Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи лінійної алгебри

З І

У звичайному трьохвимірному просторі скалярним добутком двох векторіи \

та у називається добуток довжини цих векторів на косинус кута між ними і

позначається (х, у). Цей добуток має такі властивості:

1) (х, У)

СУ. ~ комутативність;

2) (ах, у) = а (у, х) - асоціативність відносно множення вектора на число;

3) (х + у, z) - (х, z) + (у, z) - дистрибутивність;

4) (х, х) > 0, якщо х

У випадку довільного TV-вимірного простору немає поняття довжини і кута, тому

вводиться скалярний добуток аксіоматично за аналогією трьохвимірного прос

пру.

Кажуть, що у векторному просторі L задано скалярний добуток, якщо кожній

парі векторів х та у із L відповідає число (х, у), і виконуються такі умови:

1) для будь-яких двох векторів х та у

(х, у) = (у, х),

2) для будь-якого вектора х та дійсного числа а

(ах, у) = а(у, х),

3) для довільних трьох векторів х, у, z

(х + у, z) = (х, z) + (у, z).

Ці умови називаються аксіомами скалярного множення, а простір L в цьому

випадку називають простором зі скалярним добутком.

Таким чином, щоб лінійний простір L був простором зі скалярним добу тком,

потрібно щоб крім восьми аксіом лінійного простору виконувались ще три аксіоми

скалярного добутку. Зі всіх можливих просторів зі скалярним добутком ми будемо

розглядати випадок, коли, крім наведених трьох умов, виконується ще й така умова:

4) для довільного х добуток (скалярний квадрат) (х, х)

0, причому (х, х) 0

тоді і тільки тоді, коли х = 0.

Простір зі скалярним добутком, який задовільняє умови 1)-4), називає ться

евклідовим.

Розглянемо приклади скалярного добутку в різних просторах.

1. У просторах R

та R

}

скалярний добуток вводиться звичайно:

(х, у) = |х| |у| cos (x

j),

де |х| та [уі - довжини векторів х та у, (x

j) - кут між векторами х та у.

2. В «-вимірному просторі R

скалярний добуток визначається так:

(х, у) = х^, + х

+ ... + х д,

де х = (х,, х

,..., х

), у - (у

{

, у

, ..., у).

32 Розділ I

3. У просторі C

[ah]

скалярний добуток зображається рівністю

(х, y) = \x(t)y(t)dt.

Легко переконатись, що розглянутий у трьох випадках скалярний добуток

звільняє всі аксіоми евклідового простору.

Слід відзначити, що в одному й тому ж просторі можна ввести скалярний

уток різними способами. Наприклад, в просторі С[а, Ь\ можна ввести

іярний добуток і так:

{x,y)As\t)x(t)y(t)dt,

(t) - довільна неперервна на [a, b] ненульова функція.

Цовжиною (модулем, нормою) вектора х у евклідовому просторі називається

інь квадратний із його скалярного квадрата, тобто

\x\ = J(x,x) .

В просторах R

та R

норма |х| співпадає зі звичайною довжиною вектора х.

росторах R

та С

[я Ь]

відповідно маємо

|х| =фсї

ХІ +...

+X*

\x(t)\ = j]x

(t)dt.

Вектор х, довжина (норма) якого дорівнює 1, називається нормованим,

видно, що довільний ненульовий вектор х можна пронормувати, для чого

рібно помножити його на число а = т-Ц .

|х І

Якщо скалярний добуток векторів х та у дорівнює нулеві, то ці вектори

іваються ортогональними.

Цля ортогональних векторів х та у є справедливою рівність

|х + у\

= |х|

+ \у\

- "теорема Піфагора".

Ційсно, якщо (х, у) = 0, то

ь jf = (х + у, X + у) = (х, х) + (х, у) + (у, X) + (у, у) = (X, х) + (у, у) = |х|

+ bf.

V будь-якому евклідовому просторі є справедливою нерівність Коші-

яковського: |(х, < |х| [у|.

Елементи лінійної алгебри З І

Дійсно, для довільного числа «добуток (ах-у, ах- у) > 0, звідки а

(л, л)

- 2а (х, у) + (у, у)> 0, що є квадратним тричленом відносно а. Оскільки він мін

бути невід'ємним, то.це можливо тільки тоді, коли його дискримінант (

недодатним

(х,у)

-(х,х)(у,у)<0,

тобто (х, у)

< |х|

\у\

звідки отримуємо,

ЩО

|(х, у)І < |х|

У евклідовому просторі вводять кут (рміж двома ненульовими векторами х та

у, який визначається рівністю

COS Ф = —F— .

