Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи математичної статистики

І'Л

6-(я-1)

\І(л + 1)-(я + 3)'

(3.77)

(Тр =

24л

•

(л - 2)

•

(л - 3)

\(п-1)

-(п + 3)(п + 5)'

зі самими характеристиками асиметрії та ексцесу Е\ отриманими п

спостережень. Великі в порівнянні із а

та а

значення А* та Е*, отримані и

спостережень, можуть бути підставою для відкидання гіпотези про нормальнії-1 ь

досліджуваного розподілу.

Приклад 13. Для сукупності кутових нев'язок трикутників (п = 50) ряду

триангуляції отримано значення емпіричної асиметрії

Л*

= 0,49 та емпіричного

ексцесу Е* = - 0,77.

Потрібно перевірити гіпотезу про нормальність розподілу кутових нев'язок.

Розв'язання. Обчислюємо величини а

та а

» =0,33,

(50 + 1)-(50 + 3)

24.50.(»-2).(50-3)

(50 -1)

•

(50 + 3)(50 + 5)

Отримані значення А* = 0,49 та £* = - 0,77 відрізняються від нуля, що може

свідчити про порушення нормального розподілу. Але такі розбіжності можна

вважати суттєвими, якщо

А" |>3а

117* і с 0-т

Е |>5ст

Коефіцієнти 3 і 5 у виразах (3.78) отримано за нерівністю Чебишева.

Отже,

А* \<За

, 0,49 <0,99,

|£:*|<5сг

, 0,77 <3,05,

тому гіпотеза про нормальність розподілу кутових нев'язок трикутників ряду

триангуляції не суперечить результатам спостережень, і нев'язки можна вважати

нормально розподіленими.

> Розділ

3.6.8. Задача вирівнювання статистичного ряду

Ї опрацюванні статистичного матеріалу часто необхідно розв'язувати

, яка полягає в тому, щоб підібрати для даного статистичного ряду

ічну криву розподілу (функцію густини), яка б відобразила лише суттєві

>ого матеріалу, а не деякі випадковості, які завжди присутні в результатах

режень (вимірювань) і, як правило, пов'язані із недостатнім обсягом

іиментальних даних. Така задача називається "вирівнюванням

куванням) статистичних рядів".

<е, підібрана крива розподілу з тої чи іншої точки зору найкращим чином

іа описувати даний статистичний розподіл.

ача вирівнювання статистичних рядів - це задача про найкраще аналітичне

ення емпіричних функцій і вона, як відомо, значною мірою невизначена, її

ок, залежить від того, що вважати за "найкраще". Питання про те, в якому

функцій слід шукати найкраще наближення, вирішується тут не з

тичних міркувань, а з таких, що пов'язані із фізичною суттю задачі, яка

ується, з врахуванням характеру отриманої емпіричної функції, а також міри

гі виконаних спостережень. Досить часто принциповий характер функції,

ісує досліджувану залежність, відомий наперед з теоретичних міркувань, а з

необхідно отримати лише деякі числові параметри, що входять у вираз

і. Тоді задача вирівнювання статистичного ряду перетворюється на задачу

ільного вибору тих числових значень параметрів, для яких відповідність

тистичним розподілом та теоретичним є найкращою,

глянемо, досліджувану величину X - похибку вимірювання. Тоді з

гчних міркувань можна стверджувати, що величина ^підпорядковується

іьному закону

(У-'".у)

^ ч 1 2ст:

/(*) = j=e (3.79)

л12л

а вирівнювання стає задачею раціонального підбору параметрів т

і а

$і (3.79).

і цьому треба мати на увазі, що будь-яка аналітична функція f[x), за

>гою якої вирівнюється статистичний розподіл, повинна мати основні

вості функції густини розподілу

А*)>о,

(3.80)

J / (x)dx = 1.

Елементи математичної статистики

І'Л

Припустимо, що з тих чи інших міркувань ми вибрали функцію /(х), яка

задовольняє умови (3.80). Нехай у виразі цієї функції є декілька параметрів <і, />,

.... Необхідно підібрати ці параметри так, щоб функція/(х) найкращим чином

описувала даний статистичний матеріал. Найбільш поширенні! мсіод

розв'язування такої задачі - так званий метод моментів.

Згідно з методом моментів, параметри а, Ь,... вибирають такими, щоб декілька

важливих числових характеристик (моментів) теоретичного розподілу

дорівнювали відповідним статистичним характеристикам. Якщо, наприклад,

теоретична крива розподілу Дх) залежить тільки від двох параметрів а і />, ю ці

параметри вибирають так, щоб математичне сподівання т

і дисперсія /)

теоретичного розподілу співпадали з їх статистичними оцінками, які знайдено і

вибірки х, S

(Sq). Якщо функція/(х) залежить від трьох параметрів, то їх

підбирають так, щоб співпадали перші три моменти і т.д.

