для

знаходження середньої квадратичної похибки одного вимірювання

4. [ДП

т =

v2(w-l) ' (4.40)

Оцінку точності середнього значення з кожної пари вимірювань знаходимо так:

,л ,14

'Ті-

41)

Тут значенняm

'\ т обчислюються за формулами (4.35), (4.37) відповідно, якщо

немає систематичних похибок у різницях (4.34), або за формулами (4.39), (4.40),

якщо вони є.

Зауваження. Для зручності при розв'язуванні практичних задач спочатку

знаходять оцінку точності однієї різниці за формулою (4.35) або (4.39), а потім із

використанням співвідношення (4.36), отримують оцінку точності одного

вимірювання.

§ 4.13. Оцінка точності при наявності декількох

джерел випадкових похибок

Розглянемо результати рівноточних вимірювань

І.

(і =

п) однієї величини з

істинними випадковими похибками Ар{і = \,п, j = \,k), обумовленими різними

та незалежно діючими к випадковими факторами. Для кожного окремого

вимірювання /. знайдемо результуючі істинні випадкові похибки

[Л

]=ІЛУ

)

, i = (4.42)

Рівняння (4.42) піднесемо до квадрату та просумуємо. Оскільки парні добутки

задовольняють властивості випадкових похибок, то для достатньо великої

кількості вимірювань п, знехтувавши їх сумою, отримаємо

Елементи теорії похибок вимірювань 265

Дану рівність поділимо на кількість вимірювань п та, ввівши позн;

ГД

</)2

, m

(j)2

= (j = 1,k), одержимо

п п

= f>

(;)2

, (

і=і

де т - результуюча середня квадратична похибка; m

- середня квадр;

похибка, обумовлена j- им джерелом похибок.

Таким чином, формула (4.43) дає можливість обчислити квадрат резуль

середньої квадратичної похибки, яка дорівнює сумі квадратів се

квадратичних похибок, обумовлених кожним окремим незалежно д

джерелом випадкових похибок.

§ 4.14. Оцінка точності при сумісній дії джерел випадкови

і систематичних похибок

Суттєве підвищення точності вимірювань можливе не тільки при у<

випадкових похибок, але й систематичних, закономірності виникнеш

залежать від джерел їх появи та можуть бути виявлені зі спеціальних досл:

Тому постає питання оцінки точності вимірювань, коли на них вплива

випадкові, так і систематичні фактори. Розглянемо окремі випадки.

1. Наявність у результатах вимірювань випадкових похибок і

систематичної похибки.

Розглянемо результати рівноточних вимірювань /. (і -1, п) якоїсь велі

істинними випадковими похибками А. та сталою систематичною похиб:

Тоді для істинного значення L вимірюваної величини можна записати

L =

/,.

- А, -г)о, і = \,п .

Знайдемо середнє арифметичне співвідношень (4.44), тобто

-—--Іч.,

і=1

п п п

1=1

або L = — - — -г?

п п

і оскільки L

=— - середнє арифметичне результатів вимірюва

використавши властивість випадкових похибок, отримаємо

268

Розділ IV

lim L

= L + rjo,

11—>00

а це значить, що границя середнього арифметичного з результатів вимірювань

для достатньо великої їх кількості відрізняється від істинного значення L на

величину сталої систематичної похибки г\

{)

Якщо значення Г]

є відомим, то вилучивши його з результатів вимірювань,

одержимо нові вимірювання

/• = І/ —Г]о, і = \,п,

і середнє значення їх

•^о ~ L

-т]

•

Знайдемо оцінки точності вимірювань /. та /

(

'(/ = \,п). За формулою Бесселя

(4.28) середня квадратична похибка одного вимірювання І. буде

п-\

де 8 = /. - L, - надійні похибки вимірювань /. (і =

гі). Обчислимо надійні похибки

вимірювань

l'j{i

гі) 8- = /• - Li -

- rj

- L

+r]

= /

(

. - L

, тобто вони співпадають

із надійними похибками 8. (і = 1,п),а тому будуть однаковими і середні квадратичні

похибки одного вимірювання як /., так і /'.

