Вулис Л.А., Кашкаров В.П. Теория струй вязкой жидкости

Подождите немного. Документ загружается.

PDзУлЬтAтЬl PЕIIIDIIия tгл,3

гдe

Сl:

С,b". f|ocтoянпая

С1 oпpeдeляeтся

пoлIlьIм пoтoliol'

I\4o}rеrrтa

ко''tllчeствa

дBIrн{eнI{я

oTнoсIlтeЛьнo

oсI{ сиlllмeTрии стрyII

uepез

пoлyсфеpу

пpоизвoлЬЕoгo

радиyса

цeEтрolv1

цcтoчIlикe

стpуIt:

С кaчeствeптIofi

cтopoны

l{аpтIlнa

линиii

тoriа

I'tзoтeрм'

oтвe-

:::--T::..i:,

y1"ч

o}t-y

peшеIrию'

обладaeт

тeми

лie

xap"к'"pп".ми

свoиствaмll

(с-oлЬнoй))

стpyл

(пpи

сooтвeтстByloщс}t

зпачen,,t

па-

*"*j.p'1.

,:дu:'),

.rтo

рaссмoтрelrlroii

rioдpoбнo

задаrе

Jl.

д.

Jlавдаy.

UамеTItм'

чтo

пoлyчeЕнoe

pешcшlte

дttнамllпесliofi зада.

tlпttв

частЕoстII'

сBoбoдЕo

oт

Еeдoстaткa,

пprlс}'щсгo

рабoтe

Г. Сквай.

pа

l-',,|.

пoслeднeЙ

прIt

lloстрoeЕии

ливпй

тoкa

прпхoдIlтсЯ

при-

Eять'

чTo

oнu

псxoдят

из

фuктпвныx

llсТoчЕиrioB'

яttoбы

pасцoлo.

lrteнEых

oсII сIlммeтрItIt

струш.

Автoр pабoты

[l7ll

yкЪ,ъluu"',

чтo

Taliпe

пстoчнIrки

вepeaлЬЕьI,

нo

ввeдeElte

rlх

llаJto

uскa;кaeT

теIreЕиe

стp\.е.

этoй

зфяе,

l.аIt

я(e

I{аIt

l]o

всeх pаcсмoтpeпIrых

pаl{ее'

peIIIeEIe

тeпJoвoii

задatlи

пахoдилoсь

пpeдпoЛo)IieниIr

o пo.дoбпп

:!1.".":u'n"

услoвlrii

дЛя

сI{oрoсTIl

тeмпeратyры.

oтлцчlre

oт

атoгo

вeepнaя

стpyя

пoзвoляeT

исслeдoвaть

тeплoвyro

зaдaчy

дЛя

слyчая

тeмпeрaTypпoй

асиммeтрIII

граIIичIiых

услЬвий

и,

с,едо-

вательЕo'

oтcyтсTвия

пoдoбия

IpaEItчEых

yслoвиii

для

сI{opoсTIl

п Teм]Iepa?ypьI.

Пpпмeм,

чтo

значeнuя

тeмцeратyры

пеI]oз}lyщeЕEoй

iкидlioсти

D Eи,тiЕe}I

п вepхIleм

пoЛyпpoсTрaЕствe

пo

oбe

стopollьI

o.r'пJtoс.

I(oстI|D

сll}'мeтрIlи

вeeрRoй

струд

- pазличнш'

Пyсть.

папримеp,

пРп

1(*

(D:1тeмпeрaтypа

Tl,

a пp;fi*oo

(':

-l

сooтBеTстIleвнo

T2.

B этoм

слyваeдля pешeнuя

тeплoвoй

l|il,I(ачlI'

IlсПo"rlЬ3yЯ

тe,кe peзyльTаты

peIIIeвия

дIIEамичeскoй 3аДа.

iIll'

сЛ('t},ll1'

ltilir]\tсIl ypаDIlctIия

(1.29)

oбpатитu.'

n o."ouoo'y

уpiu-

Il'|| |l ll

|ljlсIlJl|х.'|,;lаllt'lIlя тeпла

(1.5).

..-.-Il:r

l|lrt:tll.lсl.l;lrх,сoo6pаlrteвur-r,

пoдo6нo

тoмy

как

это было

сдe.

J|l|||il

ll]ll|i)'|.|' l0ll.

ПoЛo)liltм

з.3]

вEЕPнAя

зAI{PУчDтItlАя

стPУя

1,i.'

1о1,

(3.25)

,(ля

peшeппя теплoBofi

задачIl

IIplt

услoBIlII'

чTo

зцaчецltя

тeмпepaтyры

B вrplЕerД

ЕIlаiEeм пoлyпросТpавсTлах

oдIlПаriовы'

Boспoльзyeмся

I}Iloвь

уpавEеIlllcм

(1.30).

Пoслe

пpостых

пpeoбpа

зoла нlr

noЛучlt]tt

т, (со)

B(1

o1tа-rlг.

[Еi

+.),],

(3.26)

3нaчeнlre

пoстoянной

I{Етегpиpoвания

B oпpeдeлится,

тtаIr

pаЕee|

п3

иЕтeгpaльнoгo

yслoвIIя

сoхpaЕeЕIrя

пoтoкa пзбытoчнo.

Io тeплoсoдepнiaЕия

2л},

\(1

-Pr

l')т1tla.

ortoн.rатeльIrше

BьIpa}I{eЕпя

B сфepичeских

ItoopдпEаTaх

для

t{oмIloПeriт

cкopoсTll'

дaвЛеЕIIя

и тeiшepaтуры

имeЮт

вид

,":

-+{, -,

\3.27)

(3.28)

(3.2e)

^,"b_11-сoso

с..s0)b

_.o-

ь-|1-.ъ;тl=Г

й;;flI

||lll|^|l.\|.

l|,|lI

| |

l l

i I

J||r}бl'ii '|l)tllil.

1l'||(.||t|'I'

(lo3даltlloгo

Ill'|.||l|llIl l|||\i'lI

||i

i l

| | | l

| | i

(

IIl!

ltil|ll|(.||1.

l),I

l)ilс(l.I.()ЛlIll,I

дo

llотoч-

lrtlr.ll

.'''tt'l'rl

l]|llltr.

\l'.Ill|ll!ll'

l l

I l

l t

l I l

lIl)t|||(|.l(It].

aBтoм1;дl]ль.

lIlItl\

| | l |

l l i I

l I

tl1ltl

trtl6;llrttltt,tt

I,lli|lil!ll||l'|х

услoвItях

для

тeм-

l||.||ll|\|l|.|,

r r r l

t l r r

t t r t r.

1|i.l,l!))

1рашlrсl,,'u

(1.51

,"p.oi."'"'

tПlП,

l Ь-L l .]

l_сos0|,

, ь-r--tt1сos0f I

2.0:

Д sirl 0

ll'-o6at

ь-l-:

(ll сosU)"J

"':#{nт#"

tD+1

(b-t)(1

]

сos0f,l1'

сos 0),,

li l,|

l:t

|lт

,to

аo1-

.tg

(3.30)

lltrryрr

псро:tlctlllylo

сos

0 и

пoдстaзляя

внaчeЕиe

?0'

пo.

Jlуt!|ln'

/Ul,l

т (со)

oбьtкновсrIнoe

лrtвerlпoe

диффepeпциaльнoе

ypaв.

'|(.IlIl(!

ltTopoгo

пopядкa

[

(1 -

o,) т, (со)

(сl) t,

(сo)

(3.31)

PЕ3УлЬTAтьI

PЕIпEEия

с IраЕItчньrмш

yслoвIrяrДIt:

t:1

при .:+1'l

т:0 цpи 0):_1.

з.{]

IIЕPЕxoд

пoгPAIlичIloмУ слoю

запиIIIeм

ol(oЕчаTeльEoe

выpa)кeпиe

для

тe}tпepaтypы

tгл.3

(3.34)

Заt'reвяя

ypавнeнпи (3.31)

фуЕкцIiю lr

(o)

вepeз

функuпю

(оl),

т.Г,

TгТа

3aимствуя Bыpa)I{eEиe

для

фyнкции

.lr

(o)

из

paбoты

Г. Cквaй.

pа

[l?l

г(

Х|\

L-i

-|,0

-ai

-q6

-0j -0}

ц4

P}rс.

3.t3. lll|oфи.rlr тcllпоратуIlь| п вecpпoй стрye.

b:41

?.:0,5;

0,?5; r.

Pr:

t,0;

:2,0.

связaЕЦylo

l,(tо)

пoоpeдствoll

сooтEolшrПпя

(1'27),

пoлyнпм

d ln

[(l--!D,)

т,l

_2Pr,

(3.33)

dlLI

Ивтeгplrpуя

два)Itды

п пспoлЬзyя гpaпI{чныe

yслoвпя (3.32),

найдeм

)

ffi

Фв)Pl+l

[(ffi),,

(l=*)-,,,],''

Ф,)P.

[(i_;

l),-

(+;:)-.,,],..

]

(3.35)

Cooтвeтствующee

paспpeдeлeниe

тeмIIepаTурьI

для

ЕeскoЛьI(цх

зЕa.

