Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

а-

мсшіш лінійної алгебри

Теорема. Якщо обидві частини лінійної системи АХ = В

неособ твою

матрицею А помножити ліворуч на транспоновану матрицю А', то отри

мини

нона

система А

АХ = А

В буде нормальною.

Доведення. По-перше, очевидно, що А

А є симетричною матрицею, осині.мі

(

А*

А)

= А

(А

)

= А

А. Тепер доведемо, що квадратична форма, яка нідпоніл.н

матриці А

А - додатно визначена.

Дійсно, якщо квадратична форма f(x,x), що відповідає матриці А, ма< піп ляд

f(x,x) = tta

/=іj=\

і ()

матриці А

А відповідатиме така форма:

f(x,x) = І І ta

,=1 y=lAr=l

Очевидно, що ця форма є додатно визначеною, так як

(x,x)=i{ia

xia

)=i(ia

f >0.

it=l і=1 j=1

k=\ i=1

Оскільки матриця А є неособливою, тобто det(y4)

0, то однорідна сисісмн

=0 (k = 1,2,...,«), має лише нульовий розв'язок. Тому

і-і

/(х,х) > 0 для всіх х

Теорему доведено.

Нормальні системи мають ряд особливих властивостей, одна з яких

виражається теоремою, яку наводимо без доведення.

Теорема. Для нормальної системи лінійних рівнянь процес Зейделя с збіжним

для довільного вибору нульового наближення (початкового значення).

РОЗДІЛ II

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ

ЙМОВІРНОСТЕЙ

§ 2.1. Основні поняття теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей - математична наука, яка вивчає закономірності,

0 проявляються в масових випадкових явищах природи.

Це означення має досить загальний характер. Щоб з'ясувати предмет і задачі

єї науки, необхідно насамперед визначити ті основні поняття, на яких вона

ізується і розвивається як математична наука.

Першим з них ми розглянемо поняття випробовування.

Випробовуванням або експериментом називається здійснення

івного комплексу основних умов, в результаті чого з'являється те чи інше явище,

;е називається подією.

Поняттю "випробовування" в теорії ймовірностей надають в деякій мірі

юбливе, специфічне значення. По-перше, при випробовуванні не обов'язково

звинен бути присутнім дослідник. Під словами "здійснення певного комплексу

нов"ми взагалі можемо розуміти наявність певної сукупності факторів, обставин,

сі обумовлюють появу будь-якого явища в природі або в суспільстві, наприклад,

зява дощу, аварія на електростанції, пожежа на підприємстві та інші. По-друге,

зв'язку з тим, що теорія ймовірностей вивчає закономірності, що проявляються

масових випадкових явищах, то для неї особливе значення мають ті

шробовування, при яких один

той же комплекс основних умов можна здійснити

5о спостерігати багато разів. Явища, які з'являються при таких випробовуваннях,

азиваються масовими.

Наступним основним поняттям теорії ймовірностей є поняття елементарної події.

Щоб описати схему або модель масового ідеалізованого випробовування

гобхідно задати такий комплекс основних умов, який дав би можливість визначити

1 перечислити всі ті явища, які можуть з'явитися при реалізації цих умов.

Явище, яке відбувається при одній реалізації комплексу основних умов,

азивається елементарною або простою подією. Сукупність усіх

ожливих результатів, які можуть з'явитися при багаторазових випробовуваннях,

Елементи теорії ймовірностей 53

називається полем елементарних подій, або полем мож і и н н

випадків даного ідеалізованого випробовування. Ма гема і і

геометричній інтерпретації, його називають простором е л с м ічі і а р н н

п о д і й , а кожну окрему з них - точкою цього поля (простору

При випробовуваннях ми можемо крім елементарних спостерігати |>мт пшп

більш складні події. Надалі всі види подій позначатимемо великими иіи-р.імі

латинської абетки А, В, С, ... . Події, які можна розкласти на просгі ечемен

,іри

події, називаються складними подіями. Отже, під словом " її о д і я " u іеорі

ймовірностей розуміють термін, який означає собою деяку сукупність (множищ

елементарних подій.

