Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

/•'

н'меїтш лінійної алгебри

ІІриклад.

1 2 -З"

А= 4-5 6

7 8 9

Тоді

A |L= max

+ 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9) = max (6, 15, 24) = 24;

|| А ||

= max (1+4 + 7, 2 + 5 + 8, 3 + 6 + 9) = max (12, 15, 18)= 18;

А ||

= Vl

+ 2

+ (-3)

+ 4

+ (~5)

+ б

+ 7

+ 8

+ 9

= V285 -16."

Якщо матриця А є вектором-стовпчиком

то відповідні норми будуть такими:

Перевірку факту, що норми || А ||

,|| А ||, та || А \\

задовільняють аксіомам а) г),

опущено.

Множина L елементів х, у, z, ... називається лінійним (або векторним)

простором, якщо її елементи задовільняють таким умовам:

І. Для будь-яких двох елементів х, у є L однозначно визначено третій елемем

z є L, який називається їх сумою і позначається символом z = х

у, причому:

Л||

= тах|х,.

М||

= |х,| + |х

|+...+

|х„ І;

§1.2. Лінійні простори та лінійні перетворення

1.2.1. Лінійний простір. Основні означення

22 Розділ I

: + у = у + х (комутативність);

ля будь-яких трьох елементів x,y,zeLx

+ (j> +

z) = (x+y)+z (асоціативність);

! даній множині L існує такий елемент 0, що х + 0 = х для всіх х є L

.ння нуля);

ЇЛЯ кожного х є L існує такий елемент -х, що х + (-х) = 0 (існування

іежного елемента).

Цля будь-якого дійсного числа а та довільного елемента х є L визначено

т ах є L, який називається добутком х на число а, причому виконуються

юви:

хфх) = (а/3)х;

•х = х;

а + р)х = ах + /Зх;

х{х +у)~ ах + ау, де /3- довільне дійсне число.

;менти лінійного простору називають ще і векторами.

ІГЛЯНЄМО деякі приклади лінійних просторів.

Іряма лінія R', тобто сукупність дійсних чисел із звичайними арифметичними

(іями додавання та множення є лінійним простором. Перевірте!

Сукупність всеможливих систем п чисел х = (х

,..., х

), у = (у

..., у) також

ним простором, який позначається символом R" (додавання та множення на

здійснюється за такими правилами: х + у = (x

+ у

..., х

+ ),

ах„ ах,,..., ах).

І' Г /і'

Неперервні на деякому відрізку [а,Ь] функції також утворюють лінійний

р, який позначають символом С

[в4]

Множина розв'язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є

им простором.

^простором лінійного простору L називається така його непорожня

шина L', яка сама утворює лінійний простір по відношенню до визначених

грацій додавання та множення на число. Інакше кажучи, L' є підпростором

)ру L, що записують у вигляді L'c L, якщо із того, що х є L' та у є L',

ває, що і ах + /3 у є L' для будь-яких а та

ІЗ.

приклад, сукупність P

[ah]

всіх многочленів утворює підпростір простору C

[ah]

іросторі Р

многочленів степеня не більшого за п підпростором буде будь-

[ростір Р

, де к < п. З іншого боку простір Р

є підпростором простору Р

[аЩ

^огочленів, який, як відомо, в свою чергу є підпростором простору С

[яА]

1.2.2. Розмірність та база лінійного простору

ементи х

{

, х

,..., х

лінійного простору L називаються лінійно залежними,

існують такі числа а,, а

,..., а

, не всі рівні нулеві, що виконується умова

ілсмеити лінійної алгебри

х, + а

+... + а

= 0.

(1.8)

Якщо елементи х,, х

,..., х

не є лінійно залежними, тоді їх називають лінійно

незалежними.

Розглянемо елементи х

,..., х

, щоє лінійно залежними і нехай, наприклад,

0. Тоді із виразу (1.8) одержимо, що

Якщо має місце рівність (1.9), то кажуть, що елемент х

є лінійною комбінацією

елементів х,, х

, ... ,х

кЛ

, або, що елементх

лінійно виражається через х,, х

, ... ,х

к ]

Таким чином, якщо елементи х, х,, ... ,х

є лінійно залежними, то це означає, що

хоча б один із них лінійно виражається через решту із них. Зрозуміло, що буде

справедливим і зворотнє твердження.

Наприклад, лінійно незалежними на площині будуть будь-які два неколінеарні

вектори, в просторі (трьохвимірному) лінійно незалежними будуть будь-які три

пекомпланарні вектори. Однак, будь-які чотири просторові вектори вже буду ть

лінійно залежними.