Легко бачити, що з нерівності Коші-Буняковського випливає нерівність

|cos

<р|

< 1, тобто введення поняття кута має зміст.

Для просторів R

та R

введене поняття кута збігається із відомими з геоме трії

означеннями. Для простору R

маємо

+х

+...х

COS Ф =

ЛІХ

1 +х

2 +...Х

„ +^у

\+у

2 +...у

Легко довести, що в евклідовому просторі має місце нерівність трикутника

I*.

A *

М +

Ьі

Дійсно,

\х + у\

= (х + у, X + у) = (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у) =

= |х|

+ 2(х, у) + bf < |х|

+ 2|х| \у\ + ЬІ

= (W + ЬІ)

звідки

|x + j|<|x| + ly|.

Базу е, е

..., е

в евклідовому просторі L називають ортогональною,

якщо(е., е^ = 0 для і

j, тобто коли будь-які два вектори із бази і

ортогональними.

Якщо, крім цього, всі вектори бази є нормованими, то таку базу називають

ортонормованою. Отже, для ортонормованої бази має місце рівність

(0, якщо і

(е., е.) = \

[Ьякщо'ї^Д

Для ортогональних векторів дсправбдШйймй таМ тео£Шгі*

ишо70ЇГ

'•

34 Розділ I

Теорема 1. Ортогональна система ненульових векторів є лінійно

залежною.

Доведення. Нехай вектори х, х

,..., х

утворюють систему ненульових векторів,

я яких (х., х

;

) = 0, якщо і Ф j.

Припустимо, що вони лінійно залежні, тобто рівність

а.х + а,х. + ... + ах = 0 (1-16)

112 2 п п

конується, коли не всі а дорівнюють нулеві.

Нехай, наприклад, a

0. Помножимо скалярно на х,. Тоді

а, (х,, х,) + а

(х

, х,) + ... + а (х

, х,) = 0,

дки а,(х,, х,) = 0. Оскільки (х,, х,)

0, то а, = 0, що суперечить умові. Отже,

ипущення про те, що вектори х,, х

..., х

- лінійно залежні, є неправильним.

Теорема 2 . В будь-якому евклідовому просторі L існує ортонормована база.

Доведення. Нехай g

, ..., g

- довільна база простору L. Покладемо

- g

+ af

і підберемо а так, щоб (/"

) = 0, тобто

+ ocf

) = (g

) +

a{f

)

= 0,

дки

а =

(/,,/.)'

Припустимо, що попарно ортогональні ненульові вектори f

•••,f

вже

ійдено.

Покладемо тоді

Л = 8к + а/

]

+а/

+... + a

ідберемо числа а

... а

к1

так, щоб виконувались рівності

,f) = ig

j,) + « (f?J) = 0, для / = 1,2,... к-1,

дки

а =

(fiJi)

•

Дану побудову продовжуємо доти, поки не знайдемо останній вектор

n °п

К 1

«-КІ-І

їй є ортогональним до всіх

векторівf

...f

Елементи лінійної алгебри З І

Із теореми

випливає, що вектори/,/

,...,/

є лінійно незалежними, отже поїш

утворюють ортогональну базу. Якщо кожний із векторів/,,/

, ...,./

поділи

і н

м,і

його модуль, то отримаємо ортонормовану базу

_ /і

* .

' ' И

І/.Г

ІЛІ"""" I/J-

Нарешті, знайдемо зображення скалярного добутку через координати пек

орт

Нехай е , е

,..., е

- довільна база в просторі L зі скалярним добутком і

х.е. + х.е. + ... + х е ,

II 2 2 ля'

У = Уі

Уі

У„

Тоді (х, у) = (tx

) = £(х,•<?,., у

)= tx,y

(e;,e

Якщо ж простір L є евклідовим, а е,, е, ... - ортонормована база, то

СХ,У)=Х

ІУІ

+Х

+ ...+Х

Помноживши обидві частини рівняння х = х,е, + х

+ ... + хе

скалярно па <•,,

отримаємо

(х, е

) = X, 0,, £?,) + ... + х, (е., <?,) + ... + Х

(е

, Є,) = X, ,

а це означає, що г'-та координата вектора х в ортонормованій базі доріишої

скалярному добуткові вектора х на одиничний вектор е..

Введемо матриці-стовпчики

X =

, У =

У 2

)

Тоді

(х,

) = х

іУі

+ ...+x

=X*Y= Y^X,

тобто отримано матричний запис скалярного добутку.

§ 1.3. Власні числа та власні вектори лінійного оператора

Нехай в лінійному просторі L задано лінійний операторі. Ненульовий вектор

х є L називається власним вектором оператора (лінійного перетворення) А, якщо

в результаті цього перетворення даний вектор переходить в колінеарний до нього,

тобто якщо перетворений вектор відрізняється від вихідного тільки скалярним

множником.

