Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань

Подождите немного. Документ загружается.

Елементи теорії ймовірностей

Тоді

с' с

р(А) =

/-іт

Приклад 10. У кондитерській продаються чотири сорти печива.

t якою

ймовірністю можна купити 7 шматків печива у будь-якій комбінації ? (Можуи.

бути всі шматки однакові).

Розв'язання. Позначимо таку подію через А. Скористаємося виразом (2.7)

С(7,4) = С

_, =

(7 + 4

= 120

7+41

(4-1)!

Це кількість можливих комбінацій із 4 видів печива по 7 німа і кін

Тоді = ±

Наведений метод безпосереднього обчислення ймовірності будь-якої

випадкової події А можна застосовувати лише тоді, коли всі можливі резуль

випробовувань утворюють повну групу, - є попарно несумісними і

рівноможливими. Про випробовування, які задовольняють цим трьом умовам,

говорять, що вони зводяться до "схеми випадків". Для НИХ Ймовірнії

Р(А) дорівнює відношенню кількості т випадків, що сприяють появі події

, до

кількості п всіх можливих випадків. Однак існує велика кількість таких випадкових

подій, ймовірності яких не можна визначати за класичною формулою (2.2), юму

що випробовування, внаслідок яких можуть з'явитися ці події, не зводиться до

схеми випадків.

Розглянемо такі приклади.

Приклад 11. На стіл кинуто несиметричний гральний кубик, виготовлений і

неоднорідного матеріалу. При одному підкиданні на верхній його грані можуп.

з'явитися числа очок 1,2, 3,..., 6. Всі ці випадки утворюють повну групу попарно

несумісних результатів випробовування. Але, з огляду на несиметричнії !ь і

неоднорідність кубика, ми не можемо вважати їх рівноможливими, надана

и їм

однакові ймовірності, що є рівними 1/6, і обчислювати, наприклад, ймовірній ь

появи на верхній грані парної кількості очок за формулою (2.2).

Приклад 12. По мішені проводиться один постріл з гвинтівки, в результаті чоі о

можуть з'явитися два несумісних і єдино можливих випадки: попадання в мішень

(подія А) і промах (подія В). Однак ми не маємо будь-яких підстав вважати їх

рівноможливими і обчислити ймовірності Р(А) і Р(В) за класичною формулою (2.2).

Проте цілком очевидно, що наведені в зазначених прикладах випадкової події

мають певну числову міру об'єктивної можливості їх появи. І взагалі, в теорії

ймовірностей вважається, що кожна випадкова подія А в результаті проведення

62 Розділ I

гіих з нею масових однорідних випробовувань з'являється з певною

іістю незалежно від того, чи зводяться ці випробовування до схеми

з, чи ні. Якщо вони зводяться до схеми випадків, тоді ймовірність Р(А)

зється за формулою (2.2). У протилежному випадку її можна визначити

ментальним шляхом.

пустимо, що проводиться серія п незалежних випробовувань, у кожному

юже з'явитися або не з'явитися деяка випадкова подія А. Припустимо

) при цьому вона з'явилася к разів. Тоді відношення кількості к тих

)вувань, в яких подія А з'явилася, до кількості п всіх випробовувань

гься відносною частотою події А в даній серії випробовувань,

осну частоту події часто називають її ем п ір ич н о ю або статис-

ію ймовірністю і на відміну від математичної ймовірності

ють через Р*(А) або Q(A), тобто

Р\А) = -, (2.8)

* N

;

п = N.

ІЄВЄЛИКОЇ кількості п випробовувань у серії статистична ймовірність Р\А)

їдковий характер і при переході від однієї серії випробовувань до другої

ке значно змінюватись за своєю величиною. Але при збільшенні кількості п

кіп має тенденцію стабілізуватися і наближатися до деякої постійної

и, яка дорівнює ймовірності випадкової події А, тобто в граничному

при п

—^

°°

lim - = р(А). (2.9)

°° п

важливу закономірність випадкових явищ, яка відображає зв'язок між

істю деякої події А і відносною частотою її появи при багаторазових

івуваннях, вперше встановив швейцарський вчений Яків Бернуллі. Її

ичне формулювання і доведення подано теоремою, відомою під назвою

Бернуллі (див. § 2.6).