Із точки зору теорії ймовірностей всі види ПОДІЙ доводиться рочділя

І 11

II перш

чергу на достовірні, неможливі та випадкові.

Достовірною подією (позначають її через U) називається

лкл моїми

про яку відомо, що при реалізації даного комплексу умов вона оПоіГичммн

повинна з'явитися, наприклад, при підкиданні двох гральних кубикіи, на і р.шч

яких нанесені цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6, поява суми очок, що з'явилися на перчім

гранях, не меншої від 2 і не більшої за 12, є подія достовірна.

Неможливою подією V називається подія, про яку відомо, що

ІІ| ч

реалізації даного комплексу умов вона з'явитися не може, наприклад, помпа прі

підкиданні двох кубиків на верхніх їх гранях суми очок, рівної або більшої іл І

є подія неможлива.

Подія А, яка при здійсненні даного комплексу умов може з'явитися, л може

не з'явитися, називається випадковою, наприклад, поява при одним

підкиданні кубика на верхній його грані 3-х очок є подія випадкова, чому ш

результат цього випробовування міг би бути іншим.

Із приведених вище означень видно, що достовірність, неможливість

і ниі

іадкоше

ПОДІЙ МИ завжди ПОВИННІ розглядати ПО відношенню ДО певного комплексу ОСНОВНІЇ

умов. Справді, між зазначеними тільки що видами подій і комплексом умон ієну

тісний зв'язок. Для достовірної події U комплекс умов повинен склада тися ч yen

необхідної сукупності факторів, обставин і передумов, достатніх для того, що

достовірна подія з'явилася. Твердження про випадковість події А підкреслю» ю

факт, що комплекс умов не містить в собі всієї сукупності факторів, необхідних

достатніх для того, щоб, наприклад, подіяв обов'язково з'явилася.

Припустимо, що нам задано певний комплекс умов. Розглянемо систему

подій А, В, С, ..., кожна з яких при кожному випробовуванні може з'явніиеі

Між подіями системи S можуть існувати певні співвідношення і в залежності ні

них події системи S можуть залишатися простими* а можуть утворювати бішл

складні події. Крім цього співвідношення між подіями накладають певну якісі

на них; вони можуть бути еквівалентними, сумісними і несумісними, залежними

54 Розділ I

іежними, протилежними, складати повну групу подій, утворювати суму або

ток подій.

кажуть, що подія А веде за собою подію В, або з події А випливає подія В,

і при появі А неминуче з'являється В. Це позначається так:

A<zB або В-D А.

кщо A zd В та однозначно В з А , тоді події А та В називають е к в і -

ЄНТІІИМИ.

кщо з двох подій А та В з'являється в результаті випробовування хоча би

з них, тоді ми маємо справу зі складною подією С, яка називається сумою

>б'єднанням цих подій і позначається

А + В = С, або A U В.

[одію С, що полягає в одночасній появі при одному випробовуванні і події А

ії В, називають добутком подій і позначають її так

С = АВ, або АПВ.

[риклад 1. На стіл кинуто кубик, на гранях якого нанесено цифри 1, 2, З,

5. Позначимо через

- появу на верхній грані 6 очок,

-"-" 3 очок,

' - парної кількості очок,

»- кількості очок, кратної числу 3.

оді між зазначеними подіями існують такі співвідношення:

А с С, AcD, В a D А + В = D, А - CD.

[оняття добутку та суми двох подій узагальнюється на довільну кількість подій.

,ві події А і В називаються несумісними, якщо при одному випробову-

і поява однієї з них усуває можливість появи другої, тобто одночасна поява

можлива. Це співвідношення між подіями А і В записується у вигляді

АВ= V,

- подія неможлива.