36 Розділ I

Інакше кажучи, иектор х Ф 0 називається власним вектором лінійного

м норення (оператора) А, якщо виконується рівність А(х) - хХ , де Я - деяке

ю.

Іри цьому число Я називається власним числом, або власним значенням

їного перетворення (оператора А ) яке відповідає заданому векторові х.

Іриклад. Розглянемо перетворення проектування в просторі (х,ох

), з

зи цею

\ 0

А =

0 0

Годі власними векторами будуть ненульові вектори , які напрямлені по осі

t власним числом Я = 1, та ненульові вектори х

, що напрямлені по осі ох

, з

ним числом Я = 0.

вияснимо, чи кожний оператор має власні вектори. Відповідь на це дає теорема.

е о р е м а . Якщо простір є комплексним, то кожне лінійне перетворення

ратор) має хоча би один власний вектор.

Доведення. Нехай А - лінійний оператор, заданий в и-вимірному просторі L,

- власний вектор цього оператора з власним числом Я, тобто А(х) = Ях.

:ремо довільну базу е , е ,..., е

і позначимо координати вектора х в цій базі

з х

, ..., х

. Тоді, якщо А = (а.) - матриця оператора А в даній базі, то,

савши рівність А(х)-хХ в матричній формі, одержимо

АХ = XX = ХЕХ ,

бо

(А-ХЕ)Х= 0.

(1.17)

ут

V " J

Іатриця А- ХЕ називається характеристичною.

ерейшовши в матричному рівнянні (1.17) до координатної форми запису,

маємо лінійну однорідну систему

(а,і - Я)х, + а

+... + а

= 0

,х, + (а

-Я)х

+... + а

2п

= 0

(1.18)

,1*1

+ а

п2

...

(а

•Я)х„ =0.

Елементи лінійної алгебри

З І

Для знаходження власного вектора необхідно знайти ненульові роиГячки

системи (1.17). Як відомо, її ненульові розв'язки існують тоді і тільки тоді, коли

визначник системи

А-Щ (1.19)

дорівнює нулеві, тобто

Д(А) = \А -ЛЕ\ = 0. (1.20)

Визначник (1.19) називається характеристичним (віковим) визначником

матриці А, а рівняння (1.20) називають характеристичним рівнянням.

Запишемо рівняння (1.20) в розгорнутому вигляді

А" - <5, А""

+ д

А"

-2

+... + (-І)""

5„_, А + (-1)" S„ = 0. (1.21)

Многочлен, який є в лівій частині цього рівняння називається характеристич-

ним многочленом оператора^. Його коефіцієнти 5, (і= 1, 2,..., «) обчислюються

за таким правилом. Коефіцієнт 5, дорівнює сумі діагональних елементів матриці

" • • * •

А, тобто 5, = Х«,

. Це число називають слідом матриці А і позначають символом

SpA. Коефіцієнт <5, дорівнює сумі всіх діагональних мінорів другого порядку

матриці

А.

І, взагалі, коефіцієнт 8

є сумою всіх діагональних мінорів А>го порядку

матриці А. Нарешті, коефіцієнт 5 дорівнює визначникові матриці А.

Наведемо без доведення важливу властивість характеристичного многочлена,

яка виражається теоремою.

Теорема. Характеристичний многочлен лінійного оператора не залежить

від вибору бази.

Характеристичне рівняння,61,21) є рівнянням «-го степеня відносно А. Тому,

згідно із основною теоремокааєт«бри, воно має хоча би один корінь дійсний чи

комплексний, що й треба буівидовести.

Корені характеристичного ріі^іяння називаються власними значеннями, або

характеристичними числаї^Л^оператора А, а сукупність всіх власних чисел

називають спектром оператора. Таким чином, щоб знайти власні вектори

оператора Л, потрібно скласти характеристичне рівняння (1.21) і знайти всі його

розв'язки, які і будуть власними числами оператора. Після цього, кожне власне

число потрібно підставити замість

А в

систему (1.18) і знайти всі її лінійно незалежні

Д(А) =

- А а

«21 «22

—

2/7

'НІ п2

•А

38 Розділ I

іки, які Гі будуть визначати власні вектори, що відповідають даному

му значенню. Кількість таких розв'язків буде дорівнювати п - г, де г -

ітриці А ХЕ. Звідси випливає, що розмірність простору власних векторів,

юнідають одному власному значенню Я., дорівнює п - г..

чаження. Очевидно, що коли оператор А задано в дійсному просторі L, то

:ди буде існувати власний вектор, оскільки характеристичний многочлен

; мати жодного дійсного кореня.

