Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

П. М. Зазуляк, В. І. Гавриш

Е. М. Євсєєва, М. Д. Йосипчук

Основи математичного

опрацювання геодезични

вимірювань

ЦК 528.1 (075.8)

ВК 26.1 я73

-753

Рекомендовано Міністерством освіти і науки

України як навчальний посібник для студентів вищих

навчальних закладів (лист№ 1.4/18-Г-1181 від 22.11.06)

ізенти: С.П. Войтенко, доктор технічних наук, професор

П.Д. Двуліт, доктор технічних наук, професор

П.Г. Черняга, заслужений працівник освіти України, доктор

технічних наук, професор, завідувач кафедри землеустрою, геодезії

та геоінформатики Національного університету водного

господарства та природокористування

П.М. Зазуляк, В.І. Гавриш, Е.М. Євсєєва, М.Д. Йосипчук

^753 Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань:

Навчальний посібник. -

Львів:

Видавництво "Растр-7", 2007. -

408

с.

1BN 978-966-2004-03-8

У навчальному посібнику висвітлено теоретичні основи матема-

тичного опрацювання геодезичних вимірювань, методику отримання

надійних значень вимірюваних величин.

Наведено відомості з лінійної алгебри, теорії ймовірностей та

математичної статистики, теорії похибок вимірювань та методу

найменших квадратів, що дозволяють розв'язувати різномані

тні

задачі

математичного опрацювання геодезичних вимірювань.

Призначений для студентів напряму „Геодезія, картографія та

землевпорядкування" денної та заочної форм навчання вищих

навчальних закладів, а також може бути корисний для аспірантів,

молодих вчених та спеціалістів сучасного геодезичного виробництва.

ББК 26.1 я73

Е.М. Євсєєва М.Д. Йосипчук, 2007

5BN 978-966-2004-03-8 © Видавництво "Растр-7" 2007

ВСТУП

Виконання довільних геодезичних робіт безпосередньо пов'язано з ипмі

рюваннями, які отримуються з деякою точністю. Якби ретельно не проводплін.

процеси вимірювань, отримані у результаті цього значення виміряних величп

будуть завжди містити похибки. Поява похибок у результатах вимірюнап

супроводжується різними факторами: несприятливими зовнішніми умовами

недосконалістю приладів вимірювання, неточністю методів вимірювання

недостатньою кваліфікацією спостерігачів що проводять вимірювання тощо. Дл

того, щоб у подальшому для практичних цілей використовувати результат

вимірювань ТИХ ЧИ ІНШИХ фізичних величин, СЛІД усунути похибки. Зрозуміло, Щі

цілком вивести ці похибки з результатів вимірювань неможливо. Але доби гнем

якійсь мірі їх мінімального впливу на результати спостережень можна. Для ЦІ.ОІ

проводять математичне опрацювання геодезичних вимірювань як однієї виміряні

величини, так і деякої сукупності виміряних величин, у результаті чого отримую

їх надійні значення та оцінку точності.

Сучасні технології вимірювань дозволяють отримувати достатньо томі

результати тих чи інших фізичних величин. Засоби вимірювань є наділа

програмним забезпеченням, що дозволяє в автоматизованому режимі проводц

математичне опрацювання результатів вимірювань і отримувати їх надіііі

значення. Але, готуючи спеціалістів для сучасного геодезичного виробпиці и;

необхідно, щоб вони в певній мірі володіли основами математичної

опрацювання геодезичних вимірювань. Тому виникла потреба написанії

посібника, який висвітлював би основи математичного опрацювання геодезичнії

вимірювань із врахуванням того, що сучасні комп'ютерні технології дозволяю

використовувати зручні наближені методи обчислень з отриманням високоточнії

результатів.

Наведений посібник складається з п'яти розділів та додатку. Перший ро їді

присвячено елементам лінійної алгебри. У ньому висвітлено алгебру матриці

лінійні простори та лінійні перетворення, власні числа і власні вектори лінійної

оператора та квадратичні форми.