дені два означення ймовірності випадкової події - класичне і статистичне

а вважати цілком вичерпним і достатнім, проте одне з них доповнює

разом вони цілком виявляють реальний і об'єктивний зміст поняття

зеті.

Елементи теорії ймовірностей 63

§ 2.2. Теореми теорії ймовірностей

Для обчислення ймовірностей випадкових подій часто використовую'! і.

посередні методи, які дають можливість за відомими ймовірностями одних подій

знаходити ймовірності інших, більш складних подій, що є взаємопов'язані.

При застосуванні цих методів використовують дві основні теореми: теорему

додавання і теорему множення ймовірностей.

2.2.1. Теорема додавання

Приймаючи до уваги поняття суми подій у § 2.1, теорему додавання можна

сформулювати так:

Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі

ймовірностей цих подій, тобто

Р{А + В) = Р(А) + Р(В). (2.10)

Доведення теореми проведемо для схеми випадків.

Припустимо, що при одному випробовуванні може з'явитися один із н єдино

можливих, попарно несумісних і рівноможливих випадків. Припустимо далі, що

з усіх цих випадків /и, сприяють появі події А, т

- події В, т

- події С

так далі.

Тоді

Р(А) = ^, Р(В) = ^, Р(С) = — . (2.11)

п п п

Очевидно, появі події F= А + В будуть сприяти т

+ т

випадків. Отже

P(F) = Р(А + В) =

—!

- = —

+ —,

п п п

звідки, із огляду формул (2.11), маємо

Р(А +В) = Р(А) + Р(В),

що і потрібно було довести.

Теорему додавання методом повної індукції можна довести і на випадок

довільної кількості попарно несумісних подій. У результаті матимемо

Р{ІЛ

) = ІР{А

). (2.12)

і=і і=і

Із теореми додавання випливають такі наслідки:

64 Розділ I

Наслідок 1. Сума ймовірностей п попарно несумісних подій, що утворюють

ну групу, дорівнює одиниці

Р(А, +Л

+... + А„) = І£Р(А

) = 1. (2.13)

/=і

Через те, що несумісні події A

..., А

утворюють повну групу, поява при

гіробовуванні хоча б однієї з них є подія достовірна, ймовірність якої

івнює одиниці

P{A^A

+...+A)^P{U) = \. _ (2.14)

Наслідок 2. Сума ймовірностей двох протилежних подій А і А дорівнює

ниці

Р{А) + Р(А) = 1. _ (2.15)

Згідно означення, поданого в §2.1 про те, що дві події А і А називаються

тилежними одна одній, якщо вони задовольняють двом умовам

A +

= U, AA=V.

Із цих умов видно, що події А і А , по-перше, складають повну групу і сума

: подією достовірною і, по-друге, що вони є несумісними. Отже, згідно

лідку 1, маємо

Р(А + А) = Р(А) + Р(А) = 1.

Із формули (2.15) випливає таке правило:

Ймовірність протилежної події А дорівнює доповненню до одиниці ймовірності

ої події А, тобто

Р{А) = \-Р(А), Р{А) = \-Р(А). (2.16)

Це правило доцільно застосовувати тоді, коли обчислення ймовірності даної

(ії А буде значно складнішим від обчислення ймовірності протилежної події А

впаки.

Доведена вище теорема додавання ймовірностей є вірною лише для несумісних

цй А, В, С, ... . Якщо ж ці події є сумісні, тоді ймовірність суми обчислюється

:акими формулами: для двох подій А і В -

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), (2.17)

і трьох подій А, В і С

P(A+B+Q = P(A) + Р(В) + P(Q-Р(АВ)-P(AQ-P(BQ + P(ABQ (2.18)

;агалі для п сумісних подій A

..., А

аналогічний вираз можна отримати

одом математичної індукції.