Слід зауважити, що при вирівнюванні статистичних рядів нераціонально

використовувати моменти порядку вище четвертого, оскільки точність їх

обчислення різко зменшується зі збільшенням порядку моменту.

Припустимо, що якийсь статистичний розподіл вирівняно за допомогою де

кої

теоретичної кривої/(х) (див. Рис. 3.14). Як би добре не була підібрана теоретична

крива, між нею і статистичним розподілом неминучі деякі розбіжності. Тоді

виникає питання: чи можна ці розбіжності пояснити тільки випадковими

обставинами, пов'язаними з обмеженою кількістю спостережень, чи вони є

суттєвими, і підібрана крива погано вирівнює даний статистичний розподіл.

Тобто тут виникає задача перевірки статистичної гіпотези про закон розподілу

деякої генеральної сукупності за даними вибірки (статистичного ряду). Як відомо,

критеріями перевірки такої гіпотези є критерії згоди Пірсона і А.Н. Кол-

могорова. У деяких випадках можна скористатись наближеним методом за

допомогою статистичних оцінок ексцесу та асиметрії.

Приклад 14. У таблиці 3.5 наведено статистичний ряд розподілу похибок

вимірювань кутів триангуляції.

Необхідно вирівняти цей розподіл за допомогою нормального закону

(-*-<", )

Таблиця 3.5

[-8; -6)

[-6; -4)

[-4; -2) [-2; 0)

[0; 2)

[2; 4) [4; 6) [6; 8]

Ті

7 34

90 157

126 72

РІ

0,014

0,066 0,175

0,307 0,246 0,141

0,041

0,010

> Розділ

ів'язання. Нормальний закон залежить від двох параметрів т

і сг.. Згідно

і моментів за ці параметри візьмемо їх статистичні оцінки. Обчислимо їх за

и таблиці 3.5, беручи за представник кожного інтервалу його середину

т* =І х,р* = -7

•

0,014 + (-5)

•

0,066 + (-3)

•

0,175 + (-1)

•

0,307 +

і=І

•

0,246 +

3 • 0,141

5 • 0,041

+ 7

•

0,020 = -0,316.

атистичну оцінку дисперсії обчислюємо через другий початковий момент

=I,Z?-P

=7,248,

/=і

=7,248-0,100 = 7,148.

же, т

=-0,316; сг;

=7,148; а

=2,674.

ристуючись таблицею (див. Додаток, табл.2), обчислимо

значенняf{x)

для

в інтервалів за виразом

(£,+0,31 б)

/(*,) =

148

2,674

•

л/2я

нормованими аргументами

z =

*< ~

нормовану нормальну густину розподілу

f(.Z) = -±=e~~.

4іп

^повідні обчислення занесемо в таблицю 3.6.

Таблиця

3. б

Xj -і -5 -3

-1 1 3 5 7

-2,50 -1,75

-1,00 -0,26 0,49

1,24

1,09 2,73

0,0175 0,0863 0,2420 0,3857

0,3538 0,1849 0,0551 0,0096

0,006 0,032 0,090

0,144 0,132

0,069

0,021 0,004

збудуємо на одному графіку гістограму і вирівнюючу криву розподілу

Рис.3.14).

Елементи математичної статистики

І'Л

У-

fix)

Рис,

3.14

Із графіка видно, що теоретична крива розподілу Д. ^ в основному зберігає

особливості статистичного розподілу (гістограми). Розбіжності, що спостерігаються,

можливо пояснються випадковими причинами. Але точніше на це питання можна

відповісти, використавши критерій згоди Проведемо відповідні обчислення, які

подамо таблицею 3.7.

Таблиця 3.7

[-8; -6)

[-6; -4) И;-2)

[-2; 0)

[0:2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8]

Ші 7 34

90 157 126 72

Рі

0,0159 0,0668

0,1805 0,2835 0,2600

0,1385 0,0445

0,0082

ПРі 8 34 92

145 133 70

Ймовірності р. (і = 1,8) та критерій Пірсона tf обчислюємо за формулами

/ « \

-*0

х, -т

-*0

)

V /

8 (;т,-пр, )

_ (7 -8)

(34-34)

(90-92)

(157-145)

/=і пр, 8

145

(126-133)

(72-70)

(21-22)

(5-4)

=lgg3

133 70 22 4

> Розділ

тер, задаючи рівень значущості а = 0,05 (

то

бто за ймовірністю

), та визначаючи число к = г - 1 - с (ступінь довільності), маючи на

100

що в нашому випадку с = 2, г = 8, знаходимо табличні значення критерія

(одаток, табл.З)

(а,

к) = я

(0,05; 5) = 1,145.