У другому розділі подано елементи теорії ймовірностей, а саме, основі

поняття і теореми теорії ймовірностей, класифікацію випадкових подій, формул

повної ймовірності, багаторазові випробовування та формулу Бернуллі, вииадкої

величини, їх закони розподілу та числові характеристики, деякі основні закон

розподілу, систему двох випадкових величин та закони розподілу системи, чпслої

Вступ

рамсристики системи декількох випадкових величин та основні граничні

премії теорії ймовірностей.

Гріл ій розділ присвячено елементам математичної статистики, де, зокрема,

і її иядаються основні поняття математичної статистики, графічні методи

іірлжсііпя статистичного матеріалу та емпірична функція розподілу, статистичні

чкоиі оцінки параметрів розподілу, розподіли деяких вибіркових характеристик

пігсриальні оцінки параметрів розподілу, статистична перевірка гіпотез та

і.ічл вирівнювання статистичного ряду, основи дисперсійного, кореляційного

реї росі it ного аналізів.

лементи теорії похибок подано у четвертому розділі, у якому висвітлено

іаиіфікацію вимірювань та їх похибок, критерії для оцінки точності результатів

імірюнапь, розподіл ймовірностей випадкових похибок, задачу дослідження

>хиГюк на випадковість, середні квадратичні похибки функцій виміряних

ПІІЧІІІІ, поняття ваги нерівноточних вимірювань та визначення середньої

іадратпчної похибки одиниці ваги, визначення ваги функції виміряних величин

середньої квадратичної похибки одиниці ваги із ряду парних нерівноточних

імірюнапь, методику математичного опрацювання рядів рівноточних та

•рі

цію точних вимірювань.

У п'ятому розділі сформульовано суть задачі врівноваження багатьох

іміриипх величин і подано основи параметричного та корелатного методів даної

ідачі як у матричному вигляді, так і в розгорнутому, а також основні методи

пГи зуїшпня нормальних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, зокрема методи

іусеа, оберненої матриці, квадратних коренів, ортогоналізації, простої ітерації,

•п ме.'ія

та методику розв'язування нормальних систем для вироджених або погано

зумовлених матриць коефіцієнтів системи, оцінку точності результатів

ипнонаження як параметричним, так і корелатним методами, види геометричних

иоіі, що виникають' у геодезичних мережах, умовні рівняння поправок у

•одечпчіїих мережах при використанні параметричного та корелатного методів,

її омі функції для геодезичних мереж.

Усі розділи посібника супроводжуються прикладами та їх детальним

п іи'я іаппям. Автори вважають, що наведений посібник знадобиться не тільки

туден там усіх спеціальностей базового напрямку "Геодезія, картографія та

•мпсипорядкування", але він буде потрібний магістрам і аспірантам, а також

орисішй для молодих науковців та спеціалістів сучасного геодезичного

мробництва.

РОЗДІЛ I

ЕЛЕМЕНТИ

ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

§1Л. Алгебра матриць

1.1.1. Основні означення

Розглянемо систему тхп чисел, які розмістимо у вигляді таблиці із т рядк:

п стовпчиків. Ці числа позначимо однією буквою, наприклад

а,

із двома індекс

і та j. Перший індекс буде означати номер рядка, в якому розміщено дане чи

другий - номер стовпчика. Таким чином отримаємо таку таблицю:

А =

т\

ті

*2п

,т; j = 1,2,...,«)-елементамиматі

ЇЇ називають матрицею, а числа а (/ = 1,2,...

Для матриці (1.1) вживають скорочений запис А = (а^

тхп

і кажуть, що і

має розмірність тхп.

Якщо т = п, то матриця називається квадратною я-го порядку. Якщо ж т

тоді матриця називається прямокутною.

Зокрема, якщо т = 1, то матриця розмірності 1 х п називається векто{

рядком, а якщо п = 1, то матриця розмірності т х 1 називається вектор

стовпчиком. Число можна розглядати як матрицю розмірності 1x1.

