Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи лінійної алгебри

З І

В цьому легко переконатись і безпосередньо. В даному випадку А = Т 'А І ,

де матриця переходу Гдо нової бази має вигляд

Т =

4 З 3

5 5 5

6 7 6

Якщо матриця оператора А симетрична, то вона має деякі індивідуальні

властивості, які ми сформулюємо у вигляді теорем.

Теорема 1. Всі власні значення симетричної матриці з дійсними елемента

ми

—

дійсні.

Теорема 2. Власні вектори дійсної симетричної матриці, що відповідаючи,

різним власним значенням, ортогональні між собою.

Теорема 3. Симетрична матриця має просту структуру.

Теорема 4 . Будь-яку дійсну симетричну матрицю за допомогою перство

рення подібності можна звести до діагонального вигляду.

§ 1.4. Квадратичні форми

1.4.1. Лінійні, білінійніта квадратичні форми

Розглянемо деякі класи дійсних функцій, які визначено на лінійних векторних

просторах L . При цьому кожна така функція задається правилом/ яке с тани

і ь

відповідність кожному векторові хє L

деяке число а. Це записують у ниглиді

а = /(х). На відміну від функцій дійсних аргументів, числові функції векторних

аргументів називають формами.

Функція fix) називається лінійною формою, якщо вона задовільняє таким

умовам:

1. /(х, +х

) = /(х,) + /(х

2. f (ах) - af (х),а - число.

Існує загальне аналітичне правило задання будь-якої лінійної форми. Справді

нехай f(x) є лінійною формою і е^,е

,...,е

- база в L

, тоді

х = х,е, +х

• • •

+ х„е

і f(x) = xj(e

) + x

f(e

) +

---

+ x„f(e

42 Розділ I

Позначивши /(е,) = а,, одержимо

/(х) = + а

••• +

. (1-25)

Матриця-рядок (а

,а

,...,а

) є фіксованою для заданої форми в заданій базі,

а називається рядком коефіцієнтів лінійної форми в заданій базі.

Отже, будь-яка лінійна форма може бути зображена у вигляді (1.25).

/ ~ Л

Ввівши позначення А = (а,,а

,...,а„) і х =

>•

, рівність (1.25) запишемо в

ричному вигляді

f(x) = АХ.

Три зміні бази матриця-рядок А даної лінійної форми зміниться. Нехай X-

шчик із координат вектора х в базі e

,...,e

, X' -

V " У

- стовпчик 13

здинат вектора хв базі е\,е'

,...,е'

і М-матриця переходу від бази е

,е

,...,е

ази е\,е'

,...,е'

,тобто Х = МХ'. Тоді /(х) = АХ = А(МХ') = (АМ)Х' = А'-Х'.

Зтже,

А' = АМ.

зілінійною формою називається така дійсна функція Дх, у) двох векторних

'ментів х,у, що при фіксованому значенні аргумента у вона є лінійною формою

осно аргумента х, а при фіксованому х - лінійною формою відносно^.

Прикладом білінійної форми може бути скалярний добуток векторів дійсного

іідового простору.

Знайдемо вираз білінійної форми за координатами. Нехай задано розклади

жторами бази в просторі L

х = Х| +х

+•••

У = УіЄ

+у

е„.

Годі

f(x,y) = f(x

e„,y

У„е

)= І ЯікХіУк,

i,k=I i.k=\

Елементи

лінійної алгебри З І

де коефіцієнти a

= f(e

) залежать тільки від бази і не залежать під v іа г

Матриця А називається матрицею даної білінійної форми.

Наприклад, скалярний добуток (х,у) є білінійною формою (х,.у) = V>. •

і.к і

де а

ік

={е

ІУ

У матричному вигляді білінійну форму можна записати так: f(x,y) - X

А ) ,

, А - матриця білінійної форми.

З'ясуємо тепер, як зміниться матриця білінійної форми при переході ДО ІІОІЮІ

бази. Розглянемо в базі е

{

,е

,...,е„ білінійну форму

де Х =

У2

)

,У) = 1;

ік

іУк>

і,к=І

де а

ік

- /(е

,е

), яка в новій базі е\,е'

,...,е'

запишеться так:

>y) - ї

рУ'ч '

де Ь

рч

=J\e'

,e'

Позначимо матрицю білінійної форми в старій базі через А - (а

ік

), а н ноіиіі

- В = (Ь

ік

). Якщо матрицею переходу від старої бази до нової є матриця (' -

то легко довести, що В - С

АС .