чeпий

sисла Pr пoкaаавo нa

pис.

3.13.

3.4.

Пepехoд

цoгpаrrпчIlolty

cлоro

Прrr аналlrзс пoлучeEEых вышe

peшeний

нeoдЕoкpатнo

paс.

смаTpItвaл1lcь

3ariotloмеpцoсTlt Teчe}IlIя' oтвечающ8e

oдЕoй ш3 пpe.

дeЛь}tых

oбластеii -

(спльltымi)

стpyям'

Пoкаrкeм тeпeрь

па пpп.

мeрc oсяoвнoii задaви Л.

Лапдаy oб

oсeсиммeтpиuцoй

стpyе.иc-

ToчЕIlкe'

чтo сooтEoIпеEия' IloЛyченныe

в пpeдeльнoм

пepеxoдe

(при

oo)'

пpeoбpазyют нaйдeнныe в oбщeм

слyчaе

peIIIeEия

peпIeЕия

тoй rкe зaдaяи B

paмIiax

тeoриIr

пoгpаЕичногo олoя.

Ta-

кoй

peзуjlьтаT'

eстeствeEнo,

вr

явЛяeтся

нeo'+iидaнEьIlll

oдпaкo

пpeдстaв']Iяeт

пзвeстEый llнтepeс, пoскoльку пotiазыBаeт'

част-

Еостlt' чтo

pеIпeпия

уpaвнeний

Hавье -

Cтoкса

сoдep;кaт

в себo

ряд РeшeEии'

пoЛyseEEых

EeзaBпсIlмo B

pазличIloо

Bpeмя.

Удoбства

pадп

oбpатпмcя к сиcTcмe

ypaвнeпий (3.1),

зaппсан

tIьIх B

цплпIrдplrчeских

кoopдItвaтaх. B этofi сисTeмe

IioмIIoIIeЕтьr

сl{op0стll,

давЛeЕцe

тenшepатypа

вa

oси

сTpyи 8aBIIсят

oT кoop.

J(llЦаты

с Ir пapaмeтpа l, oднoзва.tнo связaIIEoгo

с чпслoм Peй.

tIoJIьдса' oтнoсlIтeльвыe пpoфlrлrr кo}rпoпеЕт

с}ioрoсТI!'

даI]jIeяия

Tс}lпсрaтyрr'I B Iloпepeчltьlх сeчclllt,Iх сl,pУII

l] с]toЮ ot[epcдь

зa.

Ill|()l1'

l)'t бо:rрaзмeрrrой

Itоol)дll}Iа'l'Ьl

r/;rl tt паpа:vтeтрa

/-.

,I|,ля

ll1lrш|lIl.rr'ii

'l1.tt!toPil'l'\,J)ьt

ttltс..lо

Iliil)i|]ttс1.l)()ll I|х0llIt.[

таIi7lic чПсЛo

| |

1rir

r r,'Ir. r

ll.

}'с't.1tt'lttIllt Iti) Il(.(lt

\'l)il||lI(|tIlt'lх

{'lI(],гt|i{li

(3.1)

пoслeдoвaтeль-

Ilo чItс.'lo ,1, rt сl(ttttlll(с

('trtс.ltlt

Re.'ос). l |рtrдваpительнo oбpатитrr-

ся

}'pавrlоttlItrl

(.J.1())'

сllлзьIвaItlщo}'y It}lпуJlьс

стpyп ./' c паpа-

}!eтpo}I ,:

16лр!2

r, .

4L2 l

t+Ll

J*..

_т-

щ1-

1.!)

- .r

1-тI,

[Ipu l..+

1("r'..* oo)

6yдoм rIмeть

L:L+,

d2:

.").'[(l;+),.

...'Ц)',],

(3.36)

*"'_т#1,

+.7fi,'l-"у}

Цoдстaвrrrt

сIoДа

зIraчeнlte

(

'a'\2

'_ 2

_lr_

_i I

й.,=.

L 1'.

r.,т тl

l+zr't

\. ztJ)

IIJIц

*."=/t

\ir

1,,",1r

__r

4'.!

]v...\.

r/\.

r,'

/L,

-г(т

l 1т]'

ll']II

Eаlioноц'

*,'=#

Г+Е

(3.37)

trf.rl

l3спorruвая,

o'o

::,iI"-

61r,tрv:

fr'

Il вЛoдяr

oбo:rцачсrtrre

,::{#,

пoJIучи1I

oкoнчaтeльEo

зJ-

,) ry

_____a

ьтP.J x

+Еq,J

3aппшeм таrtll{e'

oпyсI(ая

аЕаЛoгllчнInc

пpeoбpaзoваrrпя'

pыe paвeЕсTBа

сrrстeмьr

(3.1)

пpeoбpазoваннoй

виде:

{1,

Пpп

вьrвoдe пoслeдЕeгo

выp

fieЕия

для

тeмпeратypы

былo

IrспoJlьзoвaнo

пpeдeльEoe выpая(eнIle

для

кoпстаЦтьI

B пз

фoрмy-

лы

(2.|2\

:]Pr+l

.)-Pl-з

-,lPr

oбсyдим кратI{o

пoлучсttllьre

резуJIьтаTьI.

Пpeдставrrм

npc,Iiдe I]сeгo

пpофшлrr lioмпoнeltт

скopoстиr

даBлeнrtя

тeirпepатypы пpп

выбpaнпых пpeдeЛьEых

yслoвиях

eдrtнooбpaзвo

в видe

,'*"

v')

_т7-

l] .\.

'U+sc'/

l.дс

BеЛIrчltны

u* п T^-1'-:

A?-,

пprrrIятыe зa мaсштабы

скo-

poстx

и тeмпepатypы'

paBвы

сooтBетстBeЕЕo

62 PЕзУлЬтAтЬI

PЕIIIЕнIIя

пЕPЕхo.ц

пoгРAничIloмУ слoю

f-;--

-Ф

- 3:]пP!2

}

8пp

^j\"

\,-г

Y,/

P-P-

8v2

1-Бq,

Ф,

-l

.,'

\t+sc'/

JI-

r /зL Ф

:-_1

1, _j_

/lт',т j,

n",

.-iq.).

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(З.44)

Бeзразмeрный

Ilаpaмeтp

rr'

oчeBидIlo'

oбpaтпo

пpoпopциoпaлeв

sпслy

Re.

Испoльзуя yравEeЕиe

(3.36),

зaпишeм

УpавEeпиЯ

сшстeмы

(3.1)

впдe'

oтBeчающeм

IIpeдeJIьЕoмy

пepexoдy

l,..+

(Re

o").

Bсeх Bыpa7lieЕиях

oгpaEцч!мся

чJIeцaмII

втopoгo

пoрядкa

}rалoст}I

пo BeЛпчцEаI{

с п т1.

8aмeтим,

sтo

рeчь

идeт

oб

oдпoм,

a нe

дByх

нeзаBIIcItмых

oгpaЕичeЕиях'

пoскoлькy

из

сooбpa;кeнпii

pазмep-

нoстJ{

дЛя

(сnлЬЕoйD

стрyи

seличиsы

т|

oдцoгo

IIopядItа.

rlpиaeдeм

для

вaглядЕoсTи

пoдpoбEoe

пpeoбpазoванпe

выpа,*ie-

Eпя

ДJIя

oднoй

пз

кolllloвeЕт

скoрoстIt

r,lt.

oбщeм

сл5rтae

[Iл. з

(3.38)

(3.39)

oстаЛь-

(3.40),

l-: L-

-т:

.у'

1l'

't'

".^:#+,

'.'

. tt.

,, 1

I' I I r::P'

t'tтq,J

,'-|'/

3"1г

1e\1*тv./

',-тV

Е'р;G;.if

(:Pr

lf.Й:--

,,'

ё,[Pvср

(3.45)

PEзУльTАTьI

PEmЕIIия

Как

виднo

Ilз пpивeдeЕEых

фoр-yл,

в <сильнoйl

сTpye

IIoпe.

peчЕыe

пpoфцлц

кoмIloЕeЕт

окoрoсти

тeмпepaтypьI

yниBepсалЬ-

вьr

(пpи

oтнeсeнии

каiкдoй вeличиEьI к свoeмy мaспrтaбу

максIl.

!,raльЕoмy

знатeнию). I(oмпoнeцты

скopoстIr 1)х И DЬ

a тaк?кe и3.

бытoчцая тeмпepaтypа Z- 7-

убывают

pасcтoяЕиeм

пo зaкoнy

1/r, тorдa К&К 2*

,-,

1/z2. Пoэтoмy

oтIloситeЛьпая вeличицa

(крут-

кlп>

uJu"

убывает

пo вaкoау 7/r.

Чтo касaeтся

дaвлeЕия'

To в сдeЛанEoм пpиближeнии

Рn_ P.,.-

7/az

"I,

избьrтolнoe

дaBЛeпиr

нa oси стpyи

слeдoвaтeльнo, и

в любoй тovкe)

pастeт

пpoпopцIloналЬEo

импyлЬсу отpyи.

oтнo.