Лінійний (векторний) простір L

називається и-вимірним, якщо в ньому можна

знайти п лінійно незалежних елементів (векторів), а більше ніж п векторів вже

будуть лінійно залежними. Тобто, розмірність простору - це максимальна

кількість лінійно незалежних векторів цього простору.

Наприклад, розмірність множини всіх плоских векторів дорівнює 2, а множини

просторових векторів - 3.

Простори, які мають скінченну розмірність, називаються скінченновимірними.

Якщо ж у просторі можна знайти довільну кількість лінійно незалежних векторів,

то такий простір називається нескінченновимірним.

Прикладом нескінченновимірних просторів може бути простір С

[аЬ]

Сукупність п лінійно незалежних векторів «-вимірного простору L називається

його базою.

Наприклад, базою на площині можуть бути будь-які два неколінеарні вектори,

в просторі - будь-які три некомпланарні вектори.

Теорема. Кожний вектор х лінійного п-вимірного простору L можна

подати (зобразити) єдиним способом у вигляді лінійної комбінації векторів бази.

Доведення. Нехай х є L

і e

,...,

- довільна база n-вимірного простору L

Оскільки кожні

+1 векторів «-вимірного простору L

є лінійно залежними, зокрема

(1.9)

або х

= /3,х, + /3

+ ... + fi

, де /3 .=

24 Розділ I

тори e

, ... , е

, х, то існують такі не рівні нулеві числа а

, ... , a

n+v

ї, е. + а,е. +... + а е +

О'

х = 0.

II 2 2 її п п+І

)чевидно, що а

п+1

0, бо якщо б а

п+І

= 0, тоді хоча б одне з чисел а

{

, а

,..., а

мінним від нуля і вектори е

, ..., е

були б лінійно залежними. Тому

п+1

л+1

п+1 '

позначивши — = х., отримаємо, що

я+

X = х.е, + + ... + X е .

1 і 2 2 п п

[ане зображення (представлення) буде єдиним, бо інакше якщо існувало б ще

зображення (представлення) х = + х

+ ... + х

'е

, то (х, - х,')^ +

-х

)е

+ ... + (х

);

- х

')е

= 0, звідки та із лінійної незалежності векторів бази

иває, що

х, х, 0, Хл х. ~ 0. ... і х х 0,

^ '^22 * * п п '

ОХ, - X, , Х

- Х

, ... , Х

- Х

исла х

](

, ... , х

називаються координатами вектора х в базі е

, ... , е

ї, теорема стверджує, що якщо задано базу N-вимірного простору L

, тоді

іий вектор х є L

має однозначно визначені координати в цій базі.Тому задати

>р можна просто, вказавши його координати х

, ..., х

. При цьому так і

пгь: х = (Хр х

,..., х

озглянемо два вектори, які задано своїми координатами в деякій базі х = (х

= (y

•••,>

;

)- Тоді очевидно, щох +

= (х, +y

+ у

, ...,х

+у

) і

ах

..., ах

аким чином, при додаванні векторів, заданих в деякій базі, їхні координати

ються, а при множенні вектора на число - всі його координати множаться

число.

1.2.3. Ранг системи векторів

ззглянемо m векторів «-вимірного простору

х, = (й

,а

, ...,а

)

= (а

, а

, ..., а

2і

)

х = (а „а .... а )

ml' /))2' ' пиґ

демо їх лінійну комбінацію, яку прирівняємо до нуля

а.х, + а,х, + ... + а х =0,

II 2 2 mm '

(1.10)

(1.11)

Елементи лінійної алгебри 25

де а (г = 1,..., т) - деякі числа, причому а,

+ а

+ ... + aj

На основі введених операцій над векторами із рівності (1.11) одержимо сис тему

рівнянь відносно а.

+а

+... + а

т1

о.

+а

+...

т2

1п

+а

2п

+...

тп

=0,

(1.12)

матриця якої буде

А =

«11 «21 ... «Ш1

«і2 «22 ... а

От am ... «mn

Дану матрицю називають матрицею системи векторів х

, ..., х . її

стовпчиками є координати цих векторів.

Рівність (1.11)- еквівалентна системі рівнянь (1.12), що є однорідною системою

m рівнянь із п невідомими.

Очевидно, що вектори системи (1.10) будуть залежними тоді і тільки тоді, коли

система рівнянь (1.12) має ненульові розв'язки а,, а

, ... , а

. Це буде тоді, коли

рант матриці А буде меншим за число т.

