Захаров Н.М., Кулик Н. А Сборник задач по теоретической механике для контрольных и расчетно-графических работ

Подождите немного. Документ загружается.

Тело ВC

F =

∑

: 0

′

−

+=;

′

(

)

mF =

∑



: 2 4 0 20 кН

QY Y

−

⋅+ ⋅= ⇒ = .

()

mF=

∑



: 2 4 0 20 кН

QY Y

′

⋅

+⋅=⇒ =− .

Тело CD

F =

∑

: 0

′

−

+=; 20 кН, т. к. 20 кН

DC CC

YY YY

′

===.

(

)

mF=

∑



860

MX F

⋅+ ⋅=

;

20 кН

−

F =

∑

XFX

′

−++ =; 0

′

= .

Значит 0

′

Тело АВ

′

;

20 кН

′

=−

F =

∑

cos 0

XF X

⋅α+ =; 20 кН

F =

∑

sin 0

YF Y

⋅α+=;

sin 25 0,6 20 5 кН

YF Y=− ⋅ α− =− ⋅ + = .

m =

∑

sin 1 cos 2 2 4 0

ABB

mF F Y X+⋅ α⋅+⋅ α⋅+⋅− ⋅=

;

15 кН.

m =−

Выполним проверку правильности полученных результатов, для чего

составим уравнение равновесия всей конструкции (рис. П.27)в целом в виде:

(

)

mF=

∑



⋅2 – Y

⋅1 + m

– Q⋅3 + M +

+ F

⋅4 + X

⋅6 + Y

⋅5 = 0;

20⋅2 – 5⋅1 – 15 – 40⋅3 + 40 +

+ 20⋅4 – 20⋅6 + 20⋅5 = 0;

0 = 0.

Рис. П. 27

Реакции внешних связей конструкции определены верно.

20 кН

X = 0

′

= 0

′

15 кН м

m =− ⋅ 20 кН

′

=− 0

′

5 кН

Y =

Пример 9

Определение реакции внешних связей

Конструкция, состоящая из 3-х балок, соединенных шарнирами B и

D, находится в равновесии под действием произвольной плоской системы

сил. На нее наложены внешние связи: в точке А – жесткая заделка; в точ-

ках С и Е – подвижные шарнирные опоры (рис. П.28).

Определить реакции внешних связей.

Рис. П.28

Дано:

= 12 кН;

= 20 кН;

M = 50 кН⋅м;

q = 2 кН/м

Решение

Упростим расчетную схему нагружения (рис. П.29, а, б, в).

Рис. П.29

Распределенная нагрузка действует на две балки BD и DE, являющиеся

абсолютно твердыми телами, поэтому заменим ее двумя равнодействующими:

и Q

, приложенными в середине участков распределения и равными:

24 8 кН

Qql=⋅ =⋅= ;

22 4 кН.

Qql

⋅=⋅=

в)

б)

а)

Заменим наложенные на составную балку связи их реакциями и дейст-

вие соединительных шарниров реакциями, рассоединив балку в шарнирах.

Максимальное число уравнений равновесия, которые можно соста-

вить для расчета каждой балки, находящейся под действием произвольной

плоской системы сил – 3, поэтому расчет начинаем с рассмотрения равно-

весия балки DE, где число неизвестных соответствует числу уравнений

равновесия.

Балка DE

()

mF=

∑



1 sin 60 2 cos30 4 0

QP R− ⋅ − ⋅ °⋅ + ⋅ °⋅ = ; 11,2 кН

R = .

F =

∑

cos 60 sin 30 0

XP R

′

−

−⋅ °− ⋅ °=; 15,6 кН

′

− .

F =

∑

sin 60 cos30 0

YQP R

′

−− −⋅ °+ ⋅ °=; 11,6 кН

′

=− ;

11,6 кН

′

==− ; 15,6 кН

′

=− .