S.1t I

пЕ

PЕхo,ц

пoгPAн,tчIlofrIУ

слolo

для

с.'lУчая

(сЛaбoйD

сTpyи.

ПoсЛeдEeмy' кaк

yltа3ывaЛoсь paпee'

oтBeчaeт

зEaчeEIle иlfпyлЬсa

стpyr

"r':16лp\'2l,

т' e.

мaлъre пllсла

Pейнoльпсa

кe:

_1.

-.ь

lrь.

уfi V

Pу.

oпуокaя

дeTалIr

пpеoбpaзoвaнПй,

выпlltrIеItI

I{oЕeчIiыe

peзультaты:

tгЛ.3

aидllo

ypавнeнпй

2+n2

-------:

-r=,-

2(L

t)1,

"-=1,,.

D'^

2(t+n')"

Зg'

zl",n

2cJ*

*l,).Д'

wхm-

4fiP\

Q /

\-'P'

aлГ

\Т6,lp1',

сIIтeлЬЕaя вeличIIEa

1p,t2*12),,,

(3.44), oказывaeтся вeлпчипoii

пoрядка с24( 1.

Пoэтoмy

рaс-

смaTриBaeмoм пpпблиrпeниrr

IIoлe TeчeEия мolцнo

cчитать

изoба-

pичrсним.

.JамeTим

тaкя{e' чТo

из oдипакoвoсTl{

пopяДI(а

вeЛичI{tl o

слel(yeт oгpаЕичeЕЕость

эффeктпвнoй oблaсти Tcчeния'

занятoй стpyeй' кoЕyсo}f сpaвEIlтeJIьЕo

itaлoгo

yглa

pаствopa

lr \

(-: lgс.o

сtoryсlJ.

Лpu ,,o", n,o

,,o,,n"o

дЛя

(сItЛьtlotiD

с,l.т|yи,

oТltоI||P|lиe кoм-

пoEeET

сIiopoсTII u,'/u,6удeт

}rаJIoji llt'"'lUчItlI|)ii лорядкa п

1/Re.

Aвалогrlчпo

атo}r}, oTllоЛtclllie ]iо}tцotlеtlT

1'o/ а..* r'аrr;ыe бyдст малoй

вeЛIlчutloii

поpядrrа

с-tl1./э., ПoсIiojlЬllу

речЬ

ltдeт o слaбoii

(крyTкe).

Этlr

tia.rсствcIrпьrе

Рcзy"!ЬTаTЬI

для

<сrtльпoii>

cтрУи

oгpаEи-

чeцнoсTь

oб.tlастlr

пoзпtyщения,

пронeбpellicЕlle Пoлeм

даBлeния'

мa.1oс.r.ь

pа/IIlаЛЬнoii

Ito]rtПortсltтьI

скоpoстll пo срaвIIe}IиIo с oсe-

вoU,

рcarioe

II3}IelleЦlIс

сIiор6сT]| ]l']..

,ц.

пoIIеpеIi сTруlI

пo сраBнeIlцIo

с пзмeнеlllleм Bдo'rIь сTpyll п

I)еltс.i.аBЛяIoT

Iiali II3вeсTПo' хapaн.

TеpEЬIе

IIрilзЕa}iI{

ТсЧ0llIIЯ B Itогpit Il lI

lll{oII

сJlo(]'

Бoлee тoгo, въIpаiliell]{я (3.40)-(3.zr5)'

пp]!BeдeнEъlе

BI,lцle' B

тoчIIoоTlt сoBпaдaют с

peзультаTaм]l

Ilpямoгo

pеlпениЯ

зaдачI{

расIIрoстpаЕesиtt

oсeсиммeТp[iгIнoii заl;р1вeнпoii лаlтиварноii стpуtt.

IlстoчEIIка'

IloлyчеIiЕoгo

Л. I.. Лoiiцявскцм

[rзr]

ПyTeм IlEтег-

pпpoBaIIIrя

ypaBнelrlrfi

пolpaЕичIioгo

слoя

(см.

яaсть Il)'

Пptrвсдeнный здeсь прeдeльIiыi.l

пepeхoд

(.L

1) oтвеuаeт

пep-

Bol{y' а]}тoмoДrЛьвoмy

пpиближeIIию B

peпieнии

задaни Л.

,{.

Лан.

дay.

Ilo.ryveнный в итoге

pеtyльтaT

пpeдстaвляеT собoй

пep-

вoe'

al]ToмoдeльЕoe

pelпeнпe

зада.Irt

oб oсес It lrltетри вu o ii сTpуe-

исToчIlItкe a

рамкаx

тeoplll{ пoгpаIlllчПoгo сjloя. Естcственrro,

uтo

пepeхoд Ii

l-1,

сдeлaнвый

для

втopoгo lт т.

д'

пprrближeния

рeIпeIIIlп

зaдаurr Лaндay,

дал

бы

соoтвeтстBеllllо

Bтopoe 11 т.

д.

пpиблиlreние

и в Teopии пoIpаIIичнoгo сJIoя.

Пpивeдeм

ддя

сpaвEeпия B тoм }I{e пepвoм пpи6лижreвип

фop.

мyлы,

пoЛyчaющиеся

дpyгим

пpeдeльEьI}I пepeхoдo}r

0)'

8flo!2 1

-i-

Jх

1,)1'

ai\

J-

Д/

Кal.;

впднo пз

этих

фopму;ll

в oтЛиqиe

(сильЕoйD

стpylt'

<слабоiil

сTpуe

кoмпoEeETьI

cкopoстц

Dx и ,r явЛяютоя

вeлItчиIla-

lvtll

oдIloго

пopядкa.

Чтo кaсaeтся

дaBJreEIIяl

^p/(pii/2)*

lo-

pядкa Rez; IlllaЧe

говoря' пepeцад

давлeEIIя

игpaеT

замeTЕyю

poЛь

двIl'rieЕпII

}кидкoсTtr

IIo сpaвEeцию

сo скopocтньl}f

дaвлeliиeм

a""/2.

Tакlllr oбpазoм,

двl.t?l{еEиe

вязкoй нirlдкoстIl

прeдeлЬЕoll слy-

.lao

<слабoй>

стpyII скopce

пaЦoмI!tIaeT

lrстoчItIlI(

1] Itдeальltoil

?tilt,l\Ii()(l'],]t'

ll(l]\{

хitрaItтopIIoc

дJIя

за,Jlilч

].C0РIllI пol'l)аrlItчIloгo

слoя

(

l)\'tllllr(,

llttl('!ll ll0.

t'Iilt|'lIl.'tt.ItlIlx. IIil IIl)l!rt('lli.

.'.'l.r'llпltrtr.t1rtl.ltl.lii

('r'рyll

сBоiiствo

l.'l;l1'tittt.tr

'tl''tt.tlttii'

(.lt('(l|ttц,('(''t

,l.()ltt\',

t!'l,()

lt1tlt

Re-'

влIIяниe

||,litIil)(.Ilt tilttr

6l.t

.tlrllt;t.llltltvсt.t'lt

tl lttlбtшtl,rlltlii

oб.ltастtl

пoIpaнIlч-

It(,м

(l.|l()(,'

,lllJI,|(!,l\]'|

<lбl(ltм

ll.ltrt

r.о.rсtrиii

tlязrtоii lltидItoсти.

Пoaтo-

мy

tr tlбщсii T00pr1ll

пoгparrrrrrl|oгo

сJIo,r'

Рil

с с

[tатри Baeмoй B

дaль.

пеiiЦ]cм ЦpпмrпI,tTcJIьнo

cтpуflвым

ТcчeпIt,t}t'

пpедeльный

пepe-

ход к слуuaю

-.+

cо

сoвepшaeтся

D са}l}lх

ypавЕeвиях Haвьe

Cтoкса'

Лпrюpат1рa

11в,

122' 17!,1,l2'

17g' 174' 2o2,203'

221'

302,303.

(3.46)

п. A'

вyлпс, в. п. }iашкаpor

ЧAсTЬ II

ЛAMиIIAPIIЬIE стPуи )I(иДкoсTи и гA3A

B этoй частrr

pасс}tаTplrвaeTся pяд

задaч o

paсIIрoсTрaЕенI{l{

стpуй rкrtдкoсти

laзa'

peшelrlrя

l{отopых

пoЛучeЕы B

рамках

тeo.

pиIl

лaмиЕapEoгo IIoгpаЕI'lчItoгo сJloя.

Как былo пoкaЗaнo в пpeдыдущей

qaстlt'

Tакиe

pешенlrя

(для

ЕeсlтiиI{aeмoй жtrrдкoстrt) отвeчaIoт предeЛьцoму пepeхoдy B

pel

ниях' IIoлyчeIlEьIх из

ypаBнений

I{авьe -

Cтоксa

для

<сильнoй>

стpуи. B oтличиe oт атoгo таI(иe )I{o зaдaчи

(напpимeр,

paсПpo.

стрaI{eEии

oсeоиммeтpиlнoй

cтpyи) вo втopoй Yaсти

paссмaтpива.

