Захаров Н.М., Кулик Н. А Сборник задач по теоретической механике для контрольных и расчетно-графических работ

Подождите немного. Документ загружается.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С-1, С-2, С-3

Эти задачи относятся к теме «Произвольная плоская система сил».

Для их решения необходимо твёрдое знание следующих вопросов:

проекция силы на ось (величина, знак);

алгебраический момент относительно точки и его свойства;

теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы;

алгебраический момент пары сил и его свойства;

распределённые нагрузки и их равнодействующие.

В задачах на равновесие несвободного твёрдого тела дополнительно

надо знать вопросы:

связи и их реакции, основные типы связей;

условия и уравнения равновесия произвольной плоской системы

сил, различные формы уравнений равновесия.

Пример 1

Приведение произвольной плоской системы сил к простейшему виду

Систему сил, действующих на брус AB (рис. П.1), привести к про-

стейшему виду.

45кНF = ;

8кНF

; 40кН мm

⋅ ; 5кН/мq

;

2 (sin 2/ 5;cos 1/ 5).tgα= α= α=

На рисунке линейные размеры указаны в метрах.

Рис. П.1

Решение

Примем в качестве центра приведения точку С (рис. П.2, а). Выберем

оси проекций X и Y. Проекция главного вектора исходной системы сил на

выбранные оси определяется:

cos 4 5 4кН.

xkx

RFF

∗

==α=⋅=

∑

sin 2 8 4 5 5 2 10кН.

yky

RFFF q

∗

= =− + α−⋅=−+ ⋅ −⋅=−

∑

Главный момент заданной системы сил относительно принятого цен-

тра приведения С:

(

)

4 26 84 40 526 68 кН м.

Cck

MmFFmq

∗

= = ⋅− −⋅⋅=⋅− −⋅⋅=− ⋅

∑



Полученный результат (с учётом знаков этих алгебраических вели-

чин, т. е. истинные направления главного вектора и главного момента) по-

казываем на рисунке (рис. П.2, б).

Так как

≠

, то полученная система сил

(

)

RM может быть

упрощена и заменена одной силой (т. е. исходная система сил имеет рав-

нодействующую). Чтобы получить её, представим главный момент

виде пары сил

(

)

, PP



, приняв

12 Y

PP R

∗



;

12 Y

PP R

∗





Приложим одну из сил пары (например,



) в точке С и направим её

противоположно силе

(рис. П.2, в). Другая сила этой пары пройдёт че-

рез некоторую точку D бруса, удалённую от этой точки С на расстояние

6,8 м.

hCD

== ==

Положение точки D найдём из условия совпадения направления

и момента пары

(

)

, PP



. То есть точка D располагается правее точки С

(см. рис. П.2, в). Далее, уравновешивающиеся силы



исключаем из

рассмотрения, а силу

переносим из точки С в точку D по линии ее дей-

ствия (рис. П.2, г). Наконец, сложив силы



, получаем равнодейст-

вующую силу



(4; –10) исходной системы сил.

222 2

( ) ( ) 4 ( 10) 116 10,8 H.

RR R R

∗

∗∗

== + = +− = =

Рис. П.2

Пример 2

Определение опорных реакций балки

Балка АВ, нагруженная произвольной плоской системой сил, удер-

живается в равновесии при помощи неподвижной шарнирной опоры А и

подвижной шарнирной опорой С (рис. П.3). Определить их реакции, если:

= 12 кН; F

= 10 кН; m = 4 кН⋅м; q = 6 кН/м; α = 30°. Линейные размеры

на рисунке даны в метрах.

)

Рис. П.3

Решение

Для определения реакций опор рассмотрим равновесие балки АВ. Ре-

акция



горизонтально-подвижной шарнирной опоры С направлена вер-

тикально (предположим вверх). Реакцию



неподвижной шарнирной

опоры А представим в виде двух составляющих



, направленных

горизонтально и вертикально (например, вправо и вверх). Мысленно заме-

ним опоры этими силами реакций и сделаем балку свободной (принцип

освобождаемости от связи). Равномерно распределённую нагрузку интен-

сивности q, равную 6 кН/м, заменим равнодействующей силой

36318 кН.Qq

⋅=⋅=

Линия действия силы Q



проходит через середину участка длинной

3 м, где эта нагрузка действует. Так получается расчётная схема несвобод-

ной балки (рис. П.4), находящейся в равновесии под действием произволь-

ной системы сил.

Рис. П.4

Выбрав оси проекций Х и Y, составляем и решаем уравнения равно-

весия балки:

1) 0

F =

∑

cos30 0

+=; 12 0,865 0

⋅=; 10,4 кН

X =− .