Таким чином, вектори системи (1.10) будуть лінійно незалежними тоді і тільки

тоді, коли ранг матриці системи векторів дорівнює т, тобто кількості векторі» у

системі.

Приклад. Задано вектори

х, = 2е

+ е

+ 2Є

=е

+ 2е

+ е

Встановити, чи будуть вони лінійно залежними.

Складемо матрицю

А =

2 1 1

1 -1 2

0 2 1

1 -1 0

26 Розділ I

г цієї матриці дорівнює 3, тому вектори х,, х

, х

є лінійно незалежними,

вемо рангом системи векторів (1.10) максимальну кількість лінійно

кних векторів у цій системі.

оре м а . Ранг системи векторів (1.10) дорівнює рангові її матриці.

[ієї теореми легко отримати такий наслідок: ранг матриці дорівнює

альному числу лінійно незалежних рядків (або стовпчиків),

іклад. При якому значенні а вектори

х, = (1,2,-1)

= (2, 0, 3)

= (а, 1,2)

лінійно залежними.

з'язання. Вектори будуть лінійно залежними, якщо ранг матриці

-1

ншим від трьох, тобто, коли

1 2 а

2 0 1

-13 2

= 0 , звідки а = -13/6.

1.2.4. Лінійні перетворення

;уть, що у векторному просторі L задано перетворення, або оператор А,

ожному векторові xeR відповідає визначений вектор А(х) цього ж

зу L.

ратор (перетворення) А називається лінійним, якщо для будь-яких двох

в х та у із R та довільного дійсного числа а виконуються умови:

1(х +

у) = А(х)

А(у),

\{ах)

аА{х).

і цьому, вектор А(х) називається образом вектора х, а сам вектор х -

азом вектора А(х) при перетворенні А.

гремо в просторі L деяку базу е

,...,

Тоді вектор х є L можна подати у вигляді

ь х

<?,

+... + хе

. Здійснивши над вектором х лінійне перетворення А, одержимо

Елементи лінійної алгебри

З І

А(х) = х^^) + х

А(е

) + ...+ х

А(е

) .

Оскільки А(е, ), (г = 1,2, ... , гі)- це також вектори із простору />,

о ї\ можна

розкласти за векторами бази e

...,e

Нехай

тоді

А(е

)

2і

+...

а„

,і- 1,2, ... , п,

А(х)

(а

+а

2х

+...

п]

)

(а

+а

...

п2

) +...

х„(а

„<?

+а

2п

...

іт

)

(а

+а

...

хп

)е

(«21*1

+ °22*2 +

•••

2Л К +

• • •

+ Кі*1 +

„2

•

Нехай вектор А(х) в базі е

, ...,е

має координати , тобто

А(х)

х\е

х'

+...

х'

Тоді, враховуючи єдиність розкладу вектора за векторами бази, маємо

х\=а

хх

+а

Х2

+...

Хп

t , ,

• І ; ... І (і.із)

[х'„

=а

іЛ

+а

п2

+...

іт

Таким чином, кожному лінійному перетворенню (оператору) А в деякій базі

...,e відповідає матриця

V«„1

п2

4л

*2п

(1.14)

г-й стовпчик якої утворюють координати вектора А(е.) в базі е

е,...,е

; при цьому

коефіцієнти розкладу (1.13) вектора А(х) за координатами вектора х утворюю

11>

рядки матриці А.

Легко показати, що і, навпаки, якщо в п-вимірному лінійному просторі /.

задано базу, то кожна квадратна матриця порядку

може розглядатися як ма триця

деякого лінійного оператора.

Отже, якщо у векторному «-вимірному просторі L задано базу, то кожному

лінійному оператору А відповідає визначена квадратна матриця А п-го порядку

28 Розділ I

іки, кожній такій матриці відповідає визначений лінійний оператор. При

дану матрицю А називають матрицею лінійного оператора А.

евидно, що для будь-якого лінійного оператора А

А(0) = 0.

що рівність А(х) = 0 виконується тільки для х = 0, (нульовий вектор), то

т>р А називається невиродженим; якщо ж знайдеться такий ненульовий

' х

0 , що А(х) = 0, то оператор А називається виродженим,

гвидно, для того, щоб оператор А був невиродженим, необхідно і достатньо,

ізначник матриці А цього оператора в будь-якій базі був відмінним від нуля,

об матриця А оператора була неособливою (це випливає зі системи 1.13).

ІГЛЯНЄМО декілька прикладів,

иклад 1.

