Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи математичної статистики

І'Л

звідки

^ , ч 1

-0;

ФоЮ = —. (З.SO)

Отже, користуючись виразом (3.50), за вибраним рівнем значущості а. іл

таблицею для функції Лапласа знаходимо z . Обчислене за виразом (3.45) значення

критерія позначимо z , або z - спостережуване значення критерія.

1 1

обч. спост.

1 J 1 г

Якщо Iz

J < z , то немає підстав відхилити гіпотезу Н

; якщо \z

(iCh

> z^ ю

гіпотезу Н

відхиляють, тобто вибіркові середні досліджуваних генеральних

сукупностей суттєво відрізняються між собою.

Другий випадок.

Нульова гіпотеза Н

: М(Х) = М(У), а альтернатива Н

\ М(Х) > M(Y). На

практиці такий випадок виникає тоді, коли з деяких міркувань відомо, що

генеральна середня однієї сукупності є більшою за генеральну середню іншої. У

цьому випадку будують правобічну критичну область. Тоді ймовірність

потрапляння критерія в цю область при тому, що справедливою є нульова

гіпотеза Н

, дорівнюватиме рівневі значущості а (див. Рис. 3.10).

Рис. 3.10

Отже, матимемо

P(Z>z

) = a (3.51)

і P(0<Z<z

) + P(Z>z

) = i.

Із виразів (3.47) і (3.51) отримаємо

+ « =

або

^ / ч

1 —

2а

= —. (3.52)

> Розділ

і рівнем значущості а, використавши вираз (3.52) і таблицю для функції

аса, знаходимо z . Фактичною областю буде Z > z

, а областю прийняття

ези Н

- Z < z . Якщо обчислене за формулою (3.45) г

обч

< z

, то гіпотеза Я

мається, інакше вона відхиляється,

ретій випадок.

ульова гіпотеза Я

: М[Х] = М[

У],

а альтернатива Я,: М[Х\ < M[Y], Критична

зть буде лівобічною (див. Рис. 3.11).

Рис. 3.11

оді

P{Z<z

) = a. (3.53)

[аний випадок є симетричним до другого, тільки z вважається від'ємним,

істю прийняття нульової гіпотези Н

буде Z > z

, а критичною -Z < -z .

чина z знаходиться за таблицею функції Лапласа як і в другому випадку,

[риклад 5. У двох серіях вимірювань із обсягами и, = 25 та п

= 50 отримано

дні значення х=9,79 і у-9,60. Чи можна пояснити таку різницю

дковими причинами, якщо відомо, що середні квадратичні відхилення в обох

їх однакові сг. = а = 0,30.

'озе 'язування.

). Формулюємо гіпотези Н

: М{Х) = M(Y), і Я,: М(Х)

М(У).

). Обчислюємо статистичний критерій перевірки гіпотези - нормоване

ілення за формулою (3.45)

_ \х-у\ _ 9.79-9.60

П Г ГІ г

а —+ — 0,30.— + —

]п

25 50

). Вибираємо рівень значущості q - 1%, тобто а = 0,01.

). Визначаємо критичну область як двобічну (типу IV). Тоді область

іняття гіпотези Я

буде (-z^; z^), де знаходимо за таблицями для функції

таса, використовуючи вираз (3.50)

= = 0,495.

Елементи математичної статистики І'Л

Остаточно матимемо z = 2,576.

5). Порівнюємо г

обч

= 2,59 із z = 2,576. Оскільки z

o64

> z

, то гшоїсіл //

відхиляється і різниця між середніми є суттєвою, тобто невипадковою.

Приклад 6. За двома незалежними вибірками, обсяги яких є л, = 10 і п, 10.

що вибрані із нормально розподілених генеральних сукупностей, знайдено

вибіркові середні х = 14,3 та у = 12,2 . Генеральні дисперсії є відомими /)[Л | - 22.

£>[У] = 18.

За рівнем значущості а = = 0,05 потрібно перевірити нульову гіпотезу ІІ

М[Х\ = M[Y] при альтернативі Я,: М[Х] > М[У].

Розв

'язання.

2). Обчислюємо критерій

_ 14,3-12,2

10 10

4). Критична область за умовою є правобічною І типу, тому знаходимо : зі

3). а = 0,05

4). Критичі

співвідношення

І-2а

і за таблицею для функції Лапласа матимемо z = 1,64.

5). Порівнюємо z

з г

обч

. Оскільки г

обч

< z , то немає підстав відхилити нульову

гіпотезу Я

. Отже можна вважати, що вибіркові середні відрізняються незначно і

тільки за випадковими причинами.

Розглянемо тепер випадок перевірки гіпотези про центри розподілу, коли

генеральні сукупності величин X і У розподілені нормально та їх дисперсії г

невідомими.