Відзначимо, що оскільки матриця Сє неособливою, тобто має ранг/j, то рамі

матриці В дорівнює рангу матриці А. Отже, ранг матриці білінійної форми ін-

залежить від вибору бази і тому його називають ще й рангом самої біліпііімої

форми.

Білінійну форму J[x, j) називають симетричною, якщо для всіх х та у іч І.

виконується умова

,y) = І(У,

У цьому випадку a

= f{e

)-a

- f{e

), тобто матриця А =(а,

)

відповідної білінійної форми в будь-якій базі буде симетричною. Очевидно, що і

навпаки, якщо матриця білінійної форми в деякій базі буде симетричною, то і

відповідна білінійна форма буде симетричною.

Якщо в симетричній білінійній формі/[х, у) покласти х = у, то одержиться так

звана квадратична форма. Отже, квадратичною формою /(х,,х

,...,х„) під її

44 Розділ I

[ОМИХ називається однорщнии многочлен другого степеня відносно цих невщомих,

о вона є сумою, кожний додаток якої є або квадратом одного з невідомих, або

тком двох різних невідомих.

Іри цьому, матриця А квадратичної форми є симетричною, що відповідає

іійній форміДх, х), породженій формоюДх, у).

іідзначимо, що за квадратичною формою можна однозначно визначити

:тричну білінійну форму flx, у) що породила дану квадратичну форму.

І,ійсно, нехай flx, у) = fly, х) для всіх х і у.

^оді

f{x

у, х

у) = f{x, х)

2 fix, у)

+ fiy,

у),

<и fix, у) = ^

[fix

+ у, х +у)- fix,x) - fiy, у)]

)тже, квадратичну форму від п змінних можна записати у вигляді

f(x

,..„x„) = 'tt.a

xj.

(=1у=1

Іаприклад, для п = 2 квадратична форма має вигляд

fix,X) = йцХ,

+ 2а

хг

Х\Х

+ а

Х2.

Іозначимо через X =

V У

і А = (а,,)- матрицю квадратичної форми. Тоді

орма зображається у матричному вигляді

Дх

,...,х

) = Х

АХ. (1.26)

і'ясуємо зараз, що відбувається з квадратичною формою, якщо проведено

іне перетворення змінних, які входять в неї.

іехай це перетворення має вигляд

X, = ЇЯікУк . і = \,2,...,п

к=1

~-i

hk)~ його матриця.

\>ді Х= QY, а це означає, що Х

= Y

Іідставивши дані вирази в рівність (1.26), одержимо

fix

{

,...,x

) = Y

AQY = Y

BY,

Елементи лінійної алгебри

З І

де B = Q

AQ = Q

{AQ).

Очевидно, що 5-симетрична, оскільки

)

AQ = В.

Таким чином, доведено теорему: квадратична форма від змінних, яка ма»

матрицю А, після здійснення над змінними лінійного перетворення з матрицею

Q, переходить в квадратичну форму від нових змінних, причому матрицею ци і

форми буде добуток Q

AQ. Зрозуміло, що якщо перетворення є невироджсним,

тобто матриці Q і Q

є невиродженими, то і добуток Q

AQ також буде

невиродженою матрицею. Ранг цього добутку дорівнює рангові матриці А. ()

/и\

ранг квадратичної форми не змінюється при виконанні невиродженого лінійної о

перетворення.

1.4.2. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Якщо квадратичну форму подано у вигляді суми квадратів невідомих 11

деякими коефіцієнтами, тобто коли всі коеіфіцієнти при добутках різних невідомих

дорівнюють нулеві, то кажуть, що вона записана у канонічному вигляді.

Виникає таке запитання: чи завжди можна квадратичну форму зобрази ш у

канонічному вигляді? Відповідь на нього дає теорема.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму, задану в п-вимірному векторному

просторі, можна за допомогою невиродженого лінійного перетворення звести до

канонічного вигляду.

Доведення здійснимо методом математичної індукції.