>сай

А - поворот всіх векторів площини Х0 Y (двовимірний простір) навколо

;у координат на кут

<р

проти годинникової стрілки.

гвидно, що оператор А - лінійний.

Зазові вектори візьмемо одиничні вектори (орти) і та j.

І\А(І) - одиничний вектор, який утворює кут (рз вектором і та кут (р-я/2-

ором j.

«є, А(і) = cos / + sin j.

шичний вектор A(j) утворює із векторами /та укути відповідно я/2 + <рта

(р.

«є, A(j)

-smq>-i

cos(p- j.

сим чином,

А =

^cos <р -sin^^

SIN<P COS

<J9

\ /

иклад 2.

шй оператор А буде ортогональним проектуванням вектора а на площину

Іегко показати, що цей оператор буде лінійним. В ролі базових векторів

ають орти

і,

j, к.

ц А(і) = і, A(j) =j, А(к) = 0.

«е,

А =

0 1

0 0

иклад 3.

ц о А- нульовий оператор, тобто такий, що для всіх хе L будеА(х) = 0. Тоді

Елементи лінійної алгебри

З І

А =

0 О О

0 0 0

нульова матриця.

Приклад 4.

Нехай А - тотожний оператор, тобто такий, що для всіх х е L А (х) = х . Отже,

матрицею цього оператора буде

А =

1 0

0 1

о о

- одинична матриця.

Визначимо дії над лінійними операторами А та В, а саме додавання опера горім,

множення оператора на число та множення операторів.

Якщо А та В - два лінійні оператори у векторному просторі L, то їх сумою

А + В називається оператор С, який визначається рівністю

С(х) = А(х) + В(х) для всіх х є L .

Очевидно, що сума лінійних операторів також буде лінійним оператором,

причому, якщо А і В є матрицями операторів відповідно А та В в деякій базі, то

матрицею оператора С = А + В буде матриця А + В.

Добутком лінійного оператора А на число «називається оператор аА, який

визначається так:

(аА)х = а(Ах) для довільного х є L .

Зрозуміло, що аА - також лінійний оператор, причому його матрицею буде ма грі

11 їй

аА. Т- (г). Якщо а - 0, то матриця оператора аА є нульовою, тобто аА = О.

Розкладемо тепер вектор х за векторами бази (е

{

,е

, ...,е

) та (е,\<?

...,е*„)

—

"і*

• •

• "f*

X ^^fj 5

Оскільки е

Т(е

), то маємо

х,е, + х

+... +

х„е„

= х,*Т(е,) + ... + х"

Т(е

Введемо матриці

(1.15)

/ \

( * \

]

та

" J

V /

30 Розділ I

шість (1.15) запишемо у матричному вигляді

Х=ТХ*,

иражає координати вектора х в базі е

, е

,..., е

через його координати в базі

... , е *. Очевидно, що

іарешті, розглянемо питання про зміну матриці лінійного перетворення при

оді до нової бази. Нехай у базі е

, ... , е

лінійному перетворенню А

відає матриця А, отже лінійне перетворення запишеться у вигляді

У*

А-Х .

ІЄДЄМО нову базу е,*, е

, ...,

із матрицею переходу Т. Тоді координати

рів х та у в "старій" та "новій" базі будуть пов'язані співвідношеннями

Х= ТГ, Г= ТУ*,

ідей отримуємо, що ТУ* = АТХ*, або

У* = (Т-'ЛТ)Г = А'Г.

ким чином, отримуємо лінійне перетворення, що відповідає операторові А

бій» базі. Це означає, що матриця

Л*

оператора А в базі є,*, е

",..., е* пов'язана

шцею цього ж оператора в базі е

,..., е співвідношенням

А* = (Т-'ЛТ).

ітриці А та Т

АТ описують дії одного і того ж оператора А в різних базах;

ивають подібними. Однією з важливих властивостей подібних матриць є

гь їх визначників. Дійсно,

\А'\ = |Т'ЛТ| = |Т"

| \А\|Т| = \А\|Т| = \А\ .

ким чином, визначник матриці лінійного оператора не залежить від

у бази.

евидним є і той факт, що подібні матриці мають один і той же ранг.

1.2.5. Евклідові простори

опередньому параграфі введено поняття лінійного (векторного) простору,

іу можна додавати вектори та множити їх на числа, введено поняття

шості, бази, лінійного оператора. Тепер ми введемо в цьому просторі

<у,>

тобто спосіб вимірювання довжин та кутів. Метрику у векторному

>рі зручно ввести, використовуючи поняття скалярного добутку.