кщо при одному випробовуванні одночасно можуть з'явитися як подія А

і подія В, то їх називають сумісними. Наприклад, при умовах і

аченнях прикладу

події В і С є несумісні, а події А і С, також А і D - сумісні,

кщо подія В є сумою подій А

{

, А

, ... А

В = А, + А

+ ... + A

Елементи теорії ймовірностей

а події А. (і = \,к) попарно несумісні, тобто А А.

Упри і

j (i,j= 1,2 А), ю

говорять, що подія В розкладається на окремі часткові випадки A

, А

Гак, наприклад, поява на верхній грані кубика кількості очок 2,4 і 6 є частковими

випадками події випадання парної кількості очок.

Про події А, В, С, ..., N кажуть, що вони утворюють повну групу подій,

кию

при кожному випробовуванні одна з них обов'язково повинна наступити,

об

сума їх

А +В + С + ... +N= U

є подія достовірна.

Особливе значення для теорії імовірностей мають повні групи попарно

несумісних подій. Наприклад, події

, В

які полягають в появі при одному підкиданні кубика кількості очок 1, 2, 4,

5, 6 відповідно, утворюють повну групу попарно несумісних подій.

Дві події А і А називаються взаємно протилежними, якщо для них

одночасно виконуються два співвідношення

А + А = U,A-A = V.

Наприклад, події А - поява при одному підкиданні кубика на верхнім мої о

грані парної кількості очок і А - поява непарної кількості очок є протилежні.

Дві, або декілька подій, які можуть з'явитися при одній реалізації даною

комплексу умов, називаються р і в н о м о ж л и в и м и , якщо всі воші маюп.

однакову об'єктивну (незалежну від дослідника) можливість своєї появи.

Наприклад, події

1) випадання аверса і реверса при одному підкиданні монети;

2) випадання на верхній грані кількості очок

або 2, або 3, або 4, або 5, або ()

при підкиданні симетричного і однорідного грального кубика - є події

рівноможливі.

Розглянемо ще один приклад, який дає геометричну інтерпретацію наведеним

поняттям.

Приклад 2. Припустимо, що в результаті здійснення певного комплексу умов

в середині квадрата (див. Рис.2.1) випадково з'являється точка. Позначимо через

А - потрапляння точки в середину лівого кола;

В - потрапляння її в середину правого кола;

С - потрапляння точки ззовні лівого і правого кіл.

Тоді: С = A\JB, D = A{JB, E = Af)B, U =Al)£U£UC

V = U .

56 Розділ I

кожній задачі теорії ймовірностей завжди доводиться мати справу з певним

іексом умов і з певною системою подій S, які можуть з'явитися, або не

ися при практичному здійсненні цього комплексу умов. Відносно системи

S зробимо деякі припущення.

Якщо в систему S входять події А і В , то до неї належать і події А + В, АВ,

та протилежні їм.

У систему S входять також достовірна подія U і неможлива подія V.

ютема подій S, яка задовольняє цим умовам, називається полем подій.

>зглянемо такі окремі події:

- випадання реверса при підкиданні монети;

- випадання аверса при підкиданні монети;

- випадання кількості очок, що дорівнює 1, 2, 3, 4, 5, 6 при підкиданні

ричного і однорідного кубика;

- попадання в мішень при одному пострілі з гвинтівки;

- три попадання в ціль при трьох пострілах з гармати;

- виникнення пожежі на підприємстві.

;і ці події є випадкові. Але це твердження має досить обмежене пізнавальне

ння. Воно підкреслює лише той факт, що комплекс умов не відбиває всієї

ності причин і обставин, необхідних і достатніх для появи, наприклад, події D.

еорії ймовірностей важливо знати з якою мірою можливості може з'явитися в

ьтаті випробовування та чи інша випадкова подія.