Балка BD

∑

= 0: X

– X′

= 0; X′

= X

= –15,6 кН.

∑

= 0: –Y′

+ R

– Q

+ Y

= 0.

()

∑



= 0: R

⋅4 – Q

⋅6 + Y

⋅8 – M

= 0; R

= 47,8 кН; Y′

= 28,2 кН, т. к.

= Y′

= 28,2 кН; X

= X′

= –15,6 кН.

Балка АB

∑

= 0: X

+ X

= 0; X

= X

= 15,6 кН.

∑

= 0: Y

– P

+ Y

= 0; Y

= –16,2 кН.

(

)

mF =

∑



: m

– P

⋅4 + Y

⋅8 = 0; m

= – 177,6 кН⋅м.

Выполним проверку правильности решения задачи, для чего соста-

вим уравнения равновесия для всей конструкции в целом (рис. П.30).

Рис. П.30

F =

∑

1122

sin 60 cos30 0

AC E

YPRQQP R−+ − − −⋅ °+ ⋅ °=;

16,2 12 47,8 8 4 20 0,866 11,2 0,866 0; 0 0.−−+ −−− + =→=

Реакции опорных устройств найдены верно.

F =

∑

: sin30 0

XR−⋅ °=; 15,6 11,2 0,5 0; 0 0.

−

⋅=→=

(

)

∑



sin 60 cos30 0

AAC

YABPOBMm RBCQBN

QBLP BKR BE

−⋅ +⋅ − + + ⋅ −⋅ −

−⋅ −⋅ °⋅ + ⋅ °⋅ =

После подстановки всех заданных и найденных величин получаем: 0 = 0.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ С-8

В этой задаче рассматривается равновесие системы сочлененных тел.

Но сама эта система имеет конструктивные особенности. Отсюда – и спе-

циальные методы расчета.

Изучая описание ферм, необходимо выяснить особенности предло-

женной фермы: является ли она стержневой, или это – балочная ферма;

изменяемая она или неизменяемая; с лишними элементами или без них;

статически определимая или

статически неопределимая.

Усилия в стержнях фермы являются внутренними силами. Они зависят

от внешних нагрузок, к числу которых относятся и силы реакций внешних

опор, на которых установлена ферма. Эти силы являются неизвестными. По-

этому расчет фермы начинается с определений реакций внешних опор и

лишь после этого можно переходить к определению усилий

в стержнях.

Если пользоваться методом вырезания узлов, то не имеет значения, в

какой последовательности будут рассматриваться узлы. Но, так как для

плоской системы сходящихся сил можно составить только два независи-

мых уравнения равновесия, выбор очередного узла определяется этим ус-

ловием: в рассматриваемом узле должно быть не более двух стержней с

неизвестными

усилиями. Два варианта, определяющих возможную после-

довательность расчёта усилий в стержнях фермы, которая рассмотрена в

примере 10, показаны на рис. П.31 (а, б). Конечно, они не являются един-

ственными. В примере реализована часть варианта «a» (рис. П.31).

Выполняя расчёты, следует помнить о том, что метод вырезания уз-

лов даёт возможность определить усилия

во всех стержнях фермы. Однако,

постепенно накапливающиеся неточности и возможные ошибки приводят

к конце концов к недопустимо большим погрешностям. Поэтому графиче-

скую проверку правильности расчётов каждого узла необходимо произво-

дить сразу после аналитических выкладок.

Метод сквозных сечений в принципе лишен этого недостатка и в

этом его преимущество. Но с его помощью

не всегда и не во всех стержнях

можно определить усилия. Так, этим методом невозможно определить

усилие в стержне 11 (пример 10).

С учётом сказанного и следует производить выбор метода для опреде-

ления усилий во всех стержнях фермы (по 6 – 7 усилий каждым методом).

а) б)

Рис. П.31. Возможные варианты алгоритмов определения усилий в стержнях фермы

Пример 10

Произвести расчёт фермы

Дано:

(– 1, 2); F

(– 3, 1);

(2, 0).