Знак «–» указывает на то, что эта составляющая силы реакции



на-

правлена в противоположную сторону, т. е. не вправо, как предполагали вна-

чале, а влево. Чтобы не исправлять решение, оставим без изменения выпол-

ненный ранее рисунок расчётной схемы балки, но будем иметь в виду, что

10,4 кН

X =−

F =

∑

sin 0

YF FRQ+⋅ α− + −=

;

12 0,5 10 18 0

YR+⋅ −+ −=

;

22 кН

(

)

mF=

∑



sin 4 6 5 10 11,5 0

FFmRQ⋅α⋅−⋅+ +⋅−⋅ =;

12 0,5 4 10 6 5 4 18 11,5 0

R⋅⋅−⋅+⋅+−⋅ =

;

24 60 20 10 207 0

−

++⋅− =

; 22,3 кН

R =

Возвращаясь ко второму уравнению равновесия, вычисляем Y

22,3 22

Y +=; 0,3 кН

− .

Истинное направление этой составляющей силы реакций



–

вертикально вниз. Полная реакция опоры А:

22 2 2

10, 4 0,3 10,5 кН.

AAA

Rxy=+= +=

Выполним проверку правильности решения задачи. Для этого соста-

вим ещё одно уравнение равновесия балки, причём такое, которое не ис-

пользовалось при определении сил реакций, например:

()

mF=

∑



13 sin 9 7 5 3 1,5 0.

YF FmRQ−⋅−⋅ α⋅+ ⋅+ − ⋅+⋅ =

Подставим в это уравнение заданные и найденные силы, получаем:

( 0,3) 13 12 0,5 9 10 7 5 4 22,3 3 18 1,5 0−− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ;

3,954702066,9270−++− +=; 117 117 0

−

+=; 0 0.=

Следовательно, неизвестные силы реакций опор определены верно.

10,4 кН, влево

X =



; 0,3 кН, вниз

Y =



; 22,3 кН, вверх.

R =



Пример 3

Определение опорных реакций балки

Брус, рассмотренный в примере 1, жёстко закреплён правым концом

(рис. П.5). Определить реакций этой связи и выполнить проверку правиль-

ности решения.

Дано:

= 45 кН ; F

= 8 кН;

m = 30 кН⋅м; q = 6 кН/м;

tgα = 2; (sinα =

;

cosα =

Рис. П.5

Решение

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Рассмотрим её рав-

новесие под действием заданной системы сил и искомых реакций жёсткой

заделки В. Эти реакции представим в виде неизвестной реактивной силы



(которую сразу разложим на две составляющие, параллельные произ-

вольно выбранным осям проекций Х и Y) и реактивного момента M

, вы-

брав его направление произвольно (например, против хода часовой стрелки).

Заменив жёсткую заделку В этими реакциями, получаем расчётную схему

балки в виде свободного твёрдого тела, находящегося в равновесии под

действием указанных сил и неизвестных сил (рис. П.6). Составляем и ре-

шаем уравнения равновесия балки.

Рис. П.6

1) 0

F =

∑

cos 0

FX⋅α+ =;

45 0

⋅

; 4 кН

X =−

F =

∑

sin 2 0

FF q Y−+⋅ α−⋅+ =

;

845 52 0

−

+−⋅+=

;

10 кН.

()

mF=

∑



11 sin 7 2 1 0

FF mq M⋅− α⋅−+⋅⋅+ =;

811 4 5 7 30 521 0

M⋅− ⋅ ⋅− +⋅⋅+ =

; 88 56 30 10 0

−

−++ =;

12 кН м.

−⋅

Знак «–» при M

указывает на то, что истинное направление реактивно-

го момента противоположно предварительно принятому: т. е. M

= 12 кН⋅м;

направление – по ходу часовой стрелки.

Чтобы не проводить всё решение заново, оставим принятые направ-

ления реакций жёсткой заделки В без изменения, но будем помнить о зна-

ках найденных реакций.

В заключение выполним проверку правильности решения задачи,

составим ещё одно уравнение равновесия. Например:

∑

sin 4 2 10 11 0

FmqYMα⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ + =

;

45 43052101011(12)0

⋅⋅−−⋅⋅+⋅+−=

; 32 30 100 110 12 0

−

−+−=; 0 0.

Полученное тождество свидетельствует о правильности решения задачи.

= 4 кН (влево); Y

= 10 кН (вверх); M

= 12 кН⋅м (по ходу часовой стрелки).

Пример 4

Определение опорных реакций рамы

Плоская рама находится в равновесии благодаря наложенной связи –

жесткой заделке в сечении А (рис. П.7). Определить реакции связи и

выполнить проверку правильности решения.

Дано:

= 24 кН; Р

= 12 3 кН;

= 3 кН/м; m = 18 кН⋅м;

а =

3 м; b = 3 м.

Рис. П.7

Решение

Для определения реакций жесткой заделки в точке А рассмотрим

равновесие рамы, находящейся под действием произвольной плоской сис-

темы сил. Заменим жесткую заделку искомыми реакциями: X

, Y

, m

а распределенную нагрузку – ее равнодействующей:

2 323 18 кН.Qq b=⋅=⋅⋅=

Получаем расчетную схему рамы в виде свободного твердого тела,

находящегося в равновесии под действием заданной произвольной пло-

ской системы сил и произвольной плоской системы сил реакций, заме-

няющих жесткую заделку А (рис. П.8).

