Захаров Н.М., Кулик Н. А Сборник задач по теоретической механике для контрольных и расчетно-графических работ

Подождите немного. Документ загружается.

101

В табл. К-10, а приведены либо закон движения самой пластинки

S = S(t) в некоторой неподвижной системе отсчета, либо уравнение враща-

тельного движения (1)

ϕ=ϕ ведущего звена механизма.

По пластинке перемещается точка

М. Её траектория – дуга окружности

радиуса

r = 0,3 м (или R = 0,6 м). Эти траектории показаны на рис. К-10, а.

Закон движения точки

М по указанной траектории задан в табл. К-10, б.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки

М в мо-

мент времени

, указанный в табл. К-10, б.

При выполнении расчетов принять размеры пластинки

= В

= 0,6 м; В

= В

= 0,8 м.

Таблица К-10, а

№условия

(предпоследняя цифра

варианта задания)

Уравнение вращательного движения

ведущего звена механизма.

(1)

=ϕ .

ϕ – рад,

– сек для схем 0, 1, 2, 5, 6, 8, 9

Закон движения

пластинки S = S(t )

(S – в м;

– в сек) для

схем 3, 4, 7

– 9

0,4(7 t – t

)

7 t – 3 t

0,2(t

– 3)

3 t – t

0,3t

– 0,8

5 t – 2 t

0,2 t

– 0,5 t

– 3

) 0,4(

–

)

8 t – 3 t

0,5t + 0,4 t

– 2t 0,2 t

– 1,1 t

– 3t

0,1t

+ 0,2t

– 1 0,1 t

+ 0,2t

0,4t

– 0,2t

Таблица К-10, б

Уравнения движения точки М по криволинейной траектории на пластинке.

(к задачам К-10, К-11, К-12)

№ условия(предпоследняя

цифра варианта задания)

()SAMft

∪

==, м (S – в м, t – в с)

, с

0,15 (cos 1)t

π−

1,5

0,3 (cos 2 0,5)t

π+

0,75

0,15 (sin 1,5)t

π−

0,75

0,15

(sin

t – 1)

2,0

0,3

sin

0,25

0,15

(cos

t – 1,5)

0,25

0,3

(sin

t – 0,5)

1,0

0,15

(cos

t + 1)

0,5

0,15

(cos

t + 0,5)

0,75

0,6

cos 2

0,75

102

Рис. К-10, б

103

Задача К-11

Сложное движение точки в плоскости рисунка

(переносное движение – вращательное)

Пластинка, расположенная в плоскости рисунка вращается в этой же

плоскости вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к ней и проходя-

щей либо через одну из вершин прямоугольника

, либо через его

геометрический центр

С (см. табл. К-11 и рис. К-10, а). По пластинке пе-

ремещается точка

М по криволинейной траектории в виде дуги окружно-

сти радиуса

R = 0,6 м или r = 0,3 м. (рис. К-10, а)

Положение точки на траектории определяется дуговой координатой

()

SAMft

∪

== (табл. К-10, б).

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки

в момент времени

t , указанный в табл. К-10, б.

В расчетах принять размеры прямоугольника

= В

= 0,6 м;

= В

= 0,8 м.

Таблица К-11

Параметры описывающие вращение пластины в плоскости рисунка

Предпоследняя цифра варианта

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ось вращения пла-

стинки проходит

через точку

Угловая скорость

пластинки ω (рад/с)

2 – 1 2 – 3 – 2

Угловое ускорение

пластинки ε (рад/с

)

и характеристика

вращательного

движения (ускоре-

ние, замедление) в

момент времени t

8 уск.

4 зам.

6 зам.

5 уск.

10 уск.

Закон вращательного

движения пластинки

()tϕ (рад)

23tt−

23t

−

2 t

−

22t

2( 3)t −

Примечание. При 0ω> вращение пластинки происходит против хода часовой стрелки.

Задача К-12

Сложное движение точки в пространстве

(переносное движение – вращательное)

Пластинка вращается вокруг неподвижной оси, расположенной в

ее плоскости и в плоскости рисунка. Эта ось либо горизонтальна,

либо вертикальна и проходит через две вершины прямоугольника

(см. рис. К-10, а, рис. К-12, табл. К-12).

104

На схемах рис. К-12 вектором

указано положительное направле-

ние вращения пластинки. Остальная информация о вращении пластинки

приведена в табл. К-12.

Рис. К-12

105

По пластинке перемещается точка М вдоль кривой, которая выпол-

нена в виде дуги окружности радиуса

R = 0,6м или r = 0,3м. Положение

точки

М на траектории определяется дуговой координатой ()

Mft

∪

(см. рис. К-10, а, табл. К-10, а).