кільки, хібч

(

>к)' тобто 1,883 > 1,145, то гіпотезу Н

про нормальний

розподілу даного статистичного матеріалу потрібно відхилити. Інакше

я, з ймовірністю у=

- а = 0,95 не можна стверджувати про нормальний

розподілу похибок вимірювань кутів триангуляції.

•важимо, що ймовірність у= 0,95 є досить високою і на практиці не завжди

ться до висновків так вимогливо. Частіше вважається, що вже ймовірність

0 говорить про те, що гіпотеза H

є правдоподібною,

viy, припустимо, що у= 0,80. Тоді

(

к) = 2,34 і гіпотеза H

приймається

S3 < 2,34), тобто у 80 % вибірок із генеральної сукупності дані не протирічать

ценню, що похибки вимірювань кутів триангуляції підпорядковуються

іьному закону, а розбіжності, які спостерігаються на графіку і в таблиці

зються випадковими причинами.

агатьох практичних випадках дослідника (спостерігача) цікавить питання

в якій мірі існує суттєвий вплив того чи іншого фактору, або комбінації їх

іний результат спостереження (вимірювання). Головна вимога до

ичних спостережень полягає в тому, щоб вони не містили в собі

атичних похибок. Такі похибки виникають у результаті недосконалості

ментів (приладів), методів спостережень, недосвідченості виконавців,

пивості врахувати зміну фізичних умов спостережень,

і виявлення систематичних похибок проводять, як правило, науково-

ні випробовування на спеціальних полігонах та стендах. Після таких

Зовувань розробляють методи усунення або врахування виявлених

атичних похибок. Але, як правило, частина похибок залишається. Для

ння їх впливів розширюють комплекс випробовувань у різних фізичних

:, наприклад, для різних класів інструментів (приладів),

^ково обгрунтоване розв'язування таких задач і є предметом дисперсійного

введеного англійським математиком Р. Фішером.

ке, дисперсійний аналіз - це статистичний метод аналізу

зежень, результати яких залежать від різних, одночасно діючих факторів,

§ 3.7. Основи дисперсійного аналізу

Елементи математичної статистики

І'Л

а також вибір найбільш важливих факторів та оцінка їх впливу. Ідея дисперсійної о

аналізу полягає в тому, щоб розкласти загальну дисперсію випадкової величніш

на незалежні випадкові складові, кожна з яких характеризує вплив того чи іншої о

фактора або їх взаємодії.

Подальше порівняння складових дисперсії з використанням певної о

статистичного критерія дозволяє оцінити суттєвість впливу факторів н;і

досліджувану величину.

Якщо досліджується вплив одного фактора, тоді розглядається о д н о ф а к -

торний комплекс (виконується однофакторний дисперсійний аналіз).

Якщо вивчаються два і більше факторів, тоді відповідно маємо справу з д it о -

або багатофакторним комплексом і відповідним дисперсійним

аналізом.

3.7.1. Однофакторний комплекс

Нехай деякий геодезичний об'єкт (кут, довжина лінії, перевищення і т.д.)

декілька спостерігачів вимірюють однаковими інструментами, певною кількісно

прийомів в один і той же час.

Досліджується однорідність результатів спостережень відносно центра

групування. Тобто, якщо присутні систематичні похибки, то вони одного порядку.

При цьому точність спостережень вважається однаковою (тобто характери-

зується однаковим параметром а). Цим самим ми хочемо перевірити вплив одного

фактора (спостерігача) на результати спостережень.

Результати вимірювань якоїсь фізичної величини т спостерігачами п разів

кожним можна подати у вигляді таблиці 3.8.

Таблиця

3. <V

Спосте-

рігач

№ вимірювання

1 2

Хі2

Х\і

Х\„

ЛГ21

хгг X

j хг„

Хіі

Хі2

Xjj

]

Хщі

Хіпі

Х,

Кожний рядок цієї таблиці є вибіркою. Таких вибірок буде т.

Знайдемо середнє арифметичне значення із цих вибірок

_ 1 " _ І " 1 "

•*!*

\i-> •••>

і*

• • ч

т*

ті•

П у=1 П у=1 П 7=1

> Розділ

:що систематичні похибки, які викликані різною кваліфікацією спостерігачів,

іакові, то можна очікувати підвищеного розсіювання вибіркових середніх,

же, в статистичному сенсі задача полягає в перевірці гіпотези #

Х\*

^2* = ...

...

—

„

)івнянні з альтернативною гіпотезою

Xj* Ф Ф ...

Ф Х[*

Ф ...

Ф Х

, / = 1,2,..., т - математичні сподівання генеральних сукупностей, із яких

вибірки.

ікше кажучи, якщо виконується гіпотеза Н

, то систематичних впливів немає

іі, а якщо Я, - систематичні впливи значні.

:е

може бути

така ситуація, коли систематичні впливи

є і

ними можна нехтувати,

атистична гіпотеза #

перевіряється порівнянням групових (в рядках) та

упових (в стовпчиках) вибіркових дисперсій за F-критерієм (критерієм

>а).