Таким чином, при наявності в результатах вимірювань сталої систематичної

похибки ї]

, середня квадратична похибка одного вимірювання буде однаковою

незалежно від того, чи буде вона усунена з вимірювань чи не буде.

Якщо є відомим істинне значення L вимірюваної величини, то за формулою

Ґаусса (4.21) знайдемо середню квадратичну похибку одного вимірювання т. Для

цього вираз А. + г]

піднесемо до квадрату

(А +щ)

+Vo +2-А- -^0'

результат просумуємо за індексом і від

до п та поділимо на п

- І (4

+ ЦІ + 2

•

V.) = - ([] + п

•

ці + 2

• 77

•

[4]) = +

Г)1

+ 2

•

1=1

п п п

і, врахувавши співвідношення J™,""

111

®, отримаємо вираз для квадрата

середньої квадратичної похибки одного вимірювання

2 [А

]

т — • (4.45)

Елементи теорії похибок вимірювань 267

Середня квадратична похибка М середнього арифметичного L„ об

ватиметься так:

V п

2. Наявність у результатах вимірювань випадкових похибок та з

систематичних похибок , обумовлених одним джерелом.

Розглянемо ряд рівноточних вимірювань

(і =

п) якоїсь величини з іст

випадковими похибками

А.

та систематичними похибками

г].,

обумовленим!

джерелом. Нехай величини j. = А. +

г].

будуть сумарними похибками вимірі

Знайдемо середню квадратичну похибку одного вимірювання m.j за фо]

Ґаусса (4.21), для чого величини j. піднесемо до квадрату

=А

+2-А

-г]

+г]

просумуємо за індексом і від 1 до п і поділимо на п

Al]

[т]2]

[Л

Т]]

п п п п

2-[А-ї]]

та, врахувавши, що доданок —= — є малим для достатньо великої к

вимірювань п, отримаємо вираз для квадрата середньої квадратичної пс

2 [Л

] [Г]

] 2 2

п п

Формула (4.47) дає можливість знайти середню квадратичну похибку

вимірювання при випадковому та систематичному впливах, тобто

середньої квадратичної похибки одного вимірювання при сумісній дії

випадкових похибок і одного джерела систематичних дорівнює сумі к:

середніх квадратичних похибок випадкового та систематичного впливії

3. Наявність у результатах вимірювань систематичних похибок, обум

різними джерелами.

Розглянемо рівноточні вимірювання /. (г = 1,и) якоїсь величини з іс

випадковими похибками А. та систематичними похибками г]['

)

(і = \,п,

обумовленими різними k джерелами. Введемо величини j, - А, +

7=1

сумарними похибками вимірювань /.. Знайдемо середню квадратичну по

одного вимірювання за формулою Ґаусса (4.21).

270

Розділ IV

Піднесемо до квадрату величину j., просумуємо за індексом і від 1 до п і

поділимо на п. У результаті отримаємо

п п П j=1 П j=\

+ --([77

(1)

•Т

{2)

] + [г]

•

(3)

] + ... + [Ї7

(1)

-гі

{к)

] + [гі

{2)

-Г]

(3)

] + ... (4.48)

... + [Г7

(2>

-ri

{k)

] + ... + [ri

•ri

]).

сл

Оскільки доданок —• ^[Л-Г]

и>

] у співвідношенні (4.48) є відносно малим, то,

п у=І

знехтувавши ним можна записати

mj =т

+ Іт

+-- ([?7

(1)

•

г]^] +... + [ї]^

•

iJ)

]), (4.49)

j=\ п

к 2

де доданок 'Zm

—

-([гі

і1)

-г]

і2)

] + ... + [ri

-г]

и)

]) виражає сумарний вплив

у=І П

систематичних похибок, обумовлених джерелами.