Якщо в результаті деякого дослідження отримано вибірки малих обсягів, то

неможливо мати "добрі" оцінки генеральних дисперсій. Із цієї причини попередній

метод порівняння середніх значень застосовувати не можна. Але, якщо

припустити, що невідомі генеральні дисперсії дорівнюють одна одній ст

(Tj!

(в

багатьох випадках це можна вважати обгрунтованим ), тоді можна побудува

критерій, який має розподіл „Studenta" (/-критерій).

Якщо немає підстав вважати, що дисперсії генеральних сукупностей є

однаковими, то спочатку перевіряють гіпотезу про рівність генеральних дисперсій

(див. п. 3.6.5).

> Розділ

ипустимо, що сг

—

Су, але самі дисперсії а

,а

, є невідомими і вибірки є

«ними. Для оцінки ст

та о

у такому випадку використовують виправлені

юії

Олг

1 «і ,

ЇІХі-Х)

«, -1 1=1

l(yj-y)

7=1

травлена вибіркова дисперсія для обох вибірок має вигляд

<» -

г>

п,

+Пт

-2

(3.54)

що гіпотеза Н

: М[Х\ = М[У] справедлива, то випадкова величина (X-Y)

•рмальний закон розподілу з математичним сподіванням М[Х - F] = 0 та

юією сг

' 1 1

— + —

п, щ

, як І в попередньому випадку.

зез те, що сг

невідома, за вибіркову оцінку дисперсії D[X - У] приймають

с2 _ о2

°х-у

я, щ

і 1

ки вона є незміщеною, тобто

1 1

п, и.

•Sn

' 1 1

— + —

"і «2

(

1 1

— + —

п, И,

итерієм перевірки буде нормоване відхилення вигляду

(X-Y)-M[X-Y]

t =

х-у

X-Y

' 1 П 5О

>,-1) + 5О

„ (л

-1)

п, и,

і 1

я, +и

-2

(3.55)

Елементи математичної статистики І'Л

яке має розподіл „Studenta" з кількістю ступенів довільності к = п

+ /г, 2, ямно

гіпотеза Я

справедлива. Позначимо йото і

о6ч

Критична область будується в залежності від вигляду конкуруючої і іпои- ш

Перший випадок.

Нульова гіпотеза Я

: М(Х) = M(Y), а альтернативна Я,: М(Х) * Л/( )').

такому випадку критична область буде двобічною, для якої існуюп. іам

співвідношення:

P(T<t

) = ^, P(T>t

4npa

J = ^, (3.50)

де а = - вибраний рівень значущості. Наведені співвідношення забезпечую

11.

найбільшу потужність критерію (3.55).

Через те, що величина t має розподіл „Studenta", який є симетричним відносно

нуля, критичні точки f , t також є симетричними відносно нуля. Таким чином,

якщо позначити праву межу двобічної критичної області через t

q0m6j4

(а, А), ю

ліва межа буде - t

qdao№i

(а, к). Тому достатньо знайти праву межу, щоб визначні и

всю двобічну критичну область

> 'ч^овіМ^) (3.57)

і область прийняття нульової гіпотези

двобіч.

(а,к)). (3.5К)

Праву (ліву) межу знаходимо за таблицею критичних точок розподілу

„Studenta", рівнем значущості а для двобічної області (див. Додаток, табл.4) та

числом к = п

+ п

- 2 (ступенями довільності).

Якщо

g64

> t

qdeo6i4

(а, к), то гіпотеза Н

відхиляється, в протилежному випадку

вона приймається.

Другий випадок.

Гіпотези Я

: М[Х] = M[Y\, Я,: М[Х] > M[Y\. У цьому випадку будуємо

правобічну критичну область (типу І), виходячи з вимоги найбільшої потужнос

і і

/-критерію. Ймовірність потрапляння його в цю область (якщо гіпотеза //

справедливою) має дорівнювати рівневі значущості а, тобто

V>t

ae)=<*. (3.59)

Критичну точку t

(а, к) знаходимо за таблицею для однобічної області

(див. Додаток, табл.4), рівнем значущості а та числом к = л, + п

- 2.

Якщо ї

дбч

> t

qnpae

(а, к), то нульова гіпотеза Я

відхиляється, інакше вона

приймається.

> Розділ

тій випадок.

отези H

: М[Х\ - M[Y], Я,: М[Х] < M[Y\. У даному випадку будують

Ену критичну область (типу II), для якої при справедливій гіпотезі я

P(T<t

qjliB

) = a. (3.60)

)ез те, що розподіл "Studenta" є симетричний відносно нуля, то

q лів.

^q прав. (3.61)

viy знаходять спочатку t (а, к) як у другому випадку, а потім

істовують рівність (3.61).

110

обч

> l

qnpae (

70 г

іп°

тез

У Я

приймають, в протилежному випадку її

яють.