Рис. П.8

Выбираем оси проекций Х и У, составляем уравнения равновесия тела:

1) 0

F =

∑

sin 60 0

XP P−⋅ °+ =.

2) 0

F =

∑

cos 60 0

YQP−+⋅ °=.

3) 0

m =

∑

cos 60 2 0.

mmQbP bPa−−⋅+ °⋅ −⋅=

Подставив значения заданных величин и решив уравнения, получаем:

= 0; Y

= 0; m

= 36 кН⋅м.

Для проверки составим еще одно уравнение равновесия, не исполь-

зованное при решении:

(

)

∑



22 sin6020

AA A

mX aYbmQbPaP a+⋅−⋅−+⋅+⋅−⋅ °⋅=

Подстановка полученных и заданных величин в это уравнение приводит

к тождеству 0 = 0. Следовательно, неизвестные силы реакций найдены верно.

Пример 5

Определение опорных реакций рамы

Плоская рама находится в равновесии под действием произвольной

плоской системы сил и закреплена неподвижно при помощи неподвижной

шарнирной опоры (точка А) и подвижной шарнирной опоры (точка В).

Приняв линейные размеры рамы непосредственно из рис. П.9, определить

реакции опор рамы и выполнить проверку правильности решения задачи.

Дано:

sinα = 0,8; cosα = 0,6; F

= 50 кН;

= 30 кН; q = 10 кН/м;

= 100 кН⋅м; m

= 60 кН⋅м;

= 40 кН⋅м.

Рис. П.9

Решение

Для определения реакций

связей рассмотрим равновесие

рамы. Чтобы получить расчет-

ную схему, отбросим связи и за-

меним их действие искомыми

силами реакций. Реакцию опоры

в точке А представим в виде двух

составляющих



, направ-

ленных параллельно произвольно

принимаемым осям проекций Х и

Y (рис. П.10).

Рис. П.10

Реакция



подвижной шарнирной опоры в точке В направлена пер-

пендикулярно опорной поверхности, т. е. вертикально (например, вверх).

Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q = 10 кН/м заменим

ее равнодействующей силой

440 кН.Qq

⋅=

Линия действия этой силы проходит через середину участка длиной

4 м, на который действует нагрузка.

Полученная расчетная схема представлена на рис. П.10.

Составляем и решаем уравнения равновесия произвольной плоской

системы сил, действующей на раму:

F =

∑

cos 0

XF F−⋅ α+ =

;

50 0,6 30 0

−

⋅+=

;

X =

()

mF=

∑



21 1 3 2

sin 3 6 10 4 0

mF Q mmR F−+⋅α⋅−⋅+−+ ⋅+⋅=;

80 50 0,8 3 40 6 100 40 10 30 4 0

R−+⋅ ⋅− ⋅+ − + ⋅+⋅=; 2 кН

R = .

()

mF=

∑



11 2132

610cos6sin74 20;

XY F F QmmmF−⋅−⋅+⋅α⋅−⋅α⋅+⋅−+−−⋅=

0 0 50 0,6 6 50 0,8 7 40 4 80 100 40 30 2 0

Y−− ⋅+ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅+ ⋅− + − − ⋅=;

2 кН

Y =− .

Выполним проверку правильности полученных результатов, соста-

вив еще одно уравнение равновесия рамы. Например:

F =

∑

sin 0

YF QR

−

⋅α−+ =; 2500,84020

−

+⋅ −+=; 00.=

Значит реакции опор рамы найдены верно.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С-4, С-5, С-6, С-7

Эти задачи – на равновесие системы сочлененных тел. В них впервые

ставится вопрос об определении внутренних сил, действующих между со-

ставными частями конструкции.

Следует иметь в виду, что внутренние силы есть во всех телах, во

всех системах, в любых конструкциях. Но они, подчиняясь принципу ра-

венства действия и противодействия, существуют всегда попарно

. Поэтому

в любом теле, в любой системе, в любой конструкции они между собой

уравновешиваются. По этой причине при рассмотрении равновесия тела,

системы или конструкции в целом эти внутренние силы не вводятся в

уравнения равновесия. Но их знание необходимо для создания прочных,

работоспособных конструкций, механизмов и т. п. Кроме того, без

опреде-

ления этих сил не всегда удается решить задачи о нахождении сил реакций

внешних связей методами теоретической механики.

Например, конструкция, показанная на рис. П.11, состоит из трех тел

(балок

АЕ, ЕК, КD), соединенных между собой шарнирами Е и К.

Рис. П.11

Для удержания ее в равновесии нужны внешние связи. В рассматри-

ваемой конструкции таковыми являются опорные стержни в точках

А, В, С

и неподвижная шарнирная опора D. Под действием внешних заданных на-

грузок в них (опорах) появляются неизвестные силы реакций общим числом 5