Елементи

теорії ймовірностей

Іриклад 1. Зі 100 лотерейних білетів можна виграти: на

білет - 100 гривень,

• 11

білети - 50 гривень, на 5 білетів - 25 гривень і на 10 білетів - 10 гривень,

іп,піти ймовірність виграти будь-яку суму, приймаючи участь у цій лотереї.

Розв

'язання.

Позначимо цю подію через

А.

Вона означає виграти або 100 (поді я А,)

їмк) 50 (подія А

) або 25 (подія А

) або 10 (подія AJ, тобто

А=А,+А

+А

Застосуємо теорему додавання ймовірностей для несумісних подій

р(А)=р(А

)+р(А

)

v результаті чого отримаємо

1 2 5 10 18

р(А) = + + + = .

100 100 100 100 100

2.2.2. Залежні та незалежні події. Теорема множення ймовірностей

Теорема множення ймовірностей дає відповідь на питання - як знайти

ймовірність того, що в результаті випробовування з'являться сумісно (одночасно

або послідовно одна за другою) дві або декілька з випадкових подій А, В, С,....

Розв'язок цієї задачі залежить від того, чи будуть залежними між собою,

наприклад, дві події А і В, ймовірність сумісної появи яких потрібно визначити,

чи не будуть. У зв'язку з цим подамо деякі означення.

Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність

появи однієї з них не впливає на ймовірність появи іншої. Дві події А і В

називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них змінюється в

залежності від того, відбулася при випробовуванні інша подія чи не відбулась.

Як відомо, значення ймовірності деякої події А цілком визначається певним

комплексом основних умов. Ймовірність Р(А), обчислену з врахуванням лише

цього комплексу умов, називають безумовною. Але тоді, коли доводиться

визначати ймовірність події А при наявності додаткової умови, яка полягає в

тому, що при випробовуванні відбулася також подія В, то ймовірність появи події А,

обчислену з врахуванням цієї додаткової умови, називають умовною і позначають

її символом Р(А/В).

Розглянемо приклади.

Приклад 2. На стіл кинуто два гральних кубики. Розглянемо такі події:

А - поява на верхній грані першого кубика парної кількості очок;

В - поява на верхній грані другого кубика непарної кількості очок.

Розділ II

У цьому прикладі ймовірність появи події А не залежить від того, відбулася

ця В чи ні. Отже події А і В є незалежні.

Приклад 3. У скриньці знаходиться 6 білих і 4 чорних кулі. З неї дві особи

ючасно виймають по одній кулі. Розглядаються такі події:

А - поява білої кулі у 1-ї особи,

В - поява білої кулі у 2-ї особи.

Ймовірність події А, обчислюється незалежно від того, відбулася подія В чи

дорівнює 6/10 ( безумовна ймовірність). Якщо ж стало відомо, що

і випробовуванні вже відбулася подія В, тоді ймовірність Р(А/В) дорівнює 5/9

мовна ймовірність). Звідси приходимо до висновку, що подія А

ежить від події В. Із таких же міркувань встановлюється залежність події В від

цї А.

Умову незалежності між подіями А і В можна записати у вигляді

Р(А/В) = Р(А) і Р(В/А) = Р(В), (2.19)

мову залежності відповідно так:

Р(А/В)

Р(А) і Р(В/А)

Р(В). (2.20)

Приклад 4. Підкидають один раз гральний кубик. Позначимо через А подію

ви на верхній його грані цифри 6, а через В - появу цифри, кратної трьом. Знайти

умовні та умовні ймовірності подій А

В і встановити їх залежність і незалежність.

Безумовні ймовірності дорівнюють

Р{А) = - Р{В) = \.

о о

Визначаємо умовну ймовірність Р(А/В). Якщо нам стало відомо, що відбулася

ця В, то це могло бути в двох випадках: з'явилася грань з цифрою 3 або 6. Із

: один випадок сприяє появі події А. Отже,

Р(АІВ) = і.

Аналогічно знаходимо

Р(В/А)= 1.

Як бачимо, в цьому прикладі умовні ймовірності не дорівнюють безумовним

му події А і В є залежними.