іклад. Знайти власні числа і власні вектори лінійного оператора, заданого

ею

(\ 2Л

А =

5 4

V У

і'язання. Характеристичне рівняння має вигляд

1-Я 2

5 4-Я

ласними числами будуть Я, = 6, Я, = - 1

рдинати власних векторів знайдемо зі системи рівнянь

Г (I-A)JC. + 2х

\ (1.22)

[5х, +(4-Я)Х

=0.

= 0, або Я

- 5Я - 6 = 0.

тавимо у систему (1.22) спочатку Я, = 6. Отримаємо

І-5лГ| + 2х

[5х, -2х

= 0.

уміло, що дана система зводиться до одного рівняння 5х, - 2х

= 0. За

к системи виберемо числа х, = 2, х

= 5. Тобто, власному числу Я = 6

ає власний вектор а

- (2; 5), (або будь-який інший, колінеарний до а ).

= -1 система (1.22) зведеться до одного рівняння х, + х

= 0, з якого

ю власний вектор а

= (1; -1), (або будь-який інший до нього колінеарний).

іивим випадком для лінійного оператора є існування бази, яка складається

іасних векторів. Чи завжди така база існує? Відповідь дає теорема.

лч

р е м а . Власні вектори х

,..., х

опср) Деоа А, які відповідають попарно

шсним числам Я,, Я

,..., Я

лі>

(Х

{

якщо

-r-j), є лінійно незалежними.

дення. Припустимо протилежне. Нехай

а,х, +а

•••

+ а„х„ = 0 (1.23)

щне з чисел, наприклад а,

0. Застосуємо до рівності (1.23) оператор А.

(х,) + ... + aAixJ = 0. Але оскільки х,- власний вектор оператора А, то

х. і в результаті отримаємо

Елементи лінійної алгебри

З І

а,Я,х,

сс,А,х,

+ ••• + а„Л„х„

= 0.

2 2 2

(1.24)

Помножимо рівність (1.23) на

і віднімемо від неї рівність (1.24). Після чого

одержимо

(А„ -Л

)а

+(А„ -А

)а

+--- + (А„

—

Я„_,)СК

_,Л;

= 0.

Далі, поступаючи аналогічно, і вилучаючи вектори

матимемо

(А„ - А, )(А„_, -А,)...(А

-Л

]

)а

]

= 0,

що неможливо, оскільки всі

А.

є різними. Дане протиріччя доводить теорему.

А тепер знайдемо матрицю лінійного оператора, який має п лінійно незалежних

власних векторів.

Нехай е

,е

,...,е„ - власні лінійно-незалежні вектори відповідно із власними

числами А|,А

,...А

. Приймемо ЇХ за базові. ТОДІ

А(е,)

А,Е,., і = \,2,...,п

і, таким чином, матриця оператора А має вигляд

А, 0

0 А,

0 0 ••• А

Отже, якщо лінійний оператор А задано в «-вимірному просторі і він має «

попарно різних власних значень, то відповідні їм власні вектори будуть лінійно

незалежними і матриця цього оператора в базі із власних векторів має

діагональний вигляд, причому діагональними елементами служать самі власні

значення. Серед чисел

А.

можуть бути і однакові.

Якщо лінійний оператор А в «-вимірному просторі L має п лінійно незалежних

власних векторів, то він називається оператором простої структури.

Таким чином, ми встановили факт, що оператор простої структури буде

однозначно визначеним, якщо його лінійно незалежні вектори та відповідні їм

власні числа є відомими.

Очевидною буде така ознака наявності простої структури в оператора: якщо

всі корені характеристичного рівняння є різними, то оператор має просту

структуру.

40 Розділ I

Наведемо тепер без доведення необхідну та достатню умову простої структури

ератора.

Теорема. Для того, щоб оператор А мав просту структуру, необхідно і

статньо, щоб для кожного кореня

кратності к. характеристичного рівняння

нг г. матриці (А - ХЕ) дорівнював п-к..

Приклад. Довести, що оператор А із матрицею

( 7

-12 6

А =

10 -19 10

12 -24 13

іє просту структуру.

Розв'язання. Складемо характеристичне рівняння

7-А

-12

-19-Я

12 -24

А, = А

= 1;А

13-А

= 0.

1, а відповідними власними векторами

/дуть вектори

X, = (4;5;6)

=(3;5;7)

ХЗ = (3;5;6).

Ці вектори є лінійно незалежними, оскільки

4 5 6

3 5 7

3 5 6

Отже, оператор А має просту структуру.

Виберемо вектори х

,х

,х-

за базові. В цій базі матриця А буде мати вигляд

А =

1 0 0

0 1 0

0 0-1