IoTся Еa oсEoвe aEаЛoгIlчЕoгo пpeдeльнoгo пeрeхoдa'

сoBrpIпeI{-

IIoгo нa

бoлee paннeй

стaдии

в llсxoдныx

диффeрeнцrrальных

ypaвEeIIиях

- ц

пoэToiДy oбщегo

для

pазЛIrчЕьIх

задач.

,(ля

пpoотoты TаIioii цepeхoд

(вшвoд

уpавнениii

пoграпиvпoгo

слoя, прI!BeдеE

дJl't

дllllilieltllя

lleс'I(ll}taе}loп

яiIIдrioстI'

Этoт

вывoд, a тaкiliе lipатliпii

обзoр

paзлrrrных

мeтoдoв

иЕTeг-

pltрoBанIIя

ypaвпeпItri

ЛаllrrllаpItогo

IroгpasичEoтo слoя' Еalпeд.

IIlIlх пplllleнeEue в теoputl сTpyllнoгo

двI{}IieEия

;кпдкoстIl II газа'

предIxeстBУIoт

аIiаЛrlзу rioЕI{рeтных

струйных зaдаv.

Пoслeдниe

paссIIаTрllBаloTсЯ paздeльIlo

длЯ

случaeB

свoбoдвoгo II пoЛyoгpa-

IlиЧeЕЕoгo cтpуцEoгo тсчcЦия )rtидItoсTll и гa3a

Учeтoм

сleцифи-

чeсriих oсoбепцoстеii

(фoрмш

l.ечcнItя' грaнItчIlых

yслoвиfi

t'I

дp.).

Bсe

paссмотpенI{е

oгpаIurчcrlо а]],l,oм()дeЛь}rым

двI1ЦieнIIе!I'

T. e.

исcлeдoвaнIIeм cтpУI,l-исТоtlникoB.

,(ля

пoолeдних пoдpoбrrьre

дaнньIе'

сo;IepE(ащпe

псхoДllьIc

ypaBнеIII{я'

гpaнIIчIIЬIe

услoвия, фopмульr

пpeoбpазoвaнпя

автo.

мoдeЛьfloмy

BIIдyl

l{oнeчflьIc

pеIIIeЕIIя

и иffTегpаJIьEьle

xapaI{Tc.

PI1сTIIкп'

свrдeEьI

дJIя

yдoбсTвa

в тaблпцы oсIIoвньIx pезyЛЬтaтoв.

Aля

сTpyII кoEeчЕolo

pазМepa peпIeEцe

пpивoдится тoльIto B

ра},l-

I{ах iДeтoдa

мaЛьIх вoз}ryщrний. Bo всeх слyчаяx

пpeдIIoчтeЕIIr

oTдaeTся oсEoBЕoltry

в кEигe lleтoдy acимптoтичeскoгo IIoграEичIloгo

сJloя' хoT'I

дЛя

сpaвEeIiп'I ПPllвo;t'ITс'I

ltpатtloй

фopпrс

peшe-

нrI,I'

ПoJrучеItныe

мeтoдoм ЦEтс

l.I,аJl

Ьrtых сoотrrошснufi

д.nя

свo.

бодвoго пoгpавпчEoгo

с..1o'I нoнс.tltoii тo.,tlцIlllIJ.

Пpивeдeнныc в этoй чaстц

peзyJlьтaты

пlteюT

как Еeпoсpeдст.

вeltнoe зEaчeЕшe

(для

тeopии лaминapнoгo пoгpаниlпoгo

слoя),

тaк I,I всtrolrtoгатeJIьEoе

в кaчeствe мoдeлlr тypбyлептнoгo

стрyй-

Еoгo тeчeEuя.

УPAвнEIIия

пoгPAIiIIчнoгo слoя

ГЛAвA 4

сBoБoДIIЬIЕ сTPУи нЕс}ItиlllAЕl,Ioll,ItиДкoсTи

4.l.

Уpaввeппя

цoгpallltчttoгo cлoя

Кaк извeстпo'

tlпслo

зaдaq o

двц)I{eнии

вeсlrrимaeмoй

xrпдкo-

сти'

peшeнпe

I{oтopых

yдaeтся

пoлучить нa oснoBe тoчных

ypав-

вeний Haвьe -

Cтoкса,

кpайвe oгpанивeпo. Пpимeнитeльнo к

стpУйЕым

тeчeЕия}rl напpимep'

да'кe

peпIeЕ]le

tадaчп o

paспpoстpa-

пeнии плoскoй cтрyи.истosникa

(авалогa

задavи Л.,(. Ландаy

oб oсeспммeтpиuнoй струe)

дo

сих пop нe пoЛучeнo

*).

B связи с

этим IIаpядy c числeнными

peпIeниями

кoЕI{pеTныx зaдaч в тeo.

pии

лaмиEapпыx стpyй бoльпroе зIlачrЕиe пмеют oбщиe

мeтoды

peIIIeЕия'

oсEoвaнньIe Еa rЦирol{о

pаcllpocTpанeвEoй

тeoplrи пoгpа-

I1ичIloгo сЛoя.

Meтоды тeорпи пoгpaнцчIloгo

сJ]oя I]римеEяются

сеiitас пpaп.

Tичeски вo всeх oблaстях гIlдpo- lt гaзoдIIIlамиI{и; им IrосDЯщeЕа

oбпиpпая лиTepaTуpа

[rз0'

lз6' 166' !'i1'

272

дp.].

IIaпoмЕим

пoэToмy с пpeдeЛЬнoй I(рaтI{oстью

Еa

пpllмеpe стациопapЕoгo лa-

lrинаpEoгo тeчeЕия Erс)I{цмaеItofl

;+iuднoст[

в IIoграEllчEом

cлoe

(плоскoм

и oсeсиммeтpllчнoм) пepeхoд oт

ypaвнeвий

Haвье

(]r'окса

уpавЕеIlltям

Пpапдтля пoгpaEиsЕoгo слoя.

tr{деll, пo.'rolrieнныe

в oсЕoвy атoгo

пepexoда'

по сущeствy,

бы.

J|ll

y,Iic

1IспoЛьзoBaEьI выДIe IrprI IIсTоЛкoBaнип

peЦIeнllя

taдaчll

.ll.

/(.

Лaндау oб oсссиммrтpивноii стpуe

пpll пеpeхoдe Ii

(cилЬ-

l|!.lпtD

стру'}I. Ilос;rrдвлc, rtаlt это быlо

пoдpобпo

yllаЗalro paнеe'

ll1.Il(llljl|()1'

] I

ltс,l(('Jt

ЬlItr[1v пrpехoДу Re_+

pelueнI{ях

УpaвЕeEий

||irtrt,t.

(l,t.llrir.rr.

Il1rll

)1![t

тcчcIIIle пpltoбpeтaeт свoeoбрaзнyro

l l ! l l | : t

l l

(

I l | | l

(

)

: хillIilli1.(tl||lIlt(!

pil3]\li]pЬI

кo}lпoEeЕты скopoстII

l I

l l

I l

]

I l .l I

l l

| ! | I

(

tll

|х|ltIl()]\!

|l()

(

|1'Il()ll

l{lItIlк) li IIачаЛьIIoмy IIlllпyЛI,cy'

l I

l l

{

, |

, l Il('l.|.[lil l\lil'||'Il\ll|

|l()

(

) i l l l I l

(

l l I l l l )

nltil.пl)гllчI|ымll ]tcЛич!I.

||l|^|||'

llItIll.IlIlIItl|||il|||||nпtlt

ll/tll'II, Ill\I||\'.l|l'|'il. Il llpit,tlt.'tvr

]llt/(с эTI{

4.rl

r|l'l

I'l'|l|'

I||l|'?|l,Iilll,,|l.IlIJ

('',|i',L\

|lIIltl|\llI Ill'llilIll.|lствa.

|ll

/...' t'

l',,, tо

u'\

|]-z|'

tx.

"\rs?t

{,'l./к'.'|

t'Il,lх чЛrIIoB, Bхoдящих в

уpaвЕeпия

Hавьe-

пl)ltllяТI,'

ilТo

BсЛIlчItньl l',

u, u lмeют пopядolt

/ \.,r

r )l((,lr

rirl

(

:l l )|i(.il

с.ц('llус'l'

;)1t)

сl]л']аllo c teltl tlтo

для

пдoсtlolo

отрУйEoгo

двп2цeппя

oтcyтствyют

llIlIllnll'tl'J||lI|ьIo pсшcu!'r (си.

глaвy 2)'

*|) j{ooРдлIlaTa

opцсвтIlpoвallа пo Eaчaлъпoldy ц}!rryЛъсy.

сBoБoдIlЬIЕ сTPУи l]Ес)t(имAЕltIot

'I(идкoстrt

tгЛ' 4

eдI,Iницьl' /,,, a-пopядoк

малoй вeличивы 6(1 (сooтвeтст-

вelrl{o пopядolt вeличпны

IIрolIзвoдEых

0/dл, 0z/dx2

6yдeт

paвeн

eдItнIrцe'

а пpolrзвoдЕых 0/0у,02/0!2

будет 6-l, 6-2). Исходя

из aтoгo

I{ Itз сTpcltЛеEця

пoлyчItть пpиблпжeпиe,

пpп кoтopом B

УрaвЕe.