Розглянемо тепер теорему множення ймовірностей, яка формулюється так:

Теорема. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює ймовірності

шої події А, помноженій на умовну ймовірність другої події В, обчислену при

>ві,

що з'явилася перша подія А

Елементи

теорії ймовірностей 67

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А). (2.21)

Доведення проведемо для схеми випадків.

Нехай зі загальної кількості п рівноможливих та несумісних випадків події А

сприяють т випадків, із яких к сприяють появі події

В.

Тоді ймовірність події

буде

Р(А) = ~,

а умовна ймовірність події В (при умові, що подія А відбулася) дорівнює

Р(В/А) = —.

Добутку подій А і В будуть сприяти тільки ті випадки з т , які сприяють події

А, та події В, тобто к зі всіх п . Тоді ймовірність події А В буде

Р{АВ) = -.

Помножимо чисельник і знаменник даного співвідношення на т і отриманий

вираз запишемо так:

Р(АВ) = --- = --- = Р(А)-Р(ВІА),

п т пт

що і треба було довести.

Таким же чином теорема доводиться для випадку, коли першою відбувається

подія В, тобто

Р(АВ) = Р(В)Р(А/В). (2.22)

Із виразів (2.21) і (2.22) відповідно отримуємо співвідношення

Р(В/А) = Ш1, Р(А/В) = ^, (2.23)

Р(А) Р(В)

які називаються формулами умовних ймовірностей.

Із теореми множення ймовірностей випливають такі наслідки:

Наслідок І. Якщо подія А не залежить від події В, то і навпаки, подія В не

залежить від події А. Покажемо це.

Нехай подія А не залежить від події В, тобто

Р(А) = Р(А/В). (2.24)

Запишемо ймовірність добутку А В у вигляді

Розділ II

Р{АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В) Р{А/В),

, приймаючи до уваги рівність (2.24), матимемо

Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А).

Скоротивши дану рівність на Р{а)ф 0, одержимо

Р(В/А) = Р(В),

означає незалежність події В від події А.

Наслідок 2. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку

>вірностей цих подій

Р(АВ) = Р(А)Р(В). (2.25)

Цей вираз випливає з рівності (2.22) при умові (2.24) незалежності подій А і В.

Теорема множення ймовірностей узагальнюється і на довільну кількість

існих і залежних подій, а саме:

Теорема. Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку

вірностей цих подій, при цьому ймовірність кожної наступної за порядком

ії обчисляється при умові, що всі попередні події при випробовуванні відбулися

Р(А,А

... AJ = Р(Л,)Р(Л

/Л,) ... P{AJA

... AJ. (2.26)

Так само для ймовірності добутку декількох незалежних подій маємо

Р(,А

... А) = Р{А)Р(А

) ... Р{А). (2.27)

Розглянемо декілька прикладів, застосовуючи теорему множення ймовірностей.

Приклад 5. Маємо дві урни. У першій із них знаходиться 5 білих і 7 чорних

ь, а у другій - 6 білих і 3 чорних кулі. Із кожної урни одночасно виймають по

ій кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

Розв'язання. Позначимо через

А - появу білої кулі з першої урни,

В - появу білої кулі з другої урни.

Очевидно, що ці події є незалежними, тому що ймовірність Р(А) не залежить

того, з'явилася подія В, чи ні. Те ж саме є справедливим і для ймовірності

). Отже, для обчислення ймовірності Р(АВ) сумісної появи двох незалежних

,ій А і В використовуємо формулу (2.25).

Згідно даних задачі маємо

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = —

•

- = —

12 9 108

Елементи теорії ймовірностей 69

Цей же результат одержимо, якщо для обчислення ймовірності Р(Л) іас

11 н

v' м<>

метод безпосереднього обчислення ймовірностей за класичною формулою

Р = ~.

Для цього знаходимо кількість п всіх рівноможливих випадків випробоїіу IUMNM

і кількість т випадків, що сприяють сумісній появі подій А і В.