чевидно, що кожна з наведених вище подій має певну міру можливості своєї

[. Відносно перших трьох подій, виходячи з рівноможливості всіх окремих

ьтатів випробовування, ми можемо наперед "a priori" (до випробовування)

ги, що події А і В, так само як і події випадання при одному підкиданні кубика

>хній його грані кількості очок 1,2,3,... ,6 мають однакові можливості. Однак

Елементи теорії ймовірностей 57

про міру можливості появи подій D, F, G ми наперед сказати нічого не можімо

тому що для цього необхідно було б повніше описати відповідні їм комплекси умом

Для кількісного порівняння між собою різних випадкових подій, пов'яза 11 п х

іе н п и м

комплексом умов із точки зору можливості їх появи, необхідно з КОЖНОЮ З Н П

П 011' Я

1,11

певне число, яке повинно бути більшим із більшою можливістю ПОЯВИ ПОДІЇ

па

III

к И

Таке число називається математичною ймовірністю події і

позначається Р(А), Р(В) ..., де в дужках стоїть назва події, ймовірнійь якої

розглядається. Отже, ми можемо дати таке загальне означення ймовірної-1

ймовірністю події називається числова міра об'єктивної можливості її помни

при реалізації певного комплексу умов.

Щоб знаходити числові значення ймовірностей випадкових подій необхідно

вибрати одиницю для знаходження міри можливості появи цих подій. За неї

приймають ймовірність P(U) достовірної події, дорівнює одиниці. Очевидно, що

неможливій події Ктоді слід надати таку ймовірність P(V), що дорівнює нулеві

Згідно з цим ймовірність Р(А) будь-якої іншої (випадкової) події А завжди

знаходиться в межах від нуля до одиниці, тобто

0 < Р(А) < 1. • (2.1)

Наведене означення поняття ймовірності не дає можливості знаходити її числове

значення, тому що воно має загальний характер. Тому необхідно мати ІЛКІ

означення, які вказували б на методи обчислення числових значень, ймовірної-1 сії

Таких найбільш науково обгрунтованих означень математичної ймовірної-11

існує два. Перше з них, так зване "класичне" означення, пов'язує поняті

ймовірності з поняттям "рівноможливості" всіх попарно несумісних

елементарних подій, які складають повну групу єдино можливих результатів

випробовування. Друге з них, так зване "статистичне" означення, базує

ься

на понятті "відносної частоти" появи випадкової події при багато

разових випробовуваннях.

Припустимо, що при здійсненні певного комплексу умов можуть з'явитися II

попарно несумісних і рівноможливих елементарних подій, які утворюють повну

групу G єдино можливих результатів випробовування. З них можна утвори ти

систему (поле) 5 подій, до якої входять самі елементарні події групи G, достовірна

і неможлива події £/і К, а також і всі ті події

, В,..., F, які можна розкласти на

елементарні події, що належить до групи G. Тоді для системи подій 5сформулюємо

таке класичне означення ймовірності, наприклад, події А:

якщо подія

розкладається на т часткових випадків, що входять у повну групу

з п попарно несумісних і рівноможливих елементарних подій, то ймовірність Р(А)

події А дорівнює —. тобто

58 Розділ I

Р(А)

~. (2.2)

Якщо вважати, що ці т можливих випадків єсприяючими появі події А,

) тоді наведене класичне означення поняття ймовірності можна визначити так :

ймовірність Р(А)подїїА дорівнює відношенню кількості т випадків, що сприяють

твіподїіА, до кількостіп всіх можливих випадків (результатів випробовування).

Формула (2.2) називається класичною формулою для обчислення ймовірностей.

Приклад 3. У скриньці знаходяться 22 однакові за розмірами та вагами кулі, з

;их т, = 4 білих, т

= 6 чорних, т

= 9 червоних і т

= 3 синіх. Із урни виймається

іна куля. Необхідно знайти ймовірність того, що ця куля буде

білою - подія А,

чорною - " В,

червоною - " С,

синьою - " D,

кольоровою(червоною або синьою) - " F.

Розв'язання. Згідно формули (2.2) маємо

= ^ =

^ = Р(С)

— =

п 22 п 22 п 22

ТО»-*.* І=| .

п її п II

Приклад 4. На стіл один раз кинуто правильний і однорідний гральний кубик,

гранях якого нанесені цифри 1,2,3,...,6. Знайти ймовірність того, що на верхній

ані випала парна кількість очок (подія В).