Еuях сoxpаняeтся

кoэффицпeвт вязкoсTIr

р'

пoслeднerdy

слeдyeт

пplrцIlсать

Ilopядoк велиqиньI

62. Этим пepeхoд

ypaвEeнпям

пoгpанIrчцoгo

слoя IIpиЕципIrальяo oтЛпчaeтся

oт пepeхoдa

ypaB-

пoпиям

Эйлеpa пдeaльпоii }ltидltoсTll'

для

l(oтopoгo

слeдyвT пoлo-

,l{IIть l,l = U.

Heyдoбствo,

свяаaннoe с

таlioгo

рoдa

oцевкofi

pазмepнoй

фп-

зuseскoй кoнстaЕтьI (p,*

6,)'

усTpaнЯeтся'

eслп прeoбpaзoвaвиe

уpaBнeЕIlя}r

пoгpаEuчцoго

сЛoя пpoвoдllTь, пoльзyясь бeзpаз-

мepвoй

фopмoй

ypaвнrнпй

I[апьe-Cтoкса

и BsoДrlTь

Л I{цх paз.

ныe мaспlтaбьr

Для

пpoдoльнoй

п пoпepеянoй

кoopдltllaт п кoм.

пollоят скopoстп. B этoм

cлyчаe YpaвIrrпия пoгpаEцчЕoго сJIoя

пoЛучaются

пpeдeлЬным llcpcхoдoм Irpп yстpeм"тcllип

чпсдa Pel:i-

яoJьдса It

бескoпeчвoстlt.

Hапoмним этoт вывoдl

зAпlIсывaя

УpaвIteЕпя

Haвьe

Cтoксa

эEeргIlи

фopмe'

приroдIrofi

как

для

oсeсиммeтpи.rнoгo (пpи

oтлI,rчпoй oт яyЛя oкpyнlнoii r(oмIloвellтe

cкopoсти), тar( и

tля

плoскoпapaЛJIeЛьцогo

дви)I(еIlII,t:

Ituoo

flvuu):

4.t] УPAвIIEIiI'я

пoгРAтlичIloгo сJloя

rДe

l",

Iц,

uo,

L\-

мaсrпта6ы

(хaрaктepвыe

paзмepьI

и скopoств),

чпслo Peйнoльдса'

P-'

давлeЕПe

п тeмпepаTyра

в Ee-

вoзllyщeЕнoй

яillдкoсTtт.

oпyская

дЛя

ItpoстoтьI

чepту

Еaд бeзpазмeрпыrrп

пepeмeЕнымIl'

аaпшIпe}l

уpaвцeния

Hавьe

Cтoкса

rr энepгIrп

для

рaсомaтpп.

вaeмoгo

cлyчая cтaцпoEаpEoгo

лаllllнapцoгo

тeчeния

нec)Ilимаe-

мoй

я{Itдкoсти:

t-unг о; ;;1

*ОxIl'un|"ОtIu|-

-.ou

IaDo..|)u |Оp,

1tdzu,

t!'

1''uаui}

";;

-r

lu"", Гg:

l;7

-г

lГ

coтc\!

тu)I

+':ц u9!

ьI|uo

.."

,=з

lP +

с|r

l]luo d1l

luoo

Iцl.d Z o!

{:},

El]*

!,(,r,".,)

#]},

l,а,\ ,.,.l

*;t7,,\y"г,)_*тr'

,,.i'

.i, t

ай

/ ..;,\

;

,',,,'

i,.,,o

*l+

vоu\u"fl)_

u"'

du Оц |Оp

а/

^Jи\

аrl.

)

,'a'f

uТу:

-p

о'

_-т1,t*\9"

a,J)

-o'^

|J|)

du ;"

|dp ||Оt'Оuх

oztl \

Dту_т

p il*u1l,,

\у"

dil

dй й,ui

n|'iй\

a,й;

j,-

uа'

,.,tу

)

\,,,,i,\ll',

1-t

6р

\u'--

fu))'

laй

-L

t"-

1,,uaй

[df,

||'

|уkdv\.'

{*#+

tr}+,t'r';

| 0

"aT',

Оу

"u}

*Ц

\}t,('^#')

*t,*

)

(Оcь

Оr opltеЕтиpoBaцa

BдoJIЬ ЕачaльEoгo IIмцyJIьсa

стpyrr' oсЬ

oy пepпeпдпкуляpпa

o.z; иl

кoмпoвeЕты скopoсти пo oся}!

oa, oу; u

oкpy)кЕая

скopoсть; k:I

ttllя

oсeсимметpltsнoгo

дви}I{eнIrяl

для

пЛoсI{oпаpаллeльнoгo

двиlteнlIя.)

Bвeдeм бeзpазмеpЕъIe

вcЛIlчlII]ы:

taoax

)-#ll

]to'Ф+ffifw',l:o,

a.Г

l-ruo

-].

'ё_:

I|JL'

auo

oу

))

(4.1)

I'.ltt,t.l.tltпlt

lюttзBoJrьпoстI,

выбopa

маспrтa6oв

и ao,

a тaж}кe

Yс'rlrlIrIlt.

rlбt.t:l|(t't{.IIl.t'l

oдItIIаrtoBoгo IIopядкa

IIЕepцпoЕных

и вяз.

|{t|х

l|J|l||l()l!

tt1ltl Re

oо'

ПоЛo)I{Illtt

l/Re

t,,

'.'

I l..l.ltr' l.,l.'l..

i.l!(.1(|ir]l

YllilIt|!l||tllii

tt1lttrtоr'

lrtl,l1

(4.2)

" (uu

l_ I

(uuu)

' ttlj

'" '

d.t.

421,

'J'

1.ту

Тe-. 7?f

вo Бoдн

ьIll

стPУIl EЕсE(!I!ДAI]1tlot

хillдItoстll

tг.п.4

Устpeм.-rяя

rпслo

Peйнольдсa к бeскoнeчпoстI{

II вotвpaщaясь

ра3}tсplllnм

пepeмeнEым'

пoлyчIll{

oкoEчaтeльнo

+"uй:

iЗ:*'#&('''й)'

{.tl oсЕсIIlIl[ЕTPI{Чt{Aя

зAкPУчЕнIiAя

сTPуя.IIoтoчIIIп{

услoвпй

истeчeЕпя.

Пpп этoм задauи

(втoм

tluслe

ш Еe ишrющlre

aв.

ToIlroдeльEых

pelпeEпй)

itoгyT псслeдoвaться

двУмя

oсEoвньIми

}leтo-

да}tll

Teopпп

пofpaнIrчнoгo слoя-кoнeчнoй

и бeскoпeннoй

тoлщипы.

B пepвoм слУчae гpaEичEъIe

yслoвия

для

скoроcтиl

тeмпepaTy-

pы

дp.

taдаются

yолoвEых

вEeIIIниx

гpаIIIiцaх

6' y

6т)

диЕaiшчrскoгo

и тeплoвoгo IIoграЕичньIх

слoeв. Toлщипы

их

61), a так;Iie

pяд

хаpактeрEьIх

paамеpoB (тoлщиrra вьlтeсIleEия

Ilм.

пУЛьсa' тeпJloсoдepx{aния

и т.

д.)

вBoдятся

в яBEonД видe

pelпe-

пие. 3a прeдeлами

пoгpаEltчEoгo слoя

дви}I{eнI!e

прeдцoлaгaeтся

пoтeEцIiальЕыll-l.

Bo втopolr сЛyчаe

llpeдпoЛaгаeтся'

чтo пoгpaпипвыfi слoi

пpo-

стиpaeтся якoбы

скoль

yгoдЕo

даЛeкo;

гpаЕичЕыe

yслoBпя

задaЮт.

cЯ

ap:л

у:

oc.

Пpeдстaвлeпцe

o тaкoм бecкoцeчнoм

(aсrtмптoтп-

чeскoм) пoгрaЕичEoм слoe

Ee пpoTllвoрeчит'

oдЕакo' сaмoII пдee

пoгрaEIIчЕoм

сЛoe - oгpaппчeпвoй

oбластп, в Itoтopoй

B ocЕoвЕoм

лoкалtlзoвaЕo

дeйствиe

cIIЛ

вЯзкoстII.

,(eiiствrrтeл

ьпo

рelпeния

ypaвЕeЦиii

дают

дЛя

скopoстIr'

темпeрaтypы

rr т.

д.

стoль

быcтpo

yбывaющиe

фyнкцпlr

пoпepeтнoй кoopдпнаTьI'

чтo

y?кe

Еа кoнeч.

пoм

(и

дoстaтoвЕo

}tалonr' oпрeдeляющcм

эффeктивнyю тoлщцЕy

слoя)

paсстoянлlt

влIIяциe Bязкoсти пpaктичeскIt

rrсveзаeт.

Пprl

)тoм

сltыкaЕIle

peIIIeЕия

с oкpy,ItающIrм

стpУю тeчeнпeм

пpollсхo.