Через те,

ЩО

кожна куля

першої урни може з'являтися сумісно

КОЖ11 о

Ю К v

Ц-Н)

з другої урни, то п = 12-9 = 108. Так само кожна біла куля з першої урин мо-м-

з'являтися сумісно

КОЖНОЮ білою кулею з другої урни

тому т-Ь-5 .М)

< > І

'ІЧ\

Р(АВ) = і®

108

Приклад 6. В урні знаходяться 24 однакових кулі, пронумеровані носиїдошні

від

до 24 і ретельно перемішані. З неї навмання виймається одна куля. Іііпмачм

ймовірності того, що

а) номер кулі буде парним і кратним трьом;

б) номер кулі буде непарним і кратним трьом.

Розв'язання. Введемо для подій позначення:

А - поява кулі з парним номером,

В - поява кулі з номером, кратним трьом,

С- поява кулі з непарним номером.

Кількості випадків, які сприяють появі цих подій будуть 12, 8 і 12 відпошдііо

Очевидно, що події А і С є несумісні і для них Р(АС) = 0, тоді як події А і Н. .і

також В і С-сумісні. Знайдемо для них ймовірності Р(АВ) і Р{ВС).

Для цього обчислимо спочатку безумовні ймовірності

Р(А) = —, Р(В) = —

Р(С) = — ,

24 24 24'

а потім - умовні ймовірності

Р(В / А) = — , Р(В/С) = —

12 12

і, нарешті, за формулами (2.21) і (2.22) знаходимо ймовірності

Р(АВ) = Р(А)Р(В / А) = —

••—

= -

24 12 6'

Р(СВ) = Р(С)Р(В / С) = —

•

— = -

24 12 5

Розділ II

2.2.3. Формула повної ймовірності

; теорем додавання і множення ймовірностей можна одержати так звану

мулу повної й м о в і р н о с т і. Її отримаємо, розв'язавши таку задачу:

устимо, що деяка випадкова подія А може з'явитися лише сумісно з однією з

і Н

, //,, ..., Н

, які попарно несумісні і утворюють повну групу. Будемо

іати їх гіпотезами. Покажемо, що ймовірність події А дорівнює сумі добутків

ірностей кожної гіпотези на умовні ймовірності події А, обчислені в умовах

іпотезах.

огляду на те, що події Н

, Н

, •••,Н

утворюють повну групу і подія А може

гися лише сумісно з однією з них, маємо таку складну подію:

А = Н

А + Н

А + ... + Н

А. (2.28)

рім цього, згідно з умовою задачі, події Н.(і = \,к) є попарно несумісними,

і події Н

А, Н

А,..., Н

А будуть також несумісними. Застосовуючи до події

теорему додавання, одержимо

Р{А) = Р(Н

А) + Р{Н

А) + ... + Р(Н

А). (2.29)

ле згідно теореми множення ймовірностей матимемо

/>(#• А) = Р(Н)Р(А/Н) (і = u )• (2.30)

ідставляючи рівності (2.30) у формулу (2.29), остаточно отримаємо

Р(А) = ІР(Н

)Р(А/Н

). (2.31)

і=І

піввідношення (2.31) і називається формулою повної ймовірності,

риклад 7. Маємо три однакових на вигляд урни.. В першій із них знаходиться З

і 7 чорних, у другій - 5 білих і 3 чорних і в третій - 6 білих і 2 чорних кулі,

одиться випробовування, яке полягає в тому, що випадково вибирають одну з

урн і з неї виймають одну кулю. Знайти ймовірність появи білої кулі (події А),

озв'язання. Знаходимо спочатку ймовірності подій (гіпотез) Н

, Н

які

ають в тому, що вибрано або першу, або другу, або третю урну. Через те,

події попарно несумісні, рівноможливі і утворюють повну групу, маємо

Р{Н

) = Р(Н

) = ~,

ші обчислюємо умовні ймовірності Р(А/Н.) (/' = 1, 2, 3).

ідно умови задачі вони будуть такими:

Р(А/Н

) = ^~, Р{А!Н

) =

-, Р(А/Н

) = Ї

1U о о