Ця теорема вірна для випадку, коли квадратична форма містить тільки одні'

невідоме, оскільки така форма має вигляд:

f{x,x) = a

Припустимо, що вона є справедливою для всіх квадратичних форм, які містять

т -

невідомих і розглянемо квадратичну форму від т координат

f(x,x) = а

+ 2а

хг

+ а

+... + а

тт

Якщо тут є хоча б один квадрат невідомого з нерівним нулеві коефіцієнтом,

наприклад, а

тт

0, то зберемо елементи, що містять х

та виділимо повний

квадрат

2а

іт

+2а

2т

+... + 2а

х т

+ а

пип

+ а

2т

•••

+ а

тт

) -/ (х,х),

46 Розділ I

вадратична форма f*(x,x) залежить вже тільки від т - 1 невідомих

,...,х

. Покладемо

У\ =

1 , Уі =*2 »•••,

Ут-1

= *«-1

Ут

= а

\т

+а

2т

---

+ а

тт

т '

Ут+\

= Х

т+1

> • • • >

Уп

= Х

п •

(скільки визначник det D матриці D цього перетворення є таким:

0 0 . .. 0 . .. 0

0 1 0 . .. 0 . .. 0

2т

3 т •

®пті

.. 0

^тт

0 0 0 . .. 0 . .. 1

:й перехід до нових координат у є наслідком переходу до нової бази із

ицею переходу, яка буде оберненою до матриці D. За припущенням, форму

х), яка залежить від т -

координат, шляхом переходу до нової бази можна

ЇСТИ до суми квадратів. При цьому до суми квадратів зведена і форма /(х, х).

кщо ж всі а

= 0, то, припустивши, що, наприклад а,

0, покладемо

*і ~ У і У 2 .

2 =У,-У

з =У з

х„=У„,

шачає перехід до нової бази

/ / / /

\ ~

2 ~

\ ~

3 ~

3 '

п ~

рицею переходу

\ 1

0 .

. 0

і -1 0 . . 0

1 .

. 0

0 0 . . 1

чник якої дорівнює -2

0. При цьому добуток х,х

перетвориться у вираз

>2 і ми прийдемо до першого випадку.

Отже, ми довели, що якщо в л-вимірному векторному просторі L

задана

ьна квадратична форма, то в L

можна знайти таку базу, в якій ця форма

ться до суми квадратів, тобто

/(х,х) = а,х[

+ а

+... + а

х,

Елементи лінійної алгебри

З І

де х\, х'

,...,

х'„

- координати вектора х в новій базі.

А тепер наведемо методику практичного розв'язання задачі про інедиши

квадратичні форми до канонічного вигляду.

Розглянемо квадратичну форму, яка має вигляд

Дх,х) = Х

АХ.

Здійснимо лінійне перетворення з матрицею Q . Тоді одержимо квадра

ичпу

форму з матрицею Q

AQ . Оскільки матриця А - симетрична і дійсна, то иомл

має просту структуру і за допомогою ортогонального перетворення може Пупі

зведена до діагонального вигляду, причому діагональними елементами

милі ш

числа матриці А. Такій матриці відповідає квадратична форма

/(*>') = £v;

(1.27)

(=і

де кількість відмінних від нуля коефіцієнтів

Я.

дорівнює рангові матриці А .

Приклад. Звести до канонічного вигляду форму

х)

—

хj — "Н + х

8xj ^"^2*^3

Розв'язання. Матриця А цієї квадратичної форми має вигляд

1 2 -4

А= 2 -2

-4 -2

Складемо її характеристичне рівняння

1-А

-4

2 -4

•2-А -2

-2 1-А

або (Я-6)(Я + 3)

=0 . Розв'язавши його, отримаємо Я, = 6 ; Я

=-3; Я, Зі

канонічний вигляд квадратичної форми буде

/(х',х') = вх[

- Ix'j - Зх

1.4.3. Знаковизначені форми. Закон інерції

Канонічний вигляд, до якого зводиться квадратична форма не є однозначно

визначеним. Квадратична форма може бути зведена до канонічного вигляду

різними способами і ми будемо одержувати у формулі (1.26) різні коефіцієнти.

48 Розділ I

LK,

наприклад, квадратична форма

/(х,х) = 2Х\Х

- 6х

х з + 2Х|Х

юмогою лінійного перетворення

-I ' 1 ' J.7 '

Х\ — Х\ т X")

~г

DXI

2 2

_ 1 , 1 , . ,

Xл — Xt і Х'Ї і Хі

2 2

з ~ *з

ться до канонічного вигляду

/(х',х') = -

— х'2

+ 6х

з >

опомогою іншого перетворення

—

Х| ~ь 2х

Xf — Xt

2х

—

ться до такого канонічного вигляду:

/(х',х') -2х\ +6^2' -ол

іведемо теорему про квадратичні форми, яку ще називають законом інерції

атичних форм.