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки

в момент

, указанный в табл. К-10, а, считая, что в этот момент времени

вращающаяся пластинка совпадает с плоскостью рисунка.

Таблица К-12

Параметры описывающие вращение пластинки B

Предпоследняя цифра варианта

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Угловая скорость

пластинки ω (рад/с)

3-2t – 4 3 2 – 5 4 – 3 6

Угловое ускорение

пластинки ε (рад/с

)

и характеристика

вращательного дви-

жения (ускорение, за-

медление)

10 уск.

6 зам.

5 уск.

16 зам.

4 уск.

Закон вращательного

движения пластинки

ϕ (рад)

2 – 3t

+ 2 3 – t

Задача К-13

Кинематика плоского механизма с двумя степенями свободы

Плоский дифференциальный зубчато-рычажный механизм состоит

из ступенчатого блока зубчатых колес (1), трех параллельных реек (2, 3 и 4)

и двух стержней 5 и 6 (рис. К-13). Последние соединены между собой шар-

ниром в точке

А и присоединены (тоже шарнирно) к зубчатым рейкам 2 и 3.

Блок зубчатых колес либо зажат между этими рейками (схемы 0, 3, 6, 9),

либо прижимается к ним при помощи дополнительной рейки 4 (в схемах 7 и 8 –

это гладкий стержень, несущей ось блока колес, а в остальных схемах –

тоже зубчатая рейка, входящая в зацепление с одним из колес).

Весь

механизм расположен (и движется) в плоскости рисунка. При

этом все рейки скользят поступательно в специальных неподвижных на-

правляющих; параллельно им движется и ось

С блока колес. Механизм

имеет две степени свободы, т. е. любые два звена его могут быть ведущи-

ми и им можно сообщать независимые между собой движения (кроме схем

0, 7, 8 и 9 в которых ось

С блока колес закреплена на рейке (4)).

В данный момент времени движение механизма определяется значе-

ниями кинематических параметров, указанных в табл. К-13, а положение

его звеньев – величинами углов

α и β (острый угол α образован осями рей-

ки (2) и стержня (5), а острый угол

β – осями рейки (3) и стержня (6)).

106

Рис. К-13

По заданным кинематическим характеристикам звеньев (точек) меха-

низма (табл. К-13) определить угловые скорости всех звеньев и скорости то-

чек

A, B, C, D, выделенных на кинематических схемах механизма. При вы-

полнении расчетов принять: радиусы зубчатых колес

r = 30 cм; R = 40 cм;

длины стержней (5) и (6)

AB = AD = 50 cм; sinα = cosβ = 0,8; sinβ = cosα = 0,6.

107

Таблица К-13

Предпоследняя цифра варианта задания

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

м/с

– 1,0 0,9

м/с

0,9 – 1,1

м/с

1,2 0,8

ω рад/с

30 40

ω рад/с

40 30 – 50 – 60

ω рад/с

– 50 60

V м/с

0,8 0,7 1,0

V м/с

– 1,2 1,0 0,8

Примечание. Значение 0

ω> , заданное в таблице, соответствует вращению

звена k против хода часовой стрелки.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ К-1 И К-2

Эти задачи относятся к теме «Кинематика точки» (координатный и

естественный способы задания движения точки).

Задача К1 решается с помощью формул, по которым определяется

скорость и ускорение точки при задании ее движения в системе координат

ОХY. Касательное ускорение в этом случае находится по формуле:

Va Vya

= .

Для получения уравнения траектории точки в виде (, ) 0

xy = необ-

ходимо исключить время из заданных уравнений движения ()

xt= ,

()

yyt= . В предлагаемых задачах это можно сделать с помощью известных

тригонометрических тождеств:

sin cos 1α+ α= ;

22 2 2

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin .α= α− α= α− = − α

Выполняя рисунок траектории, следует обратить внимание на то, что

не вся линия, описываемая уравнением (, ) 0

может быть траектори-

ей точки, т. к. функции синус и косинус любого аргумента ограничены

На рисунке траектории должны быть показаны положение точки и век-

торы ее скорости и ускорения (со всеми составляющими –

V ,

V и т. д.). Для

их изображения необходимо выбрать такие масштабы, чтобы полученный

рисунок не терял наглядность и содержал информацию о движении точки,

т. е. показывал истинную картину движения точки в этот момент времени.

108

Все искомые величины в задаче К-1 нужно определять только для

заданного момента времени

t .