Рис. П.32

III

Решение

Определяем реакции внешних опор А и В из уравнений равновесия

фермы в целом. При этом учитываем только внешние силы (заданные и

искомые), так как внутренние силы (усилия в стержнях) образуют уравно-

вешенную систему сил (рис. П.33).

Рис. П.33

F =

∑

: X

–

′

–

′

= 0 ⇒ X

= 2 кН;

m =

∑

′

·4 +

′′

·2 +

′

·6 +

′

·6 – F

·4 + Y

·12 = 0; Y

= – 2 кН.

F =

∑

: Y

′

+ Y

= 0 ⇒ Y

= –1 кН.

Проверка:

m =

∑

: –Y

·12 +

′

·4 –

′

·10 +

′

·6 –

′

·6 – F

·4 = 0;

–(–1)·12 + 1·4 – 2·10 + 3·6 – 1·6 – 2·4 = 0.

Реакции найдены верно:

34 – 34 = 0.

Определяем усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов.

Усилия в перерезанных стержнях направляем от рассматриваемого узла,

считая, что любой стержень работает на растяжение. Придерживаемся по-

следовательности, показанной на рис. П.31, а.

Узел А находится в равновесии под действием плоской системы схо-

дящихся сил (рис. П.34, а). Поэтому:

F =

∑

81 1

cos 0

XSS

+α=

F =

∑

sin 0

α=

(1)

Рис. П.34

По рис. П.32, а находим sinα

= 4 / 20 = 0,895; cosα

= 2 / 20 = 0,447.

Решая систему (1), получаем: S

= 1,12 кН; S

= –2,50 кН.

Производим графическую проверку правильности определения уси-

лий S

и S

. С этой целью выбираем масштаб для изображения сил и строим

силовой многоугольник из сил, сходящихся в данном узле (рис. П.34, б).

Так как силовой многоугольник получился замкнутым, то усилия S

и S

найдены верно.

Узел I (рис. П.35, а). На него девствуют силы

11 1

,FS S

′

−



Рис. П.35

Составляем уравнения равновесия узла:

F =

∑

1112 29 9

cos cos cos 0

SFS S

′

−

⋅α−+⋅α+⋅α=

F =

∑

1112 29 9

sin sin sin 0

SFS S

′

−

⋅α+ +⋅α−⋅α=

91 2

(sin sin cos 4 / 20 0,895α= α= α= = ;

912

cos cos sin 2 / 20 0,447).α= α= α= =

(2)

Решая систему (2) получаем: S

= 1,56 кН; S

= 0,894 кН.

Проводим графическую проверку правильности определения S

и S

Для этого в принятом ранее масштабе строим многоугольник сил,

сходящихся в узле I (рис. П.35, б). Силовой многоугольник получился

замкнутым. Следовательно, S

и S

найдены верно.

Узел VI (рис. П.36)

Рис. П.36

F =

∑

89 910 107 7

cos cos cos 0SS S S

′

−−⋅α+⋅α+⋅α=

F =

∑

9 9 10 10 7 7

sin sin sin 0SS S

⋅

α+ ⋅ α + ⋅ α=

10 10

sin 0,895; cos 0,447;

sin 2/20 0,447; cos 4/20 0,895;

sin 3/ 10 0,949; cos 1/ 10 0,316.

=α=

α= = α= =

(3)

Так как

′

= S

= 2,50 кН;

′

= S

=1,56 кН, то решение системы (3)

даёт: S

= – 1,79 кН; S

= – 0,636 кН. Знаки «–» указывает на то, что эти

стержни сжаты.

Рассматривая аналогичным образом следующий узел (узел V), нахо-

дим: S

= – 1,6 кН; S

= – 1,79 кН (стержни сжаты) и производим графиче-

скую проверку.