Щоб зменшити вплив систематичних похибок на результат вимірювань у

геодезичній практиці керуються такими правилами:

1) встановлюють закон появи систематичної похибки, після чого її зменшують

введенням поправки в результати вимірювань (еталонування вимірювального

лінійного приладу дозволяє ввести поправки на його довжину і температуру при

вимірюванні довжин ліній);

2) застосовують відповідну методику вимірювань, розраховану таким чином,

щоб систематичні похибки діяли не однобічно, а змінювали б свої знаки (відлік

за діаметрально протилежними штрихами лімбу, перестановка лімбу між

180° . . „ .

прииомами на кут , д еп- кількість прииомів, визначення прямих та зворотніх

перевищень точок при тригонометричному нівелюванні тощо);

3) використовують певну методику опрацювання результатів вимірювань

(опрацювання парних вимірювань, застосування спеціальних методів).

§ 4.15. Опрацювання результатів рівноточних вимірювань

При опрацюванні ряду рівноточних вимірювань /. (і = 1,п) якоїсь величини,

істинне значення якої є невідомим, потрібно:

Елементи теорії похибок вимірювань 269

o =•

1) обчислити надійне значення виміряної величини, яким буде се

арифметичне результатів, тобто

ш.

якщо кількість вимірювань п є достатньо великою, тоді

де /

- наближене заокруглене значення вимірювань /. (і = \,п); є. = і -І -

о<

2) знайти середню квадратичну похибку т одного вимірювання за форі

Бесселя (4.28), що характеризує точність вимірювань у даних умовах, та здіі

контроль обчислень за формулою Петерса (4.32); якщо середнє арифмет

обчисленим за формулою (4.50), то для контролю обчислень [5

] застосо

такі контрольні співвідношення:

[<5

] = [5-є], (

] = [e

^. (

Вони отримуються так:

[<5

] = Е<5,- <1

-Ь

)=Ї8

-І, -L

={8 l]-L

-[8}

/=і /=і /=і

і оскільки [5] = 0, то [<5

] = [/5].

Тепер розглянемо

[/5] =

•

(L +£,) = /.• І8, + ІЗ,- є, = L

•

[5] + [8є] = [&].

і=і /=і !=і

Отже, формулу (4.51) одержано.

Запишемо рівності для величин 5. (і -1 ,п)

8, =

І,

= L -

+ є,

піднесемо їх до квадрату та просумуємо за індексом і від 1 до п

] = [e

] + 2-[e]-(L-L.) + n-(l

-2-L-L.+L

)

fel

і оскільки з рівності (4.50) / = L

- Li , то з врахуванням цього остання р

перепишеться

272 Розділ IV

[<5

] = [є

] + 2-[£] І.-И-І.

( Л Г„т2

« п п

2 п

, [Є]'

М1

[

]

„

п г

,2, [£]

= [є

]-2-^--2-Ь*

•[£]

+ ——1-2• Lo -[є] = [е ]

п п п

Доведено і формулу (4.52).

3). Визначити середню квадратичну похибку М остаточного значення L

, що

отримане в результаті опрацювання, за формулою

М = ±ШL.

\п-{п-1) л/и '

Розглянемо два ряди рівноточних вимірювань деякої величини Г

І"

(і =

п).

Математичне опрацювання таких рядів зводиться до оцінок точності. Для цього

потрібно:

1) обчислити різниці d

- 1"{і = 1 ,п);

2) перевірити виконання рівності

|М|<0,25[Н],

яка свідчить про відсутність систематичних похибок у різницях результатів

вимірювань;

3) у цьому випадку середня квадратична похибка однієї різниці обчислюється

за формулою (4.35)

. У

]

=±л •

V п

Якщо ж наведена нерівність не виконується, тобто різниці d. (і =

п) містять

систематичні похибки, то спочатку слід обчислити виправлені різниці за

формулою

d'j=dj =

усунувши таким чином середній залишковий систематичний вплив, який

[d] .

виражається виразом _, і, вважаючи їх відхиленнями від середнього

арифметичного, середню квадратичну похибку однієї різниці знаходимо зі

співвідношення (4.39)