Якщо цей критерій показує незначне розходження між груповою та

уповою вибірковими дисперсіями, то гіпотеза Н

приймається і можна

ги висновок, що результати спостережень не мають систематичних впливів.

:я знаходження відповідних вибіркових дисперсій знайдемо суму квадратів

іень

ЇЇІХ^-Х)

, (3.81)

І=\М •

\ т п

•

— X

ц - загальне середнє,

тп ;=і >і

:ретворимо вираз (3.81)

т п - т п .

X 1(

у -х)

=Х -х,, + х

(

, -х)

1=17=1 /=І7'=1

т її . т п . т п

= X X (Ху -Х,.„ )

+Х

X(X

-х)

+ 2

•

X(Ху

-X,..) •(*,, -X). (3.82)

/=І7=1 '=17=1 /=І7=1

отриманого виразу (3.82) випишемо третю суму

т п _ _ _ т п

s = X

X(Ху

X,.*) -(X,.,

- х) =

X(X,.

-х)-^(Ху- X,..)

/=1у=1 1=1 7=1

іе Х(х;

-х,„) = 0, оскільки є сумою відхилень спостережень z'-ої серії від

/= І

іього тої ж самої серії і тому

Елементи математичної статистики

І'Л

5 = 0.

Друга сума зі співвідношення (3.82) буде

ш п - ш -

т п

i=\j=\

Тоді вираз (3.82) перепишемо так:

/=і

т п

т т п

або

в = в, + Qv

де д о д а н о к Q

- це сума квадратів різниць між середніми окремих сукупностей

(груп, рядків в нашому прикладі) та загальним середнім всієї сукупності. Вона

носить назву сума квадратів відхилень "між групами" та

характеризує систематичні розходження між сукупностями спостережень. Це є

"розсіювання за факторами";

доданок Q

- це сума квадратів різниць між окремими спостереженнями

та середнім відповідної сукупності. Вона називається сумою квадратів

відхилень "в середині груп" і характеризує залишкове розсіювання

випадкових похибок результатів вимірювань;

Q- загальна або "повна" сума квадратів відхилень окремих

спостережень від загального середнього х-

Припустимо тепер, що гіпотеза Н

: рівність центрів (а значить однаковість

систематичних похибок) є вірною. Тоді нормальні розподіли всіх похибок є

тотожними, тобто мають однаковий центр і дисперсію сг

. Тому всі іп-н

спостережень можна розглядати як вибірку із однієї

тієї ж генеральної сукупності,

Q .

а величину ——j- вважати як незміщену оцінку дисперсії сг, знайдену за цією

вибіркою. Величина Щ-, а значить і Щ-, Щ- мають

- розподіл із (тп -1), (т 1),

сг а а

т(п - 1) ступенями довільності відповідно.

При цьому розподіл цих величин справедливий для будь-яких припущень

відносно центрів розподілу.

Припустивши, що нульова гіпотеза #

є справедливою, суми квадратів Q,

£>,,

можна використати для отримання незміщених оцінок для дисперсії о

генеральної

сукупності

> Розділ

, ~x) = г - оцінка дисперсії за фактором, (3.84)

т -1 м т -1

1 "

—

2 62

- : X X(•*/,•

_ =

; гг - оцінка залишкової дисперсії, (3.85)

т{п -1)

і=і;=і

т(п -1)

ґ v

1 т п _ j

г X S (х,

- х) - - _ оцінка загальної дисперсії. (3.86)

тп -1

/=і /=і

тп -1 ^

нка різниці між дисперсіями отримується за критерієм Фішера

s, _ а . Qi

т-\ т(п -1)

іі, за обраним рівнем значущості а

таблицею .F-розподілу (див. Додаток,

) знаходять межу критичної області F

, маючи на увазі, що

P{F>F

) = a.

цо F < F

, то можна стверджувати, що нульова гіпотеза H

приймається,

плив різних виконавців спостережень (у нашому прикладі) не має суттєвих

ітичних похибок, а оцінки дисперсій відмінні між собою тільки за рахунок

ових факторів.

юфакторний дисперсійний аналіз можна зобразити таблицею 3.9.

Таблиця 3.9

Компоненти

дисперсії

Сума

квадратів

Кількість ступенів

довільності

Оцінка

дисперсії

Міжгрупова

(за фактором)

п-Ші.-х)

- 1

Залишкова

т(п

- 1)

Загальна

-xf

тп

- 1

3.7.2. Двофакторний комплекс

іуктура дисперсійного аналізу у випадку дослідження двох чи більше

ів не змінюється, ускладнюються лише обчислення,

іриклад, горизонтальні кути вимірюються різними інструментами однієї

:ті та декількома спостерігачами. Необхідно оцінити розсіювання