Для определения усилий в остальных стержнях воспользуемся методом

сквозных сечений. Проводим сечение по стержням 3.13.5 (см. рис. П.33).

Рассматриваем равновесие правой (отсечённой) части (рис. П.37). Дейст-

вием перерезанных стержней заменяем их усилиями. Для их определения

Рис. П.37

составляем такие уравнения

равновесия, чтобы в каждой

из них входило по одной не-

известной силе. Этого мож-

но добиться, составляя

уравнения моментов отно-

сительно точек, где пересе-

каются линии действия двух

неизвестных усилий (так

называемых точек Риттера).

Например, для определения S находим точку пересечения усилий S

и S

– узел IV. Для определения S

– узел III. Для определения S

(точка К)

составляем уравнения моментов относительно этих точек:

420; 1 кН

III B

mYS=− + ⋅ = =−

∑

33 3

240,

IV B

mShF Y=⋅−⋅+⋅=

∑

(4)

где h

– плечо силы S

относительно узла IV.

Из рис. П.33 видно, что стержни 3 и 13 перпендикулярны. Поэтому

равен длине стержня 13:

24 204,46 м.h =+==

Поэтому из уравнения (4) находим S

= 3,58 кН. Составляем сле-

дующее уравнение равновесия для определения S

m =

∑

13 3 3

460

ShF Y

⋅

−⋅+⋅=

(5)

Взаимное расположение точки К и узлов фермы определяем по рис. П.33.

В частности, КВ = 6 м, a h

равно расстоянию от точки К до узла III.

Так как стержень S

перпендикулярен S

, то

4 8 80 8,94 м.h =+==

Из уравнения (5) находим S

= – 0,447 кН (стержень сжат).

Проводим сечение по стержням 3, 12 и 6 (рис. П.33), чтобы найти

усилие S

(усилие S

и S

найдены ранее). Рассматриваем равновесие пра-

вой отсеченной части (рис. П.38). Имеем:

12 12

sin 3/ 10 0,949; 71,35;α= = α=

13 13

sin 4 / 20 0,894; 63,25.α= = α=

Линии действия усилий S

и S

параллельны, т. е. не имеют точки пере-

сечения, поэтому для определения S

со-

ставляем уравнение проекций на

ось Z, перпендикулярную этим усилиям

(ось Z направлена от узла IV к узлу III):

F =

∑

;

12 3 13 13

cos cos sin 0

SF Y⋅γ+⋅α+⋅α=

(6)

Угол γ между S

и осью Z:

12 13

180 45 .γ= °−α −α = °

Рис. П.38

Решая уравнение (6), получаем: S

= 1,27 кН.

Для определения неизвестного усилия составляем уравнение (рис. П.39):

Рис. П.39

∑

;

sin 4 4 0,

⋅

α⋅ + ⋅ =

где

sin 0,895.

Следовательно, S

= 2,24 кН.

Выполним графическую проверку правильности полученных результа-

тов, для чего построим силовой многоугольник для узла II (рис. П.40, а, б).

Рис. П.40

Усилие во всех стержнях определены. Результаты расчёта сводим в

таблицу.

2,0 –1,0 –2,0 1,12 0,894 3,58 2,24 1,0

–1,79 –1,79 –2,50 1,56 –0,632 –1,60 1,27 –0,447

Пример 11

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру

Рис. П.41

Невесомая конструкция в форме коленча-

того стержня ABCD с участками, парал-

лельными или перпендикулярными меж-

ду собой, нагружена произвольной про-

странственной системы сил. Выполнить

приведение данной системы сил к центру,

взятому в точке А (рис. П.41). В расчётах

принять, что q = 600 Н/м; m = 400 Нм;

AB = BC = CD = DE = 1 м; P

= P

= 400 Н;

лежит в плоскости OXY; Р

в плоско-

сти, параллельной OZY; α = 45º; β = 30˚.

а)

б)