иклад 7. Розглянемо дві незалежні вибірки для величин А'та У малих обсягів

= 6. Знайдемо вибіркові середні л: = 3,3; у = 2,48 та виправлені дисперсії

),250 ; Sq = 0,108. За рівнем значущості q = 5% потрібно перевірити нульову

іу Я

: М(Х) = M(Y) при альтернативній Я,: М(Х)

М(У).

важення. Оскільки вибіркові дисперсії є різними, то спочатку перевіряють

іу про їх рівність. Припустимо, що перевірка гіпотези про рівність дисперсій

озитивний результат: дисперсії генеральних сукупностей вважаються

)вими, тобто розбіжності між ними викликані випадковими причинами.

їв 'язання.

Обчислюємо критерій перевірки за формулою (3.55)

Кбч.

X-Y

>і-і)+а

,(я2-і)

+ п

-2

= 3,27.

а = -У- = 0,05.

100

За умовою альтернативної гіпотези критична область є двобічною. Тому

іем значущості а = 0,05 числом А:=5 + 6- 2 = 9і таблицею критичних точок

цлу „Studenta" знаходимо

(0,05; 9) = 2,26.

Оскільки t

o64

> t

q дедбіч

, то гіпотезу Я

про рівність генеральних середніх

іяємо. Це означає, що розбіжності між середніми не можна пояснити

<овими причинами.

Елементи математичної статистики І'Л

3.6.3. Порівняння вибіркового середнього з гіпотетичним генеральним

середнім нормально розподіленої сукупності

Така задача виникає тоді, коли є відомим наперед значення середні.оі о

арифметичного (його називають гіпотетичним).

Наприклад, якщо деяка генеральна сукупність X{x

,..., х

} - є сукупнії-1 ю

розмірів х. вертикального круга оптичного теодоліта, який виготовляєм.! я

станком - автоматом. Тоді можна припустити, що генеральне середнє значення

цих розмірів дорівнює проектному розміру

Щоб перевірити таке припущення

знаходять вибіркове середнє х і встановлюють чи є суттєвими розбіжної-м

між х та а

Якщо виявиться, що розбіжності є несуттєвими, тоді станок забезпечу» н

середньому проектний розмір; якщо розбіжності є суттєві, тоді станок треба

налагодити.

При таких дослідженнях можуть виникати ситуації, коли генеральну дисперсію

можна вважати відомою і можуть траплятися випадки, коли вона є невідома.

Припустимо, що генеральна дисперсія - відома або з попередніх досліджень,

або знайдена теоретично, або за вибіркою дуже великого обсягу.

Нехай, за вибіркою обсягом п знайдено середнє х , а відому генеральну

дисперсію позначимо через <т\

Зауважимо, що вибіркове середнє х є незміщеною, ефективною і слушною

оцінкою генерального середнього а, тобто М(х) = а . Тоді і за нульову гіпотезу

можна прийняти Н

: М(х) = а або Н

: а = а

За критерій перевірки беремо нормоване відхилення вигляду

w ~

— &г\

X d(\

И = ^ = (3.62)

fj aNn

яке розподілено нормально з параметрами M[U]= 0, &[Ц] = \, якщо гіпотеза //

()

справедливою.

Критична область, як і при перевірці попередніх гіпотез, будується в залежності

від вигляду альтернативної гіпотези.

1. Якщо альтернативною гіпотезою є гіпотеза Н

{

\ а Ф а

, то знаходиться

критична точка двобічної критичної області за допомогою таблиці для функції

Лапласа і з використанням рівності

. ... , 1-а

де а = - вибраний рівень значущості.

> Розділ

ті обчислений критерій

0бч. -

юється з критичним значенням U.

цо

11/

обч

< U

, то немає підстав відхилити гіпотезу Я

, а якщо

| U

of>4

> U

, то Я

їється.

Три альтернативній гіпотезі Я,: а > а

критична область буде правобічною

ічна точка знаходиться з виразу

, 1-2 а

що ІІ

обч

то нульова гіпотеза Я

приймається для досліджуваної вибірки,

) U^ > U, то гіпотеза Я

відхиляється.

Іри конкуруючій гіпотезі Н

:а<а

критична область лівобічна. Критичну

знаходять так, як і у пункті 2, а потім приймають до уваги, що

ттО'Р)

_г/(-"'«)

<7 Ч

що U

g64

> £/, то підстав відхилити гіпотезу Я

немає, а якщо U

< -U

, то

за Я

відхиляється.

«иклад 8. Із нормально розподіленої сукупності з відомим середнім

атичним відхиленням а - 0,36 сформовано вибірку обсягом п = 36, за якою

їно середнє вибіркове х =21,6 . За рівнем значущості = 0,05 потрібно

рити гіпотезу Я

: а = а

= 21.

зв

'язання.

: а = а

= 21. Нехай альтернативною гіпотезою буде гіпотеза Я,: а > 21.

Обчислюємо вибіркове значення критерію за формулою (3.62)

.. _ (х-а

)4п _ (21,6

—

21)л/36 _

1ГІ

обч

- - —— -ю.

= а = 0,05 .

100

За умовою альтернативної гіпотези критична область буде правобічною і

:чну точку будемо шукати за таблицею для функції Лапласа з допомогою

Елементи математичної статистики

І'Л

U = 1,65.

ч '

5). Оскільки U

o64

> U (10 > 1,65), то гіпотеза Я

відхиляється, а це означає, що

розбіжність між вибірковим середнім і гіпотетичним середнім є суттєвою.

Розглянемо випадок, коли дисперсія генеральної сукупності є невідомою. 'Гака

ситуація виникає у випадку малих вибірок. За критерій перевірки гіпоіечи

приймають випадкову величину

Т Ц = - , (3.63)

Hn S

де S

- виправлене середнє квадратичне відхилення (незміщена оцінка). Ця

величина має розподіл „Studenta" з k = п- 1 ступенями довільності. Критична

область за обраним рівнем значущості будується також в залежності під

альтернативної гіпотези.

1. При Я

: а = а

, Я,: аФ а

для обчисленого значення критерія

(х - а

)4п

Т<>бч.

за таблицею критичних точок розподілу „Studenta" (див. Додаток, табл. І)

шукають критичну точку двобічної критичної області t

дт6іц

(а, к).

Якщо1Г

(

| <

чдіюС

то гіпотеза Я

приймається, а якщо J > і

цйт(

(а, к), то

вона відхиляється.

2. Якщо конкуруючою гіпотезою є Я,: а = а

, то за тими самими таблицями

знаходимо межу (критичну точку) правобічної критичної області t

q o6h

(а, к).

Тоді, якщо Т

обч

< t

qn/iaeo6i4

(«, к), немає підстав відхиляти гіпотезу Я

, а якщо

Т, > t -

(сс,

к), то гіпотеза Я„ відхиляється.

ооч. q

правооїч.

0 ^

3. Якщо конкуруючою гіпотезою

Я^ а < а

, то критична область є лівобічною.

Але шукають критичну точку таку ж, як і в пункті 2

qnpmorij4

(а, к), а потім приймають

до уваги, що t

(а, к) = -І

цщхкШч

(а, к). Тоді, яіщо Т

бч

> -ґ„

й/

„ (а, /с), то

нульову гіпотезу Я

приймають, в протилежному випадку її відхиляють.

Приклад 9. За вибіркою обсягом п = 20 знайдено вибіркове середнє х = 16 і

виправлене середнє квадратичне відхилення

= 4,5. Потрібно за рівнем значущос

ті

а = 0,05 перевірити гіпотезу Н

:а = а

= 15 при альтернативі Я

: а

15.

Розв

'язання.

2). Обчислюємо вибіркове значення критерію за формулою (3.63)

_(x-g

)V^_(16-15)V2Q

І.

= =

> Розділ

а = -$- = 0,05.

100

За умовою альтернативної гіпотези критична область тут є двобічною,

за таблицею критичних точок розподілу „Studenta" (див. Додаток, табл. 4),

л значущості а = 0,05 і числом к = п - 1 = 19 знаходимо критичну точку

(0,05; 19) = 2,09.

Оскільки

І Т

обч

< t

дво6іч

(0,99 < 2,09), то гіпотеза #

приймається, а це означає,

шиця між вибірковим середнім та гіпотетичним значенням а

є незначною і

юється випадковими причинами.

5.4. Зв'язок між двобічною критичною областю та довірчим інтервалом

жажемо, що знаходячи двобічну критичну область для заданого рівня

щості а, тим самим знаходимо відповідний довірчий інтервал із надійністю

- а.

іприклад, при перевірці нульової гіпотези Н

: а =

і альтернативі Н

:аФа

ається, щоб ймовірність потрапляння критерію

_ (х - а)4п

5ічну критичну область дорівнювала рівневі значущості а = . Отже,

рність потрапляння критерію в область прийняття гіпотези (-U; С/ )

гюватиме 1 - а - у. Тобто з надійністю / виконуватиметься нерівність

вносильна їй

x-U

-^=<a<x+U

^=, (3.65)

•Jn -Jn

(U ) = -.

1 q)

раз (3.65) є довірчим інтервалом для математичного сподівання т

(тут за т

іається генеральне середнє а нормально розподіленої генеральної сукупності

домій дисперсії о

уваженая. Для отриманих результатів потрібно завжди мати на увазі, що

ша критична область визначає межі (критичні точки), між якими знаходяться

% числових значень обчислювальних критеріїв, що знаходяться у повторних