Розв'язання. Кількість всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів

пробовування п-6. Із них три випадки сприяють події В (поява кількості очок 2,4,6).

гже, за формулою (2.2) знаходимо

Для великої кількості випробовувань пряме обчислення всіх можливих випадків,

також сприятливих для появи певної події стає громіздким та може привести до

'милкового результату, оскільки частина випадків може "загубитися".

У таких ситуаціях велику користь дає застосування певних комбінаторних

іввідношень. Найчастіше для ймовірнісних обчислень використовуються такі

іввідношення:

Елементи

теорії ймовірностей 59

1) Кількість перестановок із «різних елементів по т елементів, кожний із яких

повторюється тільки один раз. (Цей вираз частіше називається розміщеннями

по т елементів)

аз)

{п -ту.

Частковим випадком є кількість перестановок з п різних елементів

іип

=п\ (2.4)

2) Кількість комбінацій з п різних елементів по т, в яких кожний елемсмі

використовується тільки один раз

п!

п.т=—Г

77 (2.5)

т\{п -ту.

3) Кількість перестановок з п різних елементів, кожний з яких може

повторюватись (від 1 до /)

п\

Р(п,п

,п

,...,п

) = —— (2.6)

\...n,\

4) Кількість комбінацій з п різних елементів пот,в яких кожний елемсіп

може повторюватись (від 0 до т)

(п + т-1)!

С(п,т) = С„";

_, = — (2.7)

ті(п-1)!

Приклад 5. Наукове студентське товариство складається з 25 осіб. Треба ч mix

обрати президента, віце-президента, секретаря, казначея. З якою ймовірністю буду

11,

обрані: Петренко І. (президент), Якимчук Я. (віце президент), Гаманепко І',

(секретар), Палій В. (скарбник)?

Розв'язання. У наведеній задачі мається на увазі розміщення без повторені..

Такий склад керівництва науковим студентським товариством єдиний у даній

групі студентів. Тому ймовірність такої події А можна обчислити так:

(і)=

1 1 1

' а;;' 25!/(25-4)! 303600'

Приклад 6. Є чотири карточки з літерами б, і, л, м. Із якою ймовірнісно

з'явиться слово "лімб", якщо з перемішаних карточок витягувати одну і

відкривати?

Розв'язання. Ця задача також передбачає розміщення елементів без повторень,

але тут кількість карточок дорівнює кількості елементів (літер) у слові "лімб".

Тому поява такої події А відбудеться з ймовірністю

60 Розділ I

(4)=

Р 4! 24 '

п,п

риклад 7. Є набір літер: "м" - 1; "і" - 4; "с" - 2; "п" - 1. Загальна кількість їх

інює 8. Із якою ймовірністю з перемішаних картонок можна скласти слово

ісіпі", якщо витягувати їх по одній?

озв'язання. Тут елементи повторюються, тому використовуємо формулу (2.6)

ГАЛ 1 . 8! 1

р(А) =

Р(8;1,4,2,1) 1!4!2!1! 840

риклад 8. У скриньці знаходяться 3 білих і 4 чорних кулі, із яких виймають 2.

ги ймовірність, що вони є білими.

озв'язання. Позначимо цю подію через В і скористаємось класичною

іулою (2.2)

ут

ууі

р(В) = -

СІ= = З

2!(3-2)!

, 7 !

п = СІ.=— = 21

3+4

2 !(5-2) !

дю-і-І.

21 7

іайдемо ймовірність того, що одна куля буде білою, а друга чорною (подія F).

озв 'язання.

.„. С\-СІ 12 4

Р =

~cf~

2І

7 '

риклад 9. У партії виробів із п елементів т бракованих. Вибрано навмання к

Зів. Знайти ймовірність того, що серед цих к виробів буде рівно І бракованих.

озв'язання. Тут загальна кількість випадків, тобто кількість вибраних

5ів буде

>кість сприятливих події А випадків буде

Г1 (->к-І

т ' п-т '