еорема. Якщо квадратична форма зводиться до суми квадратів у двох

базах, то кількість доданків h додатними і від 'ємними коефіцієнтами в обох

ках є однаковою.

багатьох випадках, пов'язаних із застосуванням квадратичних форм,

иву роль відіграє знак форми для різних значень змінних,

їадратична форма f{x,x) називається додатно визначеною, якщо

:)>0 для будь-якого х*0, а якщо буде /(х,х)<0, тоді форма f(x,x)

ається від'ємно визначеною.

обох випадках форма називається знаковизначеною.

іприклад, якщо /(х,х) = (х,х) - скалярний квадрат векторах в евклідовому

орі, то ця форма є додатно визначеною, оскільки

.ЛІІШ-'ШОНВХ •..:-.•

2 2

:І

ГІИЧ

"--' • '' •Ь'^Н^РВНСНЯ

-шифзоя ii-ifiq (д£. /(^Я^-р.^'Д) =

-*і.

+ *2 і иг/.?;дглопо HM.-umq

і н'мепти лінійної алгебри

Гак само зрозуміло, що форма

У(XjX) — х^

~ Зх

» иід'ємно визначеною. Важче визначити якою буде, наприклад, форма

Очевидно важко відповісти, чи буде квадратична форма знаковизпачаюю,

для великої кількості невідомих. Сформулюємо теорему, яка дає відповіді, на не.

Теорема. Для того, щоб квадратична форма f(x,x) = Х

АХ була

знаковизначеною, необхідно і достатньо, щоб характеристичні числа матриці А

цієї квадратичної форми мали однакові знаки (плюс для додатно визначеної і мінус

для від'ємно визначеної).

Зауважимо, що практичне застосування цієї теореми є громіздким, оскільки

для знаходження характеристичних чисел матриці А доведеться розв'язувані

алгебраїчні рівняння п-то степеня. Тому на практиці користуються зручнішою

ознакою - критерієм Сильвестра, який ми сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема (критерій Сильвестра). Для того, щоб квадратична

форма f(x,x) = Х

АХ була додатно визначеною, необхідно і додатньо, щоб

виконувались нерівності

А =«11 >0, А>

«п «12 «13

>0, А =

«21 «22 «23

>0,...,4, =det(/i)>0

«31

«32 «33

Приклад. Довести, що квадратична форма

буде додатно визначеною.

Розв'язання. Матриця А заданої форми має вигляд

А =

- 4

-2

А = а,, = 5 > 0, А =

5 2

2 1

= 1 > 0,

-2

-4

-2

= 1>0.

50 Розділ I

Оскільки визначники Д. >0 (і - 1,3), то за критерієм Сильвестра квадратична

>рма є додатно визначеною.

Наслідок. Щоб квадратична форма f(x,x) була від'ємно визначеною,

обхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності

<0,..., (-1)" det(^) > 0,

бто знаки кутових мінорів матриці А повинні чергуватись, починаючи зі знака мінус.

Дійсно, для того, щоб квадратична форма

f(x,

х) була від'ємно визначеною,

юбхідно і достатньо, щоб форма -f(x,x)= '£(-a

була додатно

kj=І

значеною, звідки і випливає наслідок.

Слід відзначити, що знаковизначена форма є завжди невиродженою. Дане

ердження безпосередньо випливає із критерія Сильвестра.

«п «12 «13

А =а„ <о, А =

«11 «12

>0, 4,=

«21 «22 «23

А =а„ <о, А =

«21 «22

«31 «32

1.4.4. Нормальні системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розглянемо систему п лінійних рівнянь із п невідомими

л;, + я

+ ••• + a

xj + а

н h

2п

= Ь

пХ

+а

п2

---

+ а

=Ь

)о в матричній формі АХ = В, де

" у

, в =

А =

а.

'лі

пі

Ми

2п

—

матриця системи.

Дана система називається нормальною, якщо виконуються дві умови:

матриця

істеми А є симетричною; 2) квадратична форма, що відповідає матриці А,

додатно

ізначеною. Нормальні системи зустрічаються при розв'язуванні багатьох задач,

жрема, при застосуванні методу найменших квадратів.

Метод зведення довільної лінійної системи до нормального вигляду

юструється теоремою.