./(llт

IIЛaBпo' асцмIIToTIlческIl. Самп

пepeменвыe

(u, T п

дp.)

ц цх

пpoltзBодItыe пo кoopдIшaтa}f

на aффектltвпнх

гpаЕицaх стpyц

1.(.pп'l,l.

I)il:|I)ЬInoB.

l Iаptlд1. с ltспoсpeдстBeEЕьIir

ItEТeгpllpoвавшeм

диффepeпцпaль-

ttьtх

1.1rilltllt'Irtrii

rIoгpаElrчEoгo с.тoя

(Iiонeчнoгo ItЛII aспмптoтичe.

r.lilrt.rr) tt.tlt t. п

Pt'oб

pа

зoваttlrelt

rlх' Hаlrрltмep, к ЕeлtrЕeйflolty

УpaB.

||('l|||l(t 1.l||til

,I.(llIJt()ПрoI]одIIoсти

(в

пcpeмeIrныx }Iизeсa

дp.)

пpи

рe-

| | |

t |

: I i l

/ l

i l

() (l'IIlу|tIIЬlх

/IBIl?rtctlиях

прIl}leIIяIoтcя

Taкж{e мeтoды

l|||,l'lt|.Ilil''||,|||nlt

r l r l

t t

r l

l l I t

l I t t i i lt

JtругIIc

тt

ptt

6'rl

ttrltcнtr ьt e

спoсoбы

paс-

.tr.trt'

Ilr.r..ltttt ttrlj(|lrrбllrl

t)il(.l.ltil,|'I)|tliilк)'ltl'I

п1{|t|{|гРirфlIяx по

тeo.

||l|lI

t|.Il

. l

I l l I

| | |

l |

...r.'lt

|,...,.

Iill'

Iill

!l!

71;r'

(]|l'ljtп

0 Эl'll}t

цeлe.

(

||lIll||l|

||l.l.

lll('l'l',|l|||

ilil

/(i'|.il.:|'|l||!

|i t(lll.l!l){tlIill||l|n[I

llс'l.0чlIиlia}l'

|||ll|||

| ||lll |

l |

l l l

l I

I l

l t t

l l

I t

l|i

I itJ|ltt| |I

х [Io'|.()l{oa li

pellleЕию

||)\||lIl.l\

'.l

ltlll

||('Ill)(.Iх)((.,| |ll'||'|(}

lIjl I||)lIlltсl)ах.

iirrrtr.rtrrt'

l'l,ltl'|.lIt

llll)

ll'|'l|

'Ii(.

]tlоr.o,J(lJ' ц TaliЛtc

pяддpyгltх (пo-

I r|

l | | !

| |

I i t | \ lt

l}ll ||

tlс(l

кII х

)

ltсrtI()jr',3уloтся

I{ в тeоpllll тyP.

'\.lr.rtПr

t.t\

(r'r'l)\'lr.

4.2.

()сесшпIшeтpllчшaя

oaкpyqсПlla'r

сTpyя.шcтoчвшк

| |

1llttltlдспr РcrrIопIIe

3адarllt

РаспРooTpаIIoпиIт

oсeсItммeтрIlч.

llrlii

сttсl6rlj(ltоii

закpyвеннoй

стpуll tIeс}t(Ilмасмoit

вязкoit хttlдItoсти.

/l(tIlус'l.ItIt,

чтo сTрyя

вытeкaeт

в ЦeoгpаtIlltleцнoe

пpoстpaЕcтBo'

ta-

||()Jlllс|lllоc

ilillдкoстью тeх

жe

фпзи.reских

свoйств

(<зaт6ддgЕЕаяD

(4.3)

floлутeннaя

систeмa

ypaвЕeЕий

Л.

Пpaвдтля

(4.3)

сyществeп-

пpoщe исхoднoй

сисTeмьI

yрaвЕeпий

Hавье

Cтoксa

(4.1).

fo-

сТI,Iгнyтoe

упpoщeциe

связaIIo IIрe?кдe

всeгo

c тeм' чтo Ilt Tpeх

ypaв-

нeнllii

двпlteпия

(для

кoмпoнeнт

скopoсти u,

п a)

сoxpaняют.

ся лlllпЬ

двa

пepвoe II тpетье

B oсeсllммeTpltчнoм

oдЕo

пepBoe

B плoскo}(

дalrilieнIrц.

Bтoprre ypaвнeнltе

Bыpa}iаeт

oснoвнori

за}ioll

дItlrаltlllllt

пoгpaltlrчIloгo

слo,I

дЛя

пnoсfioпаpaл-

ЛeльIloгo

дBrl}liclllIЛ

пoстoяIiстBo

дaBлeЕПя

пoпepeк цoграEIrчцo.

гo

слoя. I{poмe

тoгo' в пpaвоli

часTtt llepвoгo'

тpeTьeгo II пятoгo

уpaвпенIrii

сlrстсrrш (4.3)

чцсЛo члeEoB

ylleEьIIIпЛoсь.

Эти пperrмy.

щeстBа'

сoxрaПяIoщIteся

таItх{e п

для

бoлee

слo)IiЕых

оЛ]гtlaeв тe-

чeнrlя R пoгpaнtrчIlo}f

слoе' спoсoбствoвалц

IпIIpoкoмy llспoльзo.

вaнrtЮ

ypаBнellllii

пoгpаllllчЕoгo

сJloя в гидрo. Il

га3oдI!EaмиI{е' в

чaстItoстIt

теoрии стpyxПьIx TcчeIIпIt.

Bмeстe

c TcМ

слодует пoдllepIttlуТь' чTo

yрaBпelrllя

пoгpaнllчЕoгo

сЛoя яBляются

стpoгlrlrrll

"lшцIь

дЛя

ltесьма

бoльшItx

(тeоpeтureски

ЦeoгpallllчeцЕъIх) зпатeниfi тислa Peiiнoльдсаt

т. е. каIt

pаз

для

тeх

yслoвlrй,

пplt кoтopых лaмItЕapпoe

дBи,rieциe

прaктI{чeсI(и oт.

сyтсTвyет. Пoaтoмy

рelneпIre

зaдaч o

двп}I(eнии

лaминapных

стpyii

иlrеeт гЛaвпым oбpaзoм oбщee

Teopeтпчeскoe звaчeниe. ПoмlIмo

этoгo,

lt этo бyдeт пoкaзaнo ни)кe Ea

чaстЕых llpимepaх'

llIITcграJIЬI

уpaвпенlrй

пoгpaЕпчЕoгo сЛoя

сoдepжaт

в сeбe в

pядe

с'ryчaсв нel(oтoрую EeoпрeдeneЕЕoсть'

oT}tetleннyю eщв

Л. ПpаIц1,Lлсм

[,?0

oстaнoвttмся вrtpaтцe нa oбщпх мeToдах 1IIl,I.сгрIt

рonаЕItя

ypaвнr-

Eий

пoгрirllrlчI[oгo слoя' II0лУчиBIIIIIX цpltмоItcцrle прп

pelIIeEиIl

3aдач o

lll}ll}I{clrlttt

стрyй

вя3кой

}кидtloсТlt.

3аlteтult пpc}ltдe вceгo! чTo

дЛя

ЛамиЕapпых

стpyй

(как

pa.

Ееe

д.ця

тoчцьIx

peшeЕий)

сoхраЕяeт свoe зEачeнцe цoЕятпe o отpye-

IIстoчlIIlкc'

цpllвoдящee.

в IIeрвoм пpпблtlаreпиrr к авToшoдeль-

Еoмy

pешeнпЮ'

Ire

тpeбyющeму зaдаEItя

дeтaльЕIlx

EачаЛьЕьIх

"т:тЙ'

uu!+

uJ1 9r,'Фl

,-d!

'\ytаy\,

аyl

!t"I'

fltor"l+{uФ,l:o,

aT aT

1 A

/ ,.AT\

-FuФ:а.;iтg\у"oу).

свoБo'цIlьlllсTPУинIlс}*lиiIAЕмoЙl+illдltoсTit

[г']]

(4.4)

отpyЯ). TeмПrpaтypy ?кидItoсти в

cтpyо

в oбщeм

случae

будeм

сvи'

тaть oтлпчtIой oт TeмпepaTypьI

cpeды. Пpимeм Taкх{e'

чтo pазIIoсть

зЕaчcIIЦII

тelttпopатypьI

'кидкoстц

в стpуe I{ oкpy;tiающеfi

сpeде

стo.1ь }tа".lа, чтo IIлoтEoсть

,t{идкocтя' a так;кe кoэффrrциeцтьI

вя3-

коcTrl

тerlЛoпpoвoдЕoсти'

зaвпсящиe' вooбщe гoвоpя,

oт

тeмпepа-

тypьI

(ц

давлeнця),

мorкпo

считaть

нeпзмeнными.

Пpи

атoм

тeмпе.

pатуpa

пгpаeт' oчeвидEo' poль

свoeгo

рoдa

(oкpaскllD

;l{llдIioстп.