При решении задачи К-2 (естественный способ задания движения

точки) наибольшую трудность может вызвать определение положения

точки на траектории в нужный момент времени и пути, пройденного точ-

кой к этому моменту. Поэтому нужно твердо знать исходные определения

и понятия:

− дуговая координата;

− пройденный путь;

− алгебраическая скорость точки;

а также – геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим их подробнее.

Так, если в момент времени

t , дуговая координата толчки равна

S ,

а для момента времени

t ее необходимо найти. На основании

алг

= ,

где ()SSt= – закон движения точки по траектории;

алг

– алгебраическая скорость точки, можно получить:

21 алг

SS Vdt

+⋅

∫

Здесь определенный интеграл представляет собой приращение S

∆

дуговой координаты за промежуток времени от

до

t и может быть вы-

числен с помощью заданного графика изменения скорости точки.

В отличии от дуговой координаты путь, пройденный точкой за этот

же промежуток времени

()tt t∆= − складывается из модулей тех прира-

щений дуговых координат, которые получаются при движении точки от

момента

t до момента первой ее остановки

1ост

t , затем – от первой оста-

новки до второй (в момент

2ост

) и т. д. и, наконец, от последней остановки

(перед

) до этого момента

1ост 2ост

11ост nост

алг алг алг

tt t

Vdt VdtK Vdt=⋅+⋅+⋅⋅

∫∫ ∫

Пусть, например, точка движется по прямолинейной траектории со-

гласно уравнению (

S – в м;

– в с)

5(1 cos ).S ОМ t==−π

109

Приняв начальное положение точки (при

) за начало отсчета дуго-

вых координат, определим, как будет изменяться путь, пройденный точкой.

Алгебраическая скорость точки:

алг

5sin

=π⋅ π

Моменты остановок

алг

(0)V

1ост

1t = c;

2ост

с, и т. д.

При

1ост

tt<

имеем

алг

0V >

, т. е. точка движется в положительную

сторону отсчета дуговых координат и 0

В этом случае и пройденный точкой путь ()St будет вычисляться по

той же формуле, что и дуговая координата ()

St точки.

При

1ост

0 tt≤≤ : () () 5(1 cos ).

tSt t==−π

В момент

1ост

1t = c;

10sS== м.

После первой остановки до момента второй остановки точка движется

в сторону уменьшения дуговых координат (её скорость отрицательна). Тем

не менее дуговая координата остается положительной, хотя и уменьшается

(например, при

1, 5t

c; 5S = м). Пройденный путь продолжает увеличи-

ваться. Понятно, что при

1, 5t = с он будет равен 15 м. Для получения ана-

литической зависимости пройденного пути к моменту первой и второй ос-

тановки, т. е. при

1ост 2ост

1 2 сt с tt=≤≤ = лучше воспользоваться нижепри-

веденным рисунком. Остановки точки с последующим изменением направ-

ления движения происходят в положениях

, периодически повто-

ряясь через 1 c.

T =

Путь s(t), пройденный к моменту

01 1 01 10 0

01 0

( )

2 2 10 ( ) 20 5(1 cos ) 15 5cos

st MM MM MM MM MM

MMM St t t

+= + −=

=⋅ − =⋅ − = − − π= + π

110

Следует помнить о том, что эта формула «работает» только на про-

межутке времени от первой до второй остановки точки.

Если нужно получить аналитическое выражение для пройденного пути

за промежуток времени от 0 до

, где

2ост 3ост

ttt

≤

, то снова получаем:

20 ( ) 20 5(1 cos ) 25 5cos .SOM MOOM St t t=++=+=+−π=−π

Итак, дуговая координата изменяется по закону:

() 5(1 cos )St t

−π,

справедливому при всех t , а пройденный точкой путь вычисляется по раз-

личным формулам в зависимости от принадлежности момента времени

тому или иному временному отрезку между остановками точки.

Пример 1

Движение точки М происходит согласно уравнениям (х, у, – в м, t – в с):

4sin(2 ); 2 4cos(2 ).

ty t=π=− π

Определить траекторию точки, проанализировать ее движение по

траектории и определить скорость и ускорение в моменты времени

0, 0,5 ctt== и

1, 25 c.t =

Решение

1. Чтобы определить уравнение траектории точки, исключим время

t из заданных уравнений движения. В данном случае это можно сделать,

воспользовавшись основными тригонометрическим тождеством:

cos sin 1

+α=

Из заданных уравнений движения получаем:

sin(2 )

tπ= ;

cos(2 )

−

π= .

Поэтому

xy−

⎛⎞ ⎛ ⎞

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝ ⎠

. (1)

Это – уравнение окружности радиусом R = 4 м с центром О

, нахо-

дящимся в точке с координатами (0, + 2). Так как sin(2 ) и cos(2 )ttππ –