Квадратна матриця вигляду

а, 0

А =

0 а,

0 0

а„

6 Розділ I

ма

пі

кається діагональною. Якщо в діагональній матриці а

(/ = 1,2,...,«), то

нона називається одиничною і позначається буквою Е, тобто одинична матриця

/мч> порядку має вигляд

Е =

\ 0

0 1

0 0

(1.3)

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулеві, то така матриця називається

нульовою. Її позначають символом О.

Із квадратною матрицею А пов'язаний її визначник

det(A) =

п 2

*2 п

(1.4)

Зауважимо, що не слід плутати ці два поняття: матриця є впорядкованою

таблицею чисел, а її визначник det(,4) є числом, яке за відомими правилами

обчислюється через елементи цієї таблиці.

Якщо визначник квадратної матриці А дорівнює нулеві, то її називають

особливою. У протилежному випадку матриця називається неособливою.

1.1.2. Дії над матрицями

Дві матриці А - (а^

пкп

та В = Ф

)

тхп

вважаються рівними, тобто А - В, якщо

нони однакової розмірності і відповідні їх елементи є рівними, тобто a.j - b...

Сумою двох матриць А = (а

) та В = (Ь.р однакової розмірності називається

матриця С = (с.р тієї ж розмірності, елементи

с..

якої дорівнюють сумі відповідних

елементів а., та Ь.. матриць А та В. тобто с.. = а.. + Ь.., Таким чином

Ц Ч U IJ и

А + В =

+Ь

2\+

т 1

+ ь

^12

22 + ^22

т\

т2 +

т2

и, + К,

2 п

2п

Ь.,

Із означення суми матриць безпосередньо випливають такі властивості:

І) А +В = В + А;

Елементи лінійної алгебри З І

2) (А + В) + С

А + (В + Q;

З )(А + 0) = А.

Аналогічно визначається різниця матриць

А-В =

2Х

-Ь

2Х

т\

-Ь

СІ22 &22

••

-Ь\

••

2n~

®тп

тп

*т2 т2

Добутком матриці А на число а називається матриця, елементі

одержуються множенням всіх елементів матриці А на число а, тобто

аА

••

аа

]

аа-,

аа

аа,

ті

аа,

т 2

аа,,

аа.

аа„

^ т і т^.

чиї

Із означення добутку матриці на число безпосередньо випливають таь

властивості:

1) 1-А =А;

2) 0 А = О;

3)афА) = {а-р)А\

4) {а + р)А - а-А + /З-А;

5) а(А + В) = а-А + а-В.

Зокрема, легко переконатись, що якщо матриця А є квадратною п-го поря,

det(<x4) = a"deM.

Матриця -А =

(-1

)А називається протилежною до матриці А.

Добутком двох матриць А - (a.)

та B

(b.)

називається матриця С =

ij тхп ij

pxq ^

елементи

с..

якої обчислюються за формулою

іі =

Л j

2j +

• • •

,Aj (І

12,...,

ж,

j = 1,2,..., q).

Із означення випливає таке правило множення матриць: щоб отримати е;

добутку, який розміщено в /-му рядку та j-му стовпчику, потрібно елемен

рядка першої матриці помножити на відповідні елементи j-го стовпчика

матриці та отримані добутки додати. Підкреслимо, по-перше, що матрицю А

множити на матрицю В тоді і тільки тоді, коли матриця А має в рядку с

елементів, скільки є елементів у стовпчику матриці В і, по-друге, для множені:

матриць не виконується закон перестановки, тобто, взагалі кажучи, А-В

Ф В-А. 1

того, може статись так, що добуток А-В має зміст, а добуток В-А є невизначе

8 Розділ I

Приклад 1.

Тоді А В

Приклад 2.

19 22

43 50

ВА =

1 2

З 4

В =

А =

Тут АВ , а добуток БЛ - не визначений.

19 13 7

46 31 19

Якщо ж трапиться так, що АВ = ВА, то матриці А і В називаються

зеставними. Зокрема, одинична матриця Е є переставною із будь-якою

щратною матрицею такого ж порядку, причому

АЕ

ЕА

А.