Уpавнeвпе paсПpocтpaЕeEпя

тeплa

в пpeнeбpe*ieнии

тeплoтoй

тpе-

ппя

(тaкrкe

llзЛyчeциeм)

андлolпqнo

уpавЕeнию диффузии

для

Еoкoтopoй (нo

актпвяoй) пpиiteси.

Tаким oбpaаoм,

исxoдньle

уpавнeния

шoгpaнпqtroгo

слoЯ

ДЛя

oсeсшlrшeтpичЕoй

аакpylеввоii

cтрyп.истoчEикa иltеют

вид

[r31]

Оu Оu

laD

1al aц\

тc:

li;

nтаc\y

а,/'

outT

т:

ai'

aФ

D\l'

aш\

1,]

-t-

nt,

тv\у

)

у"l'

1I\уII)

тlJ

\!D)

|,.21

oсвси!Д}IETPичIIAя

3Al(pУчЕItltAя стPУя.IIстoч1]I{к

Эти

дoпoлвитeльньIe

тpаЕичвыe

yслoBпя

(paвeEстBo ЕyлIo

ввeIп-

нeй тpаницe сTpуи

пpoизвoдIl

"-'!,'';

т'

д.)

lroгyт, нe пepeoпpо.

дeЛяя

зaдaчll'

IIpEBлeкаться IIptr вьIBoдe

IIItтегpальЕьIх сooтЕoluo-

вцй и;lrr B

дpугпх

сJIучаЯх'

кoгдa

aтo

тpeбyeTся

для

oцeвкц сyм-

мapпых эффeктoв п

т.

п.

Имeя

этo

B вIrдy' иЕoгдa

paBoЕств

пpц

y: oo

дpyгЦеl

еrry авaлoIEtIEыe'

Еo пспoльаyeмы6 пpп

Irвтrrриpoвaнип' 3аписI,IBают

чисЛo трaпичных

ycлoвий (кoтopoe

цpи

aтoм якoбы пpeвoсхoдит

пopЯдoк

диффepвпциальнoгo

ypaв.

gegпg)

perпeвияx }Ieтoдoм

пoгpaЕшчEoгo слoя

кoпeчвoI.I

тoлщпEьI

чtrслo гpaвичЕых

yслoвпй

выбиpaeтcя

yчeтoм

пeoбхoдимocти

oпpoдoлeЕия иа

рeIIIeEпя

в oбщeм слyтae

нeпавocтньlх

аEaчeltий кo-

opдпнaт тpанпцьI слoя

(дивамитeскoro, теплoвoгo). При атolr плaв.

Еoсть сiДЕкaвIlя

Eа IpaЕпцe вeсьмa частo' oоoбeннo B

тeIIлoвoй

задa.

чo' Еapу[Iаeтся

y*"

o,",}"l",oi'

прoизвoдпoй. Haпpпмeр,

тoплo.

вoй

aадave

o кpае стpyи;+0

нa внerцнeй гpaнt!цe tr пoтoк тoпла

тepп!т

paаpьrв.

.(ля

стpyп.пстоrЕпкa'

кaк

oбьтrнo'

pаcсмoтpпlr

aBToмoдeльвoo

poшeниo'

пpиIoдЕoe

нa

андчптeлъEoм

yдaлeвиI{

oт

yстья.

Как п

в тoчных

pelueЕиях'

ввeдerд пЕтorpaльныe

yслoвия

сoхpa.

Eeния:

lAt A't'\

б;

ai:

ттu\!

ail'

Гpанпяныo

УслoBIlя

для

асимIIтoTцчес'кoгo

слoя

зaпirцеnt B

впtre

^ ^0u

D-v'1p:U.i_:-:U

Пpll

:.l1) :

ЬT

p:0

пpп y

oo.

}

И.5)

(Cимвoлaми

Д1 и

o6oапaвeпы

пз6ытoчпыe тolrrпepaтyрa

дaвлe.

Еиo

пo oтнorxeнIrю

к пoстoяEЕым

8EaqeппяIrl T-вP-_

теltпopa.

Type

давлeшию

oкpyжaIoцeй

сpeды.)

Пo пoвoду

гpaEичItьIx yслoBпй (4.б)

s пм

aцaлoгичIIыx

даJrь.

ЦeйrЦ0м

зaмoтим' чтo peшeния

вaдач' IIoЛJrчeЕIrьIe

мeToдoм

acl{llптo-

т!ческoгo

слoя' в

oTличtro oт пoгpацIтчIloгo

слoя кoпcчtIoй тoлщи-

EьI' Bсeгда

даIoт

lладкoe

смьIкaнПо paспpcдeJeни'I

xepe}reнElnx

(Еaпpимep'

скopoсти'

тrмIlepатypьt

дp.)

в стpyс

lI п

oкpужiающeй

сpeдe. Пoэтoшу peIцеEпя

pамкax

теopии

асIlntптoTичeскoгo

пofpa-

ЕпчIloro

сЛоя

(aBтoматпчeскп)

yдoвЛeTBopяют'

нацpцltep'

paс-

смаTpиваeмoii

задaqe

тaкхtв

pавeEстBaм

||l.|||lll|. ll It1'l)||llit IIit

l|'Il|х

\'l..l||||lllii

().гI}(jllают

сoxpaвeнIIю пoтoка

lIl\||l\,.ll|'('il

(l! l l

l l |

(

I i |

l I l t tlit tlt',l'

()u)

II мoмeнтa кoЛичecTвa

двц}коЕпя

(.'l'l'.\'lt (t|,||(,(llt1.с..I|,l|() ()(lи

сIIlllloTpllи', тpeтьe

сoхpaнeвию

пвбы.

.П)lIll(||'{,

'I0l!Jlt)сo;{eP'tirIrrlя

стpyrr (Пpп oтсyтствпи истoчEIIкoB

rтrr,rrl).

lltlltolrttrrм пpollcхoжiдениr иЕтeгpалЬriых

yслoвпй.

Умцolким

ltoРUoc

ypаBцeвиe

систeмьI

(4.4) пa

у,

ачeTвepтoе_нa и Е cлo.

,IiиIu их:

",.

Au\

т'|у

pu")l

тg\pуuD):

тc\у

ф)

"I.

2п \ u

(

o I oua\ du

consl_..J'\.

г../-J

(1r.6)

(4.7)

(4.8)

2л \ ouшuzdu

сonst.

^ J'

',:

.lJr \ п..,ttА,.l'tлlц

('(lllsl

Оu aФ

-;-::--u

og og

пpп y: oo.

свoБoдtIьIв

стРУи

IlBспtймAЕмoЙ

'fiu,цкoстп

[гл. I

.I,lнтeгpиpуя

этo

ypaвпeнпe

пoпepeк

пoгpаЕпчЕoro

слoя

oт

дo

oо

и Ilpl{IIиI{ая

вЕчзЕ,чтpанп"'o."

у"oou"u

iа.si'

i-y.

чllltl'IlIIтoгIlаЛЬныit

инваpиавт

(4.6).

..^--.,'',un.u"

тeпepь yравleII.IIo

ЕepазpывЕoсти

Eа

.,'

а тpeтье

ypав.

нeнIIс

сIrстсnlы

(4.4)

нa

у.

Toгдa

peзyльтатe

сЛo,}ie'ия

пx

пoлvчиIr,t

(v'4

!u(vu')

+,'

&li

lrw,tl.

Пoследнee

уpaвЕolIиe

yмEo}киlt

снoва

Еa y

порrПltIIJeм

видo

iг a

тb

\!J"

uu,)

f,u

(u,

otо)

йLu

fi.,

\u,\

- zу,o

. .--.Ч:::r!,,ouoнIle

этolo

уpаlЕeн}Iя

пo y

в Пpeдrлax

oт

дo

yчeтoм

IpаничньIх

услoвпй

(4.5)

пpпвoдиi

n ,i'e"pu,uп*,y

ycoo.

вию

сохpансния

(4.7)'

^..^:.ч1,:..'o"*

IIутeм

пpиxoдП}r

пЕваpиаЕтy

(4.8):

ypaвпeвпв

энepтии

].ll'o}каe'Icя

склaдываeтся

ypaйodo'6м

""Ъpu,p'u-

нoстIl'

пpeдваpитeлЬнo

yl{Еo)I{eЕвым

нa

ДZ.

i]oсo"дy,oфu

"u,"..

pl,poваЕиe

пpl'вoдItт

к (4.8).

рЯдc

случaeв

задаЕиe

oтлцчцoгo

oт

""1Ё'"ji:::'"i1T''":t:._11:]:

инвapиаEтa

(пaпpиlrep,

м"

"ii

u\wl

Ф\ф):

ooeсtleчIlвacт

I'oзlto2l{ItoсTь

ПoЛyченIIя

lreтpE.

вlIа.Tь|loгo

(oтли,rltoгo

нyЛ,l,

peшeниЯ.

]a..

rеulсlllle

ntстoдo}r

acltмп-тoтItчeclioГo

с.roя.

!ля

IIoлJдIeнпя

аBт.II

o/'lcл

ьtloгo

рcIIeIIIlя

пDeoбразyelr

"""'"n'у

уpЬiuuo

\а.а1

:::::]]: _1б"]l"*eнпых

дпффepcнцIIaльEьIх ypавнeнпй

цolroщЬю

за]tlеlII,I

Пcрсl\tcII

н l,t

кoТoDvю

yс.roвнo

6удeliп,,",u"u

"uйn,oд"ou.

нt.tlt

llpсoбpазoваIrlrc:'r.

Bвrлe:

вrt,'tа*):

стeпeEllыe

3аBIlсIl}IoстIl

слeдyющeгo

uп:

1|xсв,

1L\,l

(:iI'.,

p,',

__.

pl)lt'Б,

A?'','

:1.yт,

I}urB

'g\

пpIlIlоr!

:{.(e)

-9-rп,..

.^:

tv)'

(q)'

д т; -

0 (p)

l:-':y:'lт.'_ч

вaпlrсь

выpажeвяй

дJIя

окoрocтп'

тellцeрaтypьr

ц т.

д.'

а тali;кc

д..tл

пpltвсдol|lloй

ltooрдiвaты.q

uuд"

"i""uoi,"i.

*o^iiniiJou

opnдo.

пPcдслЛот

J{ля

aвтoмoдoЛьпtlrх

loшcпий.пocтoяiвотЪJъ;;;;;;.;;;;;;""'

""".

тoгo

пo

lloпсpcчЕoмy

cечgвпю

стpylt'

вtIда

сollst'

гд('

:p#

(,s :

(2l.

!)t

t!,

(гдc

1).

,(ля

овoбoдпшл

отpуii

2 lr

такoо

цптeгpaль.

цoe

услoвllc

сol}п!lда0т

с бoлec

oбщllм

услoвиоDl

сoхрallоIпrя

J":

(

рtвa|s:

:сonsl,'

пс сl]язntIltьtм

c пpeдпoлo'кcяпeм

oб

aвтoмoдt,л

ьнoстп

,е"uouцo.

тex

сл].'Iаяхt

сI{oгдa

oбщпй

rrltiсгpальвыt

пuoup,nui

.'o!i"ii-"uй"."й"Ъ]puuu'"'.

вo

D!дa

)

t]"

ls:

сoлst{0

oбeспeuшвaeт

прII

ltyлeвых

гpaЕItчЕьlх

yсЛo.

вп,lx

вoзlloilttloсть

пoлJвouвя

цeтPцвIlальЕoгo

poцeЕця.

1.2.l

OсEсиIIIIIвтPI{чII-Aя

эAкPyqЕнIIAя

стPУя-истoчIlиIt

(u,,,'

ЬT^' p^

знaчrltпя

скoрoстп'

пзбытoпных

тeмпepатyPьI

даB-

лeнпя

Еa

oсп cтpyи;

l,m

мaксшrlaJrьпoe

зItачcниo

oкDvжiпofi

скo.

pocтп;

Iптpдх

здecь и Ilи)I{e

oбoаuатаeт

диффеpoнциpoваЪиe пo

'.еpе.

мoнвoй p).

Упитывaя,

ттo

пpeoбpа3уеш

всe

члeцьI

пepeмoЕEъIl{

Е=z,

уpaввeнпй

(4.1r)

к нoвшlr

tleзasисимьI}I

оuз:

d'"_,|o

u'(#),]

Зi:

oo*''111,

!*Q,й):

АB\1!2p

+t'(#)l'

t\*,'nq

аu

_#'"

о_,

[1.'_

z9f

вл,],

au!:

g.,-lpa+

р9Ф,),

*Ц

66"ou6,

ka#)

- 3,6',,в*.

!19о,1''

Г.:1

I(т0

рe0,),

!ll"'rt

'''o'

l1у

.#)

73.1',.n*,1

1.р0,,1,'

iс*#k:&+

р**

e:#k:в"uh'

L=:]]D-tв|ьР'.

poу

П.oдстa.вляя

n-pивeдeЕЕьre

знaЧcIIlI,i

исхoдIIyю

сиотoмy

уpaв-

llcвltЙ

(4'4)

oтбpaсывая

пcpвo]ll

ypаBlroirии

атoЁ

систeйы члeц

l аь

;

(кoтoгый'

как

aтo бyдeт

пoкaзaнo

ппrкe, yбывaeт

рoстoм

7('

сBoБoдныЕ

стPУц

нЕсk!!мAЕIltoЙ

,l{идI{oстIt

tг..1.4r

i}нaчитeлЬно

быотpee,

чeir

oстa.]ЬEыe

члeEьI ypавЕoЕия

+)'

полyrпrr

пoслe

пpeoбpазoваппй

l,.2.!

oсЕсIllДмвтPпчIiAя

зAкPУчEIII]Aя

стPУя.IIстoчIlиIt

Пepeписьtвая

(4.6)

(4'8)

в впдo

э'n4L ,ц"-в'с

л,\2

',.

-',nF.

)

\т/

QdQ:

J*'

. А|:

2лp

зэ,'

г,о9 а9

лr-,

.-..

АГ

'-,в'"

Г F,0do: o.

ztrpcp

пoлyч!rit

Р,

s:3p_с

:2d,

т:2p_d:

_1'

yveтolr

равeнсTB

(1r.11)

пoлучrrм oкoЕqaтeJlьIlo

а:P:Т:-1, е:-2' в:_4.

IIз тeх жe ltнтeгpaЛьI{ых

услoвпri

пайдeм

А2

Iх

Аc

I.I.'

А|

тllPЛ' вт:

Йт

вz

zлрolз

(4.20\

гдe

сиllвoлаllll

Jц J2

uI3

обoзнатeны oпpeдeлeЕЕыe

ЕEтeIpалы:

(

F,\2

. с.,^

.rr

(-;i

Qd9:.,

.rz:\ruqdq:,,

-.^

. Д

.,.":

\.lч'Ud(D

Zrf

+1'

ltl|ачclIII,I Пoтol)ьIx'

укflзаIIlIt{e

здcсЬ' oпpcдеJIяIoTся

Il3

пpIlвeдеЕ.

l|()t.o

tIll'i{.

|)сIIloIIx,l

i}iulаtlIl.

Ilоlttt1litIt1:tltсl, ti

\'lIilltIl(lIIlt'trt

(.l.l2)

-(,i.1r-''

вt,tбсpcl't пporlзвoль.

l||,|t|

i}lIilчoIIll'I

(

)

l t

) | I

(

l |

| l , l lIl)(]'|.(),lIII||,lх |lilllIII'llllt

l,!

--4

::'-

all!

-'D

lIз (zr.291

п (4.21\ с yяeтoм

(/r.20а) IlахoJ(ltlr

i+)]Ё2",Е_l

[(.'

_2р)+

(#),-

(#),]

л':$o.._в Ч,

,_s

$"r*zol|1в

_23)

(Ф'

*)*

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.1e)

(4.20a)

(4.21)

tв

_оff]:

+P.#

.IIoтpe6yeм

Eoзaвисимoстп

IIoлyчeвцъiх

ypавнeвий

пoй

э.

,(ля

атoгo

пoJIo}Iшм

р:+,

6:2r,

(Ф0,),

пoслo

чe.o

ypавIIoЕиях

ocтaнyTся

тpд

(кoIIсTaIIтьI

автoltодgЛьнo-

cTIД',

q,'

у:

J Г^IF'\'1'

А|F

tF'\. I F,\21

ТtY\т

;s,LТlт/

-"(т/

ФB

Y_Ё*

#[*

*t"_ъ-11f]

Y+'.

#(+-,T):o

(4.10)

oт

пeрeмeЕ.

(4.11)

(4.r2)

(4.r3)

(4.14\

(4.1;)

,''

j::'lg."::,:y""

тeпspь

пнтeгpaльЕьIми

yслoвия}rи

(4.6)

(a.s)

(I]

пepвolll

пt

кoTopых

связIl

сo

cкa3aнI]ым

выrпe

бyдeт

oi"у,"'uo.

].1l:. llo"uo"u

IIoдынтeграJlьнoм

вInpаlкeЕпIl)

для

oпpeдeлeнпя

пoстo,lllllыx

.|.

'...*]]-]{ч.-ll

, пpeдшдyщeй

тIастп'

paссмaтрцвacтс,!

тoльI(o

сл]rчай

tcлабoi

)PЖЧ]: l|l-u,,uTo'''

)ioтя

дaвлeEцe

сoipавяoтЪя

вo llтoРoм

yрa"oЁш'

"."""^,"

({.4,'

eгo мo}кЕo

oпyстtrть

в пoDвolt.в.cвяtп

с poзltим

а.i1

yбшвiЬом

upп

yдaд€Eц.ц

oт цстottЕцкa.

пpц

rс!львoй

кpщкef (,,

.i) такJв,yц_p-Jйшe

цe-

дoпyстцмo'.в oтold сJI!пrаo!

кaк

цoкaзцвЬ6т

oпьiт,

.дoзiпкiюi

6о_f,iй"u

'oхп

E пpEoсeDoй

oбластц

стp]д.

А:#'

":{:s'"-'*+{#'

'&##,