Добуток матриць підлягає таким властивостям:

1)А(ВС) - (АВ)С;

2) а{АВ) = {аА)В-

З )(А + В)С = АС + ВС;

4) С(А + В) = СА + СВ;

5) det (АВ) = deL4detB.

Дані властивості мають місце тоді, коли всі операції над матрицями, що там

мурують, є допустимими.

1.1.3. Транспонована матриця

Заміна в матриці А місцями рядків на відповідні стовпчики називається

анспонуванням матриці. Одержана нова матриця позначається символом А

зивається транспонованою до матриці А.

Таким чином, транспонованою до матриці (1.1) є матриця

*21

*т\

12 22 ті

Елементи лінійної алгебри З І

Очевидно, що якщо матриця А є розмірності тхп, тоді матриця А' м

розмірність пхт. Зокрема, транспонованою до матриці-рядка є матриц

стовпчик.

Приклад 3.

Нехай А

••

2 4'

-1 5

, тоді

4 5

Транспонована матриця має такі властивості:

){А

)

А-

2) (А + В)

=А

+ В

;

3) (АВ)

=В

;

4) якщо матриця А є квадратною, то det(/i) = det^

Матриця А називається симетричною, якщо вона співпадає зі сно<

транспонованою, тобто коли А

= А. Звідси випливає, що симетрична матриц

квадратною і її елементи, які розташовані симетрично відносно головної діаюна

є рівними між собою, тобто

а.. = а...

Добуток АА

дає симетричну матрицю. Дійсі

(АА

)

=(АУА

=АА

Дані властивості мають місце у випадку, коли визначені всі операції п

матрицями, які фігурують.

1.1.4. Обернена матриця

Оберненою до заданої матриці А називається матриця, яка є переставної

матрицею А і в добутку з нею дає одиничну матрицю. Обернену матрицю

матриці А позначають символом А'

. Отже, згідно з означенням, маємо

А'

А- А- А'

Е .

Знаходження оберненої матриці для заданої матриці А називаюч і

обертанням. Виникає таке питання: чи для будь-якої матриці існує оберна

Відповідь на нього дає теорема.

Теорема. Для будь-якоїнеособливоїматриці існує єдина обернена митри

Доведення. Розглянемо неособливу матрицю и-го порядку

*\п

10 Розділ I

det(^4)^0. Обчислимо для всіх її елементів а., алгебраїчні доповнення А...

гадаємо, що мінором М елемента а., квадратної матриці А називається

іначник, який отримується з визначника матриці А шляхом викреслювання в

>му і-то рядка та у'-го стовпчика, а алгебраїчним доповненням А цього ж

:мента називається число Ду =(-1 )'

М^.

(

Наприклад, якщо матриця А =

-2

то М

-2 0

1 2

= -4,

;

=(-1)

1+2

-(-4) = 4,М

З 2

-2 З

= 13, А

гг

=(-1)

3+3

-13 = 13.

Замінимо після цього кожний елемент а., матриці його доповненням А., і

їржану матрицю із доповнень протранспонуємо. Отриману матрицю

А* =

Дії

п2

2 п

швають союзною (або приєднаною) до матриці А.

Поділивши всі елементи союзної матриці на визначник матриці А, тобто на

(А), отримаємо

det(^)

det(^) det(^)

det(yi)

l/i *2л

А,

det(^)

(1.5)

det(A) det (A)

Покажемо, що матриця (1.5) є оберненою до матриці А.

Дійсно, враховуючи ту властивість визначників, яка встановлює, що сума добутків

ментів деякого рядка (або стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення цих

ментів дорівнює визначникові, а сума добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні

ювнення елементів паралельного рядка дорівнює нулеві, отримаємо, що справді

det (А)

•42

•*22

п2

2п

det(^) det(/4)

det(^) det(^)

Дії

det(y4)

det(/i)

0 • • 0Л

0 1 •